精品解析：山东枣庄市市中2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测考试数学试题

2025～2026学年第二学期高一年级期中质量检测考试 数学试题 2026.04 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，认真核对条形码上姓名考号等信息无误后将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂墨，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，考生用0.5毫米黑色签字笔按答题要求将答案、计算步骤、过程填写在答题卡相应位置上，写在试卷上无效. 4.考试结束，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以z的虚部为. 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知为等腰直角三角形，所以， 如下图所示，平面图形中， 所以. 3. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角等于（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正弦定理，将已知边和角代入求出角，利用三角形中“大边对大角”对角进行取舍. 【详解】解：由正弦定理得，，，， 代入得，解得， 因为，所以或. 又因为，所以，因此. 4. 已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出圆台上、下底面的半径和，母线长及高的值，再代入圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为，高为. 由圆台上、下底面面积分别是，，可得，解得， 由圆台的侧面积是，可得，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积为. 5. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量模的运算，数量积的运算律得，再结合投影向量的公式求解即可. 【详解】设向量，的夹角为，由题意知，， 因为， 所以，即，解得， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量为， 6. 已知圆锥的底面半径为4，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 48 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，解得， 则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，设顶角为， 可得，所以； 可知过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面是以为腰的等腰三角形， 设顶角为，则三角形面积. 当时，截面面积取得最大值为. 7. 枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据在A处、B处的仰角求出，然后在中利用余弦定理求解. 【详解】由题意，设， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 则，（米）. 8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简已知等式得，再利用正弦定理得，求出即得解. 【详解】由题得， 因为， 所以， 所以, 因为，所以. 由正弦定理得， 所以 ，其中， 所以的最大值为，此时. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 给出下列命题中，其中正确的选项有（ ） A. 若非零向量，满足：，则与共线且反向 B. 若非零向量，满足：，则与的夹角为30° C. 若，，与的向量夹角为钝角，则m取值范围为 D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，等式两边平方后可求向量的夹角，故可判断其正误；对于B，根据以为三边的三角形为等边三角形可判断其正误，对于C，根据数量积为负及向量不共线反向可判断其正误，对于D，根据向量隐含的几何意义可判断其正误. 【详解】选项A，对非零向量， ， 若成立，即成立， 则，即，所以与共线且同向，错误； 选项B：非零向量满足， 则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，正确； 选项C：因为与的向量夹角为钝角，故且不共线反向， 故且，故且，故C错误； 选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线， 又因为，即， 所以，即为等腰三角形，D正确. 10. 在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).若，记为方程的一个虚数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】令，解得或； 由，解得，即是的两个复数根. 对于A，为方程的一个虚数根，即满足，，故A正确； 对于B，是的两个复数根，，故B错误； 对于C，与互为共轭复数，，故C正确； 对于D，由，得； 若，则；若，则；故D错误. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且，下列正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断D；由正弦定理得，再求出角的范围判断C. 【详解】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B错误； 对于C，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，C正确. 对于D，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，D正确； 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 13. 已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【解析】 【分析】将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可； 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 14. 在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. （1）求m的值； （2）求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1） 应用纯虚数定义列式计算求解； （2）应用复数的乘方总结特征计算求解. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 则， 即， 所以或且，， 解得，所以m的值为3. 【小问2详解】 由（1）知，又，，，， 则（）， 所以 16. 如图，在中，是边上的中线，点M满足，连接交于点P. （1）用，表示； （2）已知，，，求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解即可； （2）建立平面直角坐标系，将问题转化为求，利用坐标运算求解可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 以A为原点，建立如图所示直角坐标系， 由，，，可得，，， 因为是边上的中线， 则，， 所以， 因为 ， ，， 所以. 17. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. （1）求角C的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）解法一：根据余弦定理结合可求得，进而根据三角形的面积公式求解即可；解法二：根据结合平面向量的数量积的运算律可得，再根据余弦定理求得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）利用等面积法可得，再根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由 根据正弦定理，得， 则， 因为，所以，则，故. 【小问2详解】 解法一：因为，N为的中点，则， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，解得， 故的面积为； 解法二：因为N为的中点，则， 所以， 即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. 【小问3详解】 因为，角C的角平分线交于D点， 所以，又， 则由，得， 所以，由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故面积的最小值为. 18. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边BD所对的角为A，中边所对的角为C，经测量知，. （1）若，求角C； （2）霍尔顿发现无论多长，是一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求出； （2）在中，用余弦定理表示，在中，用余弦定理表示，即可证明； （3）分别表示出和，则，由（2）代入消去角C，利用三角函数求最值. 【小问1详解】 由，， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 又，所以是等边三角形，所以 【小问2详解】 在中， 由余弦定理得， 在中， 由余弦定理得. 所以为定值； 【小问3详解】 ，， 则， 由（2）知：， 代入上式： ， 令，， 所以当时，取到最大值. 19. 在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：； ②已知三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.若，P是内一点，过P作，，的垂线，垂足分别为D，E，F，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值； （2）①利用数量积的定义，得到，根据向量数量积以及向量的模证明即可. ②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以， 故，又，所以. 【小问2详解】 ①设，， 由，得， 从而， 即. ②. 又，，，， . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当，即时等号成立. 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，因为，当且仅当时等号成立， 又因为，所以，即， 则，则， 令，则y有最小值，此时，即， 此时T有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高一年级期中质量检测考试 数学试题 2026.04 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，认真核对条形码上姓名考号等信息无误后将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂墨，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，考生用0.5毫米黑色签字笔按答题要求将答案、计算步骤、过程填写在答题卡相应位置上，写在试卷上无效. 4.考试结束，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形中最长的边长等于（ ） A. 2 B. C. D. 3. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角等于（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为4，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 48 7. 枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 给出下列命题中，其中正确的选项有（ ） A. 若非零向量，满足：，则与共线且反向 B. 若非零向量，满足：，则与的夹角为30° C. 若，，与的向量夹角为钝角，则m取值范围为 D. 在中，若，则为等腰三角形 10. 在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).若，记为方程的一个虚数根，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且，下列正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 13. 已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 14. 在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. （1）求m的值； （2）求的值. 16. 如图，在中，是边上的中线，点M满足，连接交于点P. （1）用，表示； （2）已知，，，求的余弦值. 17. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. （1）求角C的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 18. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边BD所对的角为A，中边所对的角为C，经测量知，. （1）若，求角C； （2）霍尔顿发现无论多长，是一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 19. 在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：； ②已知三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.若，P是内一点，过P作，，的垂线，垂足分别为D，E，F，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $