第11讲 常用分布（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高二下学期数学沪教版选择性必修第二册重难点讲义与测试

第11讲 常用分布 知识清单 知识点01：二项分布 知识点02：正态密度函数 知识点03：正态分布 题型讲解 （举三反三） 题型1：二项分布 题型2：超几何分布 题型3：正态分布曲线的性质 题型4：指定区间的概率 题型5：正态分布的实际应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 知识点02 正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 知识点03 正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质 题型1：二项分布 【例1-1】（24-25高三上·上海·期中）重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为（   ） A．伯努利分布 B．二项分布 C．超几何分布 D．正态分布 【例1-2】（24-25高一下·上海·期末）若随机变量服从二项分布，则________． 【例1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）下列随机变量服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数、分别是什么？ (1)抛掷枚质地均匀的相同骰子，表示“掷出的点数为1”的骰子数； (2)个新生婴儿，表示男婴的个数； (3)某产品的次品率为，表示72个产品中的次品的个数； (4)女性患色盲的概率为，表示任取个女性中患色盲的人数． 【变式1-1】（24-25高三·上海·随堂练习）“双减”政策背景下，某校多维度推进“双减”落地，开设了多项体育课程．若该校某射击爱好者在某次训练中，连续射击N次，每次射击击中目标的概率为p，记，，则下列说法中正确的是（    ）． A．m，n是在1到N之间的自然数，当时， B．m，n，k是在1到N之间的自然数，当时， C．的取值随着i的增大先增大后减小 D．当时，当且仅当时，该爱好者击中目标次数的随机性最大 【变式1-2】（25-26高三上·上海·期末）已知随机变量，且，则___________. 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）一个学生每天上学途中有6个路口，假设他在各个路口遇到红灯事件是相对独立的，并且概率均为，设X为他在途中遇到红灯的次数，求X的分布、期望与方差． 题型2：超几何分布 【例2-1】（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【例2-2】（24-25高一下·上海·期末）某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则________． 【例2-3】（24-25高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 【变式2-1】（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期末）图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这100名观众评分的平均数； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 题型3：正态分布曲线的性质 【例3-1】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【例3-2】（25-26高三下·上海宝山·期中）已知随机变量，且，那么__________. 【例3-3】（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的均值为__________ 【变式3-1】（24-25高三下·上海·月考）已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】设随机变量 ，向量与向量 的夹角为锐角的概率是，则的值是_____. 【变式3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）正态密度函数图像也称为钟形曲线，现有以下结论： ①曲线在轴的上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最高点）； ④当无限增大时，曲线无限接近轴； ⑤轴与正态曲线所夹面积恒等于1． 其中所有正确的结论序号为__________． 题型4：指定区间的概率 【例4-1】（24-25高三上·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【例4-2】（25-26高二下·上海·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【例4-3】已知随机变量服从正态分布，且.求的值. 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）下列结论正确的有（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B．的第80百分位数为96 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 【变式4-2】（24-25高二下·上海·月考）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为________. 【变式4-3】（24-25高三·上海·课堂例题）假设某地区高二学生的身高服从、的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求： (1)这名学生的身高不高于170的概率； (2)这名学生的身高在区间内的概率；（结果精确到0.1%） (3)这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%） 参考数据：． 题型5：正态分布的实际应用 【例5-1】（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【例5-2】（24-25高三·上海·随堂练习）随机变量X服从正态分布的密度函数，的图像关于直线________对称． 【例5-3】某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布.问：随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性有多大？（结果精确到0.1%） 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【变式5-2】（24-25高二下·上海·期末）学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为_________. 【变式5-3】（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 一、单选题 1．某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 2．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 3．（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 4．（24-25高三下·上海松江·月考）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·月考）若随机变量，则_____________． 6．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知随机变量 ，若，则 _____. 7．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 8．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 9．（24-25高二下·上海浦东新·月考）甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分_________元奖金比较公平． 10．（24-25高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 11．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 12．设，已知随机变量，随机变量.若，则________. 13．（24-25高三下·上海·月考）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______. 14．设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是_______（结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 15．（24-25高二下·上海·期中）据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 _____． 附： ． 16．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 三、解答题 17．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 18．（24-25高二下·上海·月考）一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是． (1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差． (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差． 19．（24-25高三上·上海普陀·期末）全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案. (1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望. (2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高. 20．盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球． (1)若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望； (2)若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：． 21．（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ； (2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 常用分布 知识清单 知识点01：二项分布 知识点02：正态密度函数 知识点03：正态分布 题型讲解 （举三反三） 题型1：二项分布 题型2：超几何分布 题型3：正态分布曲线的性质 题型4：指定区间的概率 题型5：正态分布的实际应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 知识点02 正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 知识点03 正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质 题型1：二项分布 【例1-1】（24-25高三上·上海·期中）重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为（   ） A．伯努利分布 B．二项分布 C．超几何分布 D．正态分布 【答案】B 【分析】根据二项分布的定义判断即可. 【详解】重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为二项分布， 亦称成功次数服从二项分布. 故选：B 【例1-2】（24-25高一下·上海·期末）若随机变量服从二项分布，则________． 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）下列随机变量服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数、分别是什么？ (1)抛掷枚质地均匀的相同骰子，表示“掷出的点数为1”的骰子数； (2)个新生婴儿，表示男婴的个数； (3)某产品的次品率为，表示72个产品中的次品的个数； (4)女性患色盲的概率为，表示任取个女性中患色盲的人数． 【答案】(1)服从，是枚均匀的相同骰子，； (2)服从，是个新生婴儿，； (3)服从，，为次品率； (4)服从，是个女性，． 【分析】根据二项分布的定义逐项分析判断. 【详解】（1）服从，是枚均匀的相同骰子，； （2）服从，是个新生婴儿，； （3）服从，，为次品率； （4）服从，是个女性，． 【变式1-1】（24-25高三·上海·随堂练习）“双减”政策背景下，某校多维度推进“双减”落地，开设了多项体育课程．若该校某射击爱好者在某次训练中，连续射击N次，每次射击击中目标的概率为p，记，，则下列说法中正确的是（    ）． A．m，n是在1到N之间的自然数，当时， B．m，n，k是在1到N之间的自然数，当时， C．的取值随着i的增大先增大后减小 D．当时，当且仅当时，该爱好者击中目标次数的随机性最大 【答案】D 【分析】根据二项分布期望公式可判断AB；根据方差的定义可判断C；求出，利用二次函数求最值可判断D. 【详解】对于AB，根据题意可知，该爱好者击中目标的次数X服从二项分布，表示第i次射击平均击中目标次数，则，故A，B错误； 对于C，又根据方差的定义可知，的值与i无关，故C错误； 对于D，为二次函数，对称轴为， 开口向下，故当时，取得最大值， 即此时该爱好者击中目标次数的随机性最大，故D正确. 故选：D． 【变式1-2】（25-26高三上·上海·期末）已知随机变量，且，则___________. 【答案】10 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式即可求解. 【详解】由于随机变量，，故， 则，故. 故答案为：10 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）一个学生每天上学途中有6个路口，假设他在各个路口遇到红灯事件是相对独立的，并且概率均为，设X为他在途中遇到红灯的次数，求X的分布、期望与方差． 【答案】分布列见解析，， 【分析】根据题意可知X服从二项分布，则，即可求出相应概率从而求得分布列，相应数据代入公式及求出期望与方差. 【详解】根据题意可知，X服从二项分布， 则，， ，， ，， ， 所以X的分布为， 0 1 2 3 4 5 6 ，． 题型2：超几何分布 【例2-1】（24-25高二下·上海·期中）下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 【例2-2】（24-25高一下·上海·期末）某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则________． 【答案】 【分析】由题意知，从7人选3名代表，求选出男生人数至少为1人的概率，可以通过求对立事件：选中男生为0人的概率，进而得出答案.. 【详解】表示3个女生，0个男生，故, 所以. 故答案为：. 【例2-3】（24-25高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）由题设写出相关概率值，再应用全概率公式求； （2）由题意可能值为并求出对应概率，即得分布列，进而求期望和方差. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以. （2）由题意，可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则，. 【变式2-1】（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抽得次品数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设抽得次品数为，则随机变量的可能取值有0、1、2， 则，，， 所以． 故选：D． 【变式2-2】（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【答案】/ 【分析】分别求出时的概率，再由期望的公式求得的期望. 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期末）图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这100名观众评分的平均数； (3)从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为1可得答案. （2）将每个矩形的中点乘以每个矩形的高再乘以10后相加可估计平均数. （3）求出的可能取值及对应的概率可得分布列，再由期望公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意可得：， 解得：. （2）估计这100名观众评分的平均数为： . （3）评分在的观众人数为：， 评分在的观众人数为：. 按照分层抽样的方法，从评分在和的观众中抽取7人，则评分在的观众人数为3人，在的观众人数为4人. 所以的值可能为：0,1,2,3. 且，，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以：. . 题型3：正态分布曲线的性质 【例3-1】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】根据正态分布的相关知识求解即可. 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 【例3-2】（25-26高三下·上海宝山·期中）已知随机变量，且，那么__________. 【答案】 【详解】由可知，正态曲线关于直线对称. 因为和关于对称，所以. 已知，故. 【例3-3】（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的均值为__________ 【答案】1 【分析】根据正态曲线的对称性可得答案. 【详解】由于正态总体的数据落在区间内的概率和落在区间内的概率相等， 则正态分布曲线的对称轴为：， ∴正态分布的均值. 故答案为：1. 【变式3-1】（24-25高三下·上海·月考）已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态密度曲线的对称性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为， 所以，，A对； 对于B选项，由正态密度曲线的对称性可得，B对； 对于C选项，由正态密度曲线的对称性可得，C对； 对于D选项，因为正态分布密度曲线呈现“中间高，两边低”的特点， ，D错. 故选：D. 【变式3-2】设随机变量 ，向量与向量 的夹角为锐角的概率是，则的值是_____. 【答案】1 【分析】根据平面向量的坐标关系可得的取值范围，结合正态分布曲线的对称性即可得结论. 【详解】已知向量 与向量 的夹角为锐角， 则 ，解得 ， 当 时，可得 ，解得 ， 故向量不能同向共线，即， 又向量与向量的夹角为锐角的概率是， 即，由正态分布曲线的对称性可知. 故答案为：1. 【变式3-3】（24-25高三·上海·课堂例题）正态密度函数图像也称为钟形曲线，现有以下结论： ①曲线在轴的上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最高点）； ④当无限增大时，曲线无限接近轴； ⑤轴与正态曲线所夹面积恒等于1． 其中所有正确的结论序号为__________． 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据指数函数和二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】①：因为， 所以曲线在轴的上方，与轴不相交，因此本序号说法正确； ②：根据复合函数的单调性的性质可知： 当时，函数单调递减，此时函数单调递减， 当时，函数单调递增，此时函数单调递增， 因此曲线是单峰的， ，， 于是有，所以曲线关于关于直线对称，因此本序号说法正确； ③：由上可知：当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以当曲线在处达到峰值（最高点），因此本序号说法正确； ④：因为，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当无限增大时，曲线无限接近轴，因此本序号说法正确； ⑤：根据在频率直方图中，所有小矩形面积之和为1，所以轴与正态曲线所夹面积恒等于1，因此本序号说法正确， 故答案为：①②③④⑤ 题型4：指定区间的概率 【例4-1】（24-25高三上·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】越小，数据集中在对称轴附近，A正确；由正态曲线的性质知BC正确；因为落在的概率与落在的概率不同，D错误． 【详解】越小，正态曲线越瘦高，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选;D. 【例4-2】（25-26高二下·上海·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】0.8/ 【详解】， 则， 即， 则. 【例4-3】已知随机变量服从正态分布，且.求的值. 【答案】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期中）下列结论正确的有（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B．的第80百分位数为96 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 【答案】D 【分析】根据总体方差公式，即可判断A，根据百分位数公式，即可判断B，根据二项分布的期望公式，即可判断C，根据正态分布的对称性，即可判断D. 【详解】A.根据总体方差公式，可知，总体方差与两层的样本数有关，只有两层的样本数一样，总体方差才是，否则不正确，故A错误； B.将数据按照由小到大的顺序排列，，则，则第80百分位数位，故B错误； C. 若随机变量，则,则，故C错误； D. 若随机变量，，利用对称性，，故D正确. 故选：D 【变式4-2】（24-25高二下·上海·月考）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为________. 【答案】0.3/ 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量的概率分布密度函数， 则，故， 故图中阴影部分的面积为. 故答案为：0.3 【变式4-3】（24-25高三·上海·课堂例题）假设某地区高二学生的身高服从、的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求： (1)这名学生的身高不高于170的概率； (2)这名学生的身高在区间内的概率；（结果精确到0.1%） (3)这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%） 参考数据：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正态分布的性质求解； （2）由正态分布的性质求解； （3）由正态曲线的对称性和概率加法公式求解. 【详解】（1）设该学生的身高为，由题意可知． ； （2）； （3）由（2）以及正态曲线的对称性可知， 由概率加法公式可知： ． 题型5：正态分布的实际应用 【例5-1】（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【答案】 【分析】根据正态分布的性质，先确定的值，再结合已知的概率公式计算质量误差超过的可能性. 【详解】因为每包糖果的实际质量服从的正态分布，则. 质量误差不超过，即，也就是. 根据参考数据可知. 那么质量误差超过的概率为. 故答案为：. 【例5-2】（24-25高三·上海·随堂练习）随机变量X服从正态分布的密度函数，的图像关于直线________对称． 【答案】 【分析】由正态分布的对称性可知图象关于直线对称． 【详解】由正态曲线的特征可知正态总体的概率密度函数，的图像关于直线对称． 故答案为： 【例5-3】某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布.问：随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性有多大？（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【分析】用X表示糖果质量，由题意，可知.令，则.根据正态分布的三段区间法即可求解. 【详解】用X表示糖果质量，由题意，可知. 要求的概率，即求的值. 令，则. 因此，有 ， 即误差超过5g的可能性约是4.6%. 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【答案】10 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 【变式5-2】（24-25高二下·上海·期末）学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为_________. 【答案】 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】因为该次考试的成绩服从正态分布， 且， 所以，所以， 因此该年级数学成绩在分以上的人数约为. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【答案】(1)成绩在的人数约为20481人，75分以上的人数约为684人； (2)63分 【分析】（1）由题意可得，则可得，从而可估算出成绩在的人数，根据正态分布曲线的对称性求出，从而可估算出成绩在75分以上的人数； （2）设该划线分为m，由题意可得，，则，从而可求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以成绩在的人数约为人， 由正态分布曲线的对称性可得：， 则， 所以估计75分以上的人数约为人； （2）设该划线分为m，由，得，， 令， 由题意因为η～N（0，1），， 所以，所以， 所以． 一、单选题 1．某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 【答案】B 【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可. 【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布； 将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验， 一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为， 在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布； 件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为， 则服从超几何分布； 若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布； 所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动， 设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布. 故选：B 2．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 3．（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】B 【分析】根据正态分布的特征可知随增大而增大，故A错误；由可得，故B正确，CD错误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 4．（24-25高三下·上海松江·月考）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·月考）若随机变量，则_____________． 【答案】 【分析】由正态分布密度曲线和其对称性进行求解即可． 【详解】由随机变量，可得； 设， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 6．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知随机变量 ，若，则 _____. 【答案】 【分析】利用，即可求解. 【详解】由有， 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 【答案】0.8/ 【分析】利用正态分布的对称性结合概率和为1求解即可. 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 【答案】 【分析】根据正态分布的特点及二项分布的性质即可求解. 【详解】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 9．（24-25高二下·上海浦东新·月考）甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分_________元奖金比较公平． 【答案】 【分析】在比分是的情况下，先求得甲赢的概率，然后乘以100即可得解. 【详解】在比分是的情况下，甲赢的概率是， 故甲应该分元. 故答案为：64.8. 10．（24-25高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 【答案】 【分析】由超几何分布的概率公式、互斥加法以或者对立减法公式即可求解. 【详解】解：法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 故答案为：． 11．（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 【答案】/ 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，设没有鸡感染病毒为事件，则. 故答案为： 12．设，已知随机变量，随机变量.若，则________. 【答案】 【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】由，得， 由，且设， 故有，解得，则. 故答案为： 13．（24-25高三下·上海·月考）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______. 【答案】9 【分析】利用正态分布的对称性求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且，则由对称性得， 又， 所以，故， 又因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 14．设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是_______（结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 【答案】/ 【分析】由得，利用得到，根据正态分布图象得到. 【详解】因为，所以，由，得， 由，知， 由正态分布图象知 ， 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海·期中）据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 _____． 附： ． 【答案】 【分析】由正态分布的概率计算公式可得的值，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 则 ， 则，所以. 故答案为： 16．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 三、解答题 17．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 【答案】(1)分布列见解析 (2)期望；方差 【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： （2）期望； 又， 方差. 18．（24-25高二下·上海·月考）一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是． (1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差． (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差． 【答案】(1)期望，方差； (2)期望50，方差1000. 【分析】（1）由题意可得，再利用二项分布的期望公式和方差公式求解； （2）由题意得，再利用期望和方差的性质求解即可. 【详解】（1）由题意得这位司机遇到红灯数X服从二项分布， 所以； （2）由题意得，由（1）得， 所以． 19．（24-25高三上·上海普陀·期末）全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案. (1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望. (2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高. 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）由题意得到小周做对单选题与多选题的个数服从二项分布，然后设他单选题与多选题分别对了个，由此结合二项分布的概率公式、乘法公式以及期望公式即可得解； （2）若他不选其他选项肯定能得两分，如果继续选其它选项的话，那么这个题的得分期望是，故只需比较这两个数的大小即可. 【详解】（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为， 对于多选题，小周每个多选题做对的概率为， 设小周做对单选题的个数为，做对多选题的个数为， 则，， 所以，， 而小周选择题最终得分为， 所以. 设小周单选题与多选题分别对了个， 则 ， 所以的分布列为， （2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上， 如果他不继续选其他选项肯定能得两分， 如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为，则的所有可能取值为0，5， 则的分布列为： 0 5 那么这个题的得分期望是， 所以我们只需要比较2和的大小关系即可， 令，解得，此时四个多选题全部选两个选项得分要高， 反之，若，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高. 20．盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球． (1)若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望； (2)若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：． 【答案】(1)分布见解析， (2)证明过程见解析 【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望； （2）由全概率公式即可得证. 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2， ， 的分布为 0 1 2 数学期望为. （2）设第一次摸出正品为事件，第一次摸出次品为事件， 则， 在第一次摸出正品、次品的条件下，第二次摸出的小球是正品分别为事件， 则， 由题意事件，即第二次摸出的小球是正品的概率为. 21．（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ； (2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析 数学期望为，方差为 【分析】（1）由全概率公式，根据混合后合格品率的计算公式建立等式来证明； （2）先确定服从二项分布，再根据分布列的公式求出各取值的概率，进而计算期望和方差. 【详解】（1）设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”， 事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”， 事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”， 则， . 即 . 得.即， 所以 （2）由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为. 表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即. 则，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以的分布列为： 则，所以期望为， 方差为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $