8.3 正态分布（教学课件）数学苏教版选择性必修第二册

8.3 正态分布 第8章 概 率 苏教版·选择性必修第二册 章节导读 8.1条件概率 8.2 离散型随机变量及其分布列 8.3 正态分布 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率 离散型随机变量的 数字特征 随机变量及其分布列 正态分布 二项分布 超几何分布 学 习 目 标 1 2 3 了解正态分布在实际生活中的意义和作用. 掌握正态分布3σ原则及实际应用． 掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质. 一般地，若一个随机变量X的分布列为 记为H(r；n，M，N). 其中n，N，M∈N+，M≤N，n≤N，r＝m，m+1,…，l，m＝max{0，n-N+M},l＝min{n，M}， 则称X服从超几何分布（hypergeometric distribution)，记为X～H(n，M，N)，并将 样本中不合格品数 样本中不合格品总数 样本容量 总体中的个体总数 1.超几何分布： 知识回顾 2、超几何分布的数学期望、方差和标准差 一般地，当随机变量X～ H(n，M，N)时， (1)数学期望(均值)： (2)方差： (3)标准差： 知识回顾 新知导入 二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量分布的数学模型，在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值．这类随机变量就是连续型随机变量. 例如，在必修“统计”一章中给出的金属棒长度的样本数据如下： 6.02 6.01 6.04 5.94 5.97 5.96 5.98 6.01 5.98 6.02 6.00 6.03 6.07 5.97 6.01 6.00 6.03 5.95 6.00 6.00 6.05 5.93 6.02 5.99 6.00 5.95 6.00 5.97 5.96 5.97 6.03 6.01 6.00 5.99 6.04 6.00 6.02 5.99 6.03 5.98 测量一次，你能确定测量的结果在区间（5.97，6.03）上的概率吗？ 新知探究 要解决这样的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律.为此，将这组数据以0.02为组距进行分组，可得频率分布直方图： 这个直方图大体呈中间高、两边低、左右大致对称的特点．如果增加更多的测量数据，那么这种趋势会更加明显. 如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线. 问题1：如果将数据无限增多且组距无限缩小，上述频率分布直方图有何变化？ 新知探究 一、概率密度曲线 如果将数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线. 问题2：概率密度曲线有什么特点？ 1.曲线存在一条过曲线峰顶的对称轴； 2.数据的平均值就在曲线峰顶在x 轴上垂直投影处； 3.在平均值附近的值相对较多，而远离平均值的值相对较少，即很小或很大的数据值所占的比例差不多且很小.（中间高，两头低） 新知探究 二、正态密度曲线 函数 的图象与上述曲线(概率密度曲线)非常 吻合，我们称P(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线.这里有两个参数μ(平均值)和σ(标准差) ，其中σ >0，μ∈R. 新知探究 问题3：我们都知道，在函数 中，有m 和s 两个参数， 试探究随着m 或s 的变化，函数的图象(即正态密度曲线)有什么变化？请举例说明。 分析：不同的μ 和s 对应着不同的正态密度曲线，如： 新知探究 问题4：利用正态密度曲线及解析式分析正态密度曲线有什么特点？ (1) 位置：曲线在 x 轴上方. (2) 对称性：曲线关于直线 x＝m 对称. (3) 增减性：当x ＜m 时，曲线上升，当x ＞m 时，曲线下升；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. (4) 最大值： 当 x＝m 时， 最大， 此时 . (5) 形状：当m一定时，曲线的形状由s 确定，s 越大，曲 线越“扁平”，表示的总体分布越分散；s 越小，曲线越“尖陡”，表示的总体分布越集中. (6) 在曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积之和为1. 新知探究 总结：正态密度曲线的特征 (1)当x＜μ 时，曲线上升，当x＞μ 时，曲线下降； 当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线； (2)曲线关于直线 x＝μ 对称； (3)s 越大，曲线越扁平，s 越小，曲线越尖陡； (4)在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。 三、正态分布 新知探究 设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a＜X≤ b)是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数μ和 s 的正态分布（normal distribution），简记为X ～ N (μ，s 2 ). 正态分布在统计学上的应用始于拉普拉斯和高斯．1893年，英国数学家皮尔逊（K.Pearson，1857—1936）首先使用“正态分布”这一名称． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. 任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题. 新知探究 四、正态分布的3σ原则 若X ～ N(m，s 2)，则随机变量X在m的附近取值的概率很大，在离m很远取值的概率很小。 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826 P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544 P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974 注意：(1)事实上， μ就是随机变量的均值， s 2就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度； (2)随机变量X在区间(μ－3σ， μ＋3σ)以外取值的概率非常小，在这种情况下，一次试验中事件几乎不可能发生。 新知导入 回顾导入：在必修“统计”一章中给出的金属棒长度的样本数据如下： 6.02 6.01 6.04 5.94 5.97 5.96 5.98 6.01 5.98 6.02 6.00 6.03 6.07 5.97 6.01 6.00 6.03 5.95 6.00 6.00 6.05 5.93 6.02 5.99 6.00 5.95 6.00 5.97 5.96 5.97 6.03 6.01 6.00 5.99 6.04 6.00 6.02 5.99 6.03 5.98 测量一次，你能确定测量的结果在区间（5.97，6.03）上的概率吗？ 由于随机的测量误差，使得测量的长度L服从均值约为6的正态分布，再用样本方差估计总体方差，得σ≈0.031，故随机测量一次，其测量的长度在区间（5.97，6.03）上的概率约为68.3％． 典例分析 例1.已知随机变量Z～ N(0，1)，查标准正态分布表，求： (1)P(Z≤1.52)；(2)P(Z＞1.52)； (3)P(0.57＜Z ≤2.3)； (4)P(Z ≤ －1.49)。 解：(1)P(Z≤1.52)＝0.9357 (2)P(Z＞1.52)＝1－P(Z≤1.52) ＝1－0.9357＝0.0643 (3)P(0.57＜Z ≤2.3) ＝P(Z ≤2.3)－ P(Z≤0.57) ＝0.9893－0.7157＝0.2736 (4)P(Z ≤ －1.49)＝P(Z ≥1.49)＝1－P(Z＜1.49)＝1－0.9319＝0.0681 说明：标准正态分布表是针对Z ≥0设计的，若Z＜0，则需转换再查，查表前，可画个草图，以帮助查表。 典例分析 例2.某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184，2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在179g与189g之间的概率。 分析：当X~N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠0)时， 服从标准正态分布N(0，1)。 解：(1) P(X＞184.5)＝P( ) ＝P(Z＞0.2)＝1-P(Z≤0.2)＝1－0.5793＝0.4207 (2)P(179＜Z ≤189)＝P( ) ＝P(－2＜Z ≤2)＝P(Z ≤2)－P(Z≤－2) ＝P(Z ≤2)－P(Z≥2)＝P(Z ≤2)－[1－P(Z ≤ 2)] ＝2P(Z ≤2)－1＝2×0.9772－1＝0.9544 答 随机抽取１罐，其净重超过184.5ｇ的概率是0.4207，净重 在179ｇ与189ｇ之间的概率为0.9544． 总结：正态分布与标准正态分布的转换 当X~N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠0)时， 服从标准正态分布N(0，1). 即时训练 练1：设两个正态分布N(m1，s12)(s1>0)和N(m2，s22)(s2>0)的密度函数图象如图所示, 则有( ) A.m1<m2，s1<s2 B. m1<m2，s1>s2 C. m1>m2，s1<s2 D. m1>m2，s1>s2 A 解：∵ x＝m 是对称轴， ∴ m 1＜m 2 s确定峰值，当 x=m时， s 越大, 峰值越小，∴ s 1＜s 2 即时训练 练2：已知随机变量x 服从正态分布 N(0，s2)，若P(x ＞2)＝0.023，则 P(－2≤x ≤ 2)等于( ) A.0.477 B. 0.628 C.0.954 D.0.977 解：由N(0，s2) 知，x＝m ＝0 是对称轴 (如图)， ∵ P(x ＞2)＝0.023， ∴ P(x＜－2)＝0.023 则 P(-2≤x ≤2) ＝1－2×0.023＝0.954 x y O 2 -2 C 即时训练 练3：若变量X~N(m，s2)，则X 位于区域 (m，m+s ]内的概率是_______. 解：若 X~N(m，s 2)，则P(m-s <X ≤m+s)＝0.6826， 因为正态曲线关于直线 x=m 对称, 所以 P(m <X≤m+s)＝0.3413 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826 即时训练 练4：在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在[80,100]间的考生大约有多少人？ 解析:∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10. (1)由于X在区间[μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 5， 而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110， 于是考试成绩X位于区间(70,110)上的概率就是0.9545. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. ∵变量X在区间[μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 7， ∴考试成绩X位于区间[80,100]内的概率是0.682 7， ∵一共有2 000名考生， ∴考试成绩在[80,100]间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人)． 课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 1.正态密度曲线 函数 的图象与上述曲线(概率密度曲线)非常 吻合，我们称P(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线.这里有两个参数μ(平均值)和σ(标准差) ，其中σ >0，μ∈R. 2.正态密度曲线的特征 (1)当x＜μ 时，曲线上升，当x＞μ 时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线； (2)曲线关于直线 x＝μ 对称； (3)σ 越大，曲线越扁平，σ 越小，曲线越尖陡； (4)在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。 课堂小结 3.正态分布 设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a＜X≤ b)是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数μ和 σ 的正态分布（normal distribution），简记为X ～ N(μ，σ 2 ). 4.标准正态分布的定义 当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，正态分布N(0，1)称为标准正态分布，其相应的函数表达式是 5.正态分布与标准正态分布的转换 当X~N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠0)时， 服从标准正态分布N(0，1)。 具体地，如下图所示，随机变量X取值 若X ～ N(m，s 2)，则随机变量X在m的附近取值的概率很大，在离m很远取值的概率很小。 落在区间(μ－σ， μ＋σ)内的概率约为68.3%； P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826 落在区间(μ－2σ， μ＋2σ)内的概率约为95.4%； 落在区间(μ－3σ， μ＋3σ)内的概率约为99.7%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544 P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974 6.正态分布中随机变量在相关区间取值概率的大小 课堂小结 课后检测 书本138~139练习1-3 1.已知随机变量Z～ N(0，1)，查标准正态分布表，求： (1)P(Z≤2.75)；(2)P(Z＜0.5)； (3)P(Z＞-1.5)； (4)P(2＜Z ＜2.9)；(5)P(-2＜Z ≤2.9)； 解：(1)P(Z≤2.75)=0.9970 (2)P(Z＜0.5)=0.6915 (3)P(Z＞-1.5)=P(Z＜1.5)=0.9332 (4)P(2＜Z ＜2.9)=P(Z ＜2.9)-P(Z ≤2)=0.9981-0.9772=0.0209 (5)P(-2＜Z ≤2.9)=P(Z ≤2.9)-P(Z ≤-2)=P(Z ≤2.9)-[1-P(Z ≤-2)]=0.9981-（1-0.9772）=0.9753 课后检测 书本138~139练习1-3 2.已知随机变量ξ～ N(2，2.52)，查标准正态分布表，求： (1)P(0＜ξ＜1.90)；(2)P(-1.83＜ξ＜0)； (3)P(|ξ |＜1). 课后检测 书本138~139练习1-3 3.某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为10000kg/cm2，标准差是100 kg/cm2.测量记录精确到50 kg/cm2. (1)求抗拉强度超过10150kg/cm2的元件的比例; (2)如果要求所有元件的抗拉强度在9800~10200kg/cm2的范围内，那么被报废的元件的比例是多少? 解：设抗拉强度X~N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠0)时， 服从标准正态分布N(0，1)。 μ=10000，σ =100 答：抗拉强度超过10150kg/cm2的元件的比例为6068%. 答：被报废的元件的比例是4.56%. 感谢聆听! $