专题 23.2 一次函数的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.2 一次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】描点法画正比例函数图象 1 【题型 1】画正比例函数图象 2 【知识点二】正比例函数的图象与性质 5 【题型 2】正比例函数图象的位置 6 【题型 3】正比例函数的性质 8 【题型 4】正比例函数与几何综合 10 【知识点三】描点法画一次函数图象 14 【题型 5】画一次函数的图象 14 【知识点四】一次函数的图象与性质 19 【题型 6】一次函数图象位置 19 【题型 7】一次函数图象位置与参数关系 22 【题型 8】一次函数图象与坐标轴交点 24 【题型 9】一次函数增减性与参数关系 27 【题型 10】比较一次函数值的大小 29 【知识点五】待定系数法求一次函数解析式 31 【题型 11】待定系数法求一次函数的解析式 31 【知识点六】一次函数图象的平移与垂直 33 【题型 12】一次函数图象的平移与垂直问题 34 二.同步检测 36 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） 36 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 44 （三）解答题（共6题，合计58分） 49 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】描点法画正比例函数图象 描点法画正比例函数图象步骤： （1）列表：正比例函数一定过原点（0,0），再任意取一个不为 0 的自变量 ，算出对应的 ，列出两点坐标即可； （2）描点：在平面直角坐标系中，标出列表中算出的两个点； （3）连线：过这两个点画一条直线，并向两端延伸，就是正比例函数的图象。 【题型 1】画正比例函数图象 【例题1】（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    （1）列表： … 0 1 2 … … … （2）描点并连线． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）根据的值求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 解：（1）解：列表： x … … … … （2）描点、连线： 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）用你认为最简单的方法画出的图象． 【答案】见分析 【分析】本题考查画正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的图象过原点是解题的关键，在函数上取一点，过原点和画直线即可． 解：当时，， 过原点和画直线， 如图即为的图象： 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． （2）探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ （3）灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【答案】（1）见分析；（2）随着的增大，直线的倾斜程度越来越大；（3）， 【分析】本题考查了正比例函数的图象及性质，根据题目要求画出函数图象，解题的关键是熟悉图象的倾斜程度与斜率的关系， 解：（1）如图所示． （2）观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线的倾斜程度越来越大． （3）由题可知，均小于0，且直线的倾斜程度越来越大，的增大，故. 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如下图，在同一平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． （2）请你用量角器度量一下这两条直线的夹角，你发现这两条直线之间有什么位置关系？ 【答案】（1）图见分析；（2）两条直线的夹角为，即两条直线互相垂直 【分析】本题考查了初中数学中的正比例函数图象绘制、直线位置关系判断及量角器使用等知识点，解题关键在于理解正比例函数图象过原点的特性，通过选取合适点来准确绘制图象，并能运用量角器正确测量两直线夹角，从而判断其位置关系为垂直． （1）确定两个点，根据两点确定一条直线画线即可； （2）用量角器测量两条直线的夹角，根据角度判断位置关系． 解：（1）解：对于，令，得， 所以正比例函数的图象过点； 对于，令，得， 所以正比例函数的图象过点． 函数的图象如图所示． （2）两条直线的夹角为，即两条直线互相垂直． 【知识点二】正比例函数的图象与性质 （1） 一般地，正比例函数（是常数，）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线； （2） 当时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，即随的增大而增大；当时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随的增大而减小. 【要点提示】（1）正比例函数图象是经过原点的一条直线；（2）的值越大，直线的倾斜程度越来越大；（3）直线与直线互相垂直。 用表格归纳如下： y=kx 图象 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 【题型 2】正比例函数图象的位置 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． （2）探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ （3）灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【答案】（1）见分析；（2）随着的增大，直线的倾斜程度越来越大；（3）， 【分析】本题考查了正比例函数的图象及性质，根据题目要求画出函数图象，解题的关键是熟悉图象的倾斜程度与斜率的关系， 解：（1）如图所示． （2）观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线的倾斜程度越来越大． （3）由题可知，均小于0，且直线的倾斜程度越来越大，的增大，故. 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，需结合等腰直角三角形的性质，分析直线在不同象限情况下的取值． 解：设正比例函数的图象上异于原点的一点坐标为， 由于直线与轴所夹的锐角为，过该点向轴作垂线，所得直角三角形为等腰直角三角形， 因此该点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，即， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）已知函数．若该函数图象经过原点： （1）求的值； （2）该函数的图象经过第________象限． 【答案】（1）；（2）一、三 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）由（1）可得函数解析式为，进而可得该函数的图象经过第一、三象限． 解：（1）解：∵函数的图象经过原点， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴函数解析式为， ∵， ∴该函数的图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【题型 3】正比例函数的性质 【例题3】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）已知关于的正比例函数． （1）若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； （2）若随的增大而减小，求的取值范围； （3）若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据函数图象经过第一、三象限，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据正比例函数中随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （3）根据点在该函数的图象上，把代入解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 解：（1）解：函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）解：正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）解：点在该函数的图象上， ， 解得：． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件判断函数增减性，再结合正比例函数性质列不等式求解的范围即可． 解：∵当时，， ∴随的增大而减小， 对于正比例函数，当随增大而减小时，， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的增减性可得当时，，即可求解． 解：∵当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大， ∴当时，， 把，代入得：， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个函数表达式； （2）判断点是否在这个函数图象上； （3）图象上的两点，如果，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）点A在图象上；（3）时， 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，正比例函数的性质与系数的关系，熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 解：（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为． （2）解：当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 【题型 4】正比例函数与几何综合 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）设，根据的面积为，建立方程，解方程得出，即可得出点的坐标即可． 解：（1）解： 点A在第四象限，点A的横坐标为3，且的面积为3， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 正比例函数的图象经过点A， ，解得， 正比例函数的解析式为． （2）解：存在． 设， ，， ，解得． 点P的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到；设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得，解得， ∴所在直线的解析式为． 【变式2】（25-26八年级下·宁夏银川·月考）在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先利用等边三角形的性质求出顶点A的坐标，再通过直线的解析式确定平移后点的坐标，将点B按照该平移方式平移，即可求出点的坐标． 解：过点A作于点D， 是等边三角形，B的坐标是， 、， ， 的坐标是， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得， 直线的解析式为， 点在直线上，且横坐标为5， 将代入得：， 的坐标为， 点A向右平移3个单位，向上平移个单位得到， 的坐标为， 即的坐标为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． （1）求点A的坐标； （2）求所在直线的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求解正比例函数解析式． （1）过点A作轴于点D，求解，，进一步可得． （2）设直线的表达式是，把点A的坐标代入，进一步求解即可． 解：（1）解：如图，过点A作轴于点D， ∵是边长为4的等边三角形， ∴，， 在中，， ∴． （2）解：设直线的表达式是， 把点A的坐标代入，得， 解得， ∴直线的表达式是． 【知识点三】描点法画一次函数图象 【题型 5】画一次函数的图象 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）描点并连线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）把对应的x的值代入解析式中求出对应的y的值即可； （2）根据（1）所求，先描点，再连线画出函数图象即可． 解：（1）解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）解：函数图象如下所示： 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【答案】图见分析，直线、直线和直线互相平行 解：作图如下， ∴直线、直线和直线互相平行． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如图，在同一平面直角坐标系内画出一次函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的夹角，你发现这两条直线之间有什么位置关系？ 【答案】（1）图象见分析；（2）两条直线互相垂直． 【分析】（1）用两点法绘制一次函数图象，分别求出两个一次函数上的两个关键点坐标，在平面直角坐标系中描出对应点，再过点作直线即可得到相应函数的图象； （2）借助量角器度量两条直线的夹角，根据度量出的夹角度数特征，判断出两条直线的位置关系． 解：（1）解：对于一次函数： 当时，，得到直线与轴的交点； 当时，，解得，得到直线与轴的交点； 在平面直角坐标系中描出点和，过这两点作直线，即为的图象． 对于一次函数： 当时，，得到直线与轴的交点； 当时，，得到点； 在平面直角坐标系中描出点和，过这两点作直线，即为的图象． 如图所示： （2）解：用量角器度量两条直线的夹角，测得夹角为， ∴这两条直线互相垂直． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，先利用列表法画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的一次函数的性质即可． 解：列表如下： 2 4 0 4 2 1 函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当是，y随x增大而减小；当时， 一次函数图象与y轴交于正半轴，当时，一次函数经过原点，当时，一次函数与y轴交于负半轴． 【知识点四】一次函数的图象与性质 y=kx+b 图象 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【题型 6】一次函数图象位置 【例题6】（25-26八年级上·广西崇左·月考）在同一个坐标系里画出函数，的图象，并填空： 函数 经过的象限 位置关系 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象、一次函数的图象与性质，根据一次函数的解析式画出图象，根据图象得出其经过的象限及两条直线的位置关系． 解：如图所示： 函数 经过的象限 位置关系 第一、三象限 平行 1 第一、二、三象限 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若点在第二象限内，则直线不经过第________象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数的性质，第二象限点的坐标特征．点在第二象限，则横坐标为负，纵坐标为正，根据一次函数图象性质，直线不经过第三象限． 解：点在第二象限， ． ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：三． 【变式3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）图形见分析；（2）图形见分析；（3）图形见分析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，准确判断出函数图象经过的象限是解题的关键． （1）根据已知一次函数的图象的位置关系进行解答即可； （2）根据已知函数图象判断出，即可得到经过的象限，进行解答即可； （3）根据已知函数图象判断出，，，即可得到经过的象限，进行解答即可． 解：（1）解：∵的图象与的图象平行，且过坐标原点， ∴函数的图象如图1所示： （2）根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴， ∴函数经过第二，三，四象限， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴函数的图象如图2所示： （3）根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴，， ∴函数经过第一，三，四象限，且与y轴交于点， ∴函数的图象如图3所示： 【题型 7】一次函数图象位置与参数关系 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知关于x的一次函数． （1）当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （2）当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 解：（1）解：∵y随x的增大而减小 ∴ ∴； （2）∵该函数图象经过第一、三、四象限 ∴ ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围______________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可得，解不等式组即可． 解：∵一次函数不经过第一象限， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·重庆万州·月考）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 解：解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 【变式3】（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（）的图象经过第一、二、三象限． （1）求的取值范围； （2）当时，判断点是否在该函数图象上． 【答案】（1）；（2）点不在该函数图象上 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据一次函数经过第一、二、三象限列出不等式组求解即可； （2）将代入求出函数解析式，进而将代入计算即可． 解：（1）解：一次函数（）的图象经过第一、二、三象限，    ； （2）解：当时，一次函数的解析式为． 当时，， 点不在该函数图象上． 【题型 8】一次函数图象与坐标轴交点 【例题8】（25-26八年级上·江西吉安·期末）已知一次函数，当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）求这个一次函数图象与轴交点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）当时，，代入解析式，确定k值即可． （2）令，得，求解即可． 解：（1）解：将，代入， 得． ∴， ∴一次函数解析式为：． （2）解：当时，得 解得：    ∴这个一次函数的图象与轴交点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）直线经过点（____，0）和（0，____）． 【答案】 【分析】分别令求出对应的值，令求出对应的值，即可得到结果． 解：对于直线，当时，， 解得， 当时，． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】先根据对称点性质求出点A坐标，再代入直线解析式求出参数b，得到点B坐标，最后根据直角三角形面积公式计算即可． 解：∵点是点关于轴的对称点，关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴将代入解析式得 ， 解得 ，即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴点坐标为， ∵为坐标原点，为直角三角形，，， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）分别把、代入求出A、B坐标，将点代入中，得，从而得出点C坐标； （2）先求出，再用三角形面积公式即可求解． 解：（1）解：把代入，得， 所以点B的坐标为， 把代入，得，解得， 所以点A的坐标为． 把代入，得， 把代入，得，解得， 所以点C的坐标为； （2）解：由（1）知， 所以， 所以． 【题型 9】一次函数增减性与参数关系 【例题9】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值，一次函数的增减性，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得y随x的增大而增大，再求出时和时的函数值即可得到答案． 解：（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【变式1】（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知直线经过点．若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴交于点，点的坐标是． （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式及一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）当点代入求出的值即可； （2）结合（1）中关于的函数表达式，当时，求得，再根据一次函数的性质可得答案． 解：（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点， ∴， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵关于的函数表达式为， 当时，，得：， 又∵中一次项系数， ∴随的增大而增大， ∴当时，自变量的取值范围为． 【题型 10】比较一次函数值的大小 【例题10】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可推出y值的大小关系. 解：∵直线的一次项系数. ∴随的增大而减小. ∵，可得. ∴， 即. 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是 ______． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的比例系数判断随的增大而减小，再结合三个点的纵坐标大小关系推导横坐标的大小关系． 解：∵ 一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵ 三个点的纵坐标满足，即， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数的图象经过点，点均在一次函数的图象上，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 先将已知点代入一次函数解析式求出k的值，判断函数的增减性，再根据函数值的大小关系得出自变量的大小关系． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴将代入解析式得：， 解得， ∴该一次函数为， ∵， ∴一次函数中，y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可． 解：一次函数的图象不经过第三象限， ，， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：， 故答案为：． 【知识点五】待定系数法求一次函数解析式 1. 设（设解析式）：设一次函数解析式为：（为常数，）； 2. 代（代入已知点）：把题目给出的两个点的坐标，分别代入解析式，得到关于 的二元一次方程组； 3. 解（解方程组）：解方程组，求出和的值； 4. 写（写出解析式）：把求出的出、 代回，写出最终的一次函数解析式。 【题型 11】待定系数法求一次函数的解析式 【例题11】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知：一次函数的图象经过点，， （1）求这个一次函数的解析式． （2）点在这个函数图象上，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）根据解析式求解即可． 解：（1）解：设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； （2）解：点在这个函数图象上， 故， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）若三点，，在同一直线上，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】三点共线说明三个点都在同一条直线上，先根据两个已知点坐标求出直线解析式，再将第三个点代入解析式即可求出的值． 解：设过点和的直线解析式为， 将两点坐标代入解析式得， 解得， 直线解析式为， 点在该直线上， 将代入得：． 【变式2】（福建福州市九校2025—2026学年下学期期中考试八年级数学试卷）一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 【答案】或 【分析】由于的符号不确定，需分和两种情况进行讨论，利用一次函数的增减性和待定系数法分别求解即可． 解：当时，一次函数中随的增大而增大， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为； 当时，一次函数中随的增大而减小， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线经过点和点． （1）求直线所对应的函数表达式． （2）通过计算判断点是否在直线上． 【答案】（1）；（2）点在直线上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，求得的值，即可判断点在直线上． 解：（1）解：由题意得：， ∴． ∴直线所对应的函数表达式为； （2）解：当时， ． ∴点在直线上． 【知识点六】一次函数图象的平移与垂直 1、一次函数图象的平移 设解析式：， （1）当直线沿轴向上平移个单位：；向下平移个单位：； （2）当直线沿轴向左平移个单位：；向右平移个单位：； 2、一次函数图象的垂直 设两条直线：， 则有：. 【题型 12】一次函数图象的平移与垂直问题 【例题12】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 【答案】， 【分析】根据两直线平行可求的值，再根据截距可知的值，进而可求得一次函数的解析式，代入可求交点坐标． 解：直线与直线平行， ， 则直线即为． 在轴上的截距是， ． 直线的解析式为． 当时，，解得 所以直线与轴的交点坐标为． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）将直线平移得到直线，下列说法正确的是（  ） A．将向左平移个单位长度得到 B．将向左平移个单位长度得到 C．将向上平移个单位长度得到 D．将向上平移个单位长度得到 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可，掌握平移规律是解题的关键． 解：、将向左平移个单位长度得，符合题意； 、将向左平移个单位长度得，不符合题意； 、将向上平移个单位长度得，不符合题意； 、将向上平移个单位长度得，符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）与直线垂直且过点的直线解析式是____________． 【答案】 【分析】根据互相垂直的两条直线的值的乘积为，设直线的解析式为：，再将点，代入求解即可． 解：由题意，设直线的解析式为，将点代入，得：， ∴； 故答案为：． 【变式3】（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． （1）已知直线与直线垂直，求的值； （2）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； （3）已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，列式求解即可得到答案； （2）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （3）由直线与轴、轴分别相交于点，求出、，进而得到的中点坐标为和，由材料中若，有，设线段的垂直平分线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案． 解：（1）解：∵直线与直线垂直， ∴， 解得； （2）解：∵直线与直线垂直， ∴设直线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：直线与轴、轴分别相交于点， 当时，，即； 当时，，解得，即； 的中点为， 直线，即， 设线段的垂直平分线的表达式为， 将代入得，解得， ∴线段的垂直平分线的表达式为． 【点拨】本题考查阅读理解，涉及直线垂直时的关系、待定系数法求直线表达式、一次函数图象与性质、中点坐标公式等知识，读懂题意，理解，有是解决问题的关键． 二.同步检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，理解题意是解决本题的关键． 在函数中，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”，再进行讨论b的情况即可判断． 解：A由图象得，由图象得，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； 故选：B． 2．（2026·陕西渭南·一模）已知一次函数（k、b为常数，）的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据已知一次函数的位置，结合判断和的符号，再利用一次函数的性质判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 解：∵一次函数（、为常数，）的图象不经过第二象限， ∴，， ∴的图象经过第二、三、四象限， ∴的图象不经过第一象限． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象进行判断即可． 解：描点，连线，画出函数图象如图： 由图可知：点与其它点不在同一条直线上； 故这个错误的函数值是； 故选C． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，即， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，逐一判断各选项即可． 解：A、∵的符号不确定，当时，随增大而减小， ∴A错误，该选项不符合题意； B、当时，直线解析式为，经过第一象限， ∴B错误，该选项不符合题意； C、， ∵当，即时，无论取何值，恒成立， ∴直线必过定点， ∴C正确，该选项符合题意； D、令，代入解析式得， ∴直线与轴交于点，只有当即时，才交于点，由于的值不确定，因此直线不一定与轴交于点， ∴D错误，该选项不符合题意． 6．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知两点，，以下各点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求一次函数解析式，判断点是否在函数上，根据，两点求出直线的表达式，将代入表达式即可． 解：设直线的表达式：， 将，代入表达式， 得， 解得， 直线的表达式：， 当时，， 即点在直线上， 故选：A． 7．（2024·贵州遵义·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，已知，，直线经过点，当该直线平分矩形的面积时，直线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，且相交于一点G，再结合，，求出，因为直线平分矩形的面积，则经过点，把，代入，进行计算，得，即可作答． 解：连接，且相交于一点G，则点是的中点，如图所示： ∵矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，且，， ∴， ∴， ∵直线平分矩形的面积， ∴经过点， ∵直线经过点， ∴把，代入， 得， 解得， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）直线与直线之间的距离是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，作出两条直线的图，作直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，过线A作，求出两直线与坐标轴的交点坐标，得到，可得出为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出结果． 解：两条直线如下图，作直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，过线A作， 在直线上，当时，， 点， 在直线上，当时，，当时，， ，， ， ，， ， 设， ，即， 解得：，（舍去）， 故选：C． 9．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形内角和定理、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明得到，再结合坐标与图形以及垂线的定义即可解答． 解：∵，，， ∴，， ∵点D在直线图象上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点拨】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数的图象经过点，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的性质，将点代入正比例函数的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得的值． 解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为：1． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线: ，则直线一定经过点______． 【答案】 【分析】将直线方程变形整理为含参数的式子，根据等式恒成立的条件，令参数的系数为，即可求出直线恒过的定点坐标． 解： ∵该式对任意实数都成立， ∴需满足的系数为，即， 解得， 将代入 ，得， ∴直线一定经过点． 13．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【答案】 【分析】两个一次函数没有交点，说明两条直线平行，平行一次函数的一次项系数相等，由此得到k的值，再利用待定系数法代入已知点坐标求出b的值，即可得到所求函数解析式． 解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 14．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是直线上的两个点，则________．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质，当小于0时，函数值随自变量的增大而减小． 解：由直线方程，得， 因此y随x的增大而减小， ∵点和在直线上，且， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，将，代入，得出方程组，解方程组即可得一次函数解析式，再求出时对应的x值即可得点C的坐标． 解：将，代入， 可得， 解得， ∴， 当时，，即． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是______． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积计算，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线与两坐标轴围成的三角形面积． 解：如图，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与两坐标轴所围成的三角形为． 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为； 当时，，解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为． ∴直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 故答案为：9． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点坐标、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、两点距离公式等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． 要求的最小值，我们可以联想到“将军饮马”问题，但是因为系数不为1，所以可以转化，要么转化，要么转化，我们发现提取，可以构造等腰直角三角形，从而将最值转化为求线段的长度，再利用构造全等三角形，得到是等腰直角三角形，进而求出的坐标，再求长度即可． 解：如图，以为斜边，在下方构造等腰直角三角形，连接， 则， ， 当、、三点共线时最小，此时即有最小值， 作关于轴对称点，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 由题可得，， 是中点， ， ， ， ， ， 此时． （三）解答题（共6题，合计58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． （1）求一次函数解析式； （2）点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 【答案】（1）；（2）P点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据三角形的面积为2建立方程，解方程即可求解． 解：（1）解：将、代入， 得， 解得，， 故一次函数的解析式为． （2）设，、， 解得，或， 故点的坐标为或． 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·安徽六安·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． （1）求m和b的值； （2）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 【答案】（1）2；4；（2） 【分析】（１）点代入，得到，再把代入求解即可． （2）设直线向下平移个单位长度后的表达式为，根据题意，得 交点为，根据交点在第一象限，建立不等式组求解即可． 解：（1）解：将点代入，得， 故， 把代入得， 解得． （2）解：根据题意，得， 设直线向下平移个单位长度后的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故两条直线的交点为， 由于与直线的交点在第一象限， 故， 解得． 21．（本小题满分10分）（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，平分交y轴于点M． （1）求点M的坐标； （2）求所在直线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，待定系数法求一次函数关系式. （1）作，根据角平分线的性质得，即可得，再根据，可得，接下来根据勾股定理求出，即可得，设，则，最后根据勾股定理求出答案； （2）将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可. 解：（1）解：如图，过点M作于点C， ∴， ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴点M的坐标为； （2）解：设所在直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为. 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． （1）求点的坐标． （2）连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可． 本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 解：（1）解， 得：， 一次函数与的图象交点为． （2）由可知， 由 可知， ， ， ， ， 设的纵坐标为， 当在的上方，则， 解得， 当在的下方，则， 解得， 把代入，得， 把代入，得， 点的坐标为或． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建漳州·期中）直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求点、的坐标； （2）以为斜边在第二象限作等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，点在线段上（不与点重合），点在上，、，，求与的函数关系式． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）过点作轴于点，作轴于点，证明根据全等三角形的性质得出，即可得出，，则点的坐标为； （3）延长至点，使，连接、，证明，进而得出，在中，，可得 ，即可求解． 解：（1）解：在中，当时， 当时， ， （2）如图1，过点作轴于点，作轴于点， 则， 是等腰直角三角形 ， 即 在和中， ， ∴ 设，则， ， ， 点的坐标为； （3）解：延长至点，使，连接、， 点是线段的中点，， ，， 在和中， ， ，， 在中，， ， 即， 在中，， ， 、， ，，，， 在中，， ， 化简，得：， 关于的函数关系式为：． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广东佛山·期末）从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． （1）【特例探究】当时，求与的值． （2）【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． （3）【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 【答案】（1），；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，两直线交点坐标的求法是解题的关键． （1）分别求出，，，即可求解； （2）分别求出，，，即可求解； （3）分别求出，，，即可求解． 解：（1）解：， ∴直线表达式为 当时，， ， 当时，， ， ， ∵点为直线和直线的交点， ， 得， ， ； （2）解：∵直线表达式为， 可得：， ， ， 解方程组得：， 即， ， ； （3）解：依题意有交点．则 ①当时，交点为，与无关 ②当或时， ③当时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.2 一次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】描点法画正比例函数图象 1 【题型 1】画正比例函数图象 2 【知识点二】正比例函数的图象与性质 3 【题型 2】正比例函数图象的位置 3 【题型 3】正比例函数的性质 4 【题型 4】正比例函数与几何综合 5 【知识点三】描点法画一次函数图象 6 【题型 5】画一次函数图象 6 【知识点四】一次函数的图象与性质 8 【题型 6】一次函数图象位置 8 【题型 7】一次函数图象位置与参数关系 9 【题型 8】一次函数图象与坐标轴交点 10 【题型 9】一次函数增减性与参数关系 10 【题型 10】比较一次函数值的大小 11 【知识点五】待定系数法求一次函数解析式 11 【题型 11】待定系数法求一次函数的解析式 12 【知识点六】一次函数图象的平移与垂直 12 【题型 12】一次函数图象的平移与垂直问题 13 二.同步检测 13 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） 13 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （三）解答题（共6题，合计58分） 16 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】描点法画正比例函数图象 描点法画正比例函数图象步骤： （1）列表：正比例函数一定过原点（0,0），再任意取一个不为 0 的自变量 ，算出对应的 ，列出两点坐标即可； （2）描点：在平面直角坐标系中，标出列表中算出的两个点； （3）连线：过这两个点画一条直线，并向两端延伸，就是正比例函数的图象。 【题型 1】画正比例函数图象 【例题1】（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    （1）列表： … 0 1 2 … … … （2）描点并连线． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）用你认为最简单的方法画出的图象． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． （2）探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ （3）灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如下图，在同一平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． （2）请你用量角器度量一下这两条直线的夹角，你发现这两条直线之间有什么位置关系？ 【知识点二】正比例函数的图象与性质 （1） 一般地，正比例函数（是常数，）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线； （2） 当时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，即随的增大而增大；当时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随的增大而减小. 【要点提示】（1）正比例函数图象是经过原点的一条直线；（2）的值越大，直线的倾斜程度越来越大；（3）直线与直线互相垂直。 用表格归纳如下： y=kx 图象 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 【题型 2】正比例函数图象的位置 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． （2）探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ （3）灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数的图象与x轴正半轴所夹的锐角为，则_____． 【变式3】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）已知函数．若该函数图象经过原点： （1）求的值； （2）该函数的图象经过第________象限． 【题型 3】正比例函数的性质 【例题3】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）已知关于的正比例函数． （1）若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； （2）若随的增大而减小，求的取值范围； （3）若点在该函数的图象上，求的值． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【变式3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个函数表达式； （2）判断点是否在这个函数图象上； （3）图象上的两点，如果，比较与的大小． 【题型 4】正比例函数与几何综合 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·宁夏银川·月考）在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． （1）求点A的坐标； （2）求所在直线的表达式． 【知识点三】描点法画一次函数图象 【题型 5】画一次函数图象 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）描点并连线． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如图，在同一平面直角坐标系内画出一次函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的夹角，你发现这两条直线之间有什么位置关系？ 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 【知识点四】一次函数的图象与性质 y=kx+b 图象 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【题型 6】一次函数图象的位置 【例题6】（25-26八年级上·广西崇左·月考）在同一个坐标系里画出函数，的图象，并填空： 函数 经过的象限 位置关系 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若点在第二象限内，则直线不经过第________象限． 【变式3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，在直角坐标系中作下列一次函数的图象，进行必要的标注与说明． （1）； （2）； （3）． 【题型 7】一次函数图象位置与参数关系 【例题7】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知关于x的一次函数． （1）当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （2）当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围______________． 【变式2】（25-26八年级下·重庆万州·月考）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【变式3】（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（）的图象经过第一、二、三象限． （1）求的取值范围； （2）当时，判断点是否在该函数图象上． 【题型 8】一次函数图象与坐标轴交点 【例题8】（25-26八年级上·江西吉安·期末）已知一次函数，当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）求这个一次函数图象与轴交点的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）直线经过点（____，0）和（0，____）． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式3】（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积． 【题型 9】一次函数增减性与参数关系 【例题9】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求的取值范围． 【变式1】（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知直线经过点．若，则的取值范围是______． 【变式3】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴交于点，点的坐标是． （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求自变量的取值范围． 【题型 10】比较一次函数值的大小 【例题10】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是 ______． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数的图象经过点，点均在一次函数的图象上，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为______． 【知识点五】待定系数法求一次函数解析式 1. 设（设解析式）：设一次函数解析式为：（为常数，）； 2. 代（代入已知点）：把题目给出的两个点的坐标，分别代入解析式，得到关于 的二元一次方程组； 3. 解（解方程组）：解方程组，求出和的值； 4. 写（写出解析式）：把求出的出、 代回，写出最终的一次函数解析式。 【题型 11】待定系数法求一次函数的解析式 【例题11】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知：一次函数的图象经过点，， （1）求这个一次函数的解析式． （2）点在这个函数图象上，求． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）若三点，，在同一直线上，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（福建福州市九校2025—2026学年下学期期中考试八年级数学试卷）一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线经过点和点． （1）求直线所对应的函数表达式． （2）通过计算判断点是否在直线上． 【知识点六】一次函数图象的平移与垂直 1、一次函数图象的平移 设解析式：， （1）当直线沿轴向上平移个单位：；向下平移个单位：； （2）当直线沿轴向左平移个单位：；向右平移个单位：； 2、一次函数图象的垂直 设两条直线：， 则有：. 【题型 12】一次函数图象的平移与垂直问题 【例题12】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）将直线平移得到直线，下列说法正确的是（  ） A．将向左平移个单位长度得到 B．将向左平移个单位长度得到 C．将向上平移个单位长度得到 D．将向上平移个单位长度得到 【变式2】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）与直线垂直且过点的直线解析式是____________． 【变式3】（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． （1）已知直线与直线垂直，求的值； （2）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； （3）已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 二.同步检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·一模）已知一次函数（k、b为常数，）的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 9 5 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（   ） A．9 B．5 C． D． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 6．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知两点，，以下各点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州遵义·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，已知，，直线经过点，当该直线平分矩形的面积时，直线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）直线与直线之间的距离是（   ） A．2 B．4 C． D． 9．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数的图象经过点，则m的值是______． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线: ，则直线一定经过点______． 13．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 14．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是直线上的两个点，则________．（填“”“ ”或“”） 16．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C，则点C的坐标为____________． 17．（24-25八年级上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是______． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为______． （三）解答题（共6题，合计58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． （1）求一次函数解析式； （2）点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·安徽六安·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． （1）求m和b的值； （2）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 21．（本小题满分10分）（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，平分交y轴于点M． （1）求点M的坐标； （2）求所在直线的解析式． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． （1）求点的坐标． （2）连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建漳州·期中）直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求点、的坐标； （2）以为斜边在第二象限作等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，点在线段上（不与点重合），点在上，、，，求与的函数关系式． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广东佛山·期末）从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． （1）【特例探究】当时，求与的值． （2）【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． （3）【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $