专题03 几何动点与存在性问题（基础、常见、存在性、压轴等综合）有关的4类核心题型（方法+题型+实战）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“化动为定”思想为核心，构建“公式-模型-技巧”三级方法体系，覆盖中考几何动点与存在性问题全考向，适配核心素养中的几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础核心|7题|单/双动点设参、轨迹分析|从坐标表示到动态转化，衔接全等相似| |常见动点|8题|运动阶段分类、方程建模|结合图形性质，建立时空变量关系| |存在性问题|9题|分类讨论（等腰/直角/平行四边形）、验证排除|从假设存在到代数化求解，强化逻辑严谨性| |压轴综合|7题|数形结合、最值模型（将军饮马等）|综合几何变换与函数，提升高阶思维|

专题03 几何动点与存在性问题 （基础、常见、存在性、压轴等综合）有关的4类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 几何动点基础核心技巧 方法二 常见动点专项技巧 方法三 几何高频存在性问题技巧 方法四 压轴综合解题思想技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】几何动点基础 【题型02】常见动点 【题型03】几何高频存在性问题 【题型04】压轴综合 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：单点/双动点基础应用，以三角形、矩形、菱形为载体，考查动点运动过程中边长、角度、周长的变化，侧重“化动为定”，结合全等、相似求解，多为中档题，是基础得分点。 核心考向2：存在性问题（压轴核心），高频考查等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、相似三角形的存在性，本质是“分类讨论+方程求解”，结合动点轨迹，转化几何条件为代数关系式。 核心考向3：动点与最值/面积综合，聚焦动点运动过程中面积、线段最值（最短路径、最值线段），结合将军饮马、垂线段最短、相似性质，是中考压轴区分度核心题型。 共性考向：均侧重“动态转化静态”思想，结合几何直观、逻辑推理，贴合中考核心素养，常与坐标系、几何三大变换结合，设问分层（基础计算→存在性判断→最值求解）。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：“化动为定”思维不足，无法锁定动点运动的关键位置（端点、拐点、特殊位置），难以将动态问题转化为静态几何问题，找不到解题突破口。 瓶颈2：分类讨论不全面，存在性问题中遗漏特殊情况（如等腰三角形顶角顶点分类、直角三角形直角顶点分类），动点问题中忽略运动范围（定义域），导致漏解、错解。 瓶颈3：几何与代数衔接不畅，不会用坐标表示动点位置，无法将几何条件（全等、相似）转化为方程或函数关系式，计算繁琐时易出错。 瓶颈4：最值思路匮乏，不会结合将军饮马、垂线段最短等模型，对动点轨迹判断不准确，无法快速锁定最值对应的动点位置。 结论背记 一、核心基础公式（解题地基，必背） 核心原则：几何动点问题的本质是“变量转化为常量”，通过设参表示动点坐标/边长，结合几何性质、公式，将动态问题转化为静态计算；存在性问题的核心是“分类讨论+验证”，不重不漏，结合基础公式列方程求解。 （一）动点问题基础公式 1. 动点设参基础公式（中考核心，所有动点题必用） 单动点设参：若动点沿线段运动，设（为参数，），则可通过线段比例、几何性质表示点坐标/相关边长（的取值范围是易错点，需结合图形确定）。 双动点联动设参：若两动点运动速度相同/成固定比例，设运动时间为，则两动点的路程分别为、（、为运动速度），联动表示相关边长/坐标（避免多变量混乱）。 坐标设参：平面直角坐标系中，动点在某条直线/抛物线上，设，结合直线/抛物线解析式，用一个参数表示两个坐标（如、）。 1. 动点关联核心公式（衔接前两专题，高频复用） 两点距离公式：（求动点到定点/动点到动点的线段长度）。 中点坐标公式：（动点构成线段的中点，适配平行四边形、等腰三角形存在性）。 斜率公式：（判断动点与定点连线的垂直/平行关系，为垂直，为平行）。 垂线段最短公式：点到直线的最短距离为垂线段长度，（直线，点，中考拓展，多用于动点最值）。 （二）存在性问题基础公式 1. 三角形相关存在性基础公式 等腰三角形：两边相等（、、），结合两点距离公式列方程。 直角三角形：勾股定理（分三种直角顶点情况），或斜率乘积为（垂直）。 相似三角形：对应边成比例，对应角相等（结合三角函数）。 1. 四边形相关存在性基础公式 平行四边形：对角线中点重合（中点坐标公式），或对边平行且相等（斜率相等+距离相等）。 矩形：平行四边形+一个直角（斜率乘积为），或对角线相等（两点距离公式）。 菱形：平行四边形+邻边相等（两点距离公式），或对角线互相垂直（斜率乘积为）。 1. 圆相关存在性基础公式（中考低频，部分地区考） 点在圆上：点到圆心距离=半径（，为圆心，为动点）。 圆与直线相切：圆心到直线的距离=半径（垂线段最短公式）。 二、万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） （1） 动点问题万能建模公式（中考高频，分3类核心模型） 1.单动点+线段最值万能公式（基础中档题） 模型1：动点在直线上运动，求最小值（、为定点） 万能公式：作点关于直线的对称点，则最小值=（两点距离公式计算），本质是将军饮马模型。 模型2：动点在圆上运动，求最大值/最小值（为定点，为圆心，为半径） 万能公式：，（为定点到圆心距离，两点距离公式计算）。 2.双动点+联动最值万能公式（中档压轴题） 模型：两动点、分别沿两条线段运动，运动速度固定（、），同时出发、同时停止，求的最值/的最值。 万能公式：设运动时间为，用表示、坐标/边长（，），转化为单变量函数（二次函数/一次函数），求顶点最值/端点最值。 关键：统一参数（运动时间），将双动点转化为单变量问题，注意的取值范围（由线段长度和运动速度确定）。 3.动点+面积万能公式（中考必考，衔接二次函数专题） 模型：动点在直线/抛物线上运动，求（、为定点）的面积最值/定值。 万能公式1（铅垂高法，首选）：水平宽铅垂高，水平宽为、两点水平距离（定值），铅垂高为动点到直线的竖直距离（用参数表示）。 万能公式2（割补法，适配不规则图形）：梯形，将三角形转化为梯形、直角三角形的面积差，用参数表示各边长度，列面积表达式求最值。 拓展公式：动点构成的四边形面积，转化为两个三角形面积之和（四边形），套用铅垂高法计算。 （2） 存在性问题万能建模公式（中考压轴题核心，分4类必考模型） 1.等腰三角形存在性万能公式（全国中考Top1） 模型：动点在某图形上，判断是否存在点，使为等腰三角形（、为定点）。 万能步骤+公式： 分类讨论（3种情况，不重不漏）：① ；② ；③ 。 套用公式：① →中点坐标公式（中点与的连线垂直于，斜率乘积为）；② →两点距离公式（）；③ 同②。 验证：将求解的点坐标代入动点所在图形（直线/抛物线），验证是否在取值范围内。 2.直角三角形存在性万能公式（全国中考Top2） 模型：动点在某图形上，判断是否存在点，使为直角三角形（、为定点）。 万能步骤+公式： 分类讨论（3种直角顶点）：① ；② ；③ 。 套用公式：① →勾股定理（）或斜率乘积（）；② →；③ 同②。 验证：排除不符合图形范围的点，确保直角三角形存在。 3.平行四边形存在性万能公式（中考高频压轴） 模型：已知三点、、，动点在某图形上，判断是否存在点，使四边形为平行四边形。 万能步骤+公式： 分类讨论（3种对角线情况）：① 为对角线；② 为对角线；③ 为对角线。 套用公式（对角线中点重合）： ① 为对角线：，（解出点坐标）； ② ③ 同理，替换对角线端点，列方程求解。 验证：将点坐标代入动点所在图形，验证是否符合要求。 1. 相似三角形存在性万能公式（中考压轴难点） 模型：动点在某图形上，判断是否存在点，使（、、、、为定点）。 万能步骤+公式： 分类讨论（对应顶点不同，2种情况）：① ；② （避免漏解）。 套用公式（对应边成比例）：① ；② ，结合两点距离公式列方程。 拓展：可结合三角函数（）简化计算，避免复杂根号运算。 （3） 拓展公式（中考压轴题专用，拉开分差） 1.动点轨迹公式： 若动点到定点的距离为定值，则的轨迹为圆，方程：（为圆心）。 若动点满足为定值（如90°、60°），则的轨迹为圆（圆周角定理，中考拓展）。 2.参数范围确定公式：动点参数的取值范围=线段长度÷运动速度（双动点需取两者较小值），或结合图形边界（如抛物线的自变量范围）。 3.动点+变换综合公式：动点经过折叠/旋转后得到，先套用三大变换坐标公式表示，再结合存在性公式求解（衔接专题2）。 技法归纳 方法一 几何动点基础核心技巧 找准动点运动轨迹与范围，用线段、时间表示动点线段长度，结合几何性质列式分析。 例题1 （2026·河南许昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，连接，是的中点，是内一动点，连接，，，，保持的面积始终为8，当取最小值时，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最值，一次函数的性质，熟练掌握利用轴对称求最值问题是解题的关键． 设点，根据题意得到、及，根据的面积始终为8，求出点在直线上，作点A关于直线的对称点，此时，当、P、C三点共线时，有最小值，求出直线的表达式，将直线表达式与直线联立求出点P坐标． 【详解】解：设点， 点在轴上，点在轴上，，， 、， 是的中点， ， 的面积始终为8， ， 解得， 点在直线上， 是内一动点， ， 作点A关于直线的对称点，此时，当、P、C三点共线时，有最小值， ， 设直线的表达式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 将直线表达式与直线联立得： ， 解得， 点P坐标为． 例题2 （2026·山东滨州·一模）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 【答案】3 【分析】连接，，过点M作轴于点C，则四边形是矩形，得，则当最小时，最小，可知当O、P、M共线时最小，即最小，此时设点P为点，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点M作轴于点C， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点P是上的任意一点， ∴当O、P、M共线时最小，即最小， 此时设点P为点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 即最小为3． 例题3 （2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 方法二 常见动点专项技巧 分类讨论运动阶段，结合相似、勾股、面积公式，建立方程求解边长与时间问题。 例题1 （2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 例题2 （2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 例题3 （2025·陕西汉中·模拟预测）在正方形中，E为对称中心，为对角线，P为正方形内部一点，，，，Q为边上一动点，连接，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何最值问题，根据求的最小值，即求最小值，由将军饮马模型可知，取B点关于对称点，连接交于点，此时即是最小值所求点，的最小值为，接下来求出根据已知条件构造直角三角形求出正方形即可解答． 【详解】解：如图，过点P作，，垂足分别为M，N，过作，垂足别为H，在延长线取点B关于的对称点点，连接， ∴四边形是矩形； ∴，， 设，，， ∴，， ∵，， ∴， 整理得： 解得：，或（不合题意舍去） 过作，垂足别为H，在延长线取点B关于的对称点点，连接， 由辅助线做法可知：，， ∵在正方形中，E为对称中心， ∴， ∵， ∴的最小值为，的最小值为． ∴． ∴的最小值为． 故答案为． 方法三 几何高频存在性问题技巧 先假设图形或关系存在，依据特殊图形判定条件列式，检验结果是否符合题意与范围。 例题1 （2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】2.4秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据勾股定理求出，进而表示出.再分两种情况：若，则，即可得出方程求出t值；若，则，即可得出方程求出解． 【详解】解：∵， ∴设， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴. 则. 设过t秒，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∵， ①若，则， 即， 解得； ②若，则， 即， 解得. 所以过2.4秒或秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 例题2 （2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或 【分析】（1）根据，线段的长度小于线段的长度，可推出若与相似，只有这一种情况；根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：，；分类讨论若，若，若，三种情况，结合等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； ∵，线段的长度小于线段的长度， ∴若与相似，则； ∴，即， 解得：； 即：，与相似； （2）解：由题意得：， （3）解：由题意得：，； 若，则，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 综上所述，当的值为，或时，可使得为等腰三角形； 【点睛】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形、等腰三角形、三角函数等知识点，根据动点作出相应的几何图，找出几何关系是解题关键. 例题3 （2025·浙江杭州·二模）如图1，在矩形中，，．E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，分别从E出发以的速度沿射线，方向运动，同时，从G出发以同样的速度分别沿射线，方向运动，与交于点M，与交于点N．设运动的时间为t（s），求四边形与四边形覆盖平面的总面积y与运动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明，即可得证； （2）连接，交于点O．证明四边形是矩形，得到，，根据点，的运动情况得到，证得，进而证得，得到，从而点M在的垂直平分线上，同理可得，得到垂直平分．证明，得到，进而证明，得出，因此四边形是菱形．通过得到，求得，得到，又，从而根据即可列出函数关系式； （3）当时，四边形是正方形，据此列出关于t的方程，求解即可． 【详解】（1）证明：（1）连接，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∵在矩形中，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，交于点O． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点H是的中点，点F是的中点， ∴，， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∴． ∵，分别从E出发以的速度沿射线，方向运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点M在的垂直平分线上， 同理可得， ∴点N在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． ∵点，的运动速度相同， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分 ∴与互相垂直平分， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形， ∵，， ∴，解得， 经检验，是该分式方程的解． 【点睛】本题是四边形的综合应用题，考查三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定及性质，求函数解析式等，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理和正方形的性质是解题的关键，根据题意正确找出辅助线是解决问题的重点． 例题4 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质可得，，，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可判断①正确；根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，由此即可判断②错误；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；利用勾股定理可得，由此即可判断④正确；先求出的周长为，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可判断⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则结论①正确； ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时在中，，， ∴的最小值为， ∴面积的最小值是，则结论②错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 即四边形的面积始终不变，结论③正确； 在中，， 由上已得：的最小值为1， ∴长度的最小值是，结论④正确； ∵， ∴的周长为， 又∵的周长为， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴当或时，使得的周长是，结论⑤正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 例题5 （2025·甘肃酒泉·一模）如图，在 中， ，米，米，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，同时，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为秒 (1)①当秒时，求的面积； ②求的面积平方米关于时间秒的函数解析式； (2)在，移动的过程中，当为等腰三角形时，写出的值； (3)以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆相切时，求出的值． 【答案】(1)①平方米；② (2)秒或秒或秒 (3)或5 【分析】（1）①运用勾股定理可求出，根据点的运动，分别用含的式子表示出的值，结合相似三角形的性质求解，再利用面积公式求解即可；②运用相似三角形的性质可得的值，根据三角形面积公式可得函数关系式． （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质列式求解即可． （3）过点作于点，则有，表示，， 在中，，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，米，米， （米）． 由题意得，，则． 过点作于，而， ∴， ∴， ∴， 秒时，米，米，（米）， （米）， （平方米）； 由①得：， ∴， ∴， ． （2）解：过作于，结合（1）可得：， 当为等腰三角形，分类讨论： 第一种情况：当时，如图所示，过点作于点， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第二种情况，当时，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第三种情况：当时，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 综上所述，当的值为或或时，为等腰三角形． （3）解：过点作于点，则有， ，即， ，， 在中， ． 当与外切时，有， ∴， 整理得：， 解得，舍去 故当与外切时，； 当与内切时，有， 此时， 整理得，解得，， 故当与内切时，秒或秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 方法四 压轴综合解题思想技巧 运用数形结合、分类讨论、转化思想，拆分复杂题型，分步列式，严谨验证答案。 例题1 （24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)存在这样的点或，使得与相似 【分析】（1）把点代入抛物线，运用待定系数法可得二次函数解析式，设直线的解析式为，运用待定系数法可得解析式，由此即可求解； （2）根据题意得到，，则线段的中点，根据题意，分类讨论：点在轴下方时，与轴切于点；点在轴上方时；数学结合分析即可求解； （3）分类讨论：如图所示，，得，由此列式求解；如图所示，，过点作轴于点，可证，则，由此列式求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，直线的解析式为，， ∴，， ∴设线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即，过点作轴于点， 如图所示，点在轴下方时，与轴切于点， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴， 解得，，， 当时，，即点重合，不符合题意，舍去； ∴时，以为直径的圆与轴相切； 如图所示，点在轴上方时， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴时，以为直径的圆与轴相切； 综上所述，的值为或； （3）解：存在，理由如下， 如图所示，， ∴，， ∵，，，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），（点与点重合，不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 如图所示，，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵，，，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在这样的点或，使得与相似． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数，圆的综合，二次函数与相似三角形的综合运用，掌握二次函数，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，数学结合分分析思想是解题的关键． 例题2 （2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的边长为3，点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周后停止，设为点运动秒后的面积，当、、三点共线时．那么，关于的函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，可得，，，，过点作的垂线，垂足为点，设，根据三角函数可得，结合点走的路程为，在分别分析，，，四种情况时，关于的函数的大致图象，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 过点作的垂线，垂足为点，设，如图所示： ∵， ∴ ∵点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度， ∴点走的路程为， 当时，点在上运动，， ∴ ∴ ∵ ∴当时，关于的函数的图象大致为上升的直线； 当时，点在上运动，， ∴ ∴ ∵ ∴当时，关于的函数的图象大致为下降的直线； 同理可得，当时，关于的函数的图象大致为上升的直线；当时，关于的函数的图象大致为下降的直线； 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图象面积计算、三角函数，菱形的性质，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 例题3 （2025·山东临沂·一模）（1）因式分解： __________ （2）菱形中，对角线，则菱形的高为__________ （3）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值__________ （4）直线：与x轴交于点A，将直线绕点A顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是__________ （5）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是__________ 【答案】 2 ①② 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）根据菱形的性质，利用勾股定理结合等积法求出菱形的高即可； （3）把代入方程，结合，求出的值即可； （4）根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． （5）由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②；当时，且时，最小，求出最小值即可判断③． 【详解】解：（1）原式； 故答案为：； （2）设，的交点为， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， 设边上的高为， 则：，即：， ∴ ∴菱形的高为． 故答案为：． （3）∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：； 故答案为：2； （4）解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A顺时针旋转，得到直线， ∴， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． （5）由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了因式分解，一元二次方程的解，一次函数图象的变换，菱形的性质，二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，动点的图象问题等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 例题4 （2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用四边形是正方形，得出，，再证明，即可证明； （2）①设交于点，交于点，先证明证明，再证明和是等腰直角三角形，求出，，求出，再证明，得出，结合，即可求解； ②连接，取的中点，连接、．先证明，得出在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，求出、，利用，判定，则可求出，当旋转角从变化到时，在上运动，求出，利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ， 在和中，， ； （2）解：①如图，设交于点，交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， ∴， 又， ； ②如图，连接，取的中点，连接、． 四边形是正方形， ， 点是的中点， ，， 同①可知， 点是的中点， ， ∴在以为圆心，为半径的上， 如图，过作于， 当时， ， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 当旋转角从变化到时，在上运动， ，，， ， ∴点经过路线的长度为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 【题型01】几何动点核心基础（共7题） 1．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 2．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】(1)24，120，10； (2) (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据中点的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：24，120，10； （2）解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 3．（2026·全国·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是，8．线段，从点A（端点P与点A重合，点Q在P点的右侧）出发，以每秒4个单位向右匀速运动，到达B点，即Q点与点B重合后，立即以每秒a个单位的速度匀速返回，当端点P与点A再次重合时运动停止．点M从点B出发，以每秒2个单位向左匀速运动，与线段端点Q相遇后速度立即变为每秒3个单位，匀速到达A点时运动停止．已知线段与点M同时出发，点M提前2秒到达点A．设运动时间为t（秒）． (1)经过_______秒，点M与线段端点Q相遇． (2)记，m与t具有函数关系． ①线段从左向右（从点A到点B）的运动过程中，求m与t的函数表达式； ②在整个运动过程中，请直接写出时t的所有取值． 【答案】(1)2 (2)①；②1.1或1.3或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识． （1）先得出点Q表示的数，然后再根据题意列出关于t的一元一次方程求解即可得出答案． （2）①根据相遇前后分两种情况分别出和即可求解． ②分四种情况，分别列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过t秒后，点M与线段端点Q相遇， ∵，从点A（端点P与点A重合，） ∴点Q表示的数为：， 则， 解得：， 故经过2秒，点M与线段端点Q相遇； （2）解：①当时，，， ． 当时，， ∵M与Q相遇后速度变成3，M的位置：相遇时，M的位置为：，之后向左走，故位置为， ∴ ． 综上：m与t的函数表达式为： ②当时，， 或 或． 当时，， 或均不在范围内，舍去． 当时，， ． 当时， 或． 当时，， ， ． 综上，满足条件的值有或或或． 4．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形和矩形中，与交于点，与交于点，动点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动，伴随点的运动，矩形在射线上滑动；动点从点出发沿折线以每秒个单位长的速度匀速运动．点、同时开始运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）． (1)当时，直接写出、的值； (2)当为何值时，； (3)当点到达点时，求出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，正切的定义，全等三角形的性质． （1）根据题意得出，进而可得，设，则进而可得，即可求解； （2）根据（1）可得，根据全等三角形的性质可得，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）当点到达点时，则，根据（1）得出，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当时，根据题意得，，， ， ， ∵， 设 ∴ ∵四边形和都是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴，则 ∴ （2）解：由（1）可得， 当时， ∴ 解得： （3）当点到达点时，则， 由（1）可得 ∴ 解得，； 5．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 【答案】C 【分析】根据点B所表示的数，分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点A表示的数． 【详解】解：当点A沿数轴向右移动3个单位长度时，则A表示的数为：； 当点A沿数轴向左移动3个单位长度时，则A表示的数为． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或秒 (3)存在，的值为或或 【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可； （3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点在点右侧时， ， 解得； 当点在点左侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． 【题型02】常见动点（共8题） 1．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为__________． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意分在的左侧和右侧，分类讨论，分别画出图形，设，根据的面积是10，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在矩形中，，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 当在点的左侧时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 如图，当在点的右侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 当点在的右侧时，不合题意； 综上所述，或, 故答案为：2或． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)的面积最大，且为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）解：不存在，理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 3．（2025·山东青岛·二模）如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）列出、、关于t的代数式，通过，得到，即可求解， （2）由，得到，求出，关于t的代数式，代入，即可求解， （3）根据，代入，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点M，如图， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ，动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动，动时间为t（s）， ， ， 动点Q从点B出发以的速度沿线段BC向终点C匀速运动， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即，解得， 故当，四边形是平行四边形． （2）解：过点P作，交的延长线于点K，延长交于点N，如图， ， ， ∴四边形为矩形， ． ， ， ，即：， ， ， ， ， 故， （3）解：存在某一时刻时，平分四边形的面积，理由： 平分四边形的面积， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 故存在时，平分四边形的面积． 【点睛】本题考查了梯形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：用含t的代数式，表示出线段的长度． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 5．在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． 【答案】(1) (2)当或3时，四边形的面积为 (3)当或1时，与相似 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质， （1）由运动知，得出结论； （2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：由运动知，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为． （3）解：与相似，， 或， 或， 当，则， ， 当时，则， ， 当或1时，与相似． 6．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 (4)或 【分析】（1）当点落在线段上时，根据正方形的性质和矩形的性质，得到，，证得，推出，然后利用勾股定理求得，代入计算即可得到的长度； （2）分情况讨论：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，可知此时四边形和都是矩形，然后根据正方形的性质，得到，，，进而用证明，得到，，，最后得到，即可求得的值；②当点在上时，设线段中点为，交于点，连接，此时线段和线段共线，同①，，，，，进而得到和为等腰直角三角形，求得，，，从而得到，最后求得，即可求得的值； （3）分情况讨论：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形；②当点在上时，此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；③当点在上，且时，设交于点，易证，此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形，然后根据矩形的性质和勾股定理求得，即可求得的值；④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； （4）分情况讨论：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，根据面积关系可证，结合，利用可证，得到点为正方形的对角线中点，接着利用可证，从而求得，进而求得，可知此时；③当点在上时，作于点，于点，设与交于点，则四边形、四边形和四边形均为矩形，设，则，，，，先证明，得到，用表示出，进而得到，然后根据重叠部分面积，用表示出来；接着利用勾股定理用表示出，最后根据面积关系得到关于的方程，解之，结合，即可得到，进而得到此时的值． 【详解】（1）解：当点落在线段上时， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， 在中，， ， ． （2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示， 则， 四边形为矩形，，，， 四边形和都是矩形， ，； 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当在线段上，线段中点落在线段上时，； ②当点在上时， 线段中点落在线段上， 此时线段和线段共线， 设线段中点为，连接，设交于点，如图所示， 四边形是正方形，为的中点， ，，，， ， 同①可知四边形和都是矩形， ， 线段和线段共线，， ， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当点在上，线段中点落在线段上时，； 综上，当线段中点落在线段上时，或． （3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ②当点在上时，如图所示， 此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形； ③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示， ，，， ， 此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形； 作于点，设， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； 综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形． （4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示； ②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示， 则四边形和都是矩形， ，； ， ， ； ， ，， ， ，即点为正方形的对角线中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； ③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示， 则四边形、四边形和四边形均为矩形， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 重叠部分面积 ， 在中，， ， ， 整理得，， 解得， ，即， ， ， ， 时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； 综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的识别等，熟练掌握以上知识点作出合适的辅助线采用分类讨论的思想是解题的关键． 7．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 8．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)； (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据与相似，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3）解：与相似，， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）解：当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 解方程，得或3， 解方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 【题型03】几何高频存在性问题（共9题） 1．（2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)四边形一定是平行四边形，理由见解析 (2) (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）由题意得，由矩形的性质得，，所以，由分别是的中点得，证明得，所以，进而得，即可得解； （2）如图，连接，证明四边形是矩形得，当四边形是矩形时，，所以，解出即可； （3）如图，连接与相交于点，由四边形为菱形，得垂直平分，，，进而得，由题意得，所以，证明出平行四边形为菱形，所以，设，则，由勾股定理，得，即，解得，所以，解出即可． 【详解】（1）解：四边形一定是平行四边形，理由： 由题意，得， 四边形是矩形， ，， ， 分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，， ， 当四边形是矩形时，， ， ， 解得：； （3）解：如图，连接与相交于点， 四边形为菱形， 垂直平分，，， ， 又是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为， ， ， ， 平行四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， 解得：， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 3．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的长为或 (3)的取值范围为或 (4)的值为秒或秒或秒， 【分析】（）先由勾股定理算出，再结合求出，最后用勾股定理算出的长度为； （）分两个时间段讨论的长度当时，点在上，由得相似三角形，按比例求出；当时，点在上，同理由相似关系求出，最终得到长度的分段表达式 （）重叠部分为四边形意味着点必须落在的内部；当点在上且点在上时，临界情况是点落在边上，利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围； 当点在上且点在线段上时，同样利用构造相似三角形求出此时的值，得出范围；最后将两个范围合并； （）本题需分类讨论垂直于哪条边以及点的位置；， 此时点必须落在高上；分点在上和点在上两种情况，利用构造相似比列方程求解； 时：此时点只能在上，利用角度互余关系证明，通过对应边成比例列方程求解； 最后汇总所有符合条件的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：当时， 由题意得：， ∵ ∴， ∴， ， 当时， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）解:当点在上且点在上时，如图， 由（）知： ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或； （4）解：当与的边或垂直时，的值为秒或秒或秒， 理由： 当点在上且点在上时，，如图 由（）知： ， ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在上且时，如图 由（）知： ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的值为或或． 【分析】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即，即可求解； （2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程，即可求解；②若四边形为等腰梯形，作于，于，可得四边形和四边形都是矩形，推出，，进而得到，证明可得，得到，由列方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：当时，过作于；当时，过作于；根据矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，， ， ，， 要使四边形是矩形，只需，即， 解得：； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： ，即， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 根据题意得：，， ， 作于，于， 又，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由得：， 解得：， 时，四边形为等腰梯形，． 综上，当或时，； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当时，过作于，如图： 同理可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； 综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 5．（2025·吉林长春·二模）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．          (1)当四边形是正方形时，求的长； (2)当四边形是菱形时，求证：； (3)面积的最大值为________；此时的长为________； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； (4) 【分析】本题考查矩形、正方形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明即可解决问题； （2）连接，理由平行线的性质证明即可； （3）当点与重合时，的值最小，的面积最大，由勾股定理及三角形面积可得出答案； （4）由（3）可得到的距离为，证明点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ．， ， ． （2）证明：连接，如图2， 四边形为矩形， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， 即； （3）解：如图，过点作于点 ∴ 由（2）可得，又 到的距离为 如图，设， 当点与重合时，则的值最小，最大，此时的面积最大， ，， ， 在中， 故答案为：；． （4）如图，当时，过点，则四边形是矩形， ∴， 由（3）可得到的距离为，又点落在矩形内或其边上 点的运动轨迹是平行的线段， ，， 点运动的路线长 故答案为：． 6．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 8．（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或或． 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、方程的解法，掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用及“分类思想”的应用是解题关键． (1)根据已知条件运用勾股定理计算即可； (2)根据已知条件运用“分类思想”分别构造以为底、为底、为底的等腰三角形，然后根据等腰三角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于的方程，最后，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：①如图1，当为底时，点在上，，． 作垂直平分，垂足为点，交于点，连接． 由（1）得：． ∵垂直平分， ∴． 在中，， 即， 解得：． ②如图2，当为底时，点在的延长线上，． ∵， ∴， 解得：． ③如图2，当为底时，点在的延长线上，，． ∵，， ∴（“三线合一”）， 即， 解得：． ∴当是等腰三角形时，的值为或或． 9．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【题型04】二次函数最值问题（共7题） 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，求的最大值； (3)如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线解析式为，连接、，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线经过点 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得，当时，有最大值为． （3）设直线的解析式为，，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，，当时，，，，，再由，可得，即，整理得，由此可知直线经过点． 【详解】（1）解：在一次函数中，当时，， ∴， 当时，， ∴， 将点B、C代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵点D为直线上方抛物线上， ∴， 当时，有最大值，最大值为． （3）直线过定点，理由如下： 设直线的解析式为，，， 当时，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为，则， 当时，，， 当时，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， ∴直线经过点． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，三角形的面积等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 2．（2025·天津河北·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点B的坐标为_______，点G的坐标为______； (2)如图②，将矩形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到矩形，点D，E，F，G的对应点分别为点，，，，矩形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，矩形的性质，平行四边形的性质，计算复杂，熟练计算是解题的关键． （1）过点作交于点，证明，则可得，再根据矩形的性质可得； （2）①观察临界值，查看矩形与平行四边形重叠部分的形状求得自变量的取值范围，再利用面积法求得解析式即可； ②观察临界值，求得矩形与平行四边形重叠部分的面积的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的顶点， , ， 故答案为：；； （2）解：①如图，当矩形中刚好运动到之后，矩形与平行四边形重叠部分为五边形， 设直线的解析式为， 把代入可得，解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， 此时， 此时， 如图，当矩形中刚好运动到之后，矩形与平行四边形重叠部分不为五边形， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，解得， 直线的解析式为， 当时，，解得， 如图，矩形与平行四边形重叠部分为五边形时， 则， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，根据矩形移动轨迹可得重叠部分面积先变大后变小， 当时，此时， 则， 同（2）中原理可得， ， ， 此时； 如图，当矩形与平行四边形重叠部分为六边形时， 此时，， ， ，， ， 当点运动到之后，即当时，重叠部分为六边形， 当点运动到之前，即当时，重叠部分为六边形， 则， 当时，取最大值为， 如图，当时，根据矩形移动轨迹可得重叠部分面积逐渐变小， 当时，重叠部分面积最小， 此时，则，则， ； 综上所述，． 3．（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： (1)点的坐标是______； (2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； (3)直接写出为何值时，两人相距米． 【答案】(1) (2)，图象见解答 (3)分钟或分钟或分钟 【分析】（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即的纵坐标，进而得到的坐标即可； （2）根据路程速度时间写出与的函数关系式，写出与的函数关系式并画出其图象即可； （3）根据的取值范围，当两人相距米时分别列关于的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的速度为米分钟，则妈妈的速度为米分钟， 妈妈到家所用时间为分钟， 妈妈在家停留的时间为分钟， 分钟， 点的坐标为， 米， 点的纵坐标为． 点的横坐标是． 故答案为：． （2）解：， 米与时间分钟的函数关系式及自变量的取值范围为． 当时，， 当时，， 当时，， 与的函数关系式为， 在图中画出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象如图所示： （3）解：当时，两人相距米时，得， 解得或， 当时，两人相距米时，得， 解得舍去或舍去， 当时，两人相距米时，得， 解得． 答：为分钟或分钟或分钟时，两人相距米． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中路程、速度、时间的关系，以及分段函数的构建与求解．熟练掌握路程公式（路程=速度×时间）、分段分析运动过程、准确构建函数关系式是解题的关键． 4．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，可以排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时， ，可以排除B选项； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 5．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P从矩形的顶点A出发，以的速度沿折线向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发以的速度沿向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为的中点，连接,，记的面积为S，其函数图象为折线和曲线（图②），已知，，点G的坐标为． (1)点P与点Q的速度之比的值为 ；的值为 ； (2)如果． ①求线段所在直线的函数表达式； ②求所在曲线的函数表达式； ③是否存在某个时刻t，使得？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）由函数图象可知：时，Q与E重合，时，P与B重合，时，P与C重合，则Q的速度，P的速度，根据矩形的性质即可得出答案； （2）①当点P在上时，，根据，得到，得到，设直线的解析式为，结合代入，解方程组即得；②根据所在曲线过x轴上两点和，设函数表达式为，把代入，解方程即可求出；③根据，，求出直线的表达式，根据，当时，，得到；当时，，得到；当时，，得到，综合得到或． 【详解】（1）∵，， ∴， 由图象可知：时，Q与E重合，时，P与B重合，时，P与C重合， ∴Q的速度，P的速度， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵P从A到B用了5秒，从B到C用了3秒， ∴，， ∴， ∴的值为， 故答案为：，； （2）①当点P在上时，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得，， ∴； ②∵所在曲线过x轴上两点和， ∴设曲线的函数表达式为，， 把代入，得，， 解得，， ∴； ③存在，理由： 设直线的表达式为，， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，， 解得，， ∴； 当时，， 解得，， ∴； 当时，， 令， 解得，，或， ∴， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了动点产生的一次函数和二次函数．熟练掌握待定系数法求一次、二次函数解析式，三角形的面积公式，矩形的性质，函数与不等式的关系，分类讨论，是解题的关键． 6．（2025·新疆·一模）如图，是的直径，M、N是上异于A，B的两点，C是上一动点，的角平分线交于点D，的平分线交于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等；如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，可得，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F，连接， 设．则， ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， ∴点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长的长， 故答案为：． 7．（2025·北京·模拟预测）对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)C、D， (2)①b的值为0或或；②b的值为． 【分析】（1）画出图形，可得是等边三角形，根据“关联点”的定义判断即可； （2）①如图2-1中，点P，点Q为点A的一对关联点，有三种情形如图所示，求出直线经过原点，，，b的值即可． ②如图2—2中，当直线与相切于E，F时，解析式分别为：，．以为边向上构造等边三角形（边长1），当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点R ），求出两种特殊位置，b的值可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， 观察图象可知，是边长为1的等边三角形， 点A的一对关联点是D，C． 故答案为：C，D． （2）解：①如图2-1中，点P，点Q为点A的一对关联点，有三种情形如图所示， 当直线经过原点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 综上所述，满足条件的b的值为0或或． ②如图2-2中，当直线与相切于E，F时， 设切点坐标为， ∵以原点为圆心作半径为1的圆， ∴， 化简得， ∵直线与相切， ∴， 解得或, ∴或． 以为边向上构造等边三角形（边长1），当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点R ）， 当R与E重合时，直线的解析式为， 当R与F重合时，直线的解析式为， 观察图象可知，满足条件的b的值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，“关联点”的定义，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 一、单选题 1．（2025·河北唐山·一模）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是数轴和有理数的加减，掌握数轴上点的移动和数的大小变化规律是解题的关键． 根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 点向左移动5个单位长度到达点，则点表示的数为， 点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为， 故选：C． 2．（2026·甘肃兰州·一模）如图，在正方形中，是的中点，动点从点出发沿边匀速运动，到达点时停止运动，过点作，交于点，设，的面积为，的面积为，则与，与的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【分析】设正方形的边长为a，如图，延长交于点G，可得四边形为矩形，再由，可得，，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， 如图，延长交于点G， 在正方形中，， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ， ∵a为定值， ∴与，与的函数关系分别是二次函数，一次函数． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动，若运动时间为，的面积为．点P，Q在运动时，则y的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分为点P在上和点P在上两种情况，分别求得面积y和x的函数关系，进而根据对应函数的图象特点可得答案． 【详解】解：在矩形中，，，，， ∴， ∴， 当P运动到点A时，， 当P运动到点B时，， 当Q运动到点D时，， 当点P在上时，则，，，， 过P作于H，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴的面积， ∴该函数对应的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线， 当点P在上时，则，，， ∴的面积，是一次函数， ∴当时，该函数图象是随x增大而增大的线段，故选项C符合题意． 4．（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 5．（2025·山东滨州·模拟预测）在数轴上，点表示的数是3的相反数，从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．7 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、相反数、有理数的减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据相反数的定义可得点表示的数是，再根据数轴的性质列出式子，计算有理数的减法即可得． 【详解】解：∵在数轴上，点表示的数是3的相反数， ∴点表示的数是， ∵从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点， ∴点表示的数是， 故选：D． 6．（2026·安徽·三模）如图，在中，，，，平分交于点F，点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿方向向点B运动，到达点B时停止运动，连接，点E在上，且．设点D的运动时间为t，，则y关于t的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质求得，得到，证明，根据，求得，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， 由勾股定理得，且． 作交的延长线于点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，即． ∵， ∴，解得：， ∵点的运动速度为2单位/秒，运动时间为， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 由图可知，在与之间， ∴， ∴ ， 观察四个选项，选项A符合题意． 7．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 8．（2026·河南开封·一模）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，，结合当运动时间为秒时，，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 根据图象可知，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，． ∵四边形为菱形， ∴，． 又． ∴． ∴． ∴． ∵当运动时间为秒时， ， ∴． ∴． 9．（2024·广东广州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：、和，分别列出方程，解方程即可判断⑤． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， ∴当时，，此时的面积为， ∴， ∴， ∴点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ∵，， ∴线段段的函数解析式为，则说法③正确； ∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ∴， 当时，如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ∵， ∴的面积． 当时，此时的边，边上的高为， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 二、填空题 10．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是______． 【答案】/10秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于t的方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据点的运动速度分别表示出和的长度，再利用直角三角形面积公式列出关于的一元二次方程，求解方程得到运动时间． 【详解】设经过秒时，的面积等于． 点的速度是，移动时间为秒，，则； 点的速度是，移动时间为秒，则． ∵， ∴ 的面积． ∵， ∴， 化简得， 即， 整理为， 解得． 所以经过的时间是． 故答案为：． 11．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形，使点B，C在第一象限内，且，点P的坐标为，设点A运动了，则在点A的运动过程中，当________时，为等腰三角形． 【答案】或2或 【分析】作轴于点，根据菱形的性质得到，解表示出的长，得到，由为等腰三角形，分三种情况讨论：①；②；③，分别利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：作轴于点，则， 由题意得，， ∵菱形， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵点P的坐标为， ∴； ①若， ∴， 解得； ②若， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； ③若， ∴， 解得：； ∴综上，或2或时，为等腰三角形． 故答案为：或2或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、菱形的性质、等腰三角形的定义、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程的应用，运用数形结合的思想，正确表示出点的坐标是解题的关键． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点在线段上从点A至点运动，连接，以为边作等边，点和点A分别位于两侧，连接．下列结论：①；②；③点从点A运动到点时，的运动路程是4；④连接面积的最大值为．其中正确结论的序号为_____． 【答案】①②③④ 【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，再利用角的等量代换，即可得出结论①正确；②连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确；③延长至，使，连接，通过，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论③正确；④过点作于点，在上截取，连接，证明，则，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：①设与的交点为，如图所示： 在矩形中，对角线相交于点， ∴，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴ ∴，故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论②正确； ③如图，延长至，使，连接， ， ∴点在的垂直平分线上，则 点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到， ， 设，则 解得： ， 点运动的路程是， 故结论③正确； 如图，过点作于点，在上截取，连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则，， ∴ ∴当时，面积的最大值为． 故④正确， 综上所述，正确结论的序号为①②③④． 13．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 14．（2026·湖北随州·一模）如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 【答案】 6 【分析】首先由矩形的性质得到，然后由图象得到，表示出，得到，表示出，即可求出；设，，证明出，得到，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， 由图2得，当，即点M在A点时，此时点N和点D重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ 当点M运动到点B时，点M停止运动，此时点N和点C重合， ∴此时的面积 ∴，即 ∴ ∴； 设， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，即 ， ， ∴将，代入得，， ， ． 三、解答题 15．（2026·吉林·一模）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 16．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________． 【答案】(1) (2)图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）描点法画出函数图象，根据图象写出性质即可； （3）求出时的函数值，进而求出直线经过点和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：点运动到点时，所用时间为秒；运动到点时，所用时间为秒； 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上： （2）解：列表如下： 0 1 2 3 4 0 5 4.5 0 画出函数图象如下： 性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） （3）解：当时，， 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 故的函数图象与直线有两个交点时，． 17．（2025·湖南娄底·一模）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： (1)点出发几秒后，可使的面积为？ (2)点出发几秒后，？ 【答案】(1)点P，Q出发1秒后，可使的面积为 (2)点P，Q出发2.4秒后， 【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）设点P，Q出发x秒，根据“的面积为”列方程求解即可； （2）设点P，Q出发y秒后，，可得，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为． ∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． ∴，， 根据题意，得， 解得：，（舍去）   答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为； （2）解：设点P，Q出发y秒后，， ∴， ∴， ∴= ∴y=2.4      答：点P，Q出发2.4秒后，． 18．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质与判定、三角形面积公式以及角平分线的性质，解题的关键是根据运动时间表示出相关线段的长度，再结合几何性质建立方程或函数关系； （1）根据四边形为平行四边形，得出，建立方程求解即可； （2）先证明出，再利用性质建立等式表示出的面积，再根据即可求解； （3）过点作于点，证明出，表示出，，，根据平分，进一步证明出，利用性质建立关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形 ， ， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：由题意得：， 由（1）知：， ， ， ， 因此，与之间的函数关系式为． （3）解：过点作于点 ， ， ． 平分， 解得： 当，平分． 19．（2026·辽宁丹东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)当时，求的值； (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； (4)点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，的坐标为 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点之间的距离公式列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，①当边与抛物线有交点时，②当边与抛物线有交点时，分别画出图形，列式计算即可求解； （4）分四种情况讨论，画出图形，列出不等组，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴，令，即， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：由题意得，点，点， ∴，即， ∴，； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ①当边与抛物线有交点时，如图1， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点G和点N关于对称轴对称， ∴，， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； ②当边与抛物线有交点时，如图2， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点M和点G关于对称轴对称， ∴， ， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； 综上，或； （4）解：∵对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点， ∴， 分情况讨论， 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得或， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得，不符合题意； 综上，的取值范围是或或，即或． 20．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）令得到一元二次方程，计算判别式来判断与轴的交点个数即可； （2）根据抛物线对称轴的性质求出抛物线的表达式为，分情况讨论：当或时，利用抛物线的图象性质分析最大值与最小值的情况，据此解答即可； （3）根据题意得到平移后抛物线的表达式为，进而求出点、坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设，则、、，进而求出、、长，分情况讨论：当点在点的上方或点在点的上方时，设直线交直线于点，与交于点时，根据题意列方程求出值，结合点在直线的右侧的第一象限内，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴有2个交点，理由如下： 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； （2）解：根据题意得，抛物线的对称轴为， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 分情况讨论： ①当时，最大值为， ， ， 令得：， 解得或， 由图象可知，抛物线在时，随增大而增大， ，即时，符合题意； ②当时，抛物线在上，随增大而减小， 在处，取得最大值，即、在处，取得最小值，即， ， 解得， ， 此种情况不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：由（2）知，抛物线的表达式为， 则平移后抛物线的表达式为：， 抛物线的对称轴为， 令得：， 解得或， 、， 令得：， ， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 设，则、、， 分两种情况讨论： ①当点在点的上方时，令直线交直线于点， 将代入得：， ， 点在直线的右侧的第一象限内， ， 、、、， 、， 直线将四边形的面积分成的两个部分， ， 整理得：， 解得：或， ， ， 将代入得： ， ； ②当点在点的上方时，设与交于点， 将代入得：， 解得， ， 、， 由题意得：， ， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得： ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的几何综合、二次函数的平移，熟练掌握二次函数及一次函数的图象性质、数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 22．（2024·山东青岛·模拟预测）已知：线段和矩形如图①摆放（点E与点B重合），点F在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点P同时从点A出发，沿方向运动，速度为．连接，，，分别与，相交于点M，N，设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的关系式； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出t的值，并求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2) (3)存在， (4)存在，当时，四边形的面积最小， 【分析】（1）根据为等腰三角形，，得到，代入列方程计算即可； （2）根据四边形的面积为列式计算即可； （3）先证明，得到，代入列方程求解即可； （4）根据，当时，四边形的面积最小．由，得到，则，由，得到 ，，由勾股定理得，，即可求出． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵为等腰三角形，， ∴ ∴， 解得， 当时，为等腰三角形； （2）解：由题意得，，，， ∴四边形的面积为 ； （3）解：∵， ∴， ∴， 可证， ∴， ， ， 解得：，（舍去）， 存在某一时刻，使； （4）解：， ∴当时，四边形的面积最小，此时，， ， ∴， ∴， ，， ， ∵， ∴， ，， 在中，由勾股定理得，， ， 当时，四边形的面积最小，此时． 23．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； (3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到，用t表示两条线段的长，建立等式求解即可； （2）证明，得到，表示，利用二次函数的最值解答即可； （3）证明，得到，整理得到一元二次方程，求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴当时， ∴ ∴ 即 解得 ； （2）∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∴， ∴ ， ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为． （3）解：假设存在合题意的，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，延长交于点 ∵，， ∴ ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 即， 解得，(舍) ∴当时，线段经过点． 24．（2026·广西钦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①，；②或 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 25．（2026·江西吉安·模拟预测）综合与实践 问题提出 某学习小组在综合实践活动中遇到这样一个问题：如图1，在矩形中，，E为矩形边上的一点，点P，Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设点P的运动时间为t（单位：s），的面积为（单位：），已知当点P从点B运动到点D时，与t的函数关系的图象如图2所示． 初步感知 (1)观察图1、图2填空：的长为________，a的值为________，b的值为________． 深入探究 (2)①当点P在上运动时，求关于t的函数解析式． ②当点P在上运动时，关于t的函数解析式为________． 应用拓展 (3)若当点P在上运动时，某一时刻的运动时间记为，的面积记为；当点P在上运动时，某一时刻的运动时间记为，的面积记为．是否存在当时，的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)① ② (3)存在， 【分析】（1）根据图像分析，当点到达点处时，点到达点处，即可求得，再根据面积可得的长度，进而可求，取值； （2）根据面积公式构造函数即可； （3）根据函数关系式可构造一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，由图2可知，当时间在到段，面积不变， 则当点到达点处时，点到达点处， ∵它们的运动速度都是， ∴， 则, 当时， 的高： 在中， , ∴， ∴点在上运动的时间为， ∴， （2）解：①当点P在上运动时, 过点作, ，， ∵, ∴, ∴， ∴， ∴， ②当点P在上运动时， ,, ． （3）解：存在， 根据题意得， ， ， 当时， 则 若 ∴， ∴， 解得：或（舍去）． 26．（2025·山东青岛·二模）已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： (1)连接，当时，求的值； (2)如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)如图3，连接与交于点，当时，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，建立方程进行解方程，即可作答． （2）过点D作于H，，则，，故，则，分别把数值代入，，得，所以，得，整理得，即可作答． （3）过点作于，整理得，则运用即，，建立方程，进行解方程，即可作答． 本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，方程与动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ，， ，， ， ∴， 解得， （2）解：过点D作于H， 在中，， ， ． 在中，， ，， ， 则， ， ， ， 则， ∴ 则， ， （3）解：过点作于， 在中，， ， ． ， ， ， ， 又， ， 即，， ∴． 解得， ， ∴ 27．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 几何动点与存在性问题 （基础、常见、存在性、压轴等综合）有关的4类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 几何动点基础核心技巧 方法二 常见动点专项技巧 方法三 几何高频存在性问题技巧 方法四 压轴综合解题思想技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】几何动点基础 【题型02】常见动点 【题型03】几何高频存在性问题 【题型04】压轴综合 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：单点/双动点基础应用，以三角形、矩形、菱形为载体，考查动点运动过程中边长、角度、周长的变化，侧重“化动为定”，结合全等、相似求解，多为中档题，是基础得分点。 核心考向2：存在性问题（压轴核心），高频考查等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、相似三角形的存在性，本质是“分类讨论+方程求解”，结合动点轨迹，转化几何条件为代数关系式。 核心考向3：动点与最值/面积综合，聚焦动点运动过程中面积、线段最值（最短路径、最值线段），结合将军饮马、垂线段最短、相似性质，是中考压轴区分度核心题型。 共性考向：均侧重“动态转化静态”思想，结合几何直观、逻辑推理，贴合中考核心素养，常与坐标系、几何三大变换结合，设问分层（基础计算→存在性判断→最值求解）。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：“化动为定”思维不足，无法锁定动点运动的关键位置（端点、拐点、特殊位置），难以将动态问题转化为静态几何问题，找不到解题突破口。 瓶颈2：分类讨论不全面，存在性问题中遗漏特殊情况（如等腰三角形顶角顶点分类、直角三角形直角顶点分类），动点问题中忽略运动范围（定义域），导致漏解、错解。 瓶颈3：几何与代数衔接不畅，不会用坐标表示动点位置，无法将几何条件（全等、相似）转化为方程或函数关系式，计算繁琐时易出错。 瓶颈4：最值思路匮乏，不会结合将军饮马、垂线段最短等模型，对动点轨迹判断不准确，无法快速锁定最值对应的动点位置。 结论背记 一、核心基础公式（解题地基，必背） 核心原则：几何动点问题的本质是“变量转化为常量”，通过设参表示动点坐标/边长，结合几何性质、公式，将动态问题转化为静态计算；存在性问题的核心是“分类讨论+验证”，不重不漏，结合基础公式列方程求解。 （一）动点问题基础公式 1. 动点设参基础公式（中考核心，所有动点题必用） 单动点设参：若动点沿线段运动，设（为参数，），则可通过线段比例、几何性质表示点坐标/相关边长（的取值范围是易错点，需结合图形确定）。 双动点联动设参：若两动点运动速度相同/成固定比例，设运动时间为，则两动点的路程分别为、（、为运动速度），联动表示相关边长/坐标（避免多变量混乱）。 坐标设参：平面直角坐标系中，动点在某条直线/抛物线上，设，结合直线/抛物线解析式，用一个参数表示两个坐标（如、）。 1. 动点关联核心公式（衔接前两专题，高频复用） 两点距离公式：（求动点到定点/动点到动点的线段长度）。 中点坐标公式：（动点构成线段的中点，适配平行四边形、等腰三角形存在性）。 斜率公式：（判断动点与定点连线的垂直/平行关系，为垂直，为平行）。 垂线段最短公式：点到直线的最短距离为垂线段长度，（直线，点，中考拓展，多用于动点最值）。 （二）存在性问题基础公式 1. 三角形相关存在性基础公式 等腰三角形：两边相等（、、），结合两点距离公式列方程。 直角三角形：勾股定理（分三种直角顶点情况），或斜率乘积为（垂直）。 相似三角形：对应边成比例，对应角相等（结合三角函数）。 1. 四边形相关存在性基础公式 平行四边形：对角线中点重合（中点坐标公式），或对边平行且相等（斜率相等+距离相等）。 矩形：平行四边形+一个直角（斜率乘积为），或对角线相等（两点距离公式）。 菱形：平行四边形+邻边相等（两点距离公式），或对角线互相垂直（斜率乘积为）。 1. 圆相关存在性基础公式（中考低频，部分地区考） 点在圆上：点到圆心距离=半径（，为圆心，为动点）。 圆与直线相切：圆心到直线的距离=半径（垂线段最短公式）。 二、万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） （1） 动点问题万能建模公式（中考高频，分3类核心模型） 1.单动点+线段最值万能公式（基础中档题） 模型1：动点在直线上运动，求最小值（、为定点） 万能公式：作点关于直线的对称点，则最小值=（两点距离公式计算），本质是将军饮马模型。 模型2：动点在圆上运动，求最大值/最小值（为定点，为圆心，为半径） 万能公式：，（为定点到圆心距离，两点距离公式计算）。 2.双动点+联动最值万能公式（中档压轴题） 模型：两动点、分别沿两条线段运动，运动速度固定（、），同时出发、同时停止，求的最值/的最值。 万能公式：设运动时间为，用表示、坐标/边长（，），转化为单变量函数（二次函数/一次函数），求顶点最值/端点最值。 关键：统一参数（运动时间），将双动点转化为单变量问题，注意的取值范围（由线段长度和运动速度确定）。 3.动点+面积万能公式（中考必考，衔接二次函数专题） 模型：动点在直线/抛物线上运动，求（、为定点）的面积最值/定值。 万能公式1（铅垂高法，首选）：水平宽铅垂高，水平宽为、两点水平距离（定值），铅垂高为动点到直线的竖直距离（用参数表示）。 万能公式2（割补法，适配不规则图形）：梯形，将三角形转化为梯形、直角三角形的面积差，用参数表示各边长度，列面积表达式求最值。 拓展公式：动点构成的四边形面积，转化为两个三角形面积之和（四边形），套用铅垂高法计算。 （2） 存在性问题万能建模公式（中考压轴题核心，分4类必考模型） 1.等腰三角形存在性万能公式（全国中考Top1） 模型：动点在某图形上，判断是否存在点，使为等腰三角形（、为定点）。 万能步骤+公式： 分类讨论（3种情况，不重不漏）：① ；② ；③ 。 套用公式：① →中点坐标公式（中点与的连线垂直于，斜率乘积为）；② →两点距离公式（）；③ 同②。 验证：将求解的点坐标代入动点所在图形（直线/抛物线），验证是否在取值范围内。 2.直角三角形存在性万能公式（全国中考Top2） 模型：动点在某图形上，判断是否存在点，使为直角三角形（、为定点）。 万能步骤+公式： 分类讨论（3种直角顶点）：① ；② ；③ 。 套用公式：① →勾股定理（）或斜率乘积（）；② →；③ 同②。 验证：排除不符合图形范围的点，确保直角三角形存在。 3.平行四边形存在性万能公式（中考高频压轴） 模型：已知三点、、，动点在某图形上，判断是否存在点，使四边形为平行四边形。 万能步骤+公式： 分类讨论（3种对角线情况）：① 为对角线；② 为对角线；③ 为对角线。 套用公式（对角线中点重合）： ① 为对角线：，（解出点坐标）； ② ③ 同理，替换对角线端点，列方程求解。 验证：将点坐标代入动点所在图形，验证是否符合要求。 1. 相似三角形存在性万能公式（中考压轴难点） 模型：动点在某图形上，判断是否存在点，使（、、、、为定点）。 万能步骤+公式： 分类讨论（对应顶点不同，2种情况）：① ；② （避免漏解）。 套用公式（对应边成比例）：① ；② ，结合两点距离公式列方程。 拓展：可结合三角函数（）简化计算，避免复杂根号运算。 （3） 拓展公式（中考压轴题专用，拉开分差） 1.动点轨迹公式： 若动点到定点的距离为定值，则的轨迹为圆，方程：（为圆心）。 若动点满足为定值（如90°、60°），则的轨迹为圆（圆周角定理，中考拓展）。 2.参数范围确定公式：动点参数的取值范围=线段长度÷运动速度（双动点需取两者较小值），或结合图形边界（如抛物线的自变量范围）。 3.动点+变换综合公式：动点经过折叠/旋转后得到，先套用三大变换坐标公式表示，再结合存在性公式求解（衔接专题2）。 技法归纳 方法一 几何动点基础核心技巧 找准动点运动轨迹与范围，用线段、时间表示动点线段长度，结合几何性质列式分析。 例题1 （2026·河南许昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，连接，是的中点，是内一动点，连接，，，，保持的面积始终为8，当取最小值时，点的坐标是___________． 例题2 （2026·山东滨州·一模）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 例题3 （2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 方法二 常见动点专项技巧 分类讨论运动阶段，结合相似、勾股、面积公式，建立方程求解边长与时间问题。 例题1 （2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例题2 （2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题3 （2025·陕西汉中·模拟预测）在正方形中，E为对称中心，为对角线，P为正方形内部一点，，，，Q为边上一动点，连接，，则的最小值为__________． 方法三 几何高频存在性问题技巧 先假设图形或关系存在，依据特殊图形判定条件列式，检验结果是否符合题意与范围。 例题1 （2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 例题2 （2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例题3 （2025·浙江杭州·二模）如图1，在矩形中，，．E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，分别从E出发以的速度沿射线，方向运动，同时，从G出发以同样的速度分别沿射线，方向运动，与交于点M，与交于点N．设运动的时间为t（s），求四边形与四边形覆盖平面的总面积y与运动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，四边形为正方形． 例题4 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 例题5 （2025·甘肃酒泉·一模）如图，在 中， ，米，米，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，同时，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为秒 (1)①当秒时，求的面积； ②求的面积平方米关于时间秒的函数解析式； (2)在，移动的过程中，当为等腰三角形时，写出的值； (3)以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆相切时，求出的值． 方法四 压轴综合解题思想技巧 运用数形结合、分类讨论、转化思想，拆分复杂题型，分步列式，严谨验证答案。 例题1 （24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 例题2 （2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的边长为3，点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周后停止，设为点运动秒后的面积，当、、三点共线时．那么，关于的函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 例题3 （2025·山东临沂·一模）（1）因式分解： __________ （2）菱形中，对角线，则菱形的高为__________ （3）若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值__________ （4）直线：与x轴交于点A，将直线绕点A顺时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是__________ （5）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是__________ 例题4 （2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 【题型01】几何动点核心基础（共7题） 1．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 3．（2026·全国·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是，8．线段，从点A（端点P与点A重合，点Q在P点的右侧）出发，以每秒4个单位向右匀速运动，到达B点，即Q点与点B重合后，立即以每秒a个单位的速度匀速返回，当端点P与点A再次重合时运动停止．点M从点B出发，以每秒2个单位向左匀速运动，与线段端点Q相遇后速度立即变为每秒3个单位，匀速到达A点时运动停止．已知线段与点M同时出发，点M提前2秒到达点A．设运动时间为t（秒）． (1)经过_______秒，点M与线段端点Q相遇． (2)记，m与t具有函数关系． ①线段从左向右（从点A到点B）的运动过程中，求m与t的函数表达式； ②在整个运动过程中，请直接写出时t的所有取值． 4．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形和矩形中，与交于点，与交于点，动点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动，伴随点的运动，矩形在射线上滑动；动点从点出发沿折线以每秒个单位长的速度匀速运动．点、同时开始运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）． (1)当时，直接写出、的值； (2)当为何值时，； (3)当点到达点时，求出的值． 5．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【题型02】常见动点（共8题） 1．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为__________． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东青岛·二模）如图，在四边形中，，G是上一点，且，过点D作，交延长线于点E，连接．动点P从点G出发以的速度沿线段向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发以的速度沿线段向终点C匀速运动，过点Q作，交于点H，交于点F，当点P到达点B时，点Q也停止运动．设运动时间为t（s），．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形； (2)设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分四边形的面积？ 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． 6．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 7．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【题型03】几何高频存在性问题（共9题） 1．（2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 2．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 3．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； (4)连结，当与的边或垂直时，直接写出的值． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（2025·吉林长春·二模）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．          (1)当四边形是正方形时，求的长； (2)当四边形是菱形时，求证：； (3)面积的最大值为________；此时的长为________； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长为________． 6．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 8．（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 9．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【题型04】二次函数最值问题（共7题） 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，求的最大值； (3)如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线解析式为，连接、，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 2．（2025·天津河北·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点B的坐标为_______，点G的坐标为______； (2)如图②，将矩形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到矩形，点D，E，F，G的对应点分别为点，，，，矩形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： (1)点的坐标是______； (2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； (3)直接写出为何值时，两人相距米． 4．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P从矩形的顶点A出发，以的速度沿折线向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发以的速度沿向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为的中点，连接,，记的面积为S，其函数图象为折线和曲线（图②），已知，，点G的坐标为． (1)点P与点Q的速度之比的值为 ；的值为 ； (2)如果． ①求线段所在直线的函数表达式； ②求所在曲线的函数表达式； ③是否存在某个时刻t，使得？若存在，请说明理由． 6．（2025·新疆·一模）如图，是的直径，M、N是上异于A，B的两点，C是上一动点，的角平分线交于点D，的平分线交于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是___________． 7．（2025·北京·模拟预测）对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 一、单选题 1．（2025·河北唐山·一模）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃兰州·一模）如图，在正方形中，是的中点，动点从点出发沿边匀速运动，到达点时停止运动，过点作，交于点，设，的面积为，的面积为，则与，与的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动，若运动时间为，的面积为．点P，Q在运动时，则y的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025·山东滨州·模拟预测）在数轴上，点表示的数是3的相反数，从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．7 B．1 C． D． 6．（2026·安徽·三模）如图，在中，，，，平分交于点F，点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿方向向点B运动，到达点B时停止运动，连接，点E在上，且．设点D的运动时间为t，，则y关于t的函数图象为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026·河南开封·一模）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 9．（2024·广东广州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 10．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是______． 11．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形，使点B，C在第一象限内，且，点P的坐标为，设点A运动了，则在点A的运动过程中，当________时，为等腰三角形． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点在线段上从点A至点运动，连接，以为边作等边，点和点A分别位于两侧，连接．下列结论：①；②；③点从点A运动到点时，的运动路程是4；④连接面积的最大值为．其中正确结论的序号为_____． 13．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 14．（2026·湖北随州·一模）如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________． 三、解答题 15．（2026·吉林·一模）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 当时， 根据题意，得，， ∴． 16．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________． 0 1 2 3 4 0 5 4.5 0 17．（2025·湖南娄底·一模）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： (1)点出发几秒后，可使的面积为？ (2)点出发几秒后，？ 18．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（2026·辽宁丹东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)当时，求的值； (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； (4)点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 20．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 21．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 22．（2024·山东青岛·模拟预测）已知：线段和矩形如图①摆放（点E与点B重合），点F在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点P同时从点A出发，沿方向运动，速度为．连接，，，分别与，相交于点M，N，设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的关系式； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出t的值，并求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 23．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； (3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（2026·广西钦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 25．（2026·江西吉安·模拟预测）综合与实践 问题提出 某学习小组在综合实践活动中遇到这样一个问题：如图1，在矩形中，，E为矩形边上的一点，点P，Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设点P的运动时间为t（单位：s），的面积为（单位：），已知当点P从点B运动到点D时，与t的函数关系的图象如图2所示． 初步感知 (1)观察图1、图2填空：的长为________，a的值为________，b的值为________． 深入探究 (2)①当点P在上运动时，求关于t的函数解析式． ②当点P在上运动时，关于t的函数解析式为________． 应用拓展 (3)若当点P在上运动时，某一时刻的运动时间记为，的面积记为；当点P在上运动时，某一时刻的运动时间记为，的面积记为．是否存在当时，的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26．（2025·山东青岛·二模）已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： (1)连接，当时，求的值； (2)如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)如图3，连接与交于点，当时，求的值． 27．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $