精品解析：广西河池高级中学等学校2025-2026学年高一下学期第一次自主检测练习数学试卷

广西河池高级中学等学校2025-2026学年高一下学期第一次自主检测练习数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助共轭复数定义计算即可得. 【详解】由，则. 2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐个选项判断奇偶性与上的单调性即可. 【详解】A选项，为偶函数，在上单调递减； B选项，为奇函数，在上单调递增； C选项，为偶函数，在上单调递增； D选项，为奇函数，在上单调递减； 故选：A. 3. 若的内角、、所对的边分别为、、，，，，则角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得，则， 又，且，故或. 4. 函数的零点所在的区间（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 零点定理知， 的零点在区间上． 所以选项是正确的． 5. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案. 【详解】因为， 所以，由余弦定理有， 整理得，即，为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D 6. 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ） A. B. 当角越大时，用力越省 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】对A：根据力的平衡计算即可得；对B：由A得，结合余弦函数单调性即可得；对C：由，结合计算即可得；对D：由，结合计算即可得. 【详解】对A：由题意可得，故A错误； 对B：由A得，当角越大时，越小，则越大， 故越大，故当角越大时，用力越大，故B错误； 对C：当时，， 由题意可得，故，故C正确； 对D：当时，由，则， 即有，则，由， 故，即，故D错误. 7. 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长、交于点，求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶角为钝角，可知当时，取最大值，再由可求得结果. 【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为， 则，解得， 则，故， 设轴截面的顶角为，由余弦定理可得， 故为钝角，则， 故当时，取最大值，且其最大值为， 因此，梯形面积的最大值为， 故选：C． 8. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. ，则实数的值分别为3，2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，复数的虚部为，A错误； 对于B，，所以，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，以4为循环，每四项和都为0， 所以，D正确. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：令，借助判别式可得该方程无解；对B：借助向量垂直性质及数量积的坐标表示计算即可得；对C：借助向量坐标运算及模长公式计算即可得；对D：借助投影向量公式计算即可得. 【详解】对A：令，即，， 故该方程无解，即不存在，使得，故A错误； 对B：由，则，解得，故B正确； 对C：若，则，故， 则，故C正确； 对D：若，则， 则， 故在上的投影向量的坐标为，故D正确. 11. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（ ） A. 当时，正四棱锥的侧面积为 B. 当时，正四棱锥的体积为 C. 当时，正四棱锥的外接球半径为 D. 当时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出正四棱锥，对于A，四棱锥的侧面积为，对于B，求出四棱锥的高，可求出其体积，对于C，设正四棱锥的外接球的球心为，则在上，由可求出外接球的半径，对于D，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径. 【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥， 对于A，当时，则， 设为的中点，连接，则， 所以四棱锥的侧面积为，所以A正确， 对于B，设，连接，则平面，， 所以， 所以四棱锥的体积为，所以B正确， 对于C，设正四棱锥的外接球的球心为，则在上，连接， 设外接的半径为，则， 在中，，所以，解得，所以C正确， 对于D，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为， 则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则， 所以，解得，所以D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足(为虚数单位)，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接进行复数除法. 【详解】解：因为， 所以. 故答案为：. 13. 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】借助等体积法及三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】， 则. 14. 如图．在中，已知为的中点，为边上靠近的三等分点，、相交于点的余弦值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算法则可用、表示、，再利用平面向量夹角公式及数量积公式计算即可得. 【详解】由为的中点，则， 由为边上靠近的三等分点， 则， 故 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数． （1）当实数为何值时，复数为实数； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数定义计算即可得； （2）利用复数几何意义计算即可得. 【小问1详解】 令，即，解得或， 故或时，复数为实数； 【小问2详解】 若复数在复平面内对应的点在第四象限，可得， 即，解得， 故的取值范围为. 16. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中． （1）在直角坐标系中画出平面四边形并求它的面积； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）平面四边形见解析，四边形面积为 （2）几何体体积为，表面积为 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，则可求出四边形对应边长，即可得四边形的面积； （2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解. 【小问1详解】 由，则， 画出平面四边形如图： 四边形面积为 ； 【小问2详解】 将四边形以为旋转轴，旋转一周后， 可得圆柱加上一个同底的圆锥形成的组合体， 且该圆柱底面半径为，高为， 圆锥底面半径为，高为， 该几何体体积为； 该几何体表面积为 . 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算及正弦定理计算即可得； （2）利用正弦定理可求出，即可得，再利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 由正弦定理可得， 由，故，故， 即，又，故； 【小问2详解】 由正弦定理可得，故， 由，，故，则， 故. 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的的取值范围是. 19. 记的内角、、所对的边分别是、、．直线与的边、交于、两点． （1）已知，记， ①用、表示、； ②若，证明： （2）记，用向量方法证明：． 【答案】（1）①，；②证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①利用平面向量的线性运算可得出、关于基底的表达式； ②利用平面向量的数量积的运算性质计算的值，即可得出结论； （2）设单位向量，根据结合平面向量数量积的定义和运算性质可证得结论成立. 【小问1详解】 ①由，故为三角形中位线，故、分别为、中点， 则，； ② ， 且、均为非零向量，则，即； 【小问2详解】 在中，， 设单位向量，则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西河池高级中学等学校2025-2026学年高一下学期第一次自主检测练习数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 若的内角、、所对的边分别为、、，，，，则角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 4. 函数的零点所在的区间（ ）． A. B. C. D. 5. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 6. 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ） A. B. 当角越大时，用力越省 C. 当时， D. 当时， 7. 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. ，则实数的值分别为3，2 C. D. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 11. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（ ） A. 当时，正四棱锥的侧面积为 B. 当时，正四棱锥的体积为 C. 当时，正四棱锥的外接球半径为 D. 当时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足(为虚数单位)，则___________. 13. 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 14. 如图．在中，已知为的中点，为边上靠近的三等分点，、相交于点的余弦值为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数． （1）当实数为何值时，复数为实数； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中． （1）在直角坐标系中画出平面四边形并求它的面积； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积． 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 19. 记的内角、、所对的边分别是、、．直线与的边、交于、两点． （1）已知，记， ①用、表示、； ②若，证明： （2）记，用向量方法证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $