精品解析：吉林省吉林市第七中学教育集团2025-2026学年下学期八年级数学期中质量检测

吉林市第七中学教育集团2025-2026学年度下学期期中八年级数学学科试题 考试范围：19-21章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 5. 一个边形的内角和为，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 8. 如果正多边形的一个外角的度数为，那么它的边数是__________． 9. 小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 10. 如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的食物B，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是____________ 11. 如图，在数轴上点表示实数______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算 （1）； （2）． 13. 先化简，再求值：，其中． 14. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 15. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 16. 如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 17. 如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． （1）直角三角形的三边中有一边长是无理数； （2）直角三角形的三边中有两边长是无理数； （3）直角三角形的三边长都是无理数． 18. 水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 19. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 20. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 21. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 22. 如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ （3）当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第七中学教育集团2025-2026学年度下学期期中八年级数学学科试题 考试范围：19-21章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开方的因数或因式． 【详解】∵ 选项A中的被开方数是整数，且不含能开方的因数，满足最简二次根式的条件． ∴ A符合要求． ∵ 选项B中的被开方数是小数，可以化为分数，被开方数含分母，不满足条件． ∴ B不符合要求． ∵ 选项C中==，被开方数含能开方的因数，不满足条件． ∴ C不符合要求． ∵ 选项D中的被开方数含分母，不满足条件． ∴ D不符合要求． 2. 中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行，邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 3. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则，解得． 4. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 8，15，17 B. 3，5， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】勾股数是满足的三个正整数，只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵勾股数的定义为：三个正整数，若满足，则这组数是勾股数． 选项A中，均为正整数，且，满足定义，故A是勾股数． 选项B中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项C中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 选项D中，不是正整数，不满足勾股数定义，故不是勾股数． 5. 一个边形的内角和为，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理，利用边形内角和公式列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵边形的内角和公式为，已知该多边形内角和为， ∴列方程得， 方程两边同时除以得， 解得． 6. 如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 【答案】32 【解析】 【分析】根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E为，的中点， ∴为的中位线， ∴米， ∴则A、B间的距离为32米． 8. 如果正多边形的一个外角的度数为，那么它的边数是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，即可计算出边数． 【详解】解：由题意得，根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为， 正多边形每个外角相等．， 因此该正多边形的边数为． 9. 小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵木条，的中点O重叠， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 10. 如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的食物B，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是____________ 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解圆柱体侧面展开图是矩形，空间问题平面化是解题的关键． 将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形，则的长度为所求的最短距离，由题意根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形， 则的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为8，底面周长为12， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴蚂蚁要吃到食物，沿圆柱侧面爬行的最短距离是10． 故答案为：10． 11. 如图，在数轴上点表示实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边长度，结合数轴上点的位置即可求解； 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和， 根据勾股定理，， 圆弧是以原点为圆心，斜边长为半径画的，  的长度等于斜边长，即 ， 点在原点的左侧，   点表示的实数． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 13. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分括号内，再运算除法，最后化简原式等于，再代入，进行分母有理化，即可作答． 【详解】解： 当时，原式． 14. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 在中，利用勾股定理求出的长，在中，根据勾股定理逆定理求出，再利用四边形的面积为进行计算即可． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，，， ， ， ， ， 四边形的面积为． 15. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 16. 如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 【答案】（1）6，4 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 17. 如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． （1）直角三角形的三边中有一边长是无理数； （2）直角三角形的三边中有两边长是无理数； （3）直角三角形的三边长都是无理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （2）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （3）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 解：如图②，即为所求； 【小问3详解】 解：如图③，即为所求； 18. 水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水池深尺，芦苇长尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 19. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． 【小问2详解】 解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 20. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【小问1详解】 解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； 【小问2详解】 解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 21. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； 【小问2详解】 解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 22. 如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ （3）当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为． ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， 即：， ∵,，，，，， 过点作轴于点，过点作轴于点，取中点，连接， ∵点的坐标为，点的坐标为． ∴， ∴， ∵轴，中点为， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：或（舍）， ∴当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， 【小问3详解】 解：时，由（2）知，，此时点与点重合，， ∵， ∴轴， 画出图形如下所示， 根据平行四边形可得， ∴，即；，即：， 根据平行四边形可得， ∴，即：， 综上：点M的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $