江苏省G4（南师大附中、天一中学、海安中学、海门中学）2026届高三下学期4月联考数学试题

江苏省2026届G4高三4月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 空间中两条直线，则“”是“与相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 函数大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线是函数图象的对称轴，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 一位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来.当然，涉及的全体数都是整数.某个观众准备的题目是“计算一个35位正整数的31次方根”，速算大师很快就给出正确答案.事实上速算大师仅用了部分数的常用对数近似值（如下表）. 11 12 13 14 15 16 17 18 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 1.20 1.23 1.26 那么，观众准备的题目的正确答案为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为4 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 设函数．若方程有三个不等的实数根，且，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. C. D. 11. 已知圆过抛物线上的两点，则（ ） A. 圆的面积存在最大值 B. 若线段为圆的直径，则圆与抛物线的准线相离 C. 若圆与抛物线还有另外两个交点，则的纵坐标之和为4 D. 当圆与抛物线仅有三个公共点时，圆面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在的展开式中项的系数为______. 13. 已知过点的直线与椭圆交于两点，若，则直线的斜率是______. 14. 设，，，……，一般地，，其中，则的零点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在中，角，，的对边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，在边上，且满足，求的长． 16. 已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第局得分（）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束. （1）求在一局游戏中得3分的概率； （2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望. 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积. 18. 已知， （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的最小值； （3）已知当时，存在，使得函数有三个零点，且成等差数列，求的值. 19. 已知一簇双曲线（），当时，双曲线右顶点为.现按如下规则依次构造点（，）：过点作轴的垂线交第一象限的渐近线于点，再过点作轴的平行线与曲线的右支交于点.记点坐标为（）. （1）求点的坐标； （2）双曲线的左焦点为，右焦点为，记，求的值； （3）设为射线与轴正半轴的夹角，已知，存在实数，使得对任意，不等式（，）均成立，求的最小值. 江苏省2026届G4高三4月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】25 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2028 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）取 的中点为，连接，因为 是 的中点， 所以. 因为四边形 为菱形，所以， 又 是的中点，所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面 ，而 不在平面 内， 所以平面 . （2）①；② 【18题答案】 【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）. （2）. （3）的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.D 【解析】a⊥b时，a,b可为异面直线，∴a⊥ba与b相交：a与b相交时，夹角可不为90，∴.a与b相 交5a⊥b,既不充分也不必要条件 2.M 【解折】：为虚数台b=1,此时a=-1,0,1,共3种：为纯虚数台a=0,b=1,共1种，P=} 3.B 【解析】/为奇函数，图象关于解点对称，排除CDx>0时，f儿)=2n+9x,了()= 3e (2cosr+9)-(2sinx+9x) 令g(x)=2co5r+9-2 sinx-9r,x∈(0，+o),g(x)=-2sinr-2cosr-9<0g(x)在(0，+o)上单调通 减，g(0)=11>0,g(2)=2cos2-2sin2-9<0g(x)=0有且仅有一个零点，f八x)有且仅有一个极值点 4.B 【解析】/（国=sinr+cos=V2sm(r+于）》 +晋=号+mkeZ)→x=音+无又a>0a=} 5.D 【解析】取AB中点M,则PM⊥AB,OAM⊥AB 二面角P-AB-O为∠PM0=60°，.∠OPM=30,OM=√3 ∴0A=OB=23,.PA=W2I,S=π23V2I=6W7m 6.A 【解析】等比数列{a}中，若g=1,则S=9a1,S=6a=3,此时2S≠S+S,∴g≠1， a,2=0g2+2g=}度-合+女+女=0…+女=d 1- 1-g 1-9 的ah 7,A 【解析】设35位整数为N,其3引次方根为（整数），则N=m,35位整数满足10出≤N<10,:34≤ ev<3534<31len<35费≤gn<”,即1097≤gm<1129n=1B 8.C 参考答案1页共8项页 f(x)-1=0有三个根a,b,c,即x-6r2+9x-4-1=0有三个根，a+b+c=6a+b=6-e而3<c <4,∴2<a+b<3,D对 方法二：f(x)=2x-1)x-4)+(x-1=3(x-1)(x-3). x<1时，f'(x)>0:1<x<3时，(x)<0:x>3时，(x)>0, ∴x=1是f(x)的极大值点，A正确： f1)=0,f(3)=一4，方程f代x)=t有三个不等实根，∴-4<1<0，B正确： 取1=-2，则f（x)=-2,(x-1(x-4)=-2→x-6+9x-2=0 x=2为一根，x3-6r2+9x-2=(x-2)(x23-4r+1, a=2-V3,b=2,C=2+√3，ae=1<4=,C错误： 由函数单测性改-4<1<0得a<1,1<b<3,3<e<4,又f(x)=x-6+9x-4,(x)=1→ 6x2+9x-4-1=0,a+b+c=6,且3<c<4,.2<6-e<3,即2<a+b<3,D正确. 11.BCD 【解析】A在抛物线上，∴P=4,抛物线y2=8x,以AB为直径的圆的面积最小，无最大位，A情。 以AB为直径的圆，圆心M(5,-2),半径r=35,M到准线的距离7>3V5, “此时圆M与准线相离，B对 设圆r+y户+Dr++F=0,4,B在限上，则{+十2D十4E+F=0 「D=2E-18 {8+(-8r+8D-8E+F=0六F=16-8E 圆x+y2+(2E-18)x+y+16-8E=0与2=8x联立 消去x可得（货）+y产+(2E-1)片++16-8E=0 即若+(2E-20若+5+16-8E=00 则y十n十m十0=0，∴+o=4,C对. 圆与抛物线仅有三公共点，说明四次方程()有二重根 y=2时二重根时，则()有四个根2,2,2，一8，圆与抛物钱没有三个交点 2y=-8是二重根时，另一个根为12，另一个点(18,12) 324+144+(2E-18)·18+12E+16-8E=0E=-4,F=48,D=-26 r=2+16-4x48=105=55,5=m=125,D对 2 12.25 【解】(x-1护=2C(-1yx的系数为3·C-1护-C(-1=3×5-(-10)=25. 13.±4 【解析】设1：y=x-1),A(片)，B(乃， 代入椭得后+-=1.1+16r-32+16-16=0 32F 16-16 有+=中1证=+16 由0⊥OB得x+5=0,+(-1)(-1)=0 +--+=o,+5-+小-a -16=0,k=±4. 14.2028 参考答案3页共8页 x≤0 0<x61 【解折1(x=6(6x)=6-1)=x-1川-1川= 2- 1<x62 -24x>2 (x)=((x)=(x--1)=∥x--川-1，作出(x)的大致图象如1下： (x)=og共有3个实根 作出(x)的大致图象如下 (x)=log共有4个实根 作出(x)的大致图象如下 (x)=logd共有5个实根 参考答案4页共8页 f(x)=log共6个实根. ,以此类推F(x)=s(x)一logn共有2028个实根 5,()-V3cos(4+周)=sinC,即v5cosC=smC,tamC=v3,C=于 ai=号d+导=)x16+号x9+号×4×3x号=5→c=2 3 160)在局得3分说明取到1白.1红1黄所求藏率P=CC9-子 C (2)X的所有可能取值为1,2,3,4 每局得1分的减率月=C婴=子，每局得2分的瓶率为月=CC合C9C=音 每局得3分的概率：书-子，每局得4分的概率为R。C=0 Px=)=.PX=2=号×=务PX==号××号=器K==号×× }=品 “,X的分布列如下 X 2 3 4 P 28 42 5 2 125 125 B)=1×号+2×名+3×器+4×器=器 17.(1)证明：取PB中点G,连接AG,GN, yN为PC的中点，GN与BC,AML分BC,GN=AM, ∴四边形AMNG为平行四边形，MN∥AG MN文平面PAB,AGC平面PAB,:AMN∥平面PAB. (2)①AB⊥AD,:四边形ABCD为正方形，如图建系 参考答案5页共8页 P(0,0,2),B2.0,0),M0.1,0),D0,2.0).C(2.2,0).N(1,1,1 P元=(0,2，-2)，B=(-2,1.0).=(1.0.1) 设平面BMN的一个法向量为元=(x,y,),直线PD与平面BMW所成角为8 」-2x+y=0 x+z=0 →=(1,2，-1) P师 6 ”.sn8= PD2V2V6 21 ②延长BM交CD的延长线于点E,连接NE交PD于点F, 易知票=子，F=号因 %=hw=6a-月-m=号×空×2×4x1-号×号x1x2x号=号-号=9 18.(I)a=0,f(x)=e+x-1,f(国=e+b ①当b≥0时，厂《x)>0,f(x)在R上单调递增： ②当b<0时，令广(x)=0→x=n(-b) 且当x<1n(-b)时，广(x)<0,f(x)单调递减 当x>n(-b)时，(x)>0,(x)单调递增. (2)f(x)=e-2x+x-1>0对tx>0恒成立 当x=1时，e-2+b-1>0b>3-e,,beZ,b≥1 当b=1时，f(x)=e-23+x-1,下证：e-2x2+x-1>0,x>0, 即适：2-+1<1，x>0,令F)=2-x+1,x>0 e F闲=4-1e-c2r-+业。-2-x+2=-(2-x-2 F)在(0，)上单调适减：（号，）上单调适增：(2，+∞)上单调递诚 注意到F0)=1,F)=子<1，F)<1对vx>0恒成立 ∴f(x)>0对x>0恒成立，∴b的城小值为L, (3/f代x)=c+a2-1,若≥0，则f()=心+2r在R上单调递增.(x)至多个零点，f（x)至多 两个零点，舍去 ∴<0，∴f(0)=0,f(x)有一个零点为0 参考答案8页共8页 f(x)=c+2a,(x)在(-o,ln(-2a)上单调递减：(n(-2a).+o)上单请递增要使f(x)有三个零点。 首先 f(x)a-P(ln(-28)=-2a+2aln(-2a)<0-a<-$ 注意到f'(0)=1>0,(1)=e+2a<0,x+o时，广()+D ∴f(x)在(0,1)和(1，十四)上各有一个零点和，，且f(x)在(-0，无)上单调递增：(，)上单调递 减：(，十D)上单调递增，作出f(x)大致草图如下： 要使f()有三个零点，，x(其中<<) 则必有=0，>2>0，，，成等装数列1=2 e+ai=】e+a=I e+aw时=i{+4如g=19-4e+3=0 由 (-1)(e-3)=0,=n3a=m5 -2 19.(1)M(1,0),双曲找的第一象限的渐近线h程为：y=x,∴Q(1,1)E:-y=2,将y=1代入→ 4(3,1) (2)0(,x),E1:x2-2=n+1一A(√m+1+无，x),而Ai(1,+1） 六{1-=m+1,(-a0,Gv2,0).d) Uy+■xe ∴，F=(-√2-x-月，)，AG。=(W2m-x-】 ,F·AG,=-2n+=@ /0n,>2时=4=√可 而=0也满足上式，八=√ n(R-1) 2 a=a+-2a=-2,m>3- 2 2 参考答案7页共8页 “女+女++女=-片+片-+城动)=+片市动)=器 m(n-】 ≥2.neN调适抛，号<n4<受受<ina< om学+)<孚meN,0>0 当m取道所有正整数时，吧+？的锋边不能落在图中期影处（含边养） 即吧十甲的任意两条终边所夹的角>受 [层(m+1)+-(婴+)=号>号>2a ①若2x是号的整数倍，即号=餐(EN 当m取1,2，k时，学有且仪有表条不重合的终边，这无条终边等分医网 “相邻两条终边所夹的角为受要>号→父4 要使日取最小值取=3一号=受∴风=警 例如此时影=一号co(等m一晋)<受，对Vm∈术恒成立，符合 ②当2x不是号的整数信，当m取泊所有正整数时，+印的终边都不重合存在无数条不同的终边，总 有一条落在图中明影区线舍去，∴0=警 参考答案8页共8页