吉林长春市公主岭市第三中学校2026届高三下学期4月调研数学试题

**基本信息** 以生活实践（椭圆餐桌制作）、数学史（高斯函数）及社会热点（党建竞赛）为情境，梯度覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过创新定义（“美好成长”数列）与综合应用（导数证明、立体几何外接球）考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、直线向量、等比数列、椭圆定义|第4题结合椭圆实际制作情境，第8题引入高斯函数考查函数性质| |多选题|3/18|二项式定理、椭圆与双曲线、创新数列|第11题定义“美好成长”数列，考查递推关系与求和| |填空题|3/15|正态分布、双曲线离心率、三次函数拐点|第14题结合“拐点”定义，综合导数与不等式恒成立| |解答题|5/77|抛物线、立体几何、概率统计、解三角形、导数|第17题以党建竞赛为背景考查概率计算，第19题导数证明与恒成立问题，匹配高考综合题型趋势|

2026届高三4月调研数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．A＝{2，3，5，x}，B＝{2，3，5，8}，已知A＝B，则x＝（　　） A．8 B．﹣8 C．3 D．﹣3 2．已知直线l：2x﹣y＝0的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 3．已知等比数列{an}，满足a3＝4，a4＝6，则a5＝（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 4．一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳（无弹性）的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为0.9m，细绳长为1.5m，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为（　　） A．0.6m B．1.2m C．0.8m D．1.6m 5．设m，n是两条直线，α、β是两个平面，下列说法错误的是（　　） A．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β C．若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n 6．将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有1～8八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则P（max（X，Y）＝8|min（X，Y）＝4）＝（　　） A． B． C． D． 7．若圆x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4＝0上所有的点都在y轴左侧，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（2，+∞） D．（0，2） 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.2]＝﹣4，[2.3]＝2，已知函数f（x）＝x﹣[x]，则下列说法不正确的是（　　） A．函数f（x）的值域为[0，1） B．函数f（x）在区间[k，k+1）（k∈Z）上单调递增 C．∀k∈Z，均有f（x+k）＝f（x） D．函数f（x）与g（x）＝lgx的图象有9个交点 二．（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．，则下列选项正确的有（　　） A． B． C．|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2025|＝1 D．a0+2a1+3a2+⋯+2026a2025＝﹣4049 10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，椭圆Γ长轴两端点分别为A1，A2，P为椭圆Γ上异于A1，A2的任意一点，则下列结论中正确的有（　　） A．λ＝25 B．直线PA1与直线PA2的斜率之积 C．|PF1|•|PF2|的最大值为25 D．当△PF1F2的面积取得最大值时△PF1F2的内切圆半径为 11．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第n次“美好成长”后得到的数列为1，x1，x2，…，xk，3，并记an＝log3（1•x1•x2•…•xk•3），则（　　） A．a3＝12 B．k＝2n﹣1 C．an+1＝3an﹣1 D．数列{an}的前n项和为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（2＜ξ＜4）＝ 　 　 ． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点，且32，以AB为直径的圆过点F2，设C的离心率为e，则e2＝ 　 　 ． 14．对于三次函数f（x）＝αx3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f（x）的函数y＝f′（x）的导数，若f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”；此时f（x）的图象关于“拐点”对称．已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣2的“拐点”为A，则点A坐标为 　 　 ，y＝f（x）在点A的切线为y＝g（x），若存在x∈（0，+∞），使不等式ax[g（x）+1]+lnx≥0成立，则实数a的取值范围是 　 　 ． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（13分）已知圆x2+y2+2x＝0的圆心F是抛物线C的焦点． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l交抛物线C于A，B两点，且点P（﹣2，﹣1）是弦AB的中点，求直线l的方程． 16．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AD＝PD． （1）求证：AC⊥平面PBD； （2）求钝二面角A﹣PB﹣C的余弦值； （3）若存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由． 17．（15分）迎“七一”党建知识竞赛，竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员若有机会参加这两关比赛，通过的概率见下表： 队员 第一关 第二关 甲 乙 丙 丁 比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员通过第一关可以得60分，且有资格参加第二关比赛，若没有通过，得0分且没有资格参加第二关比赛，若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分．两名参赛队员所得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表队”称号．假设两名参赛队员不相互影响． （1）求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率； （2）若这次比赛中，选中了甲乙两名队员参赛，记该代表队的得分为X，求随机变量X的分布列和期望． 18．（17分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c+b﹣2acosB＝0． （1）求角A； （2）若D为BC上一点，且AB＝2，AC＝1，∠BAD＝90°，求△CAD的面积； （3）若，，AD是△ABC中线，求AD的长． 19．（17分）已知函数f（x）＝2ex﹣sinx﹣1，g（x）＝1﹣aln（x+1）． （1）求f（x）在x＝0处的切线方程； （2）当a＝1时，，数列满足x1∈（0，1），且xn+1＝h（xn），证明：xn+1+xn+3＞2xn+2； （3）当x∈[0，π]时，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B B B B C D 二．多选题 题号 9 10 11 答案 ABD AC BCD 三．填空题 12．0.3． 13．． 14．（1，﹣2）；． 四．解答题 15．解：（1）圆x2+y2+2x＝0的方程可化为（x+1）2+y2＝1， 故圆心的坐标为F（﹣1，0）． 设抛物线C的方程为y2＝﹣2px（p＞0），所以，所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝﹣4x． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减， 得，即（y1+y2）（y1﹣y2）＝﹣4（x1﹣x2）， 所以直线l的斜率． 因为点P（﹣2，﹣1）是AB的中点，所以y1+y2＝﹣2，所以． 所以直线l的方程为y+1＝2（x+2），即2x﹣y+3＝0． 16．解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC， 又底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又BD∩PD＝D， 所以AC⊥平面PBD； （2）根据题意可建系如图： 设AD＝PD＝1， 则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）， 所以，， 设平面APB的一个法向量，平面PBC的一个法向量， 则，， 取，， 则， 所以钝二面角A﹣PB﹣C的余弦值为； （3）不存在，理由如下： 假设存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球， 则OA＝OB＝OC＝OD＝OP， 因为底面ABCD为正方形， 所以O为对角线AC与BD的交点， 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PD⊥BD，即PD⊥OD， 所以OP＞OD，与OD＝OP矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球． 17．解：（1）记选出甲乙两名队员参赛为事件A1， 选出甲乙、丙丁各一人参赛为事件A2， 选出丙丁两名队员参赛为事件A3， 活动“党建优秀代表队”称号为事件B， 则，，， P（B）＝P（A1B+A2B+A3B） ； （2）X的可能取值为：0，60，100，120，160，200， ，， ，， ，， 所以随机变量X的分布列为： X 0 60 100 120 160 200 P 所以． 18．解：（1）因为2c+b﹣2acosB＝0，由正弦定理得2sinC+sinB﹣2sinAcosB＝0， 由C＝π﹣A﹣B，故sinC＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， 所以2（sinAcosB+cosAsinB）+sinB﹣2s，inAcosB＝0， 可得2cosAsinB+sinB＝0 所以，所以． （2）因为点D为BC上一点，且AB＝2，AC＝1，∠BAD＝90°， 由三角形面积公式可得，所以S△ABD＝4S△ACD， 所以S△ABC＝5S△ACD，则． （3）由，可得，所以bc＝3， 又由，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即12＝b2+c2﹣bc，可得b2+c2＝9， 因为AD是△ABC中线，可得， 所以，所以． 19．解：（1）因为f（x）＝2ex﹣sinx﹣1， 所以f′（x）＝2ex﹣cosx， 所以f（0）＝2﹣0﹣1＝1，f'（0）＝2﹣1＝1， 所以f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x， 即y＝x+1； （2）证明：因为当a＝1时，g（x）＝1﹣ln（x+1）， 所以（x＞0）， 则h'（x）， 所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0； 所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以h（x）min＝h（1）＝1， 所以h（x）≥1， 因为x1∈（0，1），x2＝h（x1）＞1，x3＝h（x2）＞1，⋯， 由此可得xn+1＝h（xn）＞1， 要证xn+1+xn+3＞2xn+2，即证xn+3﹣xn+2＞xn+2﹣xn+1， 又xn+3＝h（xn+2），xn+2＝h（xn+1）， 即证h（xn+2）﹣xn+2＞h（xn+1）﹣xn+1， 令， 则， 所以m（x）在[1，+∞）上为减函数，且m（x）max＝m（1）＝0， 所以m（x）≤0， 因为xn+2﹣xn+1＝h（xn+1）﹣xn+1＝m（xn+1）， 又xn+1＞1，所以m（xn+1）＜0， 所以xn+2﹣xn+1＜0，则xn+2＜xn+1， 所以m（xn+2）＞m（xn+1）， 即h（xn+2）﹣xn+2＞h（xn+1）﹣xn+1， 所以xn+3﹣xn+2＞xn+2﹣xn+1成立，原式得证． （3）因为f（x）﹣g（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2﹣sinx≥0恒成立，x∈[0，π]， 令m（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2﹣sinx，x∈[0，π]， 则m（0）＝2﹣2＝0， 所以当x∈[0，π]时，f（x）≥g（x）等价于m（x）≥m（0）恒成立． 由于，x∈[0，π]， （i）当a≥0时，m'（x）≥2ex﹣1＞0，函数y＝m（x）在[0，π]上单调递增， 所以m（x）≥m（0）＝0，在区间[0，π]上恒成立，符合题意； （ii）当a＜0时，在[0，π]上单调递增， m'（0）＝2+a﹣1＝1+a． ①当1+a≥0，即﹣1≤a＜0时，m'（x）≥m'（0）＝1+a≥0， 函数y＝m（x）在[0，π]上单调递增， 所以m（x）≥m（0）＝0在[0，π]上恒成立，符合题意； ②当1+a＜0，即a＜﹣1时，m'（0）＝1+a＜0，， 若m'（π）≤0，即a≤﹣（π+1）（2eπ+1）时，m′（x）在（0，π）上恒小于0， 则m（x）在（0，π）上单调递减，m（x）＜m（0）＝0，不符合题意； 若m′（π）＞0， 即﹣（π+1）（2eπ+1）＜a＜﹣1时，存在x0∈（0，π），使得m'（x0）＝0， 所以当x0∈（0，π）时，m'（x）＜0， 则m（x）在（0，x0）上单调递减， 则m（x）＜m（0）＝0，不符合题意． 综上所述，a∈[﹣1，+∞）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/22 2:36:38；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $