22.1 函数的概念 自变量与函数 课件 2025-2026学年人教大版数学八年级下册

22.1 函数的概念 自变量与函数 观察思考 分析变化 思考：下面变化过程中的变量之间有什么联系？ 行驶时间 t/h 1 2 3 4 5 ··· 行驶里程 s/km ··· (1)汽车以60 km/h 的速度匀速行驶,行驶路程为s km,行驶时间为t h.当行驶时间t分别为1 h、2 h、5 h时，行驶路程s分别为多少? s的值随t的值的变化而变化吗? 两个变量是t和s，s随t的变化而变化. 每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应. 它们之间的关系可以用s=60t表示. (2)电影票的售价为 40 元/张，第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？ 思考：两个变量分别是什么？它们之间有什么关系？如何表示 这种关系? 两个变量是x和y，y随x的变化而变化. 每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应. 当x=80时,y=3200；当x=105时,y=4200；当x=180时,y=7200. 它们之间的关系可以用y=40x表示. 【归纳】上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一 个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1 h、2 h、5 h时，行驶路程s分别为多少?s的值随t的值的变化而变化吗? 新知探究 问：两个变量分别是什么？它们之间有什么关系？如何表示这种关系? 两个变量是t和s，s随t的变化而变化。 每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应。 其中,当t=1时，s=60；当t=2时，s=120；当t=5时，s=300……. 它们之间的关系可以用s=60t表示. （2）电影票的售价为 40 元/张，第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？ 新知探究 问：两个变量分别是什么？它们之间有什么关系？如何表示这种关系? 两个变量是x和y，y随x的变化而变化. 每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应. 其中，当x=80时，y=3200；当x=105时，y=4200；当x=180时，y=7200. 它们之间的关系可以用y=40x表示. 【归纳】上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一 个变量就有唯一确定的值与其对应. 【思考】 (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象。我国某港口湖水的高度(简称湖高)在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h：这两个变量之间有什么关系? 时间t取定一个值， h就有唯一确定的值与其对应 新知探究 (2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y。这两个变量之间有什么关系? 存款期限x/月 3 6 12 24 36 60 年利率y/% 1.15 1.35 12 24 36 60 存款期限x取定一个值，年利率 y就有唯一确定的值与其对应 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。在一个变化过程中，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 (2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化; 注意以下三点(简称函数“三要素”): (1)有两个变量; (3)对于自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应. 概括新知 函数表示的是两个变量之间的一种关系，而函数值是一个数值。 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量(independent variable),y是x的函数(function). 如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 知识拓展 函数一语,起用于公元1692年,最早见自德国数学家莱布尼兹的著作. 他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才,和牛顿同为微积分的创建人.他博览群书,涉猎百科,对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献. 1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系,如果 是,指出其中的自变量与函数。 (1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化; (2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化; 是,自变量是x，正方形的面积s是x的函数 是,自变量是t，游客离地的高度h是t的函数 练一练： (3)某地不同时刻的气温如图所示, 气温T随时间t的变化而变化. (4)某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的 变化而变化. 是,自变量是t，气温T是t的函数 月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 降水量 y/mm 20 23 43 95 146 193 186 138 106 86 48 24 是,自变量是x，降水量y是x的函数 2.判断下列函数关系中的自变量. (1)汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，当行驶时间 t 分别为 1 h，2 h，5 h 时，行驶路程 s 分别为多少？s 的值随 t 的值的变化而变化吗？ 解：(1)时间是自变量，路程s是t的函数， 当t=1时，函数值s=60，当t=2时，函数值s=120； 当t=5时，函数值s=300. s 的值随 t 的值的变化而变化 (2) 电影票的售价为 40 元/张.第一场售出 80 张票，第二场售出 105 张票，第三场售出 180 张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？ 解：(2)售出票数x是自变量，票房收入y是x的函数， 当x=80时，函数值y=3 200；当x=105时，函数值y=4 200； 当x=180时，函数值y=7 200. 票房收入为 y 元，y 的值随 x 的值的变化而变化 A，B 例1　如图，各曲线中表示 y 是 x 的函数的是________． A B C D 解析：要判断 y 是不是 x 的函数，关键看给 x 一个值，y是否也有一个唯一的值与其对应．若是，则 y 就是 x 的函数；若不是，则 y 就不是 x 的函数． 新知小结 一看 是否在一个变化过程中 二看 是否存在两个变量 三看 每当自变量取定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 用“三看法”判断一个关系是不是函数关系 (1)求当 x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当 x 取什么值时，函数的值为0. 把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值. 典 例 精 析 随堂练习： x≠4 x≥3 3． 某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元， 如售出x件，应收货款y元． (1)y与x的函数解析式是 ⁠； (2)自变量x的取值范围是 ⁠． y＝5.8x 非负整数 Q＝50－5x(0≤x≤10，且x为整数) 4为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了一些奖品来表彰表现优秀的学生．如果数学老师用50元钱去买单价为5元的笔记本，那么他剩余的钱Q(单位：元)与他买这种笔记本的数量x(单位：本)的函数解析式是 . A． s＝360－90t(0≤t≤4) B． s＝360－90t(t≥0) C． s＝90t(0≤t≤40) D． s＝90t(t≤4) A 5.火车由甲地驶往相距360 km的乙地,它的平均速度是90km/h,则火车距乙地的路程s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)的函数关系式及自变量t的取值范围是（　A） 课堂小结 2、判断两个变量之间是不是函数关系的方法： ①看是否在同一个变化过程中； ②看自变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应. 3、已知两个变量之间是函数关系，当自变量的值确定时，函数 值是唯一确定的. 1、概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数. 1. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系，如果是，指出其中的自变量与函数。 (1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化; (2)乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化; 是 自变量是x，正方形的面积s是x的函数 是　 自变量是t，游客离地的高度h是t的函数 检测 (3)某地不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化; (4)某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化. 是 自变量是t，气温T是t的函数　 月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 降水量 y/mm 20 23 43 95 146 193 186 138 106 86 48 24 是　自变量是x，降水量y是x的函数 3 . 举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变 量与函数. 布置作业： 课本第95页习题22.1 第2题 $