题型专题06 导数及其综合应用6类题型解密（抢分专练）（上海专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题06 导数及其综合应用（抢分专练） 1.导数与函数的单调性 2025年全国一卷：第21题导数的综合问题，新定义问题 2025年全国一卷：第21题恒成立问题，新定义问题 2025年北京卷：第21导数的几何意义，新定义问题，导数证明不等式。 1.导数大概率重回T21压轴，分值18分 2.结合函数、数列、逻辑 3.导数+指数/对数/三角函数/数列 2.极值、最值问题 3.零点问题 4.不等式证明问题 5.与其他知识交汇问题 6.导数新定义问题 题型1.导数与函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域. (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认. (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 【例1】（25-26高三上·上海·开学考试）已知为常数，函数． (1)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 【解】（1）记，定义域为， ①当时，， 因为，故函数为偶函数， ②当时，， 取，因为且， 即且，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数． （2）， 因为，所以当时，， 当时，， 所以函数在上严格单调递增，在上严格单调递减． 【变式1-1】已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 【解】（1）由， 得， 因为的单调减区间是， 所以的解集为， 所以方程的两个根为0和4，且， 所以，解得； （2）因为在上为严格减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以， 即实数的取值范围为. 【变式1-2】（2026·上海·二模）设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 【解】（1）因为，， 所以，得， 故的解集为； （2），则， 因为关于原点对称，所以在上为奇函数， 易得， 因为，等号成立时，所以， 则在上单调递增， 若存在，使得， 则存在，使得， 则存在，使得，即， 因为函数图象关于对称，其在上的最小值为，则， 故实数a的取值范围为. 题型2.极值、最值问题 1.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点. (2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，进而确定极值点. 2.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 【例2】已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 【变式2-1】已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【解】（1）的定义域为，     ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为. （2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；     下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意；     当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则为函数的极大值点，不合题意；     当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 为函数的极小值点，符合题意；     综上，. 【变式2-2】已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【解】（1）当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. （2）由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 题型3.零点问题 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 【例3】已知函数． (1)若，证明：． (2)设有两个零点．求的取值范围； 【解】（1）因为，，所以． 令，则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，则． （2）由，可得． 令，则， 令，显然在上单调递增，且， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减，则． 当时，，且当时，． 因为，所以由有两个零点，可知的取值范围为． 【变式3-1】（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 【解】（1）由题意可得， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解方程得. （2）令，， 由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设. 求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，又，， 根据零点存在定理可知存在唯一的使得. 所以当，，函数在区间上单调递减； 当，，函数在区间上单调递增. 由，得，从而， 又因为，， 所以，故. 【变式3-2】（2026·徐汇·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 【解】（1）当时，，， ，所以曲线在点处的切线方程为. （2）定义域为，， 整理得， 当时，，因为，所以， 所以，为增函数. 当时，，因为，所以， 所以，为减函数. 综上可得，当时，为减函数，当时，为增函数. （3）设，由得或； 当时，，为增函数，又，此时仅有一个零点； 当时，，时，，为增函数， 时，，为减函数，的最大值为； 若，的最大值为，此时仅有一个零点； 若，则，且趋近于时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 若，则，且趋近于0时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 综上可得，当或时，有一个零点，当或时，有两个零点. 题型4.不等式恒成立问题 1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. 2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解两类问题的差别. 【例4】设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 【解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. 【变式4-1】已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【解】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 【变式4-2】已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求正实数的取值范围． 【解】（1）由题意得，.，， ∴函数在点处的切线方程为； （2）， ∴代入得，，， 设，，令解得， ∴可得函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的最大值为，，解得． ∴综上，的取值范围为． 题型5.与其他知识交汇问题 1.函数与导数与解析几何、概率、立体几何均有可能交汇，在求解最值、范围时发挥工具性作用; 2.函数与导数与数列交汇，结合图形变换寻找点的坐标的规律，构造数列问题 【例5】（2026·河南洛阳·模拟预测）某新能源园区有一块不规则空地如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为4米，点到的距离为5米.现规划在空地内修建两块太阳能光伏板，光伏板I形状为矩形，光伏板II形状为，要求均在线段上均在圆弧上.设与所成的角为. (1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； (2)若光伏板I和光伏板II的单位面积年产电值之比为，求当为何值时，能使两块光伏板的年产电总值最大. 【解】（1）连接并延长交于，则，所以. 过作于，则，所以， 故， 则矩形的面积为， 的面积为. 过作，分别交圆弧和的延长线于和，则. 令，则. 当时，才能作出满足条件的矩形， 所以的取值范围是. 所以矩形的面积为平方米，的面积为的取值范围是. （2）因为光伏板I和光伏板II的单位面积年产电值之比为，设光伏板I的单位面积的年产电值为，光伏板II的单位面积的年产电值为，年产电总值为 设， 则. 令，得， 当时，，所以为增函数； 当时，，所以为减函数， 因此，当时，取到最大值. 答：当时，能使两块光伏板的年产电总值最大. 【变式5-1】（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 【解】（1）依题意，的所有可取值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）由统计表，得 ， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 所以. （ii）设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为180， 得该区域中种的数目为， 由（i）得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为种概率的估计值， 因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为1080. 【变式5-2】已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. (1)求、； (2)求的通项公式； (3)已知数列的前项和为，证明：. 【解】（1）由题意得. 当时，，得. 当时，，得. （2）当时，由可得， 两式作差得， 得，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. 故，得. （3），所以. 令函数，得，所以在上是增函数. 当时，，得. 因为，所以， 所以. 令函数，得. 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 故，得，当且仅当时，等号成立， 令，得，得， 则 . 故. 题型6.导数新定义问题 1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=. 2.几何意义：弦AB的斜率k==f'(ξ)，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB. 【例6】（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 【变式6-1】（2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【解】（1）解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． （3）证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 【变式6-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. (1)设，求曲线在点处切线的方程； (2)设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； (3)如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 【解】（1）因为，则，所以， 所以曲线在点处切线的方程为，即； （2）因为，所以， 因为函数，满足“性质”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 当时，此时，不符合题意； 当时， 函数开口向上，当时， 则，不符合题意； 当时，此时由，解得， 所以当时恒成立，即符合题意； 当时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 若在上恒成立， 令，则，解得， 所以当时恒成立， 综上所述，的取值范围为. （3）①当时，在上是增函数. 由于，满足性质， 即，与在上是增函数矛盾， 故时函数，都不具有性质. ②当时，若函数，具有性质，则不等式 即对任意恒成立，整理得. 当时，，不满足； 说明对任意的且都成立， 两边取对数得恒成立. 令，则，说明是的极大值点. 而，所以解得. 当时，， 当时，则在上严格增， 当时，则在上严格减， 所以恒成立. 所以的取值集合为. 1．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 2．（2026·上海·二模）设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 【解】（1）因为，， 所以，得， 故的解集为； （2），则， 因为关于原点对称，所以在上为奇函数， 易得， 因为，等号成立时，所以， 则在上单调递增， 若存在，使得， 则存在，使得， 则存在，使得，即， 因为函数图象关于对称，其在上的最小值为，则， 故实数a的取值范围为. 3．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 4．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【解】（1）为减函数，则即恒成立，所以. （2）因为为减函数，取任意实数，设，则有， 又为偶函数即有，可得， 同时根据单调性由可得，所以 即对任意实数成立，所以为常值函数，设， 则， 当时，不成立，所以不存在满足条件的函数. （3）设函数的正周期为即对任意都有， 因为，根据为减函数可知，所以， 那么有，因为， 所以即，于是可得，从而， 而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数， 所以在上为常值函数. 5．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 【解】（1）， 由余弦定理得， ， 由正弦定理得， ． （2）在中，，， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， 即； 求导得， 假设存在，使得在处的瞬时变化率等于， 则，即①， ，， 式①化简整理得， 在内有解， 存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于． 6．（25-26高三·天津·一轮复习）已知函数（m，，）. (1)若函数的两个极值点为0与，求m，n的值及函数的单调区间； (2)若，求证：当时，函数在区间上单调递增. 【解】（1），由已知有， 即，又，解得. 当，时，， 令，解得，定义域为， ，令得或0， 令，解得或，令，解得， 所以与是函数的两个极值点，所以，， 的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）证明：，代入，有， 整理得， 当时，， 即，又，所以，因此， 所以当时，在区间上单调递增. 7．（2026·上海松江·模拟预测）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. (1)判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； (3)若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 【解】（1）在上，，设，求导得， 当时，，故，故在上单调递增，因此， 即，满足定义，所以是在该区间上的绝对值上界函数. （2）成立， 等价于和同时成立， 设，，由题设可知即， 由此可得，，所以和在上都单调不减， 所以，有，则， 也即成立， 整理得， 同理也即成立， 整理得，于是原不等式得证. （3）结论：，，证明如下： 由题设可知，，因此，在上单调不减， 那么当时，但是，所以即为常数， 所以，又根据，必有，所以； 当时，但是，所以即为常数，同理可得； 当时，利用（2）中构造的，因为单调不减， 又，， 所以也即在上恒成立， 综上所述，，. 8．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． (1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； (2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 【解】（1）由​，得 ​，求和可得：， 则对任意实数x，有， 即图像的对称中心为： ； （2）由题意可得： ， 求导得：， 要使得在上是减函数，则， 因为，所以，即， 又因为，所以； （3）构造，， 则， 所以在上单调递减， 又因为，， 且在上连续递减，结合零点存在定理， 可知存在唯一实数，使得， 再由，当且仅当时取等号， 根据拉格朗日中值定理，对任意有：， 又因为，，所以对任意，恒有不等式成立， 则由迭代法，结合不等式性质可得： ， 因为，即，， 所以， 因此，即问题得证. 9．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）设，，，，所以， ， 则直线为. 令，则. ， 因为，且， 所以， 所以数列是严格递减数列. （3）当时，，，令， 则， 令. 所以. 构造函数，令，， 求导， 构造函数，，所以单调递增，且， 所以，所以函数在上单调递增， 当，， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性， 当，，此时； 当，，此时； 当，，此时. 10．（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：. (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； 【解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在严格递增， 当 时，，所以 在严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点； 当 时，的图象有个交点； 当 时，的图象有个交点， 所以当 时，方程 无解； 当 时，方程 有个解； 当 时，方程 有个解. 11．（2025·上海金山·一模）已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点． (1)求函数的表达式，并写出其严格增区间； (2)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 【解】（1）设的最小正周期为， 则由题可知，，而，解得，则； 在处取得极大值，，， 又因为，故， 则. 令， 解得，即的严格增区间为. （2）由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知，故，则. ，，. 因此. 设，，，. 设， 则， 当时，，即，因此在上单调递减； 当时，，即，因此在上单调递增， 因此在时取到最小值，， 故的最小值. 12．（2025·上海长宁·一模）已知． (1)求函数的驻点； (2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围： (3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 【解】（1）函数定义域为，， 令，解得， 所以函数的驻点为； （2）， 则， ， ， 又关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 即， ，， ， 即， 解得； （3）由题意可得， 则， 即， 又是增函数， 由（1）知在单调递减，在单调递增， 又，且存在实数，使得， 所以不单调，，解得， 即在单调递增，在单调递减，在单调递增， ，又， ， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 故， 即实数的最小值为． 13．（2025·上海奉贤·一模）记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 【解】（1）设 ，，则 ，， 由题意得： 需同时满足：，故， 所以， 得，所以 . （2）由题意 需同时满足：， 令， 函数有，函数，有， 令，所以得， 因为，所以无解， 故函数与不存在“点”； （3）对任意的，存在，使得函数和在区间内存在“点”. 设，，则，， 函数与在区间内存在“点”， 则 且需同时满足：，即， 得：且， 联立得：， 因为， 所以， 由 得： ， 又因为，所以，解得， 此时，当，所以， 当，设，， 故在为增函数，且，而时，， 故对于任意，总存在，使得， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递增，故， 所以存在满足题意； 所以存在，使得函数和在区间内存在“点”. 14．（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【解】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. （3）（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 15．（2025·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【解】（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数， 即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． （2），从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. （3）法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数及其综合应用（抢分专练） 1.导数与函数的单调性 2025年全国一卷：第21题导数的综合问题，新定义问题 2025年全国一卷：第21题恒成立问题，新定义问题 2025年北京卷：导数的几何意义，新定义问题，导数证明不等式。 1.导数大概率重回T21压轴，分值18分 2.结合函数、数列、逻辑 3.导数+指数/对数/三角函数/数列 2.极值、最值问题 3.零点问题 4.不等式证明问题 5.与其他知识交汇问题 6.导数新定义问题 题型1.导数与函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域. (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认. (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 【例1】（25-26高三上·上海·开学考试）已知为常数，函数． (1)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 【变式1-1】已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 【变式1-2】（2026·上海·二模）设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 题型2.极值、最值问题 1.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点. (2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，进而确定极值点. 2.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 【例2】已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【变式2-1】已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【变式2-2】已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 题型3.零点问题 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 【例3】已知函数． (1)若，证明：． (2)设有两个零点．求的取值范围； 【变式3-1】（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 【变式3-2】（2026·徐汇·一模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 题型4.不等式恒成立问题 1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. 2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解两类问题的差别. 【例4】设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； 【变式4-1】已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 题型5.与其他知识交汇问题 1.函数与导数与解析几何、概率、立体几何均有可能交汇，在求解最值、范围时发挥工具性作用; 2.函数与导数与数列交汇，结合图形变换寻找点的坐标的规律，构造数列问题 【例5】（2026·河南洛阳·模拟预测）某新能源园区有一块不规则空地如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为4米，点到的距离为5米.现规划在空地内修建两块太阳能光伏板，光伏板I形状为矩形，光伏板II形状为，要求均在线段上均在圆弧上.设与所成的角为. (1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； (2)若光伏板I和光伏板II的单位面积年产电值之比为，求当为何值时，能使两块光伏板的年产电总值最大. 【变式5-1】（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 【变式5-2】已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. (1)求、； (2)求的通项公式； (3)已知数列的前项和为，证明：. 题型6.导数新定义问题 1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=. 2.几何意义：弦AB的斜率k==f'(ξ)，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB. 【例6】（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【变式6-1】（2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【变式6-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. (1)设，求曲线在点处切线的方程； (2)设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； (3)如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 1．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 2．（2026·上海·二模）设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 3．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 4．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 5．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 6．（25-26高三·天津·一轮复习）已知函数（m，，）. (1)若函数的两个极值点为0与，求m，n的值及函数的单调区间； (2)若，求证：当时，函数在区间上单调递增. 7．（2026·上海松江·模拟预测）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. (1)判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； (3)若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 8．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． (1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； (2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 9．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 10．（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：. (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； 11．（2025·上海金山·一模）已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点． (1)求函数的表达式，并写出其严格增区间； (2)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 12．（2025·上海长宁·一模）已知． (1)求函数的驻点； (2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围： (3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 13．（2025·上海奉贤·一模）记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 14．（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 15．（2025·上海静安·一模）已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $