数学终极押题猜想（江苏连云港专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 三角形的三边关系 1 押题猜想二 几何图形的折叠问题 5 押题猜想三 平行线的性质 17 押题猜想四 几何图形中的动点问题 23 押题猜想五 概率 31 押题猜想六 数据分析 35 押题猜想七 二元一次方程组的应用 39 押题猜想八 锐角三角函数的应用 44 押题猜想九 二次函数 51 押题猜想十 几何综合探究题 57 押题猜想一 三角形的三边关系 试题前瞻·能力先查 限时：3min 【原创题】已知，，为△ABC的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则△ABC的周长为_______． 【答案】10 【详解】解：∵，满足，， ∴ 且 ， 解得： ， 在中，∵， ∴ ， ∵ 为偶数， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：10． 分析有理·押题有据 结合近五年连云港中考真题来看，本题型大多出现在试卷前面选择题，整体难度简单。主要考查三角形两边之和大于第三边的基本定理，一般给出几组线段判断能否围成三角形，只需比较较短两边之和与最长边即可快速得出答案。题型固定、陷阱较少，属于整张试卷必拿基础分数，每年考查概率很高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·一模）5张不同卡片分别写有数字，，，，，从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 从张不同卡片中任意取出张，总共有种不同的取法，所有取法为： ，，，，，，，，，， ∵三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需满足最小两边之和大于最大边即可构成三角形， ∴不能构成三角形的取法为，，， ∴其中符合条件的取法共种， ∴ 所求概率为 ． 2．（2026·江苏南京·一模）等腰的周长是，腰长，则底边_____． 【答案】2 【详解】解：∵等腰的周长是，腰长， ∴底边． 此时等腰的三边长为、、，满足三角形三边关系，符合题意； ∴． 故答案为：2． 3．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 4．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 5．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得或， ∵三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边满足， 即， ∴不符合三边关系，舍去； 符合要求， ∴三角形的周长为． 6．（2026·河北邯郸·一模）若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设三角形的一边长是x， ∴另外两边的和是， 则，解得：， ∴三角形边长的最大值应小于， 故选：D． 7．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 8．（2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得，解得， 观察四个选项可知，m的值不可能为6． 押题猜想二 几何图形的折叠问题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则FH的长为__________． 【答案】6.5 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴， 解得：， 分析有理·押题有据 从连云港历年中考命题规律来看，折叠常出现在填空或选择靠后位置，难度中等。多以正方形、长方形折叠为背景，利用折叠前后边相等、角相等、图形全等的特点出题，经常搭配勾股定理设未知数解方程计算长度。部分题目需要多种情况分类讨论，容易粗心丢分，是几何高频重点题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，两条对角线交于点，将沿翻折到，交于点，连接分别交于点．若，，则______，______． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可得，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点分别在上，，连接，将沿翻折，得到，交于点，当时，折痕的长度为___________． 【答案】 【详解】解：过点D作于点H， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴ 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 4．（2026·湖南·模拟预测）如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由折叠性质可知，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，则的长度为______． 【答案】 【详解】解：如图，在的延长线上取一点，使得， 则， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则， 由翻折的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 6．（2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，连接，过点作交于，已将沿翻折得，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，折痕的长 D．当是等腰三角形时，的长 【答案】D 【详解】解：由翻折可得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴A正确，不符合题意； 当时， 与的交点记作点，延长，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴B正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， ∴C正确，不符合题意 当是等腰三角形时， 若， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， 若， 作于点，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若， 作，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴方程在实数范围内无解， ∴， ∴当是等腰三角形时，的长或， ∴D不正确，符合题意. 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为（    ） A．5 B． C．5或 D．5或 【答案】D 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外）， ∴点的对应点关于对称， 当点在边上时，如图， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：的长为或， 故选：D 押题猜想三 平行线的性质 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【新情景】通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 分析有理·押题有据 根据连云港近几年中考考情，平行线相关题目多为简单选择填空题，难度很低。主要考查同位角、内错角、同旁内角之间角度换算，有时结合对顶角、角平分线一起综合考查。图形简单、思路直白，是几何入门基础考题，每年必考，熟练性质就能轻松得分。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知，且平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，已知，当时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，作， ∵， ∴， ∵一副三角尺放置于两条平行线之间， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·江苏扬州·一模）光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 【答案】 【详解】解：∵光线在空气中也平行，.， ∴, ∵液面和底面平行，， ∴, ∴． 6．（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【答案】/度 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ，， ， ， 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，直线，且、之间的距离为，中，，顶点，，分别落在、、上，与相交于点．当、之间的距离为时，则的最小值是___________；当、之间的距离为时，则的最小值是___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，取得最小值，即最小为， ∴的最小值为； 当时，的最小值为． 故答案为：；． 押题猜想四 几何图形中的动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】正方形边长为4，点为边的中点，点是正方形内一动点，且，点为线段的中点，连接，，则MP+PD的最小值为_______________． 【答案】5 【详解】解：取的中点M，连接，，如图： ∵正方形的边长为4，点O为边的中点， ∴， ∵点M为线段的中点，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 分析有理·押题有据 纵观连云港中考趋势，动点问题常在填空压轴或中档解答题出现，难度中上。多以三角形、菱形、正方形为背景，考查点运动过程中线段长短、图形面积、最短距离最值。解题常用化动为静思想，结合将军饮马、勾股定理求解，综合性较强，比较考验几何思维，是拉开分数的常见题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 【答案】1 【详解】解：连接， 由旋转的性质可知， 四边形是正方形 ，， ∠ADE=∠CDF 在和 中 ， 当时，的长度最小，如图： 四边形是正方形 ∴ ∵，， ∴ 在中，，是的中点， 由勾股定理得， ∴在中， ∴线段长的最小值为1． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作于点M，于点N，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， ∴当时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 4．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点在的延长线时，的长度取得最大值， 由题意得，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 【答案】 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， 连接， ∵， ∴； 连接， ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 【答案】1或3或 【详解】解：当点落在上时，如图， ∵矩形，折叠， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或； ②当点落在上时，如图，此时两点重合， ∵矩形， ∴，∠B=900， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ∴； 综上：或或． 押题猜想五 概率 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】为了更好的开展体育活动，老师调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． (1)明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； (2)小明和小华是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一共有4种等可能的分组结果，其中属于球类运动项目的结果有3种． 因此小明恰好被分到球类运动项目的概率为． （2）解：画树状图如图， ∴所有等可能的结果共有16种，其中小明和小华被分到同一组的结果有4种． 因此他俩明天被分到同一组的概率为． 分析有理·押题有据 结合连云港本地中考出题风格，概率题目位置靠前，难度基础易懂。常以摸球、转盘、投掷物品为情境，考查简单随机事件概率求解，牢记概率公式即可计算。偶尔出现列表法、树状图两步概率问题，整体计算量小，套路固定，属于稳拿满分的送分题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·二模）某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《将进酒》、B．《夜雨寄北》、C．《念奴娇·赤壁怀古》这三首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C为宋词）．该班的小明和小雪参加了此次大赛． (1)小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是________； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择唐诗的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，共有3种等可能的选择结果，其中小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的结果有1种， 因此小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是； （2）解：根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人之间只有一人选择唐诗的结果有4种， 因此两人之间只有一人选择唐诗的概率为． 2．（2026·江苏扬州·一模）今年春假期间，扬州市国有收费景区面向全国小学、初中学生实行日间免费入园政策．小明和小亮两位同学跟随家长来扬州研学旅游，他们计划4月1日从以下3个扬州热门免费景区中各自随机选择1个作为当天的出游目的地．三个景区分别为：A． 瘦西湖；B． 个园；C． 何园． (1)小亮同学4月1号当日恰好选择“A．瘦西湖”的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求4月1日他们两人中至少有一人选择“B． 个园”的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：小亮同学4月1号当日恰好选择“A．瘦西湖”的概率为； （2）解：根据题意，画出树状图，如下图： 共有9种等可能的结果，其中至少有一人选择“B． 个园”的结果有5种， 所以4月1日他们两人中至少有一人选择“B． 个园”的概率为． 3．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）某班开展综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”（分别记作A，B，C，D）共四个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“文学”的概率为__________； (2)将这四张卡片背面朝上洗匀后，第一小组代表从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，第二小组代表从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组卡片内容相同的概率． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：抽到的卡片内容是“文学”的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中这两个小组研究方向相同的结果有4种， 这两个小组研究方向相同的概率为． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）为奋力落实好“健康第一”的理念，学校决定进一步丰富同学们大课间的活动内容，每个同学都能从足球、篮球和羽毛球三个社团中任意选择一个参加活动．甲、乙、丙三名同学各随机选择了一个社团，而且选择的社团均不相同． (1)甲同学选择羽毛球社团的概率是______． (2)求甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：甲同学选择羽毛球社团的概率为：， （2）解：设足球社团为A，篮球社团为B，羽毛球社团为C， 根据题意画树状图如下： 一共有6种等可能的结果，其中甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球有1种， 故甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率． 押题猜想六 数据分析 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】某校在“建军节”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了红色知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩(单位：分满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 抽取的成绩统计图 A组： B组： C组： D组： （x表示成绩） 其中B组共有15个成绩， 从高到低分别为： 89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80，80， 80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为 分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】(1)84 (2)50； (3)估计本次竞赛的获奖人数为120名 【详解】（1）解：直接利用平均数公式计算得： ， B组15个成绩的平均数为84分； （2）解：， 本次被抽取的所有成绩的个数为50， 成绩从高到低排列，中位数为第25和第26位学生成绩的平均数， 组人数为人， 中位数为：分， （3）解：用总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比可得： （名， 答：估计本次竞赛的获奖人数为120名． 分析有理·押题有据 从近五年连云港试卷分析，数据分析均为基础小题，难度简单稳定。重点考查平均数、中位数、众数、方差的计算与实际意义，有时搭配条形图、扇形图读取信息答题。知识点单一、步骤简单，只需细心排序、准确计算就能答对，是统计板块必考常规题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 【答案】(1)6； (2)B (3)该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 【详解】（1）解：总人数， 故，． （2）解：样本总人数为40人， 按视力从高到低排序，中位数应为第20位和第21位数据的平均数，A组有4人，A组和B组共有人，所以第20位和第21位数据均落在B组，故中位数所在组别为B组． （3）解：（人）， ∴该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 2．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 人数（频数） 2 8 14 12 4 根据所给信息，解答下列问题． (1)这40名学生视力的中位数落在__________组内；（用表示组别的字母进行填写） (2)该校八年级共有600名学生． ①根据表中数据，请估计这600名学生的视力在范围内的人数； ②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为283人．如果你是该校的一名学生，请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 【答案】(1)C； (2)①估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数约为240名；②今年比去年视力在该范围内的人数明显减少，建议：保护性用眼，保持环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射． 【详解】（1）解：这名学生视力的中位数是第个数据的平均数而这个数均落在组， 这名学生视力的中位数组； （2）解：①（名）， 答：估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数约为240名； ②去年视力在范围内的人数为283人，今年视力在范围内的人数约为240人，今年视力在该范围内的人数明显减少， 建议：保护性用眼，保持环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射． 3．（2026·江苏徐州·一模）某校从九年级男生中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为分）．乙组成绩统计图人数/人 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)这个学生成绩的中位数是_______；甲组成绩的众数_______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)经计算甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】(1)分； (2)分 (3)乙组的成绩比较整齐 【详解】（1）解：将甲、乙两组成绩的个数据从小到大排列，其中，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人， 第个和个数据都是分， 这个学生成绩的中位数是（分）； 根据统计图和统计表数据可知，甲组成绩中得分为分的人数最多，乙组成绩中得分为分的人数最多， 甲组成绩的众数为分，乙组成绩的众数为分， 甲组成绩的众数乙组成绩的众数； （2）解：乙组的平均成绩为（分）； （3）解：甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，， 乙组的成绩比较整齐． 4．（2026·江苏无锡·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E (1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； (2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； (3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 【答案】(1)； (2) (3)人 【详解】（1）解：∵；， ∴样本容量是；组视力在扇形统计图中对应的圆心角为； （2）解：∵， 由表格可知，数据由小到大频数分别是，第个数在组， ∴视力的中位数落在组； （3）解：∵， ∴， ∴估计全校九年级学生中视力正常的人数为人. 押题猜想七 二元一次方程组的应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【新题型】仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 分析有理·押题有据 按照连云港中考出题安排，方程组应用题属于中间解答中档题，难度适中。多结合购物销售、行程路程、工程干活等生活实际情景出题，要求读懂题意找出两组等量关系列出方程组求解。注重数学联系生活，解题模板固定，多加练习就能熟练掌握，属于必须拿到手的中档分值。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【答案】平方米 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ∴，，， ∴， 解得：， ∴每一个小长方形的面积为平方米， ∴该试验田的面积为平方米． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 3．（2026·河南周口·二模）新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 【答案】(1)装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人 (2)①表中a的值为500；②当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润 【详解】（1）解：设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人， 则依题意，可列二元一次方程组为：， 解得， 答：装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人． （2）解：①根据题意，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：表中a的值为500． ②当时，， 设购进中堂画m幅，则购进对幅条， 根据题意，得：， 解得， 设销售利润为w元， ， ， ∴当时，w有最大值，此时对幅， 答：当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润． 4．（2026·河南·模拟预测） 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： (1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？ (2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示） (3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？ 【答案】(1)A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元 (2)， (3)当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算 【详解】（1）解：设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元， 由题意，得， 解得， 答：A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元； （2）解：当小艾在线下商店购买时，需要：元； 当小艾采用线上购买时，需要：元； （3）解：当选线下时，，解得； 又∵， ∴； 当选线上时：，解得， 又∵， ∴； 答：当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算． 押题猜想八 锐角三角函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】小丽一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)B，C两地的直线距离约为千米 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为千米． 分析有理·押题有据 参考连云港历年中考结构，解直角三角形应用题固定作为中档大题考查，难度中等。常以仰角俯角、方位角度、坡度坡比测量高度距离为背景，需要自行作垂线构造直角三角形，利用正弦余弦正切边角关系计算。题目贴近生活测量场景，思路统一方法固定，是每年必考几何应用题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，∠ABD=900， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 又， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：延长交水平线于点，可得（为竖直信号杆，为水平地面），因此和均为直角三角形， 在中：米，， 根据三角函数定义：， ， 在中：，， ∴， ∴． 3．（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】最大宽度 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： 根据题意，可知，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时，，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．求小桌板桌面的宽度（参考数据，，） 【答案】小桌板桌面的宽度约为 【详解】解：如图所示，延长交于点E，延长交于点F， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：小桌板桌面的宽度约为． 押题猜想九 二次函数 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【改编题】在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴该抛物线的顶点在第一象限． （2）解：①将代入， 得， ∴， ∴此抛物线的表达式为． ②根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 从连云港中考压轴规律来看，二次函数基本固定倒数大题位置，难度偏高综合性强。考查函数图像性质、对称轴顶点坐标、增减变化、最值求解，经常和几何图形面积、动点存在性问题结合一起考查。需要数形结合、方程思想综合运用，计算量大思维要求高，是尖子生拉开差距的核心代数压轴题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围； (3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ， 两式相减得， ； （2）解：当时，， 将代入得，，解得， ， 对称轴为直线， 函数的图象同时经过点，， ， ， ， ，即， ， ， 对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 的取值范围是． （3）解：由（1）知，中， 将代入得，， ， ， 当时，如图， 当时，； 当时，，解得； 即； 当时，如图， 当时，； 当时，，解得； 即； 综上，的取值范围为或． 2．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴有交点， ， ， 又， ， 解得； （2）解：二次函数中，， 二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象与直线有两个交点， 函数的最小值小于， 函数的最小值为， 即， 解得； （3）解：证明：当时，， 二次函数的图象不经过原点． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是______，______； (3)已知，．若该函数的图像与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3)或 【详解】（1）证明：当时， ， ， ∴不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； （2）解：当时，； 当时，； ∴该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是、； （3）解：当时，抛物线开口向上，经过定点、，如图， 点在第一象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则有； 当时，抛物线开口向下，经过定点、，如图， 点在第二象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则点只能在抛物线内部， 即时，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C． (1)图象C必过两定点，其坐标分别是______和______； (2)记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点； (3)在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，；当时，；当或时， 【详解】（1）解：依题意，， 令，则， 解得，； 把代入得， 把代入得， 即图象C必过两定点，其坐标分别是和； （2）解：∵记一次函数的图象为D，且二次函数的图象为C， ∴， 整理得 ∴， ∴图象C与D有两个公共点； （3）解：由（2）得 则， ∴， ∵， 如图所示： ∴当或时，； 当时，； 当或时， 押题猜想十 几何综合探究题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【新题型】学过相似三角形后，老师留了一道思考题：如图①，已知直线l与线段平行，试只用无刻度的直尺作出线段的中点． 【问题解决】 经过思考后，同学们给出如下作图思路：如图②，在直线l的上方任取一个点E，连接，分别与l交于点M、N，连接，交于点D，再连接并延长交于点C，则点C即为线段的中点． 【推理验证】 (1)由，可以推出，，，． 所以，有， 所以，，即点C即为线段的中点； (2)在（1）的基础上，还可以进一步推出点F为中点，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图③，是边上的中线，点G是上任意一点，请只用无刻度的直尺过点G作出直线． (4)如图④，在平行四边形中，点O为对角线的交点，，P在上，交边于点F，交边于点E．若，平分，且，则_________． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)图见解析 (4) 【详解】（1）解：∵， ∴，，，． ∴， 所以，，即点C即为线段的中点； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点； （3）解：如图，直线即为所求； （4）解：延长交于点，连接，作， ∵平行四边形， ∴， ∵，即， 同（2）法可知：为的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 结合连云港最新中考命题方向，本题位于试卷最后一题，难度最高区分度最大。多以正方形、特殊四边形为载体，采用猜想—证明—应用层层递进设问方式，融合全等三角形、相似、勾股、最值多种几何知识。逻辑推理步骤多、方法灵活多变，综合性极强，整张试卷最难题型，用来区分顶尖学生水平。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． 2．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 3．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【详解】（1）解：如图，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：①如图，在中， ， ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；； ②如图，连接， ， ， 又， ， ， 又∵M是的中点，N是的中点， ； ； （3）解：如图，过点作，过点作，连接， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即． 4．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：连接，如图②： 由第一次折叠可得，， ∵四边形是矩形， ∴ 由第二次折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图③： 由②得，， ∴ ∵矩形， ∴，， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∴ ∵矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，连接，过点作于点， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， 同上可证明四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， 由（1）得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得 ∴， 综上：当为直角三角形时，则的长为或． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 三角形的三边关系 1 押题猜想二 几何图形的折叠问题 2 押题猜想三 平行线的性质 5 押题猜想四 几何图形中的动点问题 8 押题猜想五 概率 10 押题猜想六 数据分析 11 押题猜想七 二元一次方程组的应用 14 押题猜想八 锐角三角函数的应用 16 押题猜想九 二次函数 18 押题猜想十 几何综合探究题 20 押题猜想一 三角形的三边关系 试题前瞻·能力先查 限时：3min 【原创题】已知，，为△ABC的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则△ABC的周长为_______． 分析有理·押题有据 结合近五年连云港中考真题来看，本题型大多出现在试卷前面选择题，整体难度简单。主要考查三角形两边之和大于第三边的基本定理，一般给出几组线段判断能否围成三角形，只需比较较短两边之和与最长边即可快速得出答案。题型固定、陷阱较少，属于整张试卷必拿基础分数，每年考查概率很高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·一模）5张不同卡片分别写有数字，，，，，从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·一模）等腰的周长是，腰长，则底边_____． 3．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 4．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 6．（2026·河北邯郸·一模）若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 8．（2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 押题猜想二 几何图形的折叠问题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则FH的长为__________． 分析有理·押题有据 从连云港历年中考命题规律来看，折叠常出现在填空或选择靠后位置，难度中等。多以正方形、长方形折叠为背景，利用折叠前后边相等、角相等、图形全等的特点出题，经常搭配勾股定理设未知数解方程计算长度。部分题目需要多种情况分类讨论，容易粗心丢分，是几何高频重点题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，两条对角线交于点，将沿翻折到，交于点，连接分别交于点．若，，则______，______． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点分别在上，，连接，将沿翻折，得到，交于点，当时，折痕的长度为___________． 4．（2026·湖南·模拟预测）如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，则的长度为______． 6．（2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，连接，过点作交于，已将沿翻折得，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，折痕的长 D．当是等腰三角形时，的长 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为（    ） A．5 B． C．5或 D．5或 押题猜想三 平行线的性质 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【新情景】通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 根据连云港近几年中考考情，平行线相关题目多为简单选择填空题，难度很低。主要考查同位角、内错角、同旁内角之间角度换算，有时结合对顶角、角平分线一起综合考查。图形简单、思路直白，是几何入门基础考题，每年必考，熟练性质就能轻松得分。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知，且平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，已知，当时，的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·一模）光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 6．（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，直线，且、之间的距离为，中，，顶点，，分别落在、、上，与相交于点．当、之间的距离为时，则的最小值是___________；当、之间的距离为时，则的最小值是___________．（用含的代数式表示） 押题猜想四 几何图形中的动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】正方形边长为4，点为边的中点，点是正方形内一动点，且，点为线段的中点，连接，，则MP+PD的最小值为_______________． 分析有理·押题有据 纵观连云港中考趋势，动点问题常在填空压轴或中档解答题出现，难度中上。多以三角形、菱形、正方形为背景，考查点运动过程中线段长短、图形面积、最短距离最值。解题常用化动为静思想，结合将军饮马、勾股定理求解，综合性较强，比较考验几何思维，是拉开分数的常见题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 4．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 押题猜想五 概率 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】为了更好的开展体育活动，老师调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． (1)明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； (2)小明和小华是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 分析有理·押题有据 结合连云港本地中考出题风格，概率题目位置靠前，难度基础易懂。常以摸球、转盘、投掷物品为情境，考查简单随机事件概率求解，牢记概率公式即可计算。偶尔出现列表法、树状图两步概率问题，整体计算量小，套路固定，属于稳拿满分的送分题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·二模）某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《将进酒》、B．《夜雨寄北》、C．《念奴娇·赤壁怀古》这三首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C为宋词）．该班的小明和小雪参加了此次大赛． (1)小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是________； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择唐诗的概率． 2．（2026·江苏扬州·一模）今年春假期间，扬州市国有收费景区面向全国小学、初中学生实行日间免费入园政策．小明和小亮两位同学跟随家长来扬州研学旅游，他们计划4月1日从以下3个扬州热门免费景区中各自随机选择1个作为当天的出游目的地．三个景区分别为：A． 瘦西湖；B． 个园；C． 何园． (1)小亮同学4月1号当日恰好选择“A．瘦西湖”的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求4月1日他们两人中至少有一人选择“B． 个园”的概率． 3．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）某班开展综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”（分别记作A，B，C，D）共四个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“文学”的概率为__________； (2)将这四张卡片背面朝上洗匀后，第一小组代表从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，第二小组代表从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组卡片内容相同的概率． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）为奋力落实好“健康第一”的理念，学校决定进一步丰富同学们大课间的活动内容，每个同学都能从足球、篮球和羽毛球三个社团中任意选择一个参加活动．甲、乙、丙三名同学各随机选择了一个社团，而且选择的社团均不相同． (1)甲同学选择羽毛球社团的概率是______． (2)求甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率． 押题猜想六 数据分析 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】某校在“建军节”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了红色知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩(单位：分满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 抽取的成绩统计图 A组： B组： C组： D组： （x表示成绩） 其中B组共有15个成绩， 从高到低分别为： 89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80，80， 80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为 分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 分析有理·押题有据 从近五年连云港试卷分析，数据分析均为基础小题，难度简单稳定。重点考查平均数、中位数、众数、方差的计算与实际意义，有时搭配条形图、扇形图读取信息答题。知识点单一、步骤简单，只需细心排序、准确计算就能答对，是统计板块必考常规题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 2．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 人数（频数） 2 8 14 12 4 根据所给信息，解答下列问题． (1)这40名学生视力的中位数落在__________组内；（用表示组别的字母进行填写） (2)该校八年级共有600名学生． ①根据表中数据，请估计这600名学生的视力在范围内的人数； ②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为283人．如果你是该校的一名学生，请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 3．（2026·江苏徐州·一模）某校从九年级男生中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为分）．乙组成绩统计图人数/人 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)这个学生成绩的中位数是_______；甲组成绩的众数_______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)经计算甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 4．（2026·江苏无锡·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E (1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； (2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； (3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 押题猜想七 二元一次方程组的应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【新题型】仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 分析有理·押题有据 按照连云港中考出题安排，方程组应用题属于中间解答中档题，难度适中。多结合购物销售、行程路程、工程干活等生活实际情景出题，要求读懂题意找出两组等量关系列出方程组求解。注重数学联系生活，解题模板固定，多加练习就能熟练掌握，属于必须拿到手的中档分值。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 3．（2026·河南周口·二模）新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 4．（2026·河南·模拟预测） 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： (1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？ (2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示） (3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？ 押题猜想八 锐角三角函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】小丽一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 分析有理·押题有据 参考连云港历年中考结构，解直角三角形应用题固定作为中档大题考查，难度中等。常以仰角俯角、方位角度、坡度坡比测量高度距离为背景，需要自行作垂线构造直角三角形，利用正弦余弦正切边角关系计算。题目贴近生活测量场景，思路统一方法固定，是每年必考几何应用题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 2．（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 3．（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时，，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．求小桌板桌面的宽度（参考数据，，） 押题猜想九 二次函数 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【改编题】在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． 分析有理·押题有据 从连云港中考压轴规律来看，二次函数基本固定倒数大题位置，难度偏高综合性强。考查函数图像性质、对称轴顶点坐标、增减变化、最值求解，经常和几何图形面积、动点存在性问题结合一起考查。需要数形结合、方程思想综合运用，计算量大思维要求高，是尖子生拉开差距的核心代数压轴题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围； (3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围． 2．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是______，______； (3)已知，．若该函数的图像与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数的图象为C． (1)图象C必过两定点，其坐标分别是______和______； (2)记一次函数的图象为D，证明：图象C与D有两个公共点； (3)在（2）的条件下，当时，比较与的大小，直接写出结果． 押题猜想十 几何综合探究题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【新题型】学过相似三角形后，老师留了一道思考题：如图①，已知直线l与线段平行，试只用无刻度的直尺作出线段的中点． 【问题解决】 经过思考后，同学们给出如下作图思路：如图②，在直线l的上方任取一个点E，连接，分别与l交于点M、N，连接，交于点D，再连接并延长交于点C，则点C即为线段的中点． 【推理验证】 (1)由，可以推出，，，． 所以，有， 所以，，即点C即为线段的中点； (2)在（1）的基础上，还可以进一步推出点F为中点，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图③，是边上的中线，点G是上任意一点，请只用无刻度的直尺过点G作出直线． (4)如图④，在平行四边形中，点O为对角线的交点，，P在上，交边于点F，交边于点E．若，平分，且，则_________． 分析有理·押题有据 结合连云港最新中考命题方向，本题位于试卷最后一题，难度最高区分度最大。多以正方形、特殊四边形为载体，采用猜想—证明—应用层层递进设问方式，融合全等三角形、相似、勾股、最值多种几何知识。逻辑推理步骤多、方法灵活多变，综合性极强，整张试卷最难题型，用来区分顶尖学生水平。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 2．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 3．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 4．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $