精品解析：江苏扬州大学附属中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

扬大附中2025～2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 2026.04 责任命题、审核：金星宇、吴琪 本试卷共计：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2或4 B. 3 C. 5 D. 3. 如图，若，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直角梯形中，，，，，为的中点，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 7. 在中，M、N分别在边、上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 8. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 11. 在中，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 13. 已知，，，与的夹角为.若为钝角，则k的取值范围是____. 14. 已知角的终边经过点，且满足，则实数_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，求： （1）的值； （2）与的夹角. 16. 甲、乙两位同学参加趣味竞赛，竞赛规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲从6个球中随机摸取3个球，记录所取球的标号之和后将球放回，再由乙从6个球中随机摸取3个球，记录所摸取球的标号之和，规定所摸取球的标号之和多者获胜. （1）求甲所取球的标号之和为7的概率； （2）求甲获胜的概率. 17. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 18. 在中，已知，，，，，，与相交于点P. （1）求线段的长度； （2）若，求的值； （3）求的最小值，及此时的余弦值. 19. 已知函数，， （1）求的单调递增区间； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）将的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中2025～2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 2026.04 责任命题、审核：金星宇、吴琪 本试卷共计：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】当时，可得，解得. 2. 设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 2或4 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 3. 如图，若，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解. 【详解】， 即， 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定条件求出，再由和角的正切公式求解. 【详解】由，得，则， 所以. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】由，得. 6. 在直角梯形中，，，，，为的中点，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】在直角梯形中，，， 则，由为的中点， 得， 所以. 7. 在中，M、N分别在边、上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】 由，，可得， 可知三点共线，所以， 则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 所以. 8. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式、二倍角公式化简，再利用三角函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，，， 而，因此， 所以. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求解判断AB；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由向量，得，，则，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，而， 因此向量与向量的夹角，C正确； 对于D，在上的投影向量，D正确. 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 11. 在中，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简给定等式可得，进而求得，结合三角函数性质推理判断ABC；配方并结合不等式性质求出最大值判断D. 【详解】在中，由， 得，即， 于是， 整理得，即， 则，即， 因此，由，得， 因此，，由，得或， 对于A，当时，；当时，，不能得出，A错误， 对于B，，B正确； 对于C，当时，，， 当时，，，C错误； 对于D，由，得， 则，解得， 因此，当且仅当，即时取等号，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 【答案】0.79## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】依题意，甲、乙、丙没有人解决问题的概率为， 所以甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是. 13. 已知，，，与的夹角为.若为钝角，则k的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【详解】由，此时，. 由. 所以当且时，与的夹角为为钝角. 故所求的取值范围是. 14. 已知角的终边经过点，且满足，则实数_____. 【答案】 【解析】 【详解】可知， 由题意可得， 因为，所以， 可得，因为，所以，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，求： （1）的值； （2）与的夹角. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量模的坐标表示及数量积的运算律列式求解. （2）由（1）中结论，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 由，得， 而， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 因此，而， 所以. 16. 甲、乙两位同学参加趣味竞赛，竞赛规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲从6个球中随机摸取3个球，记录所取球的标号之和后将球放回，再由乙从6个球中随机摸取3个球，记录所摸取球的标号之和，规定所摸取球的标号之和多者获胜. （1）求甲所取球的标号之和为7的概率； （2）求甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据标号之和为7的情况，根据古典概型，求出概率即可； （2）根据三个球标号之和的所有情况，分别求出各自的概率，再分别讨论甲获胜的所有情况，根据独立事件概率乘法公式，求出结果即可. 【小问1详解】 摸取三个球标号之和为随机变量，当时有和两种情况， 则. 【小问2详解】 随机变量有可能的值有， 当时，三个球标号为，则， 当时，三个球标号为，则， 由（1）可知，， 当时，三个球标号为，则， 当时，三个球标号为，则； 当甲要获胜时，甲标号之和为时，乙可以是， 当甲标号之和为时，乙可以是， 甲标号之和为时，乙可以是，甲标号之和为时，乙可以是， 所以甲获胜的概率为. 17. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据求出，再利用二倍角公式把问题转化为“齐次式”求值的问题解决. （2）利用，结合两角和与差的三角函数公式求值. （3）先求，再结合的取值范围，可确定的值. 【小问1详解】 由. 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以. 所以 . 【小问3详解】 因为，且，所以，所以. 所以， 且，为锐角，可得，所以. 18. 在中，已知，，，，，，与相交于点P. （1）求线段的长度； （2）若，求的值； （3）求的最小值，及此时的余弦值. 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）以为基底，表示出，利用平面向量数量积的运算求. （2）时，用基底表示向量，再求的值. （3）先利用二次函数的最小值确定的值，再求的余弦即可. 【小问1详解】 由题意，，，，所以. 又， 所以， 所以. 【小问2详解】 当时，设， 则， 因为三点共线，所以. 所以. 又, 所以. 【小问3详解】 . 当时，取得最小值，为. 此时， 所以， 所以. 又， 所以. 所以. 即. 19. 已知函数，， （1）求的单调递增区间； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）将的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数的解析式，再求函数的单调增区间. （2）先求函数在给定区间上的值域，再结合绝对值不等式的解集列式，可求实数的取值范围. （3）先根据函数的变换确定函数的解析式，再利用换元法把问题转换成，有解的问题求解. 【小问1详解】 ， 由，，可得，. 所以函数的单调递增区间为：，. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以. 由. 所以. 所以实数的最大值为1. 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将所得函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得的图象. 所以方程可化为， 因为， 由，则，所以，所以. 设，则，. 则问题转化为：方程在有解. 分离参数得，因为在上单调递增， 且时，；当时，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $