期中核心考点03：复数【9大核心考点】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中核心考点03：复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的相关概念辨析】 【练方法】 知识梳理 复数的定义：形如（）的数，其中为实部，为虚部，为虚数单位， 分类：实数（）、虚数（）、纯虚数（） 共轭复数：，实部相等、虚部互为相反数 复数相等： 常考结论 纯虚数需同时满足：实部为0、虚部不为0 的周期性：，周期为4 复数不能直接比较大小，只有实数可比较大小 解题方法 纯虚数判定：列方程且 复数相等：实部、虚部分别对应相等列方程组 的幂运算：用指数除以4取余数，对应周期值直接秒杀 【题型突破】 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）在复平面内，已知复数对应的点的坐标为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 2．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）设z是复数，则“”是“z的实部与虚部相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·广西南宁·月考）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 4．（20-21高三上·浙江·期中）已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海静安·月考）已知复数（为虚数单位）,当为何实数时，复数： (1)是实数； (2)是纯虚数． 【题型2：复数的加减乘除运算】 【练方法】 知识梳理 加减运算：实部、虚部分别相加减， 乘法运算：多项式展开， 除法运算：分母实数化，乘以分母的共轭复数， 常考结论 共轭复数乘积： 乘法分配律、交换律、结合律在复数中仍成立 ，， 解题方法 加减运算：直接合并实部、虚部 乘法运算：按多项式展开，合并同类项 【题型突破】 6．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·北京·月考）在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 8．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学）在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河南郑州·二模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 【题型3：复数对应的点及象限】 【练方法】 知识梳理 复数与复平面内的点一一对应 复平面：x轴为实轴，y轴为虚轴，实轴上的点对应实数，虚轴上的非原点对应纯虚数 象限判定：根据的符号确定点所在象限 常考结论 实部、虚部：第一象限 实部、虚部：第二象限 实部、虚部：第三象限 实部、虚部：第四象限 实轴上，虚轴上 解题方法 写出复数的实部、虚部 由的符号直接判定点所在象限 纯虚数对应虚轴上的点（除原点），实数对应实轴上的点 【题型突破】 11．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 12．（2026·浙江台州·二模）设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 13．（25-26高一下·山东枣庄·月考）已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 14．（25-26高一下·安徽安庆·月考）在复平面内，将复数对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为______. 15．（2026·安徽淮南·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4：复数的模长】 【练方法】 知识梳理 复数的模：，表示复平面内点到原点的距离 模的性质：，，， 常考结论 （三角不等式） 解题方法 代数形式：直接用计算 性质应用：利用、简化运算 三角不等式：求模的最值或范围 【题型突破】 16．（25-26高一下·天津·月考）是虚数单位，则的值为________. 17．（24-25高二下·上海静安·月考）若，则______． 18．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 19．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 20．（2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【题型5：复数对应的轨迹问题】 【练方法】 知识梳理 复平面内，复数对应点，复数方程可转化为平面直角坐标系中的轨迹方程 常见轨迹：圆、直线、线段、区域等 常考结论 ：以对应点为圆心，为半径的圆 ：对应点的垂直平分线 ：椭圆 ：双曲线 解题方法 设，代入复数方程，转化为的代数方程 根据方程形式判断轨迹类型（圆、直线、椭圆等） 利用复数模的几何意义直接判定轨迹 【题型突破】 21．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 22．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 23．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________． 24．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 25．【多选题】（24-25高二下·广东汕尾·期末）设复数z满足，则以下结论正确的是（    ）． A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2 C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是 【题型6：复数对应的一元二次方程的根】 【练方法】 知识梳理 实系数一元二次方程，判别式 ：两个不相等的实数根 ：两个相等的实数根 ：两个共轭虚数根， 韦达定理：实系数方程中，虚根成对共轭，仍成立 常考结论 实系数方程的虚根共轭成对 若是方程的根，则也是方程的根 虚根的和、积仍满足韦达定理 解题方法 计算判别式，判断根的类型 若为虚根，利用共轭成对的性质，结合韦达定理求解参数 直接代入根的表达式计算 【题型突破】 26．【多选题】（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知，关于的一元二次方程的一个根是，另一个根为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．复数对应的点位于复平面第四象限 B． C． D．和互为共轭复数，且 27．【多选题】（2026·山东济南·二模）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 28．【多选题】（2026·湖北·二模）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 29．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 30．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【题型7：复数的三角表示】 【练方法】 知识梳理 复数的三角形式：，其中为模，为辐角 三角形式的运算： 乘法：模相乘，辐角相加， 除法：模相除，辐角相减， 乘方（棣莫弗公式）： 常考结论 辐角主值 三角形式的乘法/除法满足模与辐角的对应运算规则 棣莫弗公式可快速计算复数的n次幂 解题方法 代数形式转三角形式：先求模，再求辐角（根据符号确定象限） 三角形式运算：直接套用乘法、除法、乘方的运算规则 利用棣莫弗公式计算复数的高次幂 【题型突破】 31．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 32．【多选题】（25-26高三下·陕西西安·月考）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 33．【多选题】（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 35．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8：抽象型复数问题】 【练方法】 知识梳理 不给出复数的具体形式，仅给出其性质、关系或方程，需利用复数的基本性质、运算律求解 常涉及共轭复数、模、运算律等抽象性质 常考结论 ， ， （实数），（纯虚数或0） 解题方法 利用共轭复数的运算性质化简 设转化为代数形式，或设转化为三角形式 利用模的性质、三角不等式求解范围或最值 【题型突破】 36．【多选题】（25-26高一下·江苏常州·期中）设为复数，且，则（    ） A．可能为0 B． C． D．若，则 37．【多选题】（25-26高一下·河南·期中）下列关于复数，的说法正确的是（    ）． A．若，则为实数或纯虚数 B．若，则 C．若，则 D． 38．【多选题】（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 39．【多选题】（25-26高一下·山东济南·期中）已知，为复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是纯虚数或零 C．若，则 D．若，是方程；的两根，则 40．【多选题】（25-26高二上·全国·月考）已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 【题型9：复数的综合性质】 【练方法】 知识梳理 综合考查复数的概念、运算、模、轨迹、方程等多个知识点，常与几何、代数结合 核心是复数的代数形式、几何意义、运算律的综合应用 常考结论 复数的模、共轭、运算的综合性质 复平面内的几何意义（点、向量、轨迹） 实系数方程虚根的共轭性 解题方法 先将复数表示为代数形式，再根据题目条件转化为代数问题 利用复数的几何意义，转化为平面几何问题求解 综合运用模的性质、共轭复数、运算律简化计算 【题型突破】 41．【多选题】（2026·湖南·三模）若复数，则（    ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．复数满足，则的最大值为 42．【多选题】（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ） A．复数的模是 B． C． D．若复数满足，则最小值 43．【多选题】（25-26高一下·吉林延边·月考）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 44．【多选题】（25-26高一下·山东临沂·月考）已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 45．【多选题】（25-26高一下·福建厦门·月考）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的虚部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 46．【多选题】（2026·广东·模拟预测）已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（    ）． A．若，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆 C．的最大值为3 D．若的实部与虚部互为相反数，则 47．【多选题】（25-26高一下·吉林四平·月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．任何两个复数不能比较大小； B．若，则或 C．若点Z坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 48．【多选题】（25-26高三下·安徽芜湖·月考）已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期中核心考点03：复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的相关概念辨析】 【练方法】 知识梳理 复数的定义：形如（）的数，其中为实部，为虚部，为虚数单位， 分类：实数（）、虚数（）、纯虚数（） 共轭复数：，实部相等、虚部互为相反数 复数相等： 常考结论 纯虚数需同时满足：实部为0、虚部不为0 的周期性：，周期为4 复数不能直接比较大小，只有实数可比较大小 解题方法 纯虚数判定：列方程且 复数相等：实部、虚部分别对应相等列方程组 的幂运算：用指数除以4取余数，对应周期值直接秒杀 【题型突破】 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）在复平面内，已知复数对应的点的坐标为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得, 是纯虚数，，解得 . （2）, , 在复平面内对应的点在第一象限， , 的取值范围为. 2．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）设z是复数，则“”是“z的实部与虚部相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】设复数 ，的实部为，虚部为， 可化为，即， 对等式两边平方得： ， 展开整理后可得 ， 即的实部等于虚部，两个命题可以互相推出，因此是充要条件. 3．（25-26高一下·广西南宁·月考）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列式求解即可. 【详解】（1）若复数为实数，则，解得或． （2）若复数为纯虚数，则，解得，所以． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 4．（20-21高三上·浙江·期中）已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 5．（24-25高二下·上海静安·月考）已知复数（为虚数单位）,当为何实数时，复数： (1)是实数； (2)是纯虚数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，即可解得实数的值； （2）根据题意得出，即可解得实数的值. 【详解】（1）当复数为实数时，，解得. （2）当复数为纯虚数时，，解得. 【题型2：复数的加减乘除运算】 【练方法】 知识梳理 加减运算：实部、虚部分别相加减， 乘法运算：多项式展开， 除法运算：分母实数化，乘以分母的共轭复数， 常考结论 共轭复数乘积： 乘法分配律、交换律、结合律在复数中仍成立 ，， 解题方法 加减运算：直接合并实部、虚部 乘法运算：按多项式展开，合并同类项 【题型突破】 6．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由复数的除法和复数的几何意义可得. 【详解】由复数的除法得， 又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得. 7．（25-26高三下·北京·月考）在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数对应的点得出复数，再应用复数除法计算化简求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数， 复数，则复数的虚部为. 8．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学）在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数对应的点关于实轴对称，则是的共轭复数. 由，得. 9．（2026·河南郑州·二模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 10．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【分析】根据复数加法运算及可构造方程求得的值，根据复数模长运算可求得结果. 【详解】， ，解得， ， . 【题型3：复数对应的点及象限】 【练方法】 知识梳理 复数与复平面内的点一一对应 复平面：x轴为实轴，y轴为虚轴，实轴上的点对应实数，虚轴上的非原点对应纯虚数 象限判定：根据的符号确定点所在象限 常考结论 实部、虚部：第一象限 实部、虚部：第二象限 实部、虚部：第三象限 实部、虚部：第四象限 实轴上，虚轴上 解题方法 写出复数的实部、虚部 由的符号直接判定点所在象限 纯虚数对应虚轴上的点（除原点），实数对应实轴上的点 【题型突破】 11．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义确定的对应点的坐标，再求两点距离. 【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，， 所以 所以． 12．（2026·浙江台州·二模）设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由 得，， 故，故B正确. 13．（25-26高一下·山东枣庄·月考）已知四边形是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为，1，，则______. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，再求其模长得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，所以， 所以. 14．（25-26高一下·安徽安庆·月考）在复平面内，将复数对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为______. 【答案】 【详解】复数对应的向量为，则点A位于第二象限，， 向量与x轴正半轴的夹角为， 设该向量绕原点沿逆时针方向旋转后所得向量的坐标为， 则，， 即所得向量的坐标为，所以旋转后的向量对应的复数为. 15．（2026·安徽淮南·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先对复数进行化简，将分母实数化，得到复数的代数形式，再根据实部和虚部的正负确定对应点所在象限即可. 【详解】因为， 所以复数 在复平面内对应的点为 ， 因为点 的横坐标为正、纵坐标为负，因此位于第四象限. 【题型4：复数的模长】 【练方法】 知识梳理 复数的模：，表示复平面内点到原点的距离 模的性质：，，， 常考结论 （三角不等式） 解题方法 代数形式：直接用计算 性质应用：利用、简化运算 三角不等式：求模的最值或范围 【题型突破】 16．（25-26高一下·天津·月考）是虚数单位，则的值为________. 【答案】 【详解】由题得. 17．（24-25高二下·上海静安·月考）若，则______． 【答案】 【分析】通过设将两个复数的问题转化为单个复数的问题，再利用复数模的性质列方程求解可得. 【详解】设，因为，所以. 又因为，所以，即. 设，由得：记作①， 再由得：记作②， ②①相减得，即，解得. 再将代入①得，，解得. 因此. 18．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 19．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 20．（2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 【题型5：复数对应的轨迹问题】 【练方法】 知识梳理 复平面内，复数对应点，复数方程可转化为平面直角坐标系中的轨迹方程 常见轨迹：圆、直线、线段、区域等 常考结论 ：以对应点为圆心，为半径的圆 ：对应点的垂直平分线 ：椭圆 ：双曲线 解题方法 设，代入复数方程，转化为的代数方程 根据方程形式判断轨迹类型（圆、直线、椭圆等） 利用复数模的几何意义直接判定轨迹 【题型突破】 21．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 22．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案. 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 23．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 24．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 25．（24-25高二下·广东汕尾·期末）设复数z满足，则以下结论正确的是（    ）． A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2 C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用复数的模的几何意义，可判断A，应用不等式的性质判断B，C，把点的坐标代入，特殊值法可判断D. 【详解】设（为虚数单位），则表示点与之间的距离. 对于A，z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确； 对于B， ，当时即可取最大值，故B正确； 对于C，，当时即可取最小值，故C正确； 对于D，因为，则符合题意，故D错误. 故选：ABC. 【题型6：复数对应的一元二次方程的根】 【练方法】 知识梳理 实系数一元二次方程，判别式 ：两个不相等的实数根 ：两个相等的实数根 ：两个共轭虚数根， 韦达定理：实系数方程中，虚根成对共轭，仍成立 常考结论 实系数方程的虚根共轭成对 若是方程的根，则也是方程的根 虚根的和、积仍满足韦达定理 解题方法 计算判别式，判断根的类型 若为虚根，利用共轭成对的性质，结合韦达定理求解参数 直接代入根的表达式计算 【题型突破】 26．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知，关于的一元二次方程的一个根是，另一个根为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．复数对应的点位于复平面第四象限 B． C． D．和互为共轭复数，且 【答案】ABC 【分析】根据复数的几何意义，可判断A的正误；将代回方程，可得a，b的值，即可判断C的正误，根据根与系数的关系，可得，结合求模公式，可判断B的正误；根据复数的运算法则，可判断D的正误. 【详解】选项A：复数对应的点为，位于复平面第四象限，故A正确； 选项C：将代入方程，可得， 整理得，所以，解得，故C正确； 选项B：一元二次方程为，由韦达定理得， 所以，则，又， 所以，故B正确； 选项D：和互为共轭复数，且，故D错误. 27．（2026·山东济南·二模）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 28．（2026·湖北·二模）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【详解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对，因此，A正确 由韦达定理可知，，所以B错误； ，C错误， ，可得，由韦达定理可知，所以， D正确. 29．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【详解】（1）设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． （2）由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． （3）因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 30．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点与韦达定理计算即得； （2）根据复数的几何意义利用（1）的结论数形结合计算即可. 【详解】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 【题型7：复数的三角表示】 【练方法】 知识梳理 复数的三角形式：，其中为模，为辐角 三角形式的运算： 乘法：模相乘，辐角相加， 除法：模相除，辐角相减， 乘方（棣莫弗公式）： 常考结论 辐角主值 三角形式的乘法/除法满足模与辐角的对应运算规则 棣莫弗公式可快速计算复数的n次幂 解题方法 代数形式转三角形式：先求模，再求辐角（根据符号确定象限） 三角形式运算：直接套用乘法、除法、乘方的运算规则 利用棣莫弗公式计算复数的高次幂 【题型突破】 31．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，， ，即， 即 ∴或， 根据各项复数的三角表示，只有D符合. 32．（25-26高三下·陕西西安·月考）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】对A，利用复数的运算及模长的计算公式，即可判断正误；对B，根据题设定义可得的实部为，即可求解；对C利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解；对D，根据题设可得，再分取奇和偶，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以， 又，所以，故A正确， 对于B，令，则，所以的实部为，故B错误， 对于C，令，则， 所以，故C正确， 对于D，若时，则， 当为偶数时，设，， 所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误. 33．（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设方程的复数根为（，），根据条件，利用复数相等得或，再转化成三角形式，即可求解. 【详解】设方程的复数根为（，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 34．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 35．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 【题型8：抽象型复数问题】 【练方法】 知识梳理 不给出复数的具体形式，仅给出其性质、关系或方程，需利用复数的基本性质、运算律求解 常涉及共轭复数、模、运算律等抽象性质 常考结论 ， ， （实数），（纯虚数或0） 解题方法 利用共轭复数的运算性质化简 设转化为代数形式，或设转化为三角形式 利用模的性质、三角不等式求解范围或最值 【题型突破】 36．（25-26高一下·江苏常州·期中）设为复数，且，则（    ） A．可能为0 B． C． D．若，则 【答案】BD 【分析】根据条件，可判断A的正误；设，根据复数的运算性质，分别求出和，可判断B的正误；根据运算性质及求模公式，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：若，则，不符合题意，故A错误； 选项B：设，则， 则， 又，则，故B正确； 选项C：， ， 所以，故C错误； 选项D：若，则，所以，即， 所以，故D正确. 37．（25-26高一下·河南·期中）下列关于复数，的说法正确的是（    ）． A．若，则为实数或纯虚数 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【详解】设，（）， 选项A：计算得，若，则虚部，即或； 若，则；若，则，当时为纯虚数， 当时，故为实数或纯虚数，正确； 选项B：举反例：，，，但，错误； 选项C：举反例：，，，但，错误； 选项D： . ， 的共轭分别为，，两者相乘得： ，正确. 38．（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，结合选项，利用复数的模和复数的运算法则，逐项计算判断，即可求解. 【详解】对于A，取，可得，满足，但，所以A错误； 对于B，设 可得，所以， 又由，可得， 所以，所以B正确； 对于C，由， 可得， 又由，可得， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得， 则， ， 可得不一定为，所以D不正确. 39．（25-26高一下·山东济南·期中）已知，为复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是纯虚数或零 C．若，则 D．若，是方程；的两根，则 【答案】BD 【分析】举例，，判断A；利用复数的运算法则判断B；利用反例法判断选项C．利用韦达定理计算判断选项D. 【详解】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，B正确； 令，，满足，但，故， 不能推出，故C错误． 已知是方程的两根，由韦达定理得， ，故D正确. 40．（25-26高二上·全国·月考）已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 【答案】ABD 【分析】设，根据得出关系式，再求证可判断A；根据复数的模的公式判断B；利用两点间距离公式判断C；利用为实数以及复数的除法运算判断D. 【详解】设， 若，则，则， 则， 则， 故，故A正确； ，故B正确； 表示点，两点间的距离， 因为，当时有最小值， 则的最小值为，故C错误； 因为，为实数，所以为实数，故D正确. 【题型9：复数的综合性质】 【练方法】 知识梳理 综合考查复数的概念、运算、模、轨迹、方程等多个知识点，常与几何、代数结合 核心是复数的代数形式、几何意义、运算律的综合应用 常考结论 复数的模、共轭、运算的综合性质 复平面内的几何意义（点、向量、轨迹） 实系数方程虚根的共轭性 解题方法 先将复数表示为代数形式，再根据题目条件转化为代数问题 利用复数的几何意义，转化为平面几何问题求解 综合运用模的性质、共轭复数、运算律简化计算 【题型突破】 41．（2026·湖南·三模）若复数，则（    ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．复数满足，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】由已知，， 对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，，B错误； 对于C，因为，在复平面内对应的点的坐标为，第一象限，C正确； 对于D，因为复数满足， 所以复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 所以，所以的最大值为，D正确． 42．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ） A．复数的模是 B． C． D．若复数满足，则最小值 【答案】ACD 【详解】对于A，复数的模为, 故A正确； 对于B，两个复数不能比较大小，故B错误； 对于C，设，则， ，所以，故C正确； 对于D，由，可知在复平面上对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 又原点到的距离为，所以最小值为，故D正确. 43．（25-26高一下·吉林延边·月考）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示结合向量的坐标运算求解；对于C：根据共轭复数的定义结合复数的几何意义分析判断；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于选项A：例如也满足，故A错误； 对于选项B：因为，，所以， 所以向量对应的复数为，故B正确； 对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误； 对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确． 44．（25-26高一下·山东临沂·月考）已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B正确；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，故复数的虚部为，B正确； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，C不正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，故和均为方程的根， 故， 所以， 故，，，D正确. 45．（25-26高一下·福建厦门·月考）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的虚部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列出方程组可判断B；由复数乘除法运算，共轭复数及虚部概念可判断C；利用复数的几何意义可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； 对于C，若，则， 所以的虚部为，故C错误； 对于D，因为，所以点的轨迹为圆心为，半径分别为1和围成的圆环， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 46．（2026·广东·模拟预测）已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（    ）． A．若，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆 C．的最大值为3 D．若的实部与虚部互为相反数，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可. 【详解】因为时，复数， 所以在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误； 因为复数满足，所以复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，B正确； 当复数的点位于时，取最大值为3，C正确； 由于，若的实部与虚部互为相反数， 则，即，D正确. 47．（25-26高一下·吉林四平·月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．任何两个复数不能比较大小； B．若，则或 C．若点Z坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】CD 【分析】根据复数的定义判断A；根据复数模的定义判断B；根据复数的运算判断C；根据复数模的几何意义判断D． 【详解】A选项：复数包含实数和虚数，虚数不能比较大小，但实数可以比较大小，故A错； B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况， 例如，，，此时，故B错； C选项：若Z的坐标为，则， 又z是关于x的实系数方程的一个根， 所以， 所以，解得，，故C正确； D选项：设，则，即， 所以Z的集合所构成的图形为环形，如下所示： 所以面积为，故D正确． 48．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 【答案】BD 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故A错误； ，若，则，，故B正确； 当时，满足，但，是实数而非纯虚数，故C错误； ， 所以在复平面内对应的点在圆心为、半径为1的圆上， 又，所以的取值范围为，故D正确. 1 学科网（北京）股份有限公司 $