精品解析：上海市松江二中2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

2027届高二年级第二学期期中考试 数学试卷 （考试时间90分钟，满分120分） 一、填空题（本大题共10题，第1—5题每题4分，第6—10题每题5分，共45分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若球的半径为1，则其表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用球体表面积公式求已知球的表面积. 【详解】由球体表面积为. 故答案为： 2. 椭圆的离心率为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得，进而结合离心率的定义求解即可. 【详解】由椭圆，则， 即，所以离心率为. 故答案为： 3. 在平面直角坐标系中，若直线上的任何向量都与向量平行，则倾斜角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由直线的方向向量可得直线的斜率，进而可得直线的倾斜角的值. 【详解】因为直线上的任何向量都与向量平行，所以向量是直线的一个方向向量， 所以直线上的斜率，设直线的倾斜角为，则，且， 所以，故直线倾斜角的大小为. 4. 在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线面角的定义确定直线与平面所成角为，进而可求解. 【详解】 在长方体中，平面， 则在平面内的射影为，故直线与平面所成角为， ，​， 又平面，平面，所以​， 在中：  故直线​与平面​所成角为. 5. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图的面积公式结合条件即可求得底面半径，再由锥体体积公式进行计算即可. 【详解】易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为， 则，，则高． 则圆锥的体积， 故答案为：. 6. 已知常数．若过点、的直线为圆的切线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知过点、的直线斜率存在，设斜率为， 则过点、的直线方程可以为，即， 由题意可知，解得， 所以过点、的直线方程为， 点在直线上，所以，解得. 7. 祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是有放回的抽取，所以第一次和第二次抽到写有数字1的卡片的概率均为：， 则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为：. 8. 在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 9. 在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设平面的法向量为，由，，求得，令的方向向量为，通过，，求得，再由夹角公式即可求解. 【详解】因为，的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，① 又都在上，则, 即，② ①②联立，令，得， 即 又在上，令的方向向量为， 则，即 又，则，则， 即  令，解得，得， 又与的夹角即为与的夹角，   ， ， ​， 因此： . 10. 已知常数，定圆C的圆心为C，半径为r，P为圆C上的动点．若存在同一平面上的定点A，B，满足，C在直线AB上，且使得到A，B两点距离之和等于4的点P有且只有3个，则r的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，可求得点P的轨迹方程，数形结合可求r的取值范围. 【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可得，，所以点在以为焦点的椭圆上， 且，所以，所以， 所以椭圆的方程为， 因为P为圆C上的动点且使得到A，B两点距离之和等于4的点P有且只有3个， 所以圆C与椭圆有3个不同的交点， 又因为圆C关于轴对称，椭圆也关于轴对称， 所以圆C一定过长轴的一个端点，否则交点一定为偶数个. 如图所示，圆C过椭圆长轴的右端点时，因为C在直线AB上， 设圆心为，则圆的半径为，所以圆的方程为， 与椭圆联立方程组，消去得， 整理得，， 当时，圆与椭圆只有一个交点，不符合题意，所以， 设方程的另一根为，则由根与系数的关系可得， 所以，整理得，解得，此时，符合题意；所以； 同理可得圆C过椭圆长轴的左端点时，；所以r的取值范围为. 二、选择题（本大题共4题，第11—12题每题4分，第13题5分，共13分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. 在正方体中，与直线异面的直线可以是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】对ABC选项可找到平行四边形，使得所要判断的两条直线为平行四边形的对角线，从而可判断为相交直线，对于D则根据异面直线判断方法可得. 【详解】如图，在正方体中， 对于A，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故A错误； 对于B，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故C错误； 对于D，因为直线是平面内一条直线，直线经过平面外一点和平面内一点且， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 12. 过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 13. 如图，在圆柱中，、O分别是上、下底面圆的圆心，线段，为圆柱的两条母线，三点共线，点C在上底面圆周上，平面平面．设，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为．已知，对于命题： ①对任意符合题意的，恒有； ②存在常数，使得当时，的最大值为， 下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】命题①，考虑建立空间直角坐标系，设圆柱底面半径和高为参数，写出相关点的坐标，进而求出平面和平面的法向量，利用平面法向量的点积为0，那么可以等于，以此判断命题①的真假； 命题②，根据平面与平面所成二面角，求出平面的法向量满足的关系，再求出平面与平面所成二面角的余弦值表达式，结合的定义，将转化为关于的函数，若能找到常数使得函数最大值为，则命题②为真. 【详解】设圆柱底面半径为，为原点，为轴，为轴，得各点坐标： ，由，得， 平面过轴（交线），设平面，其法向量， 命题①， 平面的法向量：由，叉乘得法向量， 若，说明两平面垂直，即：， 已知，当时，，满足上式，此时，存在这样的情况，因此①恒有是假命题； 命题②， 是锐二面角，因此，代入得：， 化简得：，令，目标式为：， 由辅助角公式，的最大值为，因此最大值最大为，不存在这样的使得最大值为，因此②是假命题； 三、解答题（本大题共4题，第14—15题每题14分，第17题16分，第17题18分，共62分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 14. 申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． （1）在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； （2）从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2）由，得事件与事件相互独立 【解析】 【分析】（1）将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，结合百分位数的计算方法，即可求解； （2）根据题设中的统计数据分别求得和，根据相互独立事件的判定方法，即可求解. 【小问1详解】 解：将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，可得： 其中低于70分的有：，共有10个，即， 因为，所以第25百分位数为第6个和第7个数据的平均数， 所以第25分位数为. 【小问2详解】 解：事件与事件相互独立. 理由：在统计数据中，成绩不小于80分的有：，共有8个， 学生数学成绩为偶数的有：，共有12个， 由事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数， 可得其概率分别为， 又由事件表示成绩不小于80分且为偶数，有，共有4个， 所以其概率为， 因为，所以， 所以事件与事件相互独立. 15. 记抛物线：的焦点为F． （1）设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值； （2）过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程． 【答案】（1）； 2 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义即可求得； （2）设出直线方程和交点坐标，利用韦达定理进行求解. 【小问1详解】 抛物线为：，其准线为：，焦点为：， 为上一点，由抛物线定义得：点到准线的距离和点到焦点距离相等， 所以，若，则，此时. 【小问2详解】 不妨设直线方程为：，则，解得：， 设，，且，则由韦达定理得，， 所以，， 由题意得：，， 所以 ，解得：，所以， 因此的方程为：或. 16. 如图，长方体被平面所截，点E，F，G分别在棱，，上，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求四棱锥的体积； （3）设为直线上的动点．是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）补全长方体，结合面面平行的性质定理证明即可； （2）连接，再根据，结合等体积法求解即可； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，设，利用向量法求解线面角，建立方程求得或，进而求得答案. 【小问1详解】 如图，在长方体中，平面平面，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，， 所以四边形为平行四边形. 【小问2详解】 解：如图，连接，则， 因为，，， 所以 ， 所以 【小问3详解】 解：如图，建立空间直角坐标系， 如图，设，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，，即， 设直线与平面所成角为， 则 假设存在点，使得直线与平面所成角的大小为，则， 所以，即 所以，即， 整理得：，解得或， 当时，点与点重合，； 当时，，， 综上，存在点，使得直线与平面所成角的大小为，此时或. 17. 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：，点的坐标为，曲线由与组成． （1）设关于直线的对称点为．判断是否在上，并说明理由； （2）设点的坐标为，过点的直线与相交于两点．若为线段的中点，求的方程； （3）设为上的两个动点，满足在第一象限，在第三象限，的面积是的面积的倍．记直线与圆在第三象限的交点为．是否存在常数，使得恒为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）不在上，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线与直线垂直以及线段的中点在直线上得到的坐标，再代入曲线的方程即可； （2）设出直线方程，根据直线与曲线的交点以及中点坐标即可求解； （3）根据题意写出的表达式即可求解. 【小问1详解】 设点关于直线的对称点为，点的坐标为， 因为直线与直线垂直以及线段的中点在直线上， 所以有，解得， 即，由于点的横坐标，因此代入曲线方程 ，不满足方程，因此点不在上. 【小问2详解】 显然，直线的斜率一定存在，因此设直线的方程为，设， 由于是线段的中点，所以 ，因此只能分别在曲线的两边， 不妨设，，则，， 两式相减得 ，代入 ， 得 ，因此 ，分别代入 ， ，解得 ，即， 因此直线的斜率，即直线的方程为. 【小问3详解】 由题意可知，设，有 ， 设直线，由于的面积是的面积的倍，则S到直线的距离是到直线距离的2倍，即， 化简得或， 由于在第一象限，则在直线上， 联立得 ， 联立得，， ， 联立得，， 若要使其为定值，则要使的系数为0，即， 代入得原式， 所以存在符合题意. 松江二中2025学年第二学期期中考试B卷 高二数学 考生注意： 1.试卷满分30分，考试时间30分钟． 2.本考试分设试卷和答题纸．试卷共10题，均为填空题． 3.答题前，务必在答题纸上填写学号、姓名、班级．作答必须写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 注：本试卷共10题，每题3分，满分30分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 18. 若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【详解】注意到， 则， 从而在的斜率为：. 19. 若的展开式中的系数为10，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值. 【详解】， 又令得， 因为的展开式中的系数为10， 所以. 20. 某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______．（用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理以及分组分配的求解方法即可求解. 【详解】若三个教室的人数分配是1,1,3，则甲乙连同另一个同学一起去一个教室， 剩下两个同学分别去另两个教室，则有种安排方法， 若三个教室的人数分配是1,2,2，则甲乙一起去一个教室，丙丁分别去另两个教室， 戊去剩下两个教室中的一个，则有种安排方法， 故总的方法有. 21. 某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示： /万元 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9 /万件 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2 根据表中的数据，可得回归直线方程，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， ， 因为回归直线方程经过点， 所以. 22. 甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】甲以3：0获胜的概率为， 以3：1获胜的概率为， 以3：2获胜的概率为， 所以甲获胜的概率为. 23. 一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个,再结合超几何分布求解即可. 【详解】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个， 设从中任取2个球，白球的个数为，则的可能取值为0,1,2， 所以，， 所以取到白球个数的数学期望为， 即，整理得，解得， 所以口袋中白球的个数为3个. 24. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 25. 某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【解析】 【分析】用表示糖果质量，可知，令，则，根据正态分布的三段区间法即可求解. 【详解】用表示糖果质量，由题意可知，要求的概率，即求的值， 令，则， 因此有 . 26. 已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球，所 以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 27. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】48 【解析】 【分析】设男生人数为，由题可得列联表，然后由题设可得关于不等式，据此可得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，男生追星人数为，不追星人数为， 女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下： 追星 不追星 总计 男生 女生 总计 则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得： . 又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二年级第二学期期中考试 数学试卷 （考试时间90分钟，满分120分） 一、填空题（本大题共10题，第1—5题每题4分，第6—10题每题5分，共45分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若球的半径为1，则其表面积为__________. 2. 椭圆的离心率为___________． 3. 在平面直角坐标系中，若直线上的任何向量都与向量平行，则倾斜角的大小为______． 4. 在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 5. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 6. 已知常数．若过点、的直线为圆的切线，则______． 7. 祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 8. 在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 9. 在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 10. 已知常数，定圆C的圆心为C，半径为r，P为圆C上的动点．若存在同一平面上的定点A，B，满足，C在直线AB上，且使得到A，B两点距离之和等于4的点P有且只有3个，则r的取值范围为______． 二、选择题（本大题共4题，第11—12题每题4分，第13题5分，共13分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. 在正方体中，与直线异面的直线可以是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 12. 过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 13. 如图，在圆柱中，、O分别是上、下底面圆的圆心，线段，为圆柱的两条母线，三点共线，点C在上底面圆周上，平面平面．设，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为．已知，对于命题： ①对任意符合题意的，恒有； ②存在常数，使得当时，的最大值为， 下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共4题，第14—15题每题14分，第17题16分，第17题18分，共62分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 14. 申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． （1）在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； （2）从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 15. 记抛物线：的焦点为F． （1）设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值； （2）过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程． 16. 如图，长方体被平面所截，点E，F，G分别在棱，，上，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求四棱锥的体积； （3）设为直线上的动点．是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 17. 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：，点的坐标为，曲线由与组成． （1）设关于直线的对称点为．判断是否在上，并说明理由； （2）设点的坐标为，过点的直线与相交于两点．若为线段的中点，求的方程； （3）设为上的两个动点，满足在第一象限，在第三象限，的面积是的面积的倍．记直线与圆在第三象限的交点为．是否存在常数，使得恒为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 松江二中2025学年第二学期期中考试B卷 高二数学 考生注意： 1.试卷满分30分，考试时间30分钟． 2.本考试分设试卷和答题纸．试卷共10题，均为填空题． 3.答题前，务必在答题纸上填写学号、姓名、班级．作答必须写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 注：本试卷共10题，每题3分，满分30分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 18. 若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为______． 19. 若的展开式中的系数为10，则实数______． 20. 某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______．（用数字作答） 21. 某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示： /万元 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9 /万件 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2 根据表中的数据，可得回归直线方程，则______． 22. 甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为______． 23. 一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 24. 已知，，，则______． 25. 某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 26. 已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是______． 27. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $