精品解析：湖北襄阳市南漳县八校2025-2026学年下学期九年级第一次阶段性测试数学试卷

2025—2026（下）九年级第一次阶段性测试数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 3. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 4. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 5. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 6. 如图，该图形可以折成一个正方形的盒子，折好后与“全”字相对的字是（ ） A. 牢 B. 记 C. 心 D. 中 【答案】C 【解析】 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 本题考查了正方体展开图中的相对文字问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得“全”字一面相对的面上的字为“心”， 故选：C． 7. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 8. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ） A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 12. 化简____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 14. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 三、解答题（共75分） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算负整数指数幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数值和乘方，然后再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，D为边上一点，F为延长线上一点，交的延长线于点E，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，证明，得出相等的边，然后根据等边对等角即可． 【详解】略 18. 如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 过点作，则四边形是矩形，根据，设，，分别表示相关边，，，代入三角函数值并求解x即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ， 设， 则，，． 在中， ，即， 解得， ， 此时无人机的高度为． 19. 有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． （1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ （2）已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月 （2）甲工程队至多施工10个月 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分式方程组求解； （2）根据题意列出不等式求解． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成此项工程需要个月，乙工程队单独完成此项工程需要个月，根据题意得， ， 解得 经检验，当是方程组的解，并符合题意， 答：甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月； 【小问2详解】 解：甲工程队施工个月，乙工程队施工个月，根据题意得， ， ∴， ∴， 解得， ∴甲工程队至多施工10个月． 20. 在中，分别是的对边，且，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实数根的平方和为6，求的面积． 【答案】的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．根据根与系数的关系求出的正弦，运用三角函数及勾股定理求出的长度，从而求出的面积； 【详解】解：方程有两个相等实数根， ， ∴， ∵， ， ． ∴是直角三角形，且， 设是的两实数根， 则，． ，而 ， 解得：或（舍去）， 在中， ，，， ∴． 21. 如图，中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）与相切，理由如下： 如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵点在上， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线以及等边对等角得出内错角相等，证明，得出直角，即可得出结论； （2）连接，根据直径定理得出直角，得出平行线，证明，利用锐角三角函数比求出半径长，最后利用锐角三角函数进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：． 若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 【答案】 解：图②中，图③中， 图②证明如下： 如图②所示，连接， ∵点F，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴； 图③证明如下： 如图③所示，连接， ∵点F，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∵和都是等腰三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】图②：如图②所示，连接，先由三角形中位线定理得到，，再证明得到，则，进一步证明，即可证明是等腰直角三角形，则； 图③：仿照图②证明是等边三角形，则． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． （1）求直线对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】（1） （2） 不存在实数m使得， 理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ，或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026（下）九年级第一次阶段性测试数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，该图形可以折成一个正方形的盒子，折好后与“全”字相对的字是（ ） A. 牢 B. 记 C. 心 D. 中 7. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ） A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 9. 如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A. B. C. D. 2 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解____________． 12. 化简____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 14. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算：； 17. 如图，在中，D为边上一点，F为延长线上一点，交的延长线于点E，，．求证：． 18. 如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 19. 有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． （1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ （2）已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 20. 在中，分别是的对边，且，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实数根的平方和为6，求的面积． 21. 如图，中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：． 若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 24. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． （1）求直线对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $