精品解析：北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学

2025-2026学年度第二学期期中练习 高一数学考试 时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】，其中实数 叫做实部,实数 叫做虚部. ，对比可得. 因此复数 的虚部为. 2. 如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（ ） A. ①是棱台 B. ②不是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 【答案】A 【解析】 【详解】图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 3. 已知向量，.若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示建立方程，解之即可. 【详解】由，得，解得. 4. 若，其中i是虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法及相等求，即可得结果. 【详解】由题设，故， 所以. 故选：B 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱柱的侧棱相互平行 D. 正棱柱的高与侧棱长相等 【答案】B 【解析】 【详解】A选项：底面是正多边形的直棱柱，侧棱垂直底面，符合正棱柱定义，说法正确； B选项：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，仅底面是正多边形不能判定为正棱锥，说法不正确； C选项：棱柱的侧棱相互平行且相等，是棱柱基本性质，说法正确； D选项：正棱柱属于直棱柱，侧棱垂直底面，高与侧棱长相等，说法正确. 6. 在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数对应的点关于实轴对称，则是的共轭复数. 由，得. 7. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理计算直接得出结果. 【详解】在中，由余弦定理得， ， 由解得. 故选：D 8. “、、、四点共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若 四点共线，则向量 与 一定在同一直线上， ,充分性成立. 若 与 共线,只能说明两向量平行, 可以是两条平行直线,四点不一定共线,必要性不成立. 所以“、、、四点共线”是“与共线”的充分不必要条件 9. 在中，，，，D为AB的中点，点P在线段CD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】以为坐标原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为AB的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 10. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得,为三角形外接圆半径. 代入，，得. 因此，. 因为，，所以，且. 则 由，得，所以. 故，即的取值范围是. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 如图所示，已知正方形网格中每个小正方形边长为1，则向量与夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量数量积、模的坐标运算计算即可求解. 【详解】建立如图平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 即向量夹角的余弦值为. 12. 在中，，，，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】应用正弦定理求解. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，所以， 则或 13. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则=______；等于______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及复数的运算求解即可. 【详解】如图所示，. 则，， 则. 14. 如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法画出原图，求出，即可求解. 【详解】如图，运用斜二测画法画出原图，原图为平行四边形. 由， 得， 所以， 所以平行四边形的面积为. 15. 如图正八边形，为正八边形中心，已知，为正八边形边上的动点，给出下列结论： ①与夹角为 ②在上的投影向量为 ③的最大值为 ④存在点，使得 其中正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正八边形的性质和向量夹角的定义判断①.根据投影向量的概念判断②.建立平面直角坐标系，结合数量积的几何意义求解数量积最值判断③.设，通过向量运算解得，随后验证符合范围，判断④. 【详解】正八边形中心角为，. ①与的夹角为正八边形中心角，故①正确. ②与夹角为，在上的投影向量为，故②正确. ③以为原点，建立平面直角坐标系：，，， 则.. 为在上的投影. 由图可知在上运动时，可取最大值，即在处时， ，最大值为 所以最大值为，③错误. ④设到中心的距离为，利用公式. 所以. 由正八边形对称性可知， 所以. 令，得，则， ，. .得. 又，故. 由图可知正八边形边上的点到中心距离最短为中点到的距离，最长为， 所以正八边形边上的点到中心距离介于和之间，在此范围内. 因此存在这样的点，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知平面向量，. （1）若，求实数的值； （2）设，若三点共线，求m的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示和几何意义建立关于的方程，解之即可； （2）法一：易知，根据平面平行向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可； 法二：易知存在实数使得，利用向量的坐标运算和相等向量的概念建立关于的方程组，解之即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以， 整理得，解得或. 【小问2详解】 法一：因为A，B，C三点共线， 所以， 因为，， 所以，所以. 法二：因为A，B，C三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 所以即. 17. 已知的周长为18，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为周长为，. 所以，即. 由余弦定理可得. 所以，，解得. 【小问2详解】 因为， 所以 由（1）可知 所以. 18. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点（即），设，. （1）用基底表示向量，，； （2）若点为线段上的动点，求的最小值. 【答案】（1），， （2）3 【解析】 【分析】（1）应用平面向量的加法及减法，数乘运算应用平面向量基本定理计算求解； （2）先应用平面向量基本定理表示向量，再应用平面向量数量积公式及运算律计算求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 设，， 则， ， 所以 当时，取得最小值为3. 19. 在中，内角对应的边分别为，且. （1）求角； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化为角,结合两角和正弦公式与三角形内角和关系化简,消去后求得,进而结合角的范围算出角； 方法二：借助余弦定理把式子中余弦转化为边的表达式,代入等式化简整理,得到边的关系式,再由余弦定义求出,结合内角范围解得. （2）选条件①由求出,利用内角和与两角和正弦公式算出,结果为负,与三角形内角正弦为正矛盾,故此三角形不存在； 选条件②结合与角,由余弦定理列方程解出边长,利用中线向量公式平方运算,结合向量数量积,代入数值求出中线长度； 选条件③已知两边与夹角,直接运用中线向量结论,结合向量模长与数量积运算,整体代入计算,求得中线的长,三角形唯一存在. 【小问1详解】 方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径， 代入，得， 即. 由，，故. 因为，所以，又，所以. 方法二：因为， 由余弦定理得， 化简得即. 又，所以. 【小问2详解】 选条件①：，，， 因为，所以，. 则 . 三角形内角正弦值必为正，故不存在. 选条件②：，，. 由余弦定理，得， 即，整理得，解得或（舍去）. 故，三角形唯一确定. 因为为边上中线，由向量关系得， 两边平方得， 代入，，， 得，所以. 选择条件③：，，， 为边上中线，所以， ， 代入，，， 得，所以，三角形存在且唯一. 20. 在中，内角对应的边分别为，是的角平分线. （1）证明：； （2）已知，，，，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的应用即可证明； （2）根据平面向量数量积的定义可得，由共线向量可知在直线上，确定当时有最小值.结合余弦定理、正弦定理和同角的平方关系计算即可求解. 【小问1详解】 在中，，即， 在中，，即， 因为是的角平分线， 所以，， 因为， 所以，即. 【小问2详解】 因为，，， 所以，又， 所以，所以. 因为，所以在直线上， 当时，有最小值. 在中，， 由解得. 由（1）得，所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以的最小值为. 21. 设n是给定的正整数，，(其中，定义.已知集合.若集合满足下列两个条件，则称集合具有性质. 条件①：对于集合中任意一个元素，都有为奇数； 条件②：对于集合中任意两个不同元素，，都有为偶数. （1）判断集合和是否具有性质； （2）若，且集合具有性质，求集合中元素个数的最大值； （3）若集合具有性质，求集合中元素个数的最大值. 【答案】（1）集合A具有性质P，集合B不具有性质P （2）4 （3）最大值是n 【解析】 【分析】（1）根据性质即可直接判断； （2）一方面，若集合S中有5个元素，则S中至少有两个元素来自，而每个集合中的元素不能同属于集合S，故集合中元素个数不超过4；另一方面，，具有性质P，即可求解； （3）若，记，则任意一数组可生成一个n维向量，根据抽屉原理，一定存在不同的数组、，使得，记，则，，，，与不全为0矛盾，故；另一方面，构造，即可求解. 【小问1详解】 集合A具有性质P，集合B不具有性质P. 【小问2详解】 集合S中的每个元素含奇数个1，所有含有奇数个1的元素共有8个， 将所有含有奇数个1的元素分成如下4组： ，， ， 一方面若集合S中有5个元素， 由抽屉原理S中至少有两个元素来自， 因为每个集合中的元素不能同属于集合S， 所以集合中元素个数不超过4； 另一方面，，具有性质P； 所以集合S中元素个数最大值是4. 【小问3详解】 设集合S中元素个数为m， 一方面， 若，记， 对于任意一数组，其中，， 可生成一个n维向量. 记， 其中，， 上式左边的数组，共有个，上式右边的数组，至多有，， 由抽屉原理可得，一定存在不同的数组，， 使得， 记， 则不全为0，且， 易知对任意的，，， 有，， ， ， 与不全为0矛盾，故； 另一方面，构造， 满足条件，此时S中有n个元素， 所以集合S中元素个数最大值是n. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中练习 高一数学考试 时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（ ） A. ①是棱台 B. ②不是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 3. 已知向量，.若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若，其中i是虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱柱的侧棱相互平行 D. 正棱柱的高与侧棱长相等 6. 在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. “、、、四点共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在中，，，，D为AB的中点，点P在线段CD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 如图所示，已知正方形网格中每个小正方形边长为1，则向量与夹角的余弦值为______. 12. 在中，，，，则______. 13. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则=______；等于______. 14. 如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______. 15. 如图正八边形，为正八边形中心，已知，为正八边形边上的动点，给出下列结论： ①与夹角为 ②在上的投影向量为 ③的最大值为 ④存在点，使得 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知平面向量，. （1）若，求实数的值； （2）设，若三点共线，求m的值. 17. 已知的周长为18，，. （1）求； （2）求的面积. 18. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点（即），设，. （1）用基底表示向量，，； （2）若点为线段上的动点，求的最小值. 19. 在中，内角对应的边分别为，且. （1）求角； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 在中，内角对应的边分别为，是的角平分线. （1）证明：； （2）已知，，，，求的最小值. 21. 设n是给定的正整数，，(其中，定义.已知集合.若集合满足下列两个条件，则称集合具有性质. 条件①：对于集合中任意一个元素，都有为奇数； 条件②：对于集合中任意两个不同元素，，都有为偶数. （1）判断集合和是否具有性质； （2）若，且集合具有性质，求集合中元素个数的最大值； （3）若集合具有性质，求集合中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $