第11章 一元一次不等式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版七年级下册

第11章 一元一次不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏·月考）一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（   ） A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题 5．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（   ） A．卡片 B．卡片 C．卡片 D．卡片 9．（2025·江苏南京·二模）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如下表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（   ） 营养成分 项 目 每100克 营养量参考值 能量 2092千焦 蛋白质 克 脂肪 24.0克 碳水化合物 克 膳食纤维 克 钠 250毫克 A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋 10．（25-26七年级下·江苏淮安·专题练习）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．（2025·江苏淮安·模拟预测）不等式组的解集为______________． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是__________． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为_____． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若，则当时，的取值范围是______． 15．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 17．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：，，如果，那么______． 18．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（2026·江苏盐城·一模）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 20．（6分）（24-25七年级下·江苏盐城·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 21．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知关于的不等式组 (1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求的值； (2)若第二个不等式的解都是第一个不等式的解，求的取值范围． 22．（8分）（2025·江苏南京·模拟预测）阅读下面的材料，回答问题： 在学习不等式的过程中，创新组李岚同学遇到了这样的一个难题：如果，求x的取值范围．组长张鑫同学这样思考：根据“两数相乘，同号为正，异号为负”的有理数乘法法则，将原不等式化为两个一次不等式去解：根据题意，得或，分别解这两个不等式组． 23．（8分）（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为 十位数字与个位数字与时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个 求佳佳看到的两位数列二元一次方程组求解 （2）哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”千克，收购价每千克金因东海龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗，为保障陈塘关防务建设及民生改善，利润率不能低于，则销售单价至少为每千克多少金？列不等式求解 24．（8分）（225-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 25．（10分）（25-26七年级下·江苏镇江·月考）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 26．（12分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 一元一次不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 2．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）数轴上表示数m，n的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴得到，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得，， 则，，，， 故C正确． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的定义，代数式表示不等式，根据“平方和不小于积的2倍”即，“不小于”表示大于或等于，表示为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 故选：B． 4．（25-26七年级下·江苏·月考）一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（   ） A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小明答对了x道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合总分超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小明答对了x道题，则答错了道题， 依题意，得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为17． 即最少答对17题， ∴小明至多答错了道题． 故选：C． 5．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 6．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组有解的条件，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故选：D． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据方程和方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，求不等式组的整数解，先解一元一次方程得到，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出，则可得到，解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案． 【详解】解： 去括号得， 解得， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数a有，共5个， 故选：B． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（   ） A．卡片 B．卡片 C．卡片 D．卡片 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质可得： 设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以且， 所以卡片上的数最大， 故选：D． 9．（2025·江苏南京·二模）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如下表所示．通常情况下，人体每日摄入膳食纤维的适宜量是克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（   ） 营养成分 项 目 每100克 营养量参考值 能量 2092千焦 蛋白质 克 脂肪 24.0克 碳水化合物 克 膳食纤维 克 钠 250毫克 A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等组的应用，先求出每袋食品中膳食纤维的含量，设需要吃袋，则总膳食纤维量为克，依题意列出不等式组，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：每袋食品中膳食纤维的含量为： （克）， 设需要吃袋，则总膳食纤维量为克，依题意得： ， 解得：， ∴小明需要吃袋， 故选：B． 10．（25-26七年级下·江苏淮安·专题练习）设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．（2025·江苏淮安·模拟预测）不等式组的解集为______________． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的原则确定不等式组的解集． 【详解】解：， ： 解得； ： 解得． 则不等式组的解集为． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式，通过解不等式得到，从而确定整数为负整数． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 即， 两边同时除以，不等号方向改变得：， 所以， 因此整数可以是任何负整数，如． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买羽毛球的数量为x个，根据总费用不超过100元列出不等式，求解后取最大整数解，即可作答． 【详解】解：设购买羽毛球x个，则总费用为元， 根据题意得， 移项得， 解得， ∵x为整数， ∴x最大为6， 即最多可购买6个羽毛球． 故答案为：6． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解一元一次不等式． 先根据非负数的性质求出，，进而得到，根据列不等式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质进行逐项分析，即可判断作答． 【详解】解：若,当时，,则①错误， 若，那么，那么,则②正确， 若,当，时，那么，则③错误， 若，那么 ∵，两边同时除以得，则④正确， 若，，则， 整理得，由得， 那么，故异号， 那么，．则⑤正确， 故答案为：②④⑤． 17．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：，，如果，那么______． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次不等式组．解题的关键是弄清新定义运算的法则，并分情况讨论．需要考虑每种情况下x的取值范围，依据定义分别求出和，再分三种情况讨论，即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 当时，，解得， ∵， ∴，解得，符合条件； 当时，，解得， ∵， ∴，解得，不符合条件； 当时，，解得， ∵， ∴，解得，符合条件； 综上所述：或 故答案为：2或． 18．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（2026·江苏盐城·一模）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把它的解集表示在数轴上，如下： 20．（6分）（24-25七年级下·江苏盐城·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】图示见详解，最小整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】由， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集在数轴上表示出来为： 则这个不等式的最小整数解为． 21．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知关于的不等式组 (1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求的值； (2)若第二个不等式的解都是第一个不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次不等式（组），会解一元一次不等式是解答本题的关键； （1）求出第一个不等式的解集，由解集相同得到，求出a的值即可； （2）根据第二个不等式的解都是第一个不等式的解，可得到，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由，得 ， ∵不等式组中的两个不等式的解集相同， ∴， 解得． （2）∵不等式组第二个不等式的解都是第一个不等式的解， ∴， 解得． 22．（8分）（2025·江苏南京·模拟预测）阅读下面的材料，回答问题： 在学习不等式的过程中，创新组李岚同学遇到了这样的一个难题：如果，求x的取值范围．组长张鑫同学这样思考：根据“两数相乘，同号为正，异号为负”的有理数乘法法则，将原不等式化为两个一次不等式去解：根据题意，得或，分别解这两个不等式组． 【答案】前不等式组无解，后不等式组解得 【分析】本题考查了解一元一次不等式组；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组无解； ， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 则不等式组的解集为． 23．（8分）（24-25七年级下·江苏常州·月考）（1）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为 十位数字与个位数字与时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个 求佳佳看到的两位数列二元一次方程组求解 （2）哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”千克，收购价每千克金因东海龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗，为保障陈塘关防务建设及民生改善，利润率不能低于，则销售单价至少为每千克多少金？列不等式求解 【答案】（1）佳佳看到的两位数是；（2）销售单价至少为每千克金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设佳佳看到的两位数的十位数字为，个位数字为，根据每隔一段时间看到的里程碑上的数描述，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设销售单价为每千克金，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设佳佳看到的两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 解得：， 答：佳佳看到的两位数是； 设销售单价为每千克金， 由题意得：， 解得：， 答：销售单价至少为每千克金． 24．（8分）（225-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 25．（10分）（25-26七年级下·江苏镇江·月考）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； (2)①至少要租用辆甲型客车；②共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，根据题意列出不等即可求解；②由题意可得，解得，进而结合①可得的取值范围为，据此即可得出所有可能的租车方案，再求出每一种方案的租车费用即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴至少要租用辆甲型客车； ②由题意得，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴或4或5， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 26．（12分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $