二次函数压轴之特殊四边形存在性问题归纳练-2026年中考数学三轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊四边形综合应用，以“基础性质→图形变换→存在性探究”为路径，分层梯度清晰，适配中考三轮冲刺的能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数解析式、对称轴、顶点坐标|以单知识点题为主，如求抛物线解析式（第1(1)题），强化运算能力| |综合应用|平移变换、特殊四边形判定|结合几何性质与代数运算，如平行四边形存在性（第2(3)题），培养推理意识| |创新拓展|定点证明、动态存在性探究|需构建数学模型，如直线过定点证明（第1(3)题），发展创新意识与模型观念|

二次函数压轴之特殊四边形存在性问题归纳练-2026年中考数学三轮复习备考 1．已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； (3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点． 2．已知抛物线与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 3．在平面直角坐标系中中，已知抛物线L：和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由； (4)若抛物线L与线段只有一个交点．请结合函数图象，直接写出m的取值范围________． 4．如图，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若直线交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断的形状，并加以证明； （3）设P为直线上的动点，点D为抛物线的顶点，过P作交抛物线于点F．问：在直线上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣ x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F． （1）试求该抛物线表达式； （2）求证：点C在以AD为直径的圆上； （3）是否存在点P使得四边形PCOF是平行四边形，若存在求出P点的坐标，不存在请说明理由． 6．抛物线y＝ax2+bx﹣2的图像经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求A、B、C点的坐标； (3)求证：△ACB是直角三角形； (4)P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 7．如图，已知抛物线y=﹣x﹣2图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若C（m，1﹣m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． （1）求点A和点B的坐标； （2）求证：四边形DECF是矩形； （3）连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线的顶点A在直线上，直线与抛物线的另一个交点为点B，与y轴的交点为C．    (1)若点B与点C重合时，求此时抛物线的解析式； (2)移动点A，另一个交点B，也随之移动，试求出AB的长； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得由A，B，O，P四个点构成的四边形为平行四边形；若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，说明理由． 10．已知抛物线：经过点，与x轴交于、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知，以为顶点作平行四边形，若两点都在抛物线上，求两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿轴平移，使其顶点在轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于两点，过的直线与抛物线都只有唯一公共点，求证：点在定直线上运动． 11．综合与应用 如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，点C是直线上第二象限内一点，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长，与x轴交于点E，且， ①求证：； ②经过C、O、E三点的抛物线上有一点M，其对称轴上有一点N，是否存在以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，已知抛物线顶点A在x轴上，直线l：y=x-交抛物线于A，B两点，且AB=2 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与y轴交于C点，点P在抛物线上，且在第一象限，∠APC=45°，求P点坐标； (3)如图2，过点M（1，-1）作直线交抛物线与E、F，点N在抛物线上且NE∥x轴，连FN，试证明：直线FN过定点，并求定点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)直线, (2) (3)见解析 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，可得，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解； （2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解； （3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴ 令，则 ∴ ∵的面积为6． ∴， 解得： ∴， 将代入得：， 解得：， ∴ （2）解：∵， ∴ 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴，即： ∵顶点Q在原抛物线上， ∴， 解得： ∴ ∴平移后抛物线的表达式为： （3）解：设，设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线过定点 ∴ 得： ∵直线 过N点， ∴，， ∴ 令， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴直线必过定点 2．（1）解：∵抛物线与x轴有公共点， ∴ ∴∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随着x的增大而增大． （2）解：由题意，得， 当y＝0时，， 解得：或， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）． ∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3）， ∴n+1＝－n2+2n+3． 解得：n＝2或n＝－1（舍去）． 故n的值为2. （3）解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4． ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0） 点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）， 抛物线C2的对称轴是直线x＝1， ∵点E与点C关于直线x＝1对称， ∴点E的坐标为（2，3）． ∴点G的坐标为（1，3）． 设直线BE解析式为y＝kx+b， ∴ 解得： ∴y＝x+1． 当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）． ∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形． 又∵CE⊥DF， ∴四边形CDEF为正方形． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系． 3．(1) (2)见解析 (3)能构成平行四边形， (4)或 【分析】（1）设的解析式为，把点，点代入解析式计算即可； （2）分别求出的坐标即可证明； （3）利用平行四边对边平行且相等，结合平移求出点坐标，再根据F在x轴上计算即可； （4）先求出直线与抛物线只有一个交点，再求出直线与抛物线有两个交点时，分别经过，点的值，即可得出结论． 【详解】（1）设的解析式为，把点，点代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为 （2） ∴顶点 当时， ∴顶点 ∵C、Q都在抛物线上，且关于对称轴对称 ∴，则 ∴ ∴，且 ∴ ∴为等腰直角三角形； （3）四边形能构成平行四边形．理由如下： ∵，， ∴向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， ∴当向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到时，四边形是平行四边形， ∵F在x轴上， ∴ ； （4）联立， 整理得：， 当时，，此时直线与抛物线只有一个交点，交点坐标为，在线段上； 当时，，此时直线与抛物线有两个交点， 当抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，都在线段上； 当抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上； 综上所述，抛物线L与线段只有一个交点时或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，会用待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 4．（1）；（2）为等腰三角形，证明见解析；（3）或或 【分析】（1）令求解的坐标，令 则解方程求解的坐标； （2） 先求解抛物线的对称轴为： 再求解 再利用勾股定理分别计算 从而可得结论； （3）由 以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，可得 如图，设 则 ，再列方程 解方程可得答案. 【详解】解：（1）令 则 令 则 整理得： 即 解得： （2） 所以抛物线的对称轴为： 是抛物线与的交点，则 为等腰三角形. （3）存在，理由如下： 以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形， 而 如图，设 则 ， 当时，则 或 当时，则 解得： 当时，平行四边形不存在，舍去， 综上：或或 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，平行四边形的判定与性质，抛物线的图象与性质，灵活运用以上知识解题是关键. 5．（1）y= x2+ x﹣4；（2）见解析；（3）（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）． 【详解】试题分析：（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可； （2）求出D点坐标，根据两点间距离公式分别求出AD、AC、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理证明出△ADC为直角三角形即可得出结论； （3）设P（m，m2＋m－4），则F（m，－m－4），则PF＝－m2－m，当PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF＝OC列方程求解即可． 试题解析： （1）解：由题意得： ，解得： ， ∴抛物线的表达式为y＝ x2＋ x﹣4． （2）证明：把y＝0代入y＝﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4＝0， 解得：x＝﹣8． ∴D（﹣8，0）． ∴OD＝8． ∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD＝2﹣（﹣8）＝10． 由两点间的距离公式可知：AC2＝22＋42＝20，DC2＝82＋42＝80，AD2＝100， ∴AC2＋CD2＝AD2 ． ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴点C在以AD为直径的圆上； (3)解：设P（m， m2＋ m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4）． ∴PF＝（﹣ m﹣4）﹣（ m2＋ m﹣4）＝﹣ m2﹣ m． ∵PE⊥x轴，∴PF∥OC． ∴PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形． ∴﹣ m2﹣ m＝4，解得：m＝﹣ 或m＝﹣8． 当m＝﹣ 时， m2＋ m﹣4＝﹣ ， 当m＝﹣8时， m2＋ m﹣4＝﹣4． ∴点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形列出关于m的方程是解答问题（2）的关键． 6．(1) (2)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2） (3)见解析 (4)P1（﹣5，﹣2），P2（5，﹣2），P3（3，2） 【分析】（1 ）利用待定系数确定抛物线的函数解析式； （2 ）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系写出带你A、B、C的坐标； （3 ）利用勾股定理的逆定理证明； （4 ）需要分类讨论：分当P点在AB（x轴）下方和当P点在AB（x轴）上方两种情况，利用平行四边形的对边平行且相等的性质解答． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴即为所求； （2）解：由知，令x＝0，得y＝﹣2； 令y＝0，即， 解得x1＝﹣1，x2＝4． ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）； （3）证明：如图，由（2）知OA＝1，OB＝4，OC＝2， ∴AB＝OA+OB＝5． 又由勾股定理得：AC＝，BC＝． ∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （4）解：如图，①当P点在AB（x轴）下方时， 则当PC∥AB，且PC＝AB时，四边形ABCP为平行四边形， 过C点向右作PC∥AB，此时P1（﹣5，﹣2）． 过C点向左作PC∥AB，此时P2（5，﹣2）； ②当P点在AB（x轴）上方时， 则当AB和CP为对角线时，四边形ACBP为平行四边形， 作P3D⊥AB于D，连接P3C交AB于E，则P3D＝OC＝2， 易得：△AOC≌△BDP3， ∴BD=OA=1， ∴OD＝3，即P3（3，2）（此时为特殊的平行四边形）． ∴满足要求的P点有3个，分别为P1（﹣5，﹣2），P2（5，﹣2），P3（3，2）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数关系式，二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识点．解答（4）题时，一定要分类讨论，以防漏解． 7．（﹣1，0），（4，0）；见解析；2. 【分析】(1)、根据抛物线的解析式来求点A、B的坐标即可； (2)、欲证明四边形DECF是矩形，只需证得四边形DECF是平行四边形且有一内角为直角即可； (3)、连接CD，根据矩形DECF的对角线相等得到：EF=CD．当CD⊥AB时，CD的值最小，即EF的值最小． 【详解】(1)、当y=0时，﹣x﹣2=0， 解方程，得 x1=﹣1，x2=4． ∵点A在点B的左侧， ∴点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（4，0）； (2)、把C（m，1﹣m）代入y=﹣x﹣2 得：－2=1－m 解方程，得m=3或m=﹣2． ∵点C位于第四象限， ∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1， ∴m=﹣2舍去， ∴m=3， ∴点C的坐标为（3，﹣2）． 过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°． 由A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣2） 得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5， ∴=2． 又∵∠AHC=∠CHB=90°， ∴△AHC∽△CHB， ∴∠ACH=∠CBH． ∵∠CBH+∠BCH=90°， ∴∠ACH+∠BCH=90°， ∴∠ACB=90°， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴平行四边形DECF是矩形； (3)、存在．理由如下： 连接CD． ∵平行四边形DECF是矩形， ∴EF=CD． 当CD⊥AB时，CD的值最小． ∵C（3，2）， ∴DC的最小值是2， ∴EF的最小值是2． 【点睛】本题考查了二次函数综合题．将函数知识与方程、几何知识相结合.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 8．(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 9．(1)； (2)； (3)存在，当四边形为平行四边形时，抛物线为： 或： 或： 或：. 【分析】本题考查二次函数的综合，求出二次函数的解析式是解题的关键： （1）先求出，设，抛物线，把代入求得，即可得出答案； （2）设，则抛物线为，根据，得出，，得出B的坐标为，进而得出点E的坐标为，求出，，进而得出答案； （3）若为四边形的对角线，则点P在直线的上面，此时四边形不是平行四边形；因此，只可能与是对边，由（2）知：此时点P的左边只能是或；   当P为时，得出，当P为时， 求得：，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）当时，， ∴， 又点A在直线上， 设， ∴抛物线，把代入得： 解得：（舍去） ∴抛物线的解析式为； （2）设， ∴抛物线为， 由， 得：， ∴，， 即点B的横坐标为， ∴B的坐标为， 如图：轴，轴； 则点E的坐标为， ∴，， ∴              （3）若为四边形的对角线，则点P在直线的上面，此时四边形不是平行四边形；因此，只可能与是对边，由（2）知：此时点P的左边只能是或；           当P为时，代入：，得： 解得：， 当P为时，代入：，得： 解得：， 即：当四边形为平行四边形时，抛物线为： 或： 或： 或： 10．(1) (2)或或， (3)证明见解析 【分析】（1）将、两点代入抛物线得，解得，从而得到解析式为； （2）已知、，分两种情况：①若为平行四边形的边；②若为平行四边形的对角线，由平行四边形性质及点的平移，列方程求解即可得到答案； （3）抛物线向左平移1个单位，求出抛物线，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系可得，，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系求出，，则直线解析式为：，同理解析式为：，联立方程组，求出点坐标为即可求解． 【详解】（1）解：抛物线：经过点，与x轴交于， 将、两点代入抛物线得，解得， 解析式为； （2）解：、， 若以为顶点作平行四边形，两点都在抛物线上，分两种情况: ①若为平行四边形的边，设， 由点的平移得， 将D点代入抛物线得：，解得， ； ②若为平行四边形的对角线，设， 由平移得， 将D点代入抛物线得：，解得或， 或，； 综上所述，或或，； （3）解：， 要求沿着轴（即左右平移），且平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线向左平移1个单位， 抛物线，设解析式为，联立方程组， ， ，， 设解析式为，联立方程组，可得， ，， ，， 直线解析式为：； 同理，设解析式为，联立方程组，可得， ，， ，， 直线解析式为：； 联立方程组，解得， ，， 点坐标为， 点在定直线上运动． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，用待定系数法求函数解析式，联立方程组的方法求函数交点坐标，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11．(1)见解析 (2)①见解析；②存在，，， 【分析】（1）由旋转的性质可知，，可得，证明即可； （2）①由，可得，，则，设，由，可得，则，证明，进而结论得证；②由①可知，，则，，，由，可求满足要求的，则 ，由，可求满足要求的，则，，即，设过C、O、E三点的抛物线的解析式为，，则对称轴为直线，将代入可求，即，由，可知，，可得，设，，当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是对角线时，则的中点坐标为，的中点坐标为，由平行四边形的性质可得，，计算求解，进而可得的坐标；当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时；当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时，同理求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，， ∴，即， ∵，，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ②解：由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， 解得，或（舍去）， ∴； ∴，即， 设过C、O、E三点的抛物线的解析式为，，则对称轴为直线， 将代入得，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， 当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， 由平行四边形的性质可得，， 解得，， ∴此时； 当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， 由平行四边形的性质可得，， 解得，， ∴此时； 当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， 由平行四边形的性质可得，， 解得，， ∴此时； 综上所述，存在，点M的坐标为，，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合等知识，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合是解题的关键． 12．(1)y=（x-1）2 (2)（2，1） (3)直线FN为y=kx+1-k=k（x-1）+1经过点（1，1），证明见解析 【分析】（1）y=x-交x轴于A，则点A（1，0），设点B（m，m-），AB＝2，求出点B（1＋，3），即可求解； （2）∠APC＝45°，则点P在（1，1）为圆心半径为1的圆上，即可求解； （3）设直线FN为y＝kx＋b，直线FM为y＝mx−1−m，分别联立，再根据根与系数的关系得到FN的解析式，故可求解． 【详解】（1）y=x-交x轴于A， 令y=0，x-=0，解得x=1， 则点A（1，0）， 设点B（m，m-）， AB=2，则（m-1）2+（m-）2=（2）2， 解得：m=1+（负值已舍去）， 故点B（1+，3）， 则抛物线的表达式为：y=a（x-1）2， 将点B的坐标代入上式并解得：a=1， 故抛物线的表达式为：y=（x-1）2； （2）∵∠APC=45°，则点P在（1，1）为圆心半径为1的圆上， 设P（m，n），则（m-1）2+（n-1）2=1， 又∵n=（m-1）2， ∴（n-1）2+n-1=0， 解得：n=1，∴m=2， ∴P点的坐标为（2，1）； （3）∵M（1，-1）， ∴设直线FN为y=kx+b，直线FM为y=mx-1-m，且F（x1，y1），N（x2，y2）， 联立， ∴x2-（k+2）x+1-b=0， 则x1+x2=k+2，x1x2=1-b， 又∵EN∥x轴，∴E（2-x1，y1）， 联立， ∴x2-（m+2）x+m+2=0， 则2-x1+x2=m+2，（2-x1）x2=m+2， ∴x1+x2=2+x1x2， ∴k+2=2+1-b，b=1-k， ∴直线FN为y=kx+1-k=k（x-1）+1经过点（1，1）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、根与系数的关系的运用等，其中（2），确定点P是圆上的点，是本题解题的难点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $