精品解析：江苏扬州中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年第二学期期中试题 高一数学 2026.4 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1.作答试卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码． 2.将答案填写在答题卡的指定位置，在试卷上答题无效． 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原式. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 4. 函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以最小正周期. 5. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可. 【详解】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知化简求得，利用二倍角公式进行弦化切求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 显然， ， 于是. 8. 已知中，，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由题可得三点共线，时，最小，据此可得，根据数量积的运算律求结论. 【详解】设，， 则， 从而三点共线. 当时，最小， 则时，，又，从而 ，又三点共线，则，故， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（     ） A. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C. 圆锥有无数条母线 D. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 【答案】AC 【解析】 【详解】A：根据棱柱的性质可知棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，因此本选项说法正确； B：因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台，所以本选项说法不正确； C：根据圆锥的性质可知圆锥有无数条母线，所以本选项说法正确； D：两个底面重合的三棱锥组合在一起就不是三棱锥，所以本选项说法不正确； 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 对任意向量，，，都有 B. 已知向量与单位向量同向，且，，则 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用向量数量积的性质即可判断；对于B，先写出的坐标，再利用同向单位向量的公式计算；对于C，利用投影向量公式判断；对于D，利用向量加法和数乘向量的意义即可计算判断. 【详解】对于A，对任意向量，，，和均为实数， 设，，则，， 而和关系不明确，故不一定成立，A错误； 对于B，，单位向量与向量同向， 则，B正确； 对于C，依题意有， 则在上的投影向量为，C正确； 对于D，如图，分别取，，则， 即得平行四边形，故，又因为，， 所以，，故， 即的面积是的面积的2倍，D正确. 11. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（    ） A. B. C. 的取值范围是 D. 使为锐角三角形的的整数值只有1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，求得，可判定B错误；利用三角形三边的不等关系列不等式组，或由，得出不等式，求出的范围，可判定C正确；结合C得到在区间内的整数只有1和2，分类讨论，可判定D正确. 【详解】由题意知，在中，满足 对于A，由正弦定理知，可得， 因为，可得，可得，故A正确； 对于B，由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，由于，，则， 则由，得， 解得，则； 另解，由，可得，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于D，在区间内的整数只有1和2， 当时，由，此时为等边三角形，也是锐角三角形； 当时，可得，且， 则，此时，C为钝角，不符合题意， 故使为锐角三角形的的整数值只有1，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合一元二次函数求值域. 【详解】由， 令，则，所以， 当时，有最大值，当时，有最小值， 故的值域为. 故答案为： 13. 在平行四边形中，，设，，则___________（用，表示）． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示， 由，可得， 则． 14. 已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由，又因为， 所以， 再由余弦定理可知， 令，则， 即 因为，所以， 即， 因为，所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为，求 （1）； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据模长和夹角求出数量积，结合模长公式可得答案； （2）根据数量积为负数求出的范围，排除掉夹角为的情况即可. 【小问1详解】 因为，，且与的夹角为， 所以， 所以，即. 【小问2详解】 ， 因为向量与的夹角为钝角，所以，即； 令，可得，解得， 当时，向量与的夹角为，不是钝角， 所以的取值范围为. 16. （1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案. （2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，， 所以，， 则 . 17. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点. （1）设和交于点G，求∠EGB的余弦值； （2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式即可求解； （2）设，确定，求出的表达式，即可求得答案. 【小问1详解】 在直角梯形中，，，，，连接， 则，四边形为平行四边形，，， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，    则， 则，， 所以， 所以的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）得，由点F在边上，设， 则，，而， 因此， 所以的取值范围为. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）求b的取值范围； （3）边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； 【小问3详解】 由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 19. 在中，对应的边分别为，. （1）求角的大小； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）①108；②. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解. （2）①化简为，由三维柯西不等式求解；②由三维柯西不等式有求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. 【小问2详解】 ①由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年第二学期期中试题 高一数学 2026.4 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1.作答试卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码． 2.将答案填写在答题卡的指定位置，在试卷上答题无效． 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（    ） A. B. C. D. 4. 函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 5. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（     ） A. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C. 圆锥有无数条母线 D. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 对任意向量，，，都有 B. 已知向量与单位向量同向，且，，则 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 11. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（    ） A. B. C. 的取值范围是 D. 使为锐角三角形的的整数值只有1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是__________. 13. 在平行四边形中，，设，，则___________（用，表示）． 14. 已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且与的夹角为，求 （1）； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. （1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 17. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点. （1）设和交于点G，求∠EGB的余弦值； （2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）求b的取值范围； （3）边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 19. 在中，对应的边分别为，. （1）求角的大小； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $