重庆市第八中学校2026届高三下学期4月模拟预测数学试卷

**基本信息** 高中数学模拟预测卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，综合考查函数、几何、数列、概率等知识，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、集合、等差数列等|基础巩固，考查数学眼光中的抽象能力| |多选|3/18|函数奇偶性、曲线性质等|能力提升，体现推理意识与批判性思维| |填空|3/15|向量、导数几何意义等|知识综合，强化数学语言表达| |解答|5/77|椭圆、三棱柱、概率操作等|创新应用，注重数学思维与模型意识，贴合真题趋势|

数学试卷（四）参考答案及评分建议 一、单选题 题号 2 3 4 5 6 8 答案 B C C A B C D C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD ABD ACD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 x2+y2-2x-2y=0 2N2 四、解答题 15.解：(1)由题意： 2a2b=43,÷b=23 …1分 又：e=- a2a=2c …2分 ab=25 联立 a=2 a=2c …3分 b=5 a2=b2+c2 二椭圆的方程是： y2 4+ =1 …4分 (2)当直线1的斜率不存在时，26=25>125，不合题意。 …5分 7 当直线1的斜率存在时，令1：y=c-2,A(x,),B(x2,y2) y=x-2 联立： +-1得：6+42x2-16+4=0 x2 …7分 4 3 :A=16k2-163+4h2)=4842->0,÷2 …8分 ∴A=+5-=+,6=+.484-_452+42-.12 3+4k2 3+4k2 3+4k2 7 解得k2=1… …10分 经检验：1>分·=1符合愿意… …11分 原点O到直线4B的距离d= ☒_e2…l2分 Vk2+1 六5ae=hd=255 …13分 27 > 16.解：(1)证明：作AO平面ABC于点0，：BCc平面ABC,.AO⊥BC 又A4⊥BC,A4∩O4=4，A4c面440,4Oc面44O .BC⊥平面4AO,AOC面AAO,∴.BC⊥AO…2分 同理可证：AB⊥C0…3分 又△4BC是正三角形，则O是△4BC的中心 连结AO并延长交BC于点E,连结CO并延长交AB于点F,则E,F分别为BC,AB的中点 又4EC面AA0,BC⊥4E,故4B=AC…5分 同理可证：AB=A4 综上所述，41A=AB=A,C…6分 (2)如图：以BC的中点E为坐标原点，以EA,EB所在直线分别为x轴，y轴的正方向， 过E且与O4平行的方向为：轴的正方向建立空间直角坐标系…7分 则4500.s0l0,c0-10,45.5 …8分 设平面4岛8的法向最为-依元.：丽-（一510，网-（之9Q号 [AB-i=-√3x+y=0 则 4i=-25x+ ……9分 3* 3s0 取2=1，则n=(号，9)…11分 A 又G=c+G=C4=515…2分 令直线AC,与平面A4BB所成角为0 则sin0=cos<n,AC> 6 ……………………14分 :4C √0x55 :c0s0=25,即：直线4G,与平面M4B所成角的余弦值25 …15分 5 5 17.解：(1)g)=ahx+x-1,g)=+1 当a≥0时，g(x)>0,.g(x)在(0，+0)单增…2分 当a<0时，令g'(x)>0,则x>-a；令g(x)<0,则0<x<-a g(x)的单增区间为：(-a,+0),单减区间为：(0，-a)…5分 (2)原不等式台1-x≤ Inx (0<x≤1) -1+alnx ①当a<0时，当0<x<ea时，-1+alnx>0,lnx<0,1-x>0>lnx ,不合题意…7分 -1+alnx ②当a≥0时，原不等式台1-x)(-1+alnx)≥lnx一x-1-(ax-a+)lhx20 令hx)=x-1-(a-a+1)lnx(0<x≤1) 则h(=1-anx+a-“马，h=￥2-r+a二0 注意到：1-0-0=1上a,1上0-1=1-20 a a a a 当a≥1时，h(x)<0,.h(x)在(0，)单减，.h(x)>h()=0 .h(x)在(0,1单增，.h(x)≤h(=0,不合题意…9分 a三0时，M)=x-1-nx,h=1-上=，)在O则单减，)20=0，符合题意 当0<a≤兮时，h>0,i)在O)单增，h<0=0 .hx)在(0，川单减，.h(x)之h)=0,符合题意…2分 当a<1时，令i<0,则c+a->0,。2<x<,i在2)单减， a h()>h(=0,h(x)在(-0)单增，h)≤h0=0,不合题意…14分 综上所述，ae0,2 …5分 18.(1)解：设数列{an}的前n项和为Sn,则Sg=8a1+28d=144,a1=4,∴an=4n…2分 又b3-b2=4q2-4g=48，.q=4,.bn=4”…4分 (2)证明： (i):c7=(b2m+ 2=42+}=4+ 1 2 +2×4”，又：c2n=b4n+ C-C2n=2×47分 对任意neN*,有-2x4 C -Can =2x4r=4,且2-6，=8≠0 数列名-6}是以c-2G为首项，4为公比的等比数列…9分 (i) 16k(k+1)22k(k+1) Ci -C2k 2.4 2 由于+<《+k+2,,L<25.2.万×2 ……12分 2 2 Vc2-ck2*2 2 法一：裂项相消求和 又2+1_2k+3_2k+5 2 2k-1 22人士上2+三2+三)=522十5 2名2- 2k 2” …l6分 从而2只9<22<55，证毕… …17分 台Vc-c2 白2Γ 法二：错位相减求和 19.解：(1)进行1次操作后，盒子A中有(m-)张普通卡片，1张幸运卡片，n张空白卡片…1分 进行2次操作后，X=k(k=012,n-1),PX==C生C …3分 C21 令P(X=k)最大 Ch-C-- 「k+1k+2 n2 则PX=k)≥PX=k+D -1 则 2n+1 P(X=k)≥P(X=k-1) CC-1-k n-k.n-k≥1 kk+1 k≤2n+1 即： 3 2n+1-1sks」 当a为偶数时，=”之：当为奇数时，人-…5分 n2 2 (2)①证明：若盒子A中只有1张普通卡片，设再进行W次操作后，恰好无普通卡片 E0w=Ξ.E0w+1,六E0w)=-E0w+1,E0w)=2-1.-7分 C 2n-1 ÷B2=Cg器.EZ+C:CL.E0w+1 C2 C2 E(2)= m-1n-2)·(2+ 2nn-)_2n-L+1 (2n-1(2n-2) 2n-1)(2n-2)n =8n-4…… 3n ②当y=1(1=123…,n-1)时，再进行1次操作后恰好无普通卡片的概率B=C…12分 点cc…cd C) ·PW=0=P 1 ……14分 -可 C=C22+2C++0m=1C-+nC =C+(C+C-)+(C+C-+C)+…+(C+C+…+C2n2)-n =C7+C+1+Cm+2+…+C3n-1-n =C行-n…l6分 B)=月.PW=0=-1… …17分 il C2s -1 数学试卷 一、选择题: 本 题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。 1. 样本数据16,24,10,30,12,14,40的中位数为 A. 24 B. 16 C. 15 D. 20 2. 设集合 ,则 A. B. C. D. 3. 记等差数列 的前 项和为 ,则 A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 4. 在 的展开式中常数项为 6,则 A. B. 1 C. D. 6 5. 直线 与 轴相交于点 ,与抛物线 的准线相交于点 , 过点 作 的准线的垂线与 相交于点 ,若 ,则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设 是定义在 上且周期为 2 的偶函数,当 时, ,则 A. B. C. D. 7. 已知 ,则 A. B. C. D. 8. 已知关于复数 的方程 的四个互异复根在复平面上顺次连接构成一个凸四边形. 若这四个顶点恰好共圆,则当该圆的半径最小时 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择 题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则 A. B. C. 当 时, D. 的极大值为 10. 已知曲线 与坐标轴交于 两点,点 在 上,则 A. B. 为轴对称图形 C. 直线 与 有两个公共点 D. 使得 的面积为 的点 恰有 2 个 11. 水平桌面上有一个装满水的倒置的圆台形纸杯,下底面半径为 , 上底面半径为 ,高为 . 将杯身倾斜,纸杯底最低点始终接触桌面, 当水面恰好同时经过杯口最低点和杯底最高点时, 记杯身轴线与竖直方向夹角为 ,母线与轴线夹角为 ,下列说法正确的有 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则水面与杯壁交线上两点间的最大距离为 D. 若 ,则水面与杯壁交线的离心率为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知 ,平面向量 ,若 , 则函数 的单调递减区间为_____. 13. 曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为_____. 14. 已知点 ,点 在双曲线 上,记 的面积为 , 的面积为 ，则 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 以离心率为 的椭圆 的顶点为顶点的四边形面积为 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 的直线交 于 ， 两点， ， 为坐标原点，求 的面积. 16. (15 分). 在三棱柱 中,底面 是正三角形， . (1)求证: ； (2)若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值. 17. (15 分) 已知 (1)设函数 ，讨论函数 的单调性； (2)当 时， ，求实数 的取值范围. 18. (17分) 已知等差数列 的公差为 4，其前 8 项之和为 144. 等比数列 的公比为 ， 且 . (1)求 和 的通项公式； (2)记 . (i) 证明: 数列 是等比数列; (ii) 证明: . 19. (17 分) 盒子 A 中装有 张普通卡片和 1 张幸运卡片,另有足够多的备用盒子,每盒各有 张空白卡片( ). 每次操作分为以下步骤: ①将盒子 A 里的卡片取出并充分洗匀，随机分成数量相等的两叠； ②保留含有幸运卡片的一叠，另一叠移出不再使用； ③取一个备用盒，将其中的 张空白卡片全部加入保留的一叠卡片中并洗匀，放入盒 A 中. 重复上述操作，直至盒子 A 中无普通卡片. (1)当 时，进行 2 次操作后，记盒子 A 中普通卡片数量为 ，求 的分布列，并求出此时盒子 A 中最有可能的普通卡片张数; (2)记在某次操作后，盒子 A 中恰有 张普通卡片( 且 )，且从此时起， 再经 次操作后盒子 A 中恰好无普通卡片. (i) 若 ,证明: ; (ii) 若 ,求 . 学科网（北京）股份有限公司 $