青海湟川中学2025-2026学年第二学期高三年级数学第二次模拟考试试卷

**基本信息** 高三数学二模卷聚焦高考核心模块，以立体几何、解析几何、概率等综合题为主，融入机器人比赛等现实情境，考查数学思维与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、不等式、立体几何|基础概念辨析，如第4题线面平行充分条件判断| |多选|3/18|统计图表、曲线方程、三角函数|信息获取与辨析，如第9题商业地产数据统计分析| |填空|3/15|等比数列、排列组合、立体几何|空间想象与计算，如14题圆柱内切球体积比及四面体体积范围| |解答|5/77|立体几何、椭圆、三角、概率、导数|综合应用与创新，如18题机器人比赛概率模型构建，19题导数单调性讨论与证明|

参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D C D A B B D ABC ABD ABC 12. 6 13. 108 14.2:3; (0,] 15．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，当时，得，，利用面面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面所成角的正弦值，即可解方程求出. 【详解】（1）当时，得，又，，所以，， 平面，平面，平面， 同理得平面， 因为是平面内两条相交直线， 所以平面平面. （2）因为，为圆柱的母线，所以垂直平面，又点C在底面圆周上，且过底面圆心O， 所以，所以两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，，， 因为，所以，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为， ，解得或， ，. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由离心率得到，从而得到，再令求出即可得到，最后由面积公式求出、； （2）首先计算直线斜率不存在时是否符合题意，当直线斜率存在时，设直线，，，联立、消元、列出韦达定理，表示出直线的方程，从而得到点坐标，再利用坐标法证明即可. 【详解】（1）依题意离心率，则， 所以且， 由，解得，所以当轴时， 所以，解得，， 所以椭圆方程为. （2）依题意知直线的斜率不为，，， 当直线的斜率不存在时直线， 由（1）不妨取，， 则直线的方程为，令可得，即， 直线的方程为，则，即点在直线上， 所以、、三点共线； 当直线的斜率存在时，设直线，，， 由得， 显然，所以，， 所以直线的方程为，令，可得，即， 又，， 所以 ， 即， 所以、、三点共线， 综上可得、、三点共线. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．(1) (2) 【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简求值； (2) 中，由正弦定理得，， 结合可表示出，进而可讨论求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以, 所以, 所以或， 得（舍）或， 所以. （2）设 在直角中，， 在中，由正弦定理， 且， 所以， ， 因为，所以， 即,所以， 因为，所以， 当即时，有最大值为1， 此时最大，则最小为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知，棋手可能得分或分比赛终止，列出两种情况下棋手的胜负情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式可求得所求事件的概率； （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知，甲共胜局，对棋手甲分两种情况讨论：（i）棋手第局以分比赛终止；（ii）棋手第局以分比赛终止.计算出“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率，分析数列的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 19．(1)答案见详解. (2)证明见详解. 【分析】（1）求导后，分、、、讨论即可； （2）由（1）得，当且仅当，等号成立.令，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明. 【详解】（1），而， ①当时，恒成立，所以在上递减； ②当时，令，得或；令，得. 所以当，即时，在上递增，当，即时，在上递减，在上递增； ③当时，令，得或；令，得. 所以在上递减. 综上所述，当时，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在上递减，在上递增； （2）由（1）得：当且时，，此时， 又当， ，当且仅当，等号成立. 令，得到， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海湟川中学2025-2026学年第二学期 高三年级数学第二次模拟考试试卷 命题人：童凤、袁文雅、赵峰娇 审题人：蒋豆豆、谢雨佳 本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分.全卷共150分.考试时间为120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 1、 选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 若 则 A. B. C. 4 D. 2.已知集合 若M⊆N，则实数a的取值范围是( ) A. (-∞,1] B. [-1,0] C. [0,1] D. [-1,1] 3.已知a>b>0>c 则下列不等式一定正确的是( ) A. ac> bc B. a(a+c)>b(b+c) C. a(b-c)>b(a-c) D. 4.设a，b是两条不同的直线，a，β是两个不同的平面，则a∥β的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 a, a∥α, a∥β B.存在一条直线a, a⊂α, a⊄β C.存在两条平行直线 a, b, a⊂α, b⊂β, a∥β, b∥α D.存在两条异面直线a, b, a⊂α, b⊂β, a∥β, b∥α 5.如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)<f'(x),则不等式 的解集为( ) A. (2,+∞) B. (2,4) C (0,2) D. (0,4) 7.已知双曲线 的左、右焦点分别为F₁，F₂，若渐近线上存在关于原点对称的两点MN (M在第一象限)，且∠MF₂N=90°，线段MF₂的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 二、多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．某省某地产公司2021年商业地产交易折线图如图所示， 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 商铺 472 217 397 596 272 287 203 325 237 336 586 570 写字楼 168 87 222 225 225 130 235 185 183 192 667 100 则以下判断正确的是（    ） A．商铺各月成交量的第75百分位数为521 B．写字楼月平均成交量不超过250套 C．2月份商业地产交易量最少 D．商铺月成交量的方差小于写字楼月成交量的方差 10．已知曲线，，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C可能是圆，也可能是直线 B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆 C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 11．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为 C．若在单调递减，则 D．若在上只有1个零点，则 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.记 Sn为等比数列{an}的前n项和,若 则 13.2024年春节期间，某省电视台组织记者开展“新春走基层”活动，并将含甲、乙、丙在内的6位记者派往3个城市进行新闻采访，要求每位记者只去1个城市，每个城市至少安排1位记者，且甲、乙、丙3人中恰有2人分配到同一城市，则不同的分配方法共有 种.(用数字作答) 14. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O₁、O₂为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O₁的一条直径，若球的半径r=2则球与圆柱的体积之比为 ；四面体 CDEF 的体积的取值范围为 .(本题第1空2分，第 2空3分) 4、 解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点在底面圆周上，且过底面圆心，点D，E分别满足，过的平面与交于点，且. (1)当时，证明：平面平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值. 16．已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，过点的直线与交于，两点（异于点），且当轴时，四边形的面积为. (1)求的方程； (2)若直线与直线交于点，证明:三点共线. 17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)如图，若，存在点D满足，求的最小值． 18．某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 19．已知函数． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $