精品解析：江西萍乡实验学校正心学院2025-2026学年第二学期高二数学期中模拟二

萍乡实验学校正心学院2025-2026学年第二学期高二数学期中模拟二 时间：120分钟 总分：150分 姓名： 班级： 学号： 命题人：肖国鹏 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 2. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 11 B. 22 C. 44 D. 88 3. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 4. 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ） A. 3月5日或3月16日 B. 3月6日或3月15日 C. 3月7日或3月14日 D. 3月8日或3月13日 5. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 6. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：） A. 5.3 B. 4.6 C. 7.8 D. 6 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，将其变换后得到，则的值分别是和 C. 若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 D. 通过经验回归方程及系数可以精确反映变量的取值和变化趋势 10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为22 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，共15分.） 12. 已知为函数的导函数，若，则___________． 13. 在数列中，，则的通项公式为______． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为______． 四、解答题（共5个小题，共77分，解答应写出证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的极值． 16. 已知数列中，，． （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 17. 某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 （1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 18. 已知数列的前n项和为． （1）求证：数列是等差数列； （2）设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，且. （1）求; （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡实验学校正心学院2025-2026学年第二学期高二数学期中模拟二 时间：120分钟 总分：150分 姓名： 班级： 学号： 命题人：肖国鹏 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 2. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 11 B. 22 C. 44 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得，所以． 3. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 4. 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ） A. 3月5日或3月16日 B. 3月6日或3月15日 C. 3月7日或3月14日 D. 3月8日或3月13日 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式列方程求解. 【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积分为． 假设他连续打卡天，第天中断了， 则他所得积分之和为 ，化简得， 解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断”两次求和公式的应用. 5. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 6. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：） A. 5.3 B. 4.6 C. 7.8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设每年存入万元，分别求出2021年初至2027年初到2027年底的所有本利和，求和即可求解. 【详解】设每年存入万元， 则2021年初存入的钱到2027年底本利和为， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为， …… 2027年初存入的钱到2027年底本利和为， 则， 即，解得. 故选：A. 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，将其变换后得到，则的值分别是和 C. 若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 D. 通过经验回归方程及系数可以精确反映变量的取值和变化趋势 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识逐项进行判断. 【详解】对于，根据独立性检验的性质知，的值越大，说明两个事件的相关程度越大，A正确； 对于B，由，两边取自然对数得，设，则， 由，得，则，B正确； 对于C，由变量和间的样本相关系数，得变量和间具有很强的线性相关性，且是负相关，C正确； 对于D，通过经验回归及系数，可以预测变量的取值和变化趋势，D错误. 故选：ABC 10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为22 【答案】AC 【解析】 【详解】由​，可得：, ，则， 所以数列的公差，故A正确； 等差数列前项和 ，因此， 即公差为的等差数列，与原数列公差不相等，故B错误； 由，，，可知等差数列前11项均为正，从第12项开始为负，因此最大，故C正确； 利用等差数列求和公式计算可得， ，， 因此要使的正整数的最小值为，不是，故D错误. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围. 【详解】对于A：当时，令，得， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 所以有三个零点，故A正确； 对于B： 当时，，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误； 对于C：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在取到极大值，极大值为， 且当时，；，， 所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下： 由图可知，，，都有， 所以，故C正确； 对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点， 所以，即，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，共15分.） 12. 已知为函数的导函数，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出导函数即可计算求解. 【详解】由题可得，所以. 故答案为： 13. 在数列中，，则的通项公式为______． 【答案】； 【解析】 【分析】求出，利用累加法求和得到通项公式. 【详解】， 故， 所以 . 故答案为： 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得， 又为偶函数，则，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变换成，利用的单调性和奇偶性进行求解. 四、解答题（共5个小题，共77分，解答应写出证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1） （2）在处取得极小值，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据条件得，列出等式求解即可； （2）通过研究，求得在的单调性，进而求出的极值． 【小问1详解】 ，因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得， 所以的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点， 因此函数在处取得极小值，无极大值，， 所以函数在内的极小值为，无极大值． 16. 已知数列中，，． （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求首项，再根据等比数列的定义证明为常数； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再根据等差和等比数列的前项和公式，利用分组转化法求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：， 则 17. 某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 （1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】（1）模型②； （2）（i）（ⅱ）27.1亿元 【解析】 【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小得出结论； （2）（i）两边取自然对数，转化为线性回归方程求解，再转化为指数式即可； （ii）根据（i）的结论预测销售额y达到80亿元时研发投入即可得解. 【小问1详解】 由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. 【小问2详解】 （i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 18. 已知数列的前n项和为． （1）求证：数列是等差数列； （2）设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据与的关系化简求证即可； （2）①先根据等差数列的定义得到，进而得到，根据错位相减法计算即可； ②化简不等式为，令，结合数列的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， ，则对任意的恒成立， 令， 为递减数列，则当时，． 19. 已知函数，且. （1）求; （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）证明：由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【小问1详解】 由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $