期中专题03 平面向量【7大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题03 平面向量 题型预览 题型一 平面向量的概念 题型二 平面向量的线性运算 题型三 共线定理的应用 题型四 平面向量基本定理 题型五 数量积的投影问题 题型六 数量积中夹角与模长问题 题型七 平面向量中平行与垂直的问题 知识清单 一、向量的概念及几何表示 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有 方向 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 起点 、方向 、长度 ． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作 ． (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示( 印刷用黑体a，b，c，书写时用 )． 【注意】(1)书写向量时带箭头． (2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示 二、向量的模、零向量和单位向量 向量的模 向量的大小称为向量的 长度 (或称 模 )，记作 零向量 长度为 0 的向量，记作0 单位向量 长度等于 1个单位长度 的向量 【注意】零向量不能说没有方向，它的方向是任意的 三、相等向量和共线向量 平行向量(共线向量) 方向 相同或相反 的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量；向量a与b相等，记作a＝b 【注意】共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同 四、向量加法 1．向量加法的定义 求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法． 2．向量加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ ．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 【注意】运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连” 向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的 对角线 )就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 【注意】平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和 共线向量的加法与向量加法的运算律 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是 零 向量或a，b是方向 相同 的非零向量时，等号成立． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (b＋c) ． 3．对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋ 0 ＝ a ． 相反向量 (1)定义：与向量a长度 相等 ，方向 相反 的向量，叫做a的相反向量，记作 －a ． (2)性质：①－(－a)＝ a ． ②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． ③若a，b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a，a＋b＝ 0 ． 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量 五、向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a－b．即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 【注意】两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点 六、向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量的 数乘 ，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝ 0 ． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a． 【注意】(1)数乘向量仍是向量 (2)实数λ与向量不能相加 七、向量的线性运算 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ (λμ)a ． (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa ． (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb ． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 2．向量的线性运算 向量的 加 、减 、数乘 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ λμ1a±λμ2b ． 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 【注意】定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa 八、两向量的夹角 已知两个 非零 向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ( 0≤θ≤π )叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b 同向 ； 当θ＝π时，向量a，b 反向 ； 当θ＝时，向量a与b 垂直 ，记作a⊥b． 【注意】两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角 九、向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b| ≤ |a||b|． (5)cos θ＝． 【注意】(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写 (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0 (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量 投影向量 投影向量：设a，b是两个非零向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量． 向量数量积的运算律 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2 ． (2)(a－b)2＝ a2－2a·b＋b2 ． (3)(a＋b)·(a－b)＝ a2－b2 ． 【注意】(1)a·b＝b·c推不出a＝c (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量 十、平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 【注意】(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可 (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的 十一、平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量坐标的相关概念 【注意】(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y) (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 a－b＝ (x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝ (xB－xA，yB－yA) 平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝ (λx，λy) ，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 ． 平面向量共线的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 ． 有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【注意】若＝λ，其中λ≠－1 (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上 (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上 (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上 平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ． 向量模的坐标表示 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ (x2－x1，y2－y1) ，|a|＝． 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝． (2)a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ． 【注意】(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆 (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角 题型突破 题型一 平面向量的概念 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）下列命题正确的是（   ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 2．（25-26高一下·江苏淮安·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 3．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一下·陕西汉中·月考）（多选）下列说法中错误的是（ ） A．若、、、四点构成平行四边形，则 B．若向量，则与的方向相同或相反 C．若为非零实数，且，则向量与共线 D．若，则 题型二 平面向量的线性运算 5．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 共线定理的应用 9．（25-26高一下·重庆·月考）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·山东济南·月考）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．7 B．4 C．9 D．11 11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 12．（25-26高一下·河北邢台·月考）在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点． (1)设，，试用，表示； (2)若，求； (3)若，，求的最小值． 题型四 平面向量基本定理 13．（25-26高一下·陕西咸阳·月考）设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 14．（2026·辽宁沈阳·三模）在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 16．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·河北唐山·月考）如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） 题型五 数量积的投影问题 18．（25-26高一下·安徽淮南·期中）若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·重庆万州·月考）（多选）已知，，均为单位向量，则（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 20．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 21．（25-26高一下·海南·月考）已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型六 数量积中夹角与模长问题 22．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 23．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 24．（25-26高一下·广东中山·月考）已知向量，，，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)若，求实数k的值． 25．（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知向量，向量，则______． 26．（25-26高一下·天津西青·期中）已知向量，，则与的夹角的余弦值为______. 27．（25-26高一下·安徽淮南·期中）如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________. 28．（2026·江苏·模拟预测）已知，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 30．（安徽合肥市2026届高三第二次教学质量检测数学试卷）已知非零向量，满足，，则与的夹角为________. 题型七 平面向量中平行与垂直的问题 31．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 32．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知向量，若，则______． 34．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)设，若三点共线，求m的值. 强化训练 1．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·安徽淮南·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则 的最小值（ ） A． B．9 C．8 D． 4．（25-26高一下·天津西青·期中）已知向量与，若，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·北京海淀·期中）在边长为4的正三角形中，若，则的值为（    ） A． B． C．12 D．8 6．（25-26高一下·河南·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若为非零向量且，则 B．若，则 C．若，则 D． 7．（25-26高一下·云南曲靖·月考）（多选）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（       ） A．和表示 B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的取值范围为 8．（25-26高二上·河北廊坊·开学考试）（多选）已知向量，，则（   ）． A． B． C． D． 9．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图，在边长为2的正方形中，，分别为、的中点，则________． 11．（广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题）已知，，若，则______. 12．（25-26高一下·山东济南·月考）已知向量满足与的夹角为，则_____． 13．（25-26高一下·江苏泰州·月考）平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 14．（25-26高一下·重庆·月考）已知，，且与的夹角为，求 (1)； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 15．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知向量. (1)若且，求的值； (2)若，求的值. 16．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知，． (1)求； (2)若，求实数的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量 题型预览 题型一 平面向量的概念 题型二 平面向量的线性运算 题型三 共线定理的应用 题型四 平面向量基本定理 题型五 数量积的投影问题 题型六 数量积中夹角与模长问题 题型七 平面向量中平行与垂直的问题 知识清单 一、向量的概念及几何表示 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有 方向 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 起点 、方向 、长度 ． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作 ． (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示( 印刷用黑体a，b，c，书写时用 )． 【注意】(1)书写向量时带箭头． (2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示 二、向量的模、零向量和单位向量 向量的模 向量的大小称为向量的 长度 (或称 模 )，记作 零向量 长度为 0 的向量，记作0 单位向量 长度等于 1个单位长度 的向量 【注意】零向量不能说没有方向，它的方向是任意的 三、相等向量和共线向量 平行向量(共线向量) 方向 相同或相反 的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量；向量a与b相等，记作a＝b 【注意】共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同 四、向量加法 1．向量加法的定义 求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法． 2．向量加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ ．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 【注意】运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连” 向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的 对角线 )就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 【注意】平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和 共线向量的加法与向量加法的运算律 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是 零 向量或a，b是方向 相同 的非零向量时，等号成立． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (b＋c) ． 3．对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋ 0 ＝ a ． 相反向量 (1)定义：与向量a长度 相等 ，方向 相反 的向量，叫做a的相反向量，记作 －a ． (2)性质：①－(－a)＝ a ． ②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． ③若a，b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a，a＋b＝ 0 ． 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量 五、向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a－b．即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 【注意】两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点 六、向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量的 数乘 ，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝ 0 ． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a． 【注意】(1)数乘向量仍是向量 (2)实数λ与向量不能相加 七、向量的线性运算 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ (λμ)a ． (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa ． (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb ． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 2．向量的线性运算 向量的 加 、减 、数乘 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ λμ1a±λμ2b ． 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 【注意】定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa 八、两向量的夹角 已知两个 非零 向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ( 0≤θ≤π )叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b 同向 ； 当θ＝π时，向量a，b 反向 ； 当θ＝时，向量a与b 垂直 ，记作a⊥b． 【注意】两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角 九、向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b| ≤ |a||b|． (5)cos θ＝． 【注意】(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写 (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0 (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量 投影向量 投影向量：设a，b是两个非零向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量． 向量数量积的运算律 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2 ． (2)(a－b)2＝ a2－2a·b＋b2 ． (3)(a＋b)·(a－b)＝ a2－b2 ． 【注意】(1)a·b＝b·c推不出a＝c (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量 十、平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 【注意】(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可 (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的 十一、平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量坐标的相关概念 【注意】(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y) (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 a－b＝ (x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝ (xB－xA，yB－yA) 平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝ (λx，λy) ，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 ． 平面向量共线的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 ． 有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【注意】若＝λ，其中λ≠－1 (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上 (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上 (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上 平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ． 向量模的坐标表示 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ (x2－x1，y2－y1) ，|a|＝． 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝． (2)a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ． 【注意】(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆 (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角 题型突破 题型一 平面向量的概念 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）下列命题正确的是（   ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，模相等且方向相同的向量才是相等向量，模相等的共线向量方向可能相反，故A错误，   对于B，若，则和可以是任意向量，不一定平行，故B错误， 对于C，零向量的方向是任意的，但不是没有方向，故C错误；   对于D，若，由向量相等的定义知一定共线，所以D正确. 2．（25-26高一下·江苏淮安·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 3．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确； ②若，则与不一定平行，②错误； ③若向量，则直线与直线平行或共线，③错误； ④两个向量不能比较大小，④错误； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量，⑤正确； ⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误； 所以其中错误的有4个. 4．（25-26高一下·陕西汉中·月考）（多选）下列说法中错误的是（ ） A．若、、、四点构成平行四边形，则 B．若向量，则与的方向相同或相反 C．若为非零实数，且，则向量与共线 D．若，则 【答案】ABD 【详解】A选项：若四点构成平行四边形，并没有限制四个点顺序，所以不一定有，如形成的平行四边形为平行四边形时, 就不存在, 所以A错误. B选项：零向量与任意向量平行，零向量方向任意，故向量时，与方向不一定相同或相反，B错误. C选项：非零实数满足，由共线向量定理知与共线，C正确. D选项：若，，，但与不一定平行，D错误. 题型二 平面向量的线性运算 5．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 6．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 7．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 8．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在DN上，故存在实数，使得， 而，所以， 又已知，所以，解得． 题型三 共线定理的应用 9．（25-26高一下·重庆·月考）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以 又因为三点共线， 所以    10．（25-26高一下·山东济南·月考）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．7 B．4 C．9 D．11 【答案】C 【分析】首先根据三点共线的充要条件得，然后运用均值定理求最值. 【详解】因为三点共线， 不共线且在线段上， 由可得且, 则， 当且仅当且，解得时，等号成立. 11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 12．（25-26高一下·河北邢台·月考）在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点． (1)设，，试用，表示； (2)若，求； (3)若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）应用向量的运算结合条件即得； （2）应用数量积公式及夹角公式计算求解； （3）应用平面向量基本定理得出，再应用基本不等式计算求解最小值. 【详解】（1）延长，与交于点，则为的中点， 所以． （2）因为，， 所以，． ， ， ． （3）因为，，三点共线，所以设， 由（1）可知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 题型四 平面向量基本定理 13．（25-26高一下·陕西咸阳·月考）设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】，是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以A能作为基底； 对于B，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底； 对于C，因为， 所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立， 所以与不共线，能作为基底. 14．（2026·辽宁沈阳·三模）在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 15．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 16．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以三点共线； 由，所以与不平行，所以三点不共线； 因为，所以与不平行，所以三点不共线； ， 因，所以与不平行，所以三点不共线. 17．（25-26高一下·河北唐山·月考）如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算求解. （2）根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量推理得证. （3）根据给定条件，利用向量的线性运算及向量基本定理列式求解. 【详解】（1）依题意，，而，所以， . （2）， 因此与平行，又与有公共点C， 所以C，D，E三点共线. （3）由，得， 由与共线，得存在实数，使得， 即，而向量不共线，则，解得， 所以. 题型五 数量积的投影问题 18．（25-26高一下·安徽淮南·期中）若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】由，，得，所以. 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确. 19．（25-26高一下·重庆万州·月考）（多选）已知，，均为单位向量，则（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】因为， 故，故A正确； 因为， 所以， 又，所以，故B正确； 向量在向量上的投影向量为，故C正确； ， 当时，取得最小值，取得最小值，故D 错误. 20．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 21．（25-26高一下·海南·月考）已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量垂直求得，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】由，又， 所以，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为， 题型六 数量积中夹角与模长问题 22．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由题设，则， 由，则. 23．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由向量的数量积运算结合条件即可求解. 【详解】由题意，，， 所以. 24．（25-26高一下·广东中山·月考）已知向量，，，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据得到，求出，再根据模长的坐标公式即可求解； （2）利用向量夹角的坐标公式代入即可求解； （3）利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，则， 又，且 所以，解得， 所以，故. （2），， 所以， 又，因此，． （3），， 因为， 所以，解得. 25．（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知向量，向量，则______． 【答案】 【详解】由，，得， 则. 26．（25-26高一下·天津西青·期中）已知向量，，则与的夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【详解】由向量，， 则； 且, 所以. 27．（25-26高一下·安徽淮南·期中）如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________. 【答案】/ 【详解】以为原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，. 所以，， 所以，， ，即. 28．（2026·江苏·模拟预测）已知，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，将两侧同时平方，可得，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以，则， 则， 因为，所以，即向量的夹角为. 29．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的定义求出，由代入数值得到； （2）由代入数值得到，由代入数值得到，利用向量的数量积公式得到，代入数值得到所求. 【详解】（1），，且与夹角为，， ； （2）， ， . 30．（安徽合肥市2026届高三第二次教学质量检测数学试卷）已知非零向量，满足，，则与的夹角为________. 【答案】 【分析】借助数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则， 即，则. 题型七 平面向量中平行与垂直的问题 31．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，， 由有 ，解得． （2）由已知，， 由有，解得， 于是． 32．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为， 所以，， 因为且， 所以且，解得. 33．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知向量，若，则______． 【答案】/ 【详解】由题设， 所以. 34．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)设，若三点共线，求m的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示和几何意义建立关于的方程，解之即可； （2）法一：易知，根据平面平行向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可； 法二：易知存在实数使得，利用向量的坐标运算和相等向量的概念建立关于的方程组，解之即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以， 整理得，解得或. （2）法一：因为A，B，C三点共线， 所以， 因为，， 所以，所以. 法二：因为A，B，C三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 所以即. 强化训练 1．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量模的运算，数量积的运算律得，再结合投影向量的公式求解即可. 【详解】设向量，的夹角为，由题意知，， 因为， 所以，即，解得， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量为， 2．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 3．（25-26高一下·安徽淮南·期中）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则 的最小值（ ） A． B．9 C．8 D． 【答案】C 【分析】由平面向量共线定理的推论得到，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】解：因为是的中点，则，又，， 则，又三点共线，则， 所以，得到， ，又， 则当且仅当， 即时取等号，所以 4．（25-26高一下·天津西青·期中）已知向量与，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量平行的坐标运算即可. 【详解】因为，所以，即. 5．（25-26高一下·北京海淀·期中）在边长为4的正三角形中，若，则的值为（    ） A． B． C．12 D．8 【答案】B 【分析】先根据得是的中点，然后根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】，是的中点，又是边长为的正三角形，可得. . 6．（25-26高一下·河南·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若为非零向量且，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据定义可知；对于B，易知时，命题不成立；对于C，根据数量积的运算判断即可；根据向量的三角形法则即可判断． 【详解】解：对于A，，的夹角为0或， ，故A正确； 对于B，当时，不一定成立，故B错误； 对于C，因为 ，所以，故C正确； 对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确． 7．（25-26高一下·云南曲靖·月考）（多选）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（       ） A．和表示 B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】利用平面向量的线性运算和基本定理，结合投影向量定义、二次函数性质求解即可. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，因OM交AC于N，设， 则由选项A知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即，B错误； 对于C，设， ， 又有， 所以向量在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，由已知， 因D是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为，即， 因为在上单调递增， 所以当时，，当时， 所以的取值范围是，D错误． 8．（25-26高二上·河北廊坊·开学考试）（多选）已知向量，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算和向量的模的计算可判断选项． 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 因为，所以，且，故C错误，D正确. 故选：BD 9．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，设，即，故，无解， 故不共线，所以可以作为基底，A正确； B选项，，故共线，不能作为基底，B错误； C选项，设，则，故，无解， 不共线，能作为基底，C正确； D选项，，故共线，不能作为基底，D错误. 10．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图，在边长为2的正方形中，，分别为、的中点，则________． 【答案】/ 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，，，. 所以，. 所以. 11．（广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题）已知，，若，则______. 【答案】 【详解】由，，得， 因为，所以，解得. 12．（25-26高一下·山东济南·月考）已知向量满足与的夹角为，则_____． 【答案】 【详解】因为 所以. 13．（25-26高一下·江苏泰州·月考）平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 14．（25-26高一下·重庆·月考）已知，，且与的夹角为，求 (1)； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长和夹角求出数量积，结合模长公式可得答案； （2）根据数量积为负数求出的范围，排除掉夹角为的情况即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以， 所以，即. （2）， 因为向量与的夹角为钝角，所以，即； 令，可得，解得， 当时，向量与的夹角为，不是钝角， 所以的取值范围为. 15．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知向量. (1)若且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直数量积为0，以及特殊角三角函数值求解即可. （2）利用向量模的坐标公式，辅助角公式、两角和的余弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1）因为向量，且， 所以，即，又， 所以，所以. （2）因为，所以， 又，， 且，所以，即， 化简得：，所以，即， 所以 . 16．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知，． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得， 则. （2）由，， 得，， 因为，所以，解得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $