题型专题04 平面解析几何综合5类题型解密（抢分专练）（上海专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题04 平面解析几何综合（抢分专练） 题型 考情分析 考向预测 1.圆锥曲线的定义及方程 2025年上海卷：T8考查双曲线的性质；T20求椭圆离心率及探索性问题 2024年上海卷：T8考查双曲线的离心率；T20求椭圆离心率及范围问题和探索性问题 2023年上海卷：T16圆锥曲线新定义；T20直线与抛物线的位置关系，范围问题。 通常位于解答题中后部（如第19或20题），分值在18分，是区分考生数学能力（尤其是运算能力和思维韧性）的关键题目。 2.圆锥曲线的性质 3.圆锥曲线中范围问题 4.圆锥曲线中探索问题 5.圆锥曲线中新定义问题 题型1 圆锥曲线的定义及方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|). (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 3.求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置. 【例1】已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【变式1-1】已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式1-2】已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . 题型2.圆锥曲线的性质 1.求离心率通常有两种方法 (1)直接利用公式：椭圆的离心率e＝＝(0<e<1)，双曲线的离心率e＝＝(e>1). (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 2.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到. 【例2】设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【变式2-1】已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 题型3.圆锥曲线中范围问题 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系. (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系. (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式. (4)利用基本不等式. 【例3】（2026·上海·二模）设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 【变式3-1】（2026·上海·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方， (1)求椭圆的方程； (2)求点的坐标； (3)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值. 【变式3-2】（2026·上海浦东新·期中）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【变式3-3】（2026·上海嘉定·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上. (1)若，线段的中点在轴上，求的坐标； (2)若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求； (3)在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值. 题型4.圆锥曲线中探索问题 圆锥曲线探索问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 【例3】（25-26高三·上海·二轮复习）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式3-1】已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【变式4-2】已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式4-3】（2025·上海静安·模拟预测）已知点分别为双曲线 的左、右焦点，直线：与双曲线有两个不同的交点A，B． (1)当时，求到直线的距离； (2)若O为原点，直线与的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C、D，求当△COD的面积最小时，直线的方程； (3)设P为x轴上一点，是否存在实数，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值以及点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型5.圆锥曲线中新定义问题 对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题. 【例3】（2026·上海徐汇二模）若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”． （1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由； （2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由； （3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由． 【变式3-1】（25-26高三上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． (1)判断点是否被直线分隔： (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 【变式3-2】（2026·上海徐汇·模拟预测）若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”． （1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由； （2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由； （3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由． 【变式3-3】（2026·上海宝山·期末）已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4 （1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程. （2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上. （3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由. 1．（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 2．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 3．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 4．（25-26高三上·上海金山·月考）抛物线的焦点为，准线为，A，B是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最小值是________． 5．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________.    6.（25-26高三上·上海·期中）如图，地面上有一个篮球． 假设1：地面是水平面； 假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为． 已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为___________． 7．（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 8．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（   ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 11．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 12．（2026·上海金山·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； (3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 13．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 14．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 15．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 16．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 17．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 18．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 19．（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 20．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面解析几何综合（抢分专练） 题型 考情分析 考向预测 1.圆锥曲线的定义及方程 2025年上海卷：T8考查双曲线的性质；T20求椭圆离心率及探索性问题 2024年上海卷：T8考查双曲线的离心率；T20求椭圆离心率及范围问题和探索性问题 2023年上海卷：T16圆锥曲线新定义；T20直线与抛物线的位置关系，范围问题。 通常位于解答题中后部（如第19或20题），分值在18分，是区分考生数学能力（尤其是运算能力和思维韧性）的关键题目。 2.圆锥曲线的性质 3.圆锥曲线中范围问题 4.圆锥曲线中探索问题 5.圆锥曲线中新定义问题 题型1 圆锥曲线的定义及方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|). (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 3.求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置. 【例1】已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【答案】或 【解析】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 【变式1-1】已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值，故选B. 【变式1-2】已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为，故选B. 【变式1-3】设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 . 【答案】2 【解析】对于双曲线，，， 其渐近线方程为，， 到渐近线的距离，所以圆的半径， 因为圆与C的一个公共点为A，与圆相切，所以，， 由双曲线定义知，则， 在直角三角形中，根据勾股定理， 而，所以. 即，所以， 因为，解得. 题型2.圆锥曲线的性质 1.求离心率通常有两种方法 (1)直接利用公式：椭圆的离心率e＝＝(0<e<1)，双曲线的离心率e＝＝(e>1). (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 2.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到. 【例2】设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【解析】由结论通径为，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 【变式2-1】已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A. 【变式2-2】设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 【变式2-3】已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【答案】或 【解析】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 题型3.圆锥曲线中范围问题 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系. (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系. (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式. (4)利用基本不等式. 【例3】（2026·上海·二模）设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 【解】（1）由椭圆方程可得，，所以. （2）由条件可知， 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，因为，所以， 所以直线的方程为， 联立椭圆：， 所以或， 又因为点P位于y轴右侧，所以P的横坐标为. （3）设 ，，联立椭圆 ， 先确定有两个交点，即， 即， 所以. 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角， 而点在以为直径的圆外，所以，等价于， 由，， 所以， 即. 将，代入可得， ， ， 解得 或，结合， 所以. 【变式3-1】（2026·上海·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方， (1)求椭圆的方程； (2)求点的坐标； (3)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值. 【解】（1）椭圆上的点到两焦点的距离之和为， ，， 椭圆的方程为. （2）由可得点，，. 设点，则， 由已知可得， 则，或.由于，只能，于是， 点的坐标是. （3）直线的方程是，即. 设点的坐标为 则到直线的距离是. ，又，解得. 点的坐标为. 设椭圆上的点到点的距离为， 则. ， ， 当时，取得最小值. 【变式3-2】（2026·上海浦东新·期中）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【解】（1）因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； （2）设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； （3）设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 【变式3-3】（2026·上海嘉定·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上. (1)若，线段的中点在轴上，求的坐标； (2)若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求； (3)在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值. 【解】（1）由题意可得， 的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0， 的纵坐标为，代入得：. （2）   由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况： ①若，则，，即， . ②若，则， ， . 即， 综上或. （3）设，则由题意得， 显然椭圆在直线的左下方，则， 即， ， 据此可得， 整理可得，即1， 又 从而.即的最小值为. 题型4.圆锥曲线中探索问题 圆锥曲线探索问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 【例3】（25-26高三·上海·二轮复习）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解】（1）由题知，， 解得，或， 所以或. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， 方程的判别式， 所以， 所以 故直线、的斜率之和是定值，为0. 【变式3-1】已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【解】（1）因为，所以，所以， 由题意可知，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，所以，， 又因为，所以，设， 由题意可知，即， 联立，可得， 所以，且， 所以 ， 所以直线与的斜率和为定值. 【变式4-2】已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意知，且过点，即，，解得，， 所以椭圆的方程为； （2）假设存在点，使得 ，则 ．       设 ，则 ， ∴ ，直线 的方程为 ． ∵点 在直线上，∴， ∵点是直线上不同于点的一点，∴ ，解得 ∵点在椭圆 上，∴ ，解得 或 ， 当 时，解得 ；当 时，解得 ∴存在点 ，使得 ，点的坐标为 或 ．    【变式4-3】（2025·上海静安·模拟预测）已知点分别为双曲线 的左、右焦点，直线：与双曲线有两个不同的交点A，B． (1)当时，求到直线的距离； (2)若O为原点，直线与的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C、D，求当△COD的面积最小时，直线的方程； (3)设P为x轴上一点，是否存在实数，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值以及点P的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点， 当时， ，∴， ∴直线， 故到l的距离； （2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为， ∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D， ∴， 由得交点C的横坐标为， 由得交点D的横坐标为， ∴，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴，此时方程为. （3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 设， 由，消去y得， ∴且， 解得且， ， AB的中点， 所以AB的垂直平分线方程为， 令，则， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，又， 故，点， 即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 题型5.圆锥曲线中新定义问题 对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题. 【例3】（2026·上海徐汇二模）若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”． （1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由； （2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由； （3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由． 【解】（1） 即，∴ ∴与椭圆C相切． （2）逆命题：若直线与椭圆C相交， 则点在椭圆C的外部． 是真命题．联立方程得 则 ∴ ∴ ∴在椭圆C的外部． （3）同理可得此时与椭圆相离，设 则代入椭圆，利用M在上， 即，整理得 同理得关于的方程，类似． 即是的两根 ∴． 【变式3-1】（25-26高三上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． (1)判断点是否被直线分隔： (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 【解】（1）点，直线，则， 所以点被直线分隔. （2）由直线是曲线的分隔线，得方程组无解，即方程无解， 而当且仅当时，方程无解，因此； 显然点在曲线上，， 因此点被直线分隔， 所以实数的取值范围是. （3）设点，依题意，，则曲线的方程为， 显然当时，方程无解， 点都在曲线上，且，即点被直线分隔， 因此直线为曲线的分隔线； 设过原点的直线，由消去得， 令函数，当时，， 函数的图象连续不断，则函数在上有解，即方程有实数解， 当时，方程有实数解，即直线与曲线有公共点， 因此直线不是曲线的分隔线， 所以经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线，即. 【变式3-2】（2026·上海徐汇·模拟预测）若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”． （1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由； （2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由； （3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由． 【解】（1） 即 ∴ ∴与椭圆C相切． （2）逆命题：若直线与椭圆C相交， 则点在椭圆C的外部． 是真命题．联立方程得 则 ∴ ∴ ∴在椭圆C的外部． （3）同理可得此时与椭圆相离，设 则代入椭圆，利用M在上， 即，整理得 同理得关于的方程，类似． 即是的两根 ∴． 【变式3-3】（2026·上海宝山·期末）已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4 （1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程. （2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上. （3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由. 【解】（1）根据题意知，椭圆：，，椭圆： 椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，则 椭圆的方程为： （2）点是椭圆上的一点，则， 设 故 所以点一定在双曲线上 （3）：根据题意：只需上存在两点关于对称即可 设，设的中点为 由韦达定理知： 在直线上，则 故， 此时正方形的边长为 故 1．（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【解析】由题可得，，因此渐近线方程为， 两条渐近线斜率为，. 两直线夹角，夹角公式为， 代入得， 由于且，因此夹角大小为. 2．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 【答案】 【解析】由题可知以为焦点，则， 又点在双曲线上，由双曲线的定义可得：， 由双曲线的关系：可得， 设在轴上，则双曲线的渐近线方程为， 由可得两条渐近线的倾斜角为和， 根据直线夹角的定义可得两条渐近线的夹角为. 3．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 4．（25-26高三上·上海金山·月考）抛物线的焦点为，准线为，A，B是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最小值是________． 【答案】1 【解析】设，，连接AF、BF， 由抛物线定义，得，， 在梯形ABPQ中，，即， 在中，由余弦定理得，， 配方得，， 又∵，∴， 得到， 则，所以的最小值是1． 5．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________.    【答案】/ 【解析】   以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 6.（25-26高三上·上海·期中）如图，地面上有一个篮球． 假设1：地面是水平面； 假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为． 已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】 设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点； 已知太阳光线与地面的夹角为； 如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上， 篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴， 设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 7．（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 【答案】A 【解析】已知双曲线的方程为，则， 当时，，焦点在轴，， 当时，，焦点在轴，， 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关． 8．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 9．（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线离心率：，椭圆离心率， 如图可知椭圆中，，所以， 双曲线、中，，所以， 综上：. 故选：D. 10．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（   ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【解析】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面，，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 因二面角的大小为，， 而，， 因为平面，平面，故， 而，则， 在中，， 则，故， 即三点共线，且是的中点， 则，故①是真命题； 又因为， 则点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的劣弧， 故轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 11．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 【解】（1）由题意得，故，结合离心率得. 由椭圆关系，因此椭圆的方程为： ； （2）设，因为，所以直线，即， 所以点到直线的距离，又， 所以 由在椭圆上得，所以可设， 所以， 因此，得证. （3）设过的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程整理得： ， 由参数的几何意义得， 结合韦达定理得： ， 斜率存在时，设斜率为，化简得， 由得：当时，取得最大值，对应直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线为，此时，为最小值. 综上，的最大值为，对应直线方程为；最小值为，对应直线方程为 12．（2026·上海金山·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； (3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 【解】（1）由可知， 因为，所以， 即，解得， 代入抛物线方程，， 所以点的坐标为或. （2）联立方程，可得，即， 因为只有一个交点， 所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时； 当时，则需，解得， 此时. 综上，直线的方程为和. （3）设， 由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为， 即， 由圆知，圆心，半径， 所以，即， 设， 代入切线方程可得，， 所以，（其中分别是的斜率） 所以， 又， 令，则， 令，则， 所以， 因为，所以，所以， 故求的取值范围为. 13．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 【解】（1）记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以离心率. （2）由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） （3）易知，当直线斜率为0时，为长轴端点，与右焦点重合，满足题意； 设直线的方程为，， 联立得：， 由得或， 则， 所以，则， 设，因为三点共线，则，， 所以，则， 所以，所以轴. 14．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中，所以， 即离心率： ； （2） 设，直线方程为， 令，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或（因为此时与点重合故舍去），即； （3）设，由关于原点对称得， 计算得直线的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 15．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 【解】（1）由可得，则，则， 故双曲线的离心率， 渐近线的方程为； （2）由，则双曲线方程为，，设， 则线段的中点的坐标为， 有，解得，故点Q的坐标为； （3）由，则双曲线方程为，、， 由题意可得直线斜率存在且不为， 设直线的方程为，则直线的方程为， ，解得或，则， 由在第一象限，则，解得， ，解得，即， 则，即， ，即， ， 即，则，又，故， 即直线的方程为，整理得. 16．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【解】（1）椭圆的半焦距，故、. （2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． （3）设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 17．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【解】（1）由题意知 ，即 . 又因为离心率 ，所以 ，所以 . 故椭圆 的方程为 . （2）证明：设 。 因为 ，所以 . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 代入 ，即 ， 整理得 。 代入韦达定理结果并化简得 。 原点 到直线的距离 所以原点 到直线 的距离为定值 . （3）存在定点 ，理由如下： 由（1）知 ，设直线 的方程为 ， 设 ，则 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 设 ，若 三点共线，则 ， 即 ，整理得 . 将 代入上式，化简得 . 代入韦达定理结果，得 . 化简得 ，解得 . 所以存在定点 ，使得 三点始终共线. 18．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【解】（1）由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. （3）因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 19．（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 【解】（1）因为双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，所以， 设双曲线C的方程为， 代入点，得， 所以双曲线C的方程为； （2）对求导可得，设切点为， 则切线的斜率，又， 所以切线l的方程为， 代入点，得，则切线l的方程为，即， 因为“交换圆”是自己本身，所以， 设圆的方程为， 因为直线l与圆相切，所以， 则“交换圆”面积为， 设球的半径为R，则，解得， 所以球的体积为 （3）由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令，为参数，， 因为，所以，解得， 不妨取第一象限部分，则， 代入可得 ， 因为，则， 所以当时，取得最大值为. 20．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【解】（1）当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； （2）椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； （3）设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $