专题1.4数学归纳法（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题1.4 数学归纳法 教学目标 1、理解数学归纳法的概念、掌握数学归纳法的原理步骤； 2、掌握用数学归纳法证明几种常见命题的方法技巧； 教学重难点 1、重点：(1)数学归纳法的原理；(2)用数学归纳法证明几种常见命题的方法． 2、难点：(1)数学归纳法原理的理解；(2)“证明时结论也成立”. 知识点01 数学归纳法的概念 1.定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，先证明当n取第一个值时命题成立； 第二步(归纳递推)，假设当时命题成立，证明当时命题也成立； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 这种证明方法叫做数学归纳法． 2.数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． (1)证明了第一步：先证明当n取第一个值时命题成立；就获得了递推的基础．(归纳奠基也称归纳基础) 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性． 在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察更多的正整数， 因为即使再考察几个正整数，对这几个正整数命题都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； 所以必须证明第二步：假设当时命题成立，证明当时命题也成立； (2)证明了第二步，就获得了递推的依据．(归纳递推也称归纳传递) 即：时命题成立时命题成立时命题成立时命题均成立。 (3)若没有第一步就失去了递推的基础；若没有第二步就失去了递推的依据． 只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 3.数学归纳法的适用范围：只适用于证明与正整数n(一般n可取无穷多个值)有关的数学命题。 但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 【即学即练1-1】用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是(    ) A．1 B． C． D． 【即学即练1-2】已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设(，k为偶数)时命题为真，则还需要再证(    ) A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 知识点02 数学归纳法的功能、步骤及易错点 1.功能： 数学归纳法将无穷的归纳过程依据归纳公理转化为有限的特殊演绎(直接验证与演绎推理相结合)的过程 1.步骤： (1)证明：当取第一个值结论正确； (2)假设当时结论正确，证明当时结论也正确 (3)由(1)，(2)可知，命题对于从开始的所有正整数n都正确，命题得证。 2.易错点： (1)弄错起始:注意的是不一定都是1，起始值可以是任意一个正整数(需要由题意判断)． (2)项数估算错误:从与的关系时，项数的变化易出现错误(即跨度问题)． (3)没有利用归纳假设:如果没有归纳假设，整个证明过程也就不正确了(即伪证问题)． (4)关键步骤含糊不清：“假设时结论成立，证明时结论也成立”，是数学归纳法的关键和最重要的环节，要把推导的过程写完整，且要保证证明过程的严谨性、规范性(即规范问题)． 3.难点：“假设时结论成立，证明时结论也成立”，是数学归纳法证明的难点； 突破难点的关键是：分析清楚由到时，要证明命题的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时的式子中分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 【即学即练】某同学用数学归纳法证明不等式，过程如下： (1)当时，，不等式成立． (2)假设当,且时，不等式成立，即，则当时，， ∴当时，不等式成立． 根据(1)和(2)可知对任何都成立．则上述证法(    ) A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理没有用到归纳假设 知识点03 数学归纳法证明的常见类型 1、用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式； 证明要有目的性：证明恒等式时，在证时等式也成立时，应把时的结论和时的结论进行对比，采用两边凑的方法，从而得出所要证明的式子. 2、用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，在证时等式也成立时，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 3、用数学归纳法证明与正整数n有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，在证时等式也整除时，先要从时要证的式子中拼凑出时的式子；只需要证明剩余的式子也能被整除． 4、用数学归纳法证明与正整数n有关的几何问题； 此类问题解决的关键在于：抓住线、面、体的个数及(线线、线面、面面)交点、面面交线间的关系等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题：归纳猜想证明 基本步骤是：“试验—归纳—猜想—证明” (1)计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； (2)归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； (3)证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 6.由数学归纳法可得常用结论： ； ； ； ； ； 【即学即练3-1】(证明恒等式)用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【即学即练3-2】(证明不等式)(2024高三全国专题练习)证明∶不等式成立. 【即学即练3-3】(证明整除)用数学归纳法证明：能被整除. 【即学即练3-4】(证明几何问题)已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【即学即练3-5】(证明数列问题)(23-24高二下·北京房山·期中)已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项；(2)根据(1)的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 题型01 对数学归纳法的理解 【典例1-1】现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是(    ) A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【典例1-2】(2024高二下辽宁阶段练习)利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了(    ) A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式1-1】用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是(    ) A．1 B． C． D． 【变式1-2】(2024高二下四川成都阶段练习)用数学归纳法证明“对任意的，都有 ，第一步应该验证的等式是(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】已知经过同一点的 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这 n 个平面将空间分成 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由 到 时，应证明增加的空间个数为( ) A． B． C． D． 题型02 数学归纳法中的增项问题 【典例2】(2024高二下北京丰台期中)用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为(    ) A． B． C． D． 【变式2-1】用数学归纳法证明等式 ，当 时，等式左就应在 的基础上加上( ) A． B． C． D． 【变式2-2】(2024高二浙江杭州期末)用数学归纳法证明：()的过程中，从到时，比共增加了(    ) A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式2-3】用数学归纳法证明等式 , 从 到 左端需要增乘的代数式为( ) A． B． C． D． 题型03 用数学归纳法证明恒等式 【典例3】用数学归纳法证明：； 【变式3-1】用数学归纳法证明(为正整数)． 【变式3-2】用数学归纳法证明(为正整数)． 【变式3-3】是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？证明你的结论． 题型04 用数学归纳法证明不等式 【典例4】证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 【变式4-1】用数学归纳法证明不等式：． 【变式4-2】设，且，证明∶. 【变式4-3】设，其中n为正整数． (1)求，，的值； (2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 题型05 用数学归纳法证明整除问题 【典例5】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【变式5-1】(2024高二江苏)先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 【变式5-2】用数学归纳法证明：能被整除() 【变式5-3】已知数列满足，，，证明：数列的第项()能被3整除． 题型06 用数学归纳法证明几何问题 【典例6】平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论． 【变式6-1】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【变式6-2】(2024上海普陀模拟预测)如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. (1)写出点和的坐标；(2)猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【变式6-3】在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 题型07 用数学归纳法证明数列问题 【典例7】已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式7-1】(2024高二上浙江杭州期末)已知数列满足，. (1)求，，；(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式7-2】设数列满足，且(n为正整数)． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【变式7-3】)已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项；(2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 题型08 用数学归纳法处理探究问题 【典例8】请观察下列三个式子： ①；②；③． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 【变式8-1】观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题． 【变式8-2】(23-24高二下·山西吕梁·期末)给出下列不等式： ， ， ， ， (1)根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；(2)用数学归纳法证明你的猜想. 【变式8-3】已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 一、单选题 1．观察下列式子： 可归纳出 小于( ) A． B． C． D． 2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当时，左边，右边，不等式成立. (2)假设当(且)时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法(    ) A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 3．用数学归纳法证明“”时，第二步应假设(    ) A．当时，成立 B．当时，成立 C．当时，成立 D．当时，成立 4．利用数学归纳法证明不等式(，)的过程中，由到时，左边增加了(    ) A．1项 B．k项 C．项 D．项 5．(2024高二下北京房山期末)用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是(    ) A． B． C． D． 6．(2024高一全国课后练习)用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成(　　) A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 7．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是(    ) A．1 B． C． D． 8．(2024高二下辽宁大连期中)用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为( ) A． B． C． D． 二、多选题 9.用数学归纳法证明＂ ，则() A．首先验证的 B． 时，等式左端为 C．当 时，等式左端为 D．当 时，应当在 时对应的等式的左边 10.用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 11．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是(    ) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 三、填空题 12．用数学归䚝法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是 ． 13．(2024高二下河南濮阳期末)用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 14.用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ． 四、解答题 15．(2024高二江苏课后作业)设，，且，用数学归纳法证明：． 16．用数学归纳法证明：能被整除. 17.已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：(是正整数)；(2)求数列的通项公式. 18.(2024高二下北京房山期末)已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值；(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 19．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 数学归纳法 教学目标 1、理解数学归纳法的概念、掌握数学归纳法的原理步骤； 2、掌握用数学归纳法证明几种常见命题的方法技巧； 教学重难点 1、重点：(1)数学归纳法的原理；(2)用数学归纳法证明几种常见命题的方法． 2、难点：(1)数学归纳法原理的理解；(2)“证明时结论也成立”. 知识点01 数学归纳法的概念 1.定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，先证明当n取第一个值时命题成立； 第二步(归纳递推)，假设当时命题成立，证明当时命题也成立； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 这种证明方法叫做数学归纳法． 2.数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． (1)证明了第一步：先证明当n取第一个值时命题成立；就获得了递推的基础．(归纳奠基也称归纳基础) 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性． 在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察更多的正整数， 因为即使再考察几个正整数，对这几个正整数命题都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； 所以必须证明第二步：假设当时命题成立，证明当时命题也成立； (2)证明了第二步，就获得了递推的依据．(归纳递推也称归纳传递) 即：时命题成立时命题成立时命题成立时命题均成立。 (3)若没有第一步就失去了递推的基础；若没有第二步就失去了递推的依据． 只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 3.数学归纳法的适用范围：只适用于证明与正整数n(一般n可取无穷多个值)有关的数学命题。 但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 【即学即练1-1】用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C【解】当时，，所以左边为.故选：C. 【即学即练1-2】已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设(，k为偶数)时命题为真，则还需要再证(    ) A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B【解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设(，k为偶数)时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立.故选：B 知识点02 数学归纳法的功能、步骤及易错点 1.功能： 数学归纳法将无穷的归纳过程依据归纳公理转化为有限的特殊演绎(直接验证与演绎推理相结合)的过程 1.步骤： (1)证明：当取第一个值结论正确； (2)假设当时结论正确，证明当时结论也正确 (3)由(1)，(2)可知，命题对于从开始的所有正整数n都正确，命题得证。 2.易错点： (1)弄错起始:注意的是不一定都是1，起始值可以是任意一个正整数(需要由题意判断)． (2)项数估算错误:从与的关系时，项数的变化易出现错误(即跨度问题)． (3)没有利用归纳假设:如果没有归纳假设，整个证明过程也就不正确了(即伪证问题)． (4)关键步骤含糊不清：“假设时结论成立，证明时结论也成立”，是数学归纳法的关键和最重要的环节，要把推导的过程写完整，且要保证证明过程的严谨性、规范性(即规范问题)． 3.难点：“假设时结论成立，证明时结论也成立”，是数学归纳法证明的难点； 突破难点的关键是：分析清楚由到时，要证明命题的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时的式子中分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 【即学即练】某同学用数学归纳法证明不等式，过程如下： (1)当时，，不等式成立． (2)假设当,且时，不等式成立，即，则当时，， ∴当时，不等式成立． 根据(1)和(2)可知对任何都成立．则上述证法(    ) A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理没有用到归纳假设 【答案】D【分析】根据数学归纳法的定义与证明即可判断. 【解】根据数学归纳法的证明可知当的验证正确，归纳假设正确，故BC错误； 从到的推理中，并没有用到时的假设，故D正确，A错误，故选：D. 知识点03 数学归纳法证明的常见类型 1、用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式； 证明要有目的性：证明恒等式时，在证时等式也成立时，应把时的结论和时的结论进行对比，采用两边凑的方法，从而得出所要证明的式子. 2、用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，在证时等式也成立时，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 3、用数学归纳法证明与正整数n有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，在证时等式也整除时，先要从时要证的式子中拼凑出时的式子；只需要证明剩余的式子也能被整除． 4、用数学归纳法证明与正整数n有关的几何问题； 此类问题解决的关键在于：抓住线、面、体的个数及(线线、线面、面面)交点、面面交线间的关系等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题：归纳猜想证明 基本步骤是：“试验—归纳—猜想—证明” (1)计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； (2)归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； (3)证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 6.由数学归纳法可得常用结论： ； ； ； ； ； 【即学即练3-1】(证明恒等式)用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【解】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边， 因此时原等式也成立． 综上，都有． 【即学即练3-2】(证明不等式)(2024高三全国专题练习)证明∶不等式成立. 【分析】利用数学归纳法证明即可.【解】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时，左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 【即学即练3-3】(证明整除)用数学归纳法证明：能被整除. 【分析】先验证时，能被整除；假设当时，能被整除，再证明能被整除，结合归纳原理可得出结论成立. 【解】证明：(1)当时，能被整除，所以结论成立； (2)假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切都成立． 【即学即练3-4】(证明几何问题)已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【分析】按照数学归纳法证明步骤证明即可.【解】(1)当时，两直线交点只有1个， 又，所以时，命题成立； (2)假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数， 那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为， 因为任意两条直线不平行，所以直线l与其他k条直线的交点个数为k， 又任意三条不过同一点，所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不同， 从而k+1条直线共有个交点， 即 ， 所以当时，命题成立. 综上，原命题成立. 【即学即练3-5】(证明数列问题)(23-24高二下·北京房山·期中)已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项；(2)根据(1)的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【分析】(1)由题意逐个计算即可得； (2)由(1)的计算结果可猜想出数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可得. 【解】(1)由且，则，，； (2)由(1)的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 题型01 对数学归纳法的理解 【典例1-1】现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是(    ) A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B【解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立，即， 则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意，等式恒成立， 所以ACD错误；故选：B． 【典例1-2】(2024高二下辽宁阶段练习)利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了(    ) A．1项 B．项 C．项 D．项 【分析】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【解】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项.故选：D. 【变式1-1】用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】D【解】由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是.故选：D． 【变式1-2】(2024高二下四川成都阶段练习)用数学归纳法证明“对任意的，都有 ，第一步应该验证的等式是(    ) A． B． C． D． 【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 【解】在等式中， 当时，，故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是.故选：D. 【变式1-3】已知经过同一点的 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这 n 个平面将空间分成 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由 到 时，应证明增加的空间个数为( ) A． B． C． D． 【答案】A【解】时，3个平面分空间为8部分，时为4部分，增加4=2×2； 时，增加6=2×3，故增加量为，选A。 题型02 数学归纳法中的增项问题 【典例2】(2024高二下北京丰台期中)用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果. 【解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.故选：B. 【变式2-1】用数学归纳法证明等式 ，当 时，等式左就应在 的基础上加上( ) A． B． C． D． 【答案】B【解】时左边为，时增加，选B。 【变式2-2】(2024高二浙江杭州期末)用数学归纳法证明：()的过程中，从到时，比共增加了(    ) A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D【解】因为，所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项，故选：D 【变式2-3】用数学归纳法证明等式 , 从 到 左端需要增乘的代数式为( ) A． B． C． D． 【答案】D【解】时左端为，时为， 增乘，选D。 题型03 用数学归纳法证明恒等式 【典例3】用数学归纳法证明：； 【解】当时，左边，右边，则原等式成立； 假设当时，原不等式成立，即成立， 则当时，，即当时原等式成立， 所以对于任意成立. 【变式3-1】用数学归纳法证明(为正整数)． 【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 【解】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立， 即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 【变式3-2】用数学归纳法证明(为正整数)． 【答案】证明见解析【分析】根据数学归纳法的步骤证明即可. 【解】当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时，， 即当时，等式也成立， 综上可得，． 【变式3-3】是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？证明你的结论． 【解】假设存在，使得所给等式成立． 令代入等式得解得 以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立． ①当时，由以上可知等式成立； ②假设当时等式成立， 即， 当时， ． 即时等式成立． 由①②知等式对于一切正整数都成立． 故存在，使等式对一切正整数都成立. 题型04 用数学归纳法证明不等式 【典例4】证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 【分析】利用数学归纳法可证明，先假设n＝k时成立，再证明n＝k＋1时成立即可. 【解】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即， 当n＝k＋1时，， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n∈N*都成立． 【变式4-1】用数学归纳法证明不等式：． 【解】证明：①当时，左边，时成立 ②假设当时成立，即 那么当时，左边 ∴时也成立 根据①②可得不等式对所有的n>1都成立． 【变式4-2】设，且，证明∶. 【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法证明即可. 【解】证明：①当时，，∴成立. ②假设当时命题成立， 即当，且(，2，…，n)时，均有. ③当时，对于， 若，则命题显然成立. 若存在，不妨设，则在中必存在一个数小于1，不妨设这个数为， 从而，即.把看作一个整体，有 . 故原命题对也成立. 综上可得，原命题成立. 【变式4-3】设，其中n为正整数． (1)求，，的值； (2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【解】(1)，，． (2)猜想：时，， 证明：①当时，成立， ②假设当时，猜想正确，即，∴， ， ，即成立， 由①②可知，对于时，成立． 题型05 用数学归纳法证明整除问题 【典例5】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【解】(1)当时， 能被64整除，命题成立． (2)假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由(1)(2)可知，能被64整除， 即是64的倍数． 【变式5-1】(2024高二江苏)先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 【答案】能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析 【分析】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：可以被6整除，利用数学归纳法证明即可． 【解】时，原式，时，原式，时，原式，时，原式， 这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除； 证明：(1)当时，，命题显然成立； (2)假设当时，能被6整除． 当时，， 其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除， 由假设知能被6整除,故，，6分别能被6整除， 所以当时，命题也成立． 据(1)(2)，可知可以被6整除． 故能被自然数6,，1，2，3整除. 【变式5-2】用数学归纳法证明：能被整除() 【解】当时，，故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时，， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除(). 【变式5-3】已知数列满足，，，证明：数列的第项()能被3整除． 【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法，先验证时，结论成立，再证明当时，结论成立，可推出时也成立，即可证明结论成立. 【解】用数学归纳法证明： ①当时，，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 题型06 用数学归纳法证明几何问题 【典例6】平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论． 【解】当时，过任意两个点作直线，共有3条； 当时，设四个点为，过三点中的任意2点的直线有三条， 过三点中的任意1点与D点相连的直线有3条，即共有条； 当时，设五个点为，同上，过中的任意2点的直线有6条， 过中的任意1点与的连线共有4条，即共有条； 假设当，过k个点(任意三点不共线)中任意2点作直线，共有条； 则当时，共有k+1个点(任意三点不共线)， 过k个点中任意2个作直线，共有条； 过这k个点中的任一个点与相连的直线共有k条， 因此，过这k+1个点中的任意2个点作直线，共有， 所以当时，假设成立； 综上，这样的直线共有条. 【变式6-1】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【分析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立， 分析知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 即可得出成立， 这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【解】当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【变式6-2】(2024上海普陀模拟预测)如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推. (1)写出点和的坐标；(2)猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【分析】(1)将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；(2)由(1)可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论. 【解】(1)由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：，由得：，即； 直线方程为：，即， 令，解得：，； 直线方程为：， 由得：，即； 直线方程为，即， 令，解得：，； (2)由(1)猜想的坐标为， 设，，则直线的方程为：， 令，解得：，， 直线的斜率为，即，即，， 用数学归纳法证明的坐标如下： ①当时，满足； ②假设当时，成立， 那么当时，由得： ，解得：， 即当时，成立； 综上所述：. 【变式6-3】在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【分析】通过，2，3，4，5的结果归纳出，再用数学归纳法证明. 【解】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况(如图)    从图中可以看出， ， ， ， ， . 由此猜想. 接下来用数学归纳法证明这个猜想. (1)当，2时，结论均成立. (2)假设当时结论成立，即. 那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对，都有， 即. 题型07 用数学归纳法证明数列问题 【典例7】已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解】，，，，…， 猜想：．证明如下： (1)当时，，猜想成立； (2)假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合(1)(2)，可知猜想对于任意都成立． 【变式7-1】(2024高二上浙江杭州期末)已知数列满足，. (1)求，，；(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【分析】(1)首先根据题意得到，再求，，即可. (2)首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可. 【解】(1)由可知， 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； (2)猜想数列的通项公式为. 当时，左边，右边，成立. (2)假设当时，成立. 则当时，有， 即当时，也成立. 所以对任何都成立. 【变式7-2】设数列满足，且(n为正整数)． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【解】(1)由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：(n为正整数)； (2)用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当(k为正整数)时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：(n为正整数)． 【变式7-3】)已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项；(2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【分析】(1)分别将代入求解即可； (2)先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【解】(1)当时，由已知条件可得，即，解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． (2)由(1)可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 题型08 用数学归纳法处理探究问题 【典例8】请观察下列三个式子： ①；②；③． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 【答案】【分析】观察各个式子左右两边的关系以及与正整数n的关系，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明． 【解】． 证明：①当时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边． ②假设当时，命题成立， 即； 则时， ; 所以当时命题立，由①②知，命题成立． 【变式8-1】观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题． 【分析】(1)不完全归纳得解；(2)利用数学归纳法证明即可. 【解】(1)不等式可写为：，，，， 所以归纳得到命题：(n为正整数)． (2)证明：①当n＝1时，易知命题成立； ②假设当 时，命题成立，即． 则当时， ， 即时，命题也成立． 由①②可知，． 【变式8-2】(23-24高二下·山西吕梁·期末)给出下列不等式： ， ， ， ， (1)根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；(2)用数学归纳法证明你的猜想. 【分析】(1)猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解； (2)递推部分，利用时结论，替换括号内部分 即得证. 【解】(1)观察不等式左边最后一个数分母的特点： ，，，， 猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为， 所以，不等式的一般结论为： (2)证明：①当时显然成立；    ②假设时结论成立，即：成立，   当时，    即当时结论也成立. 由①②可知对任意，结论都成立. 【变式8-3】已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，；(2)猜想，证明见解析 【解】(1)，，，， ，，， 所以，，； (2)，，， 所以猜想，证明如下： 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即，即 那么当时， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 一、单选题 1．观察下列式子： 可归纳出 小于( ) A． B． C． D． 【答案】C【解】观察前三个式子，右边分母为项数加1，分子为项数的2倍加1。如第1个式子右边为(时，，)，故归纳得，选C。 2．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当时，左边，右边，不等式成立. (2)假设当(且)时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法(    ) A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.故选：D. 3．用数学归纳法证明“”时，第二步应假设(    ) A．当时，成立 B．当时，成立 C．当时，成立 D．当时，成立 【答案】C【分析】根据，结合数学归纳法的证明步骤，即可求解. 【解】根据题意，证明的结论为“”， 所以第二步的假设应写出：假设时命题成立，即成立.故选：C. 4．利用数学归纳法证明不等式(，)的过程中，由到时，左边增加了(    ) A．1项 B．k项 C．项 D．项 【答案】D【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项. 【解】当时，左边， 当时，左边， 左边增加的项为，共项.故选：D 5．(2024高二下北京房山期末)用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】将时左边的等式除以时左边的等式即可得解. 【解】当时，左边， 当时，左边， 所以左边应添加因式为；故选：B. 6．(2024高一全国课后练习)用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成(　　) A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【答案】B【分析】注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设． 【解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；故选：B． 7．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】D【分析】根据数学归纳法求解即可. 【解】表达式的左边是从开始加到结束， 所以验证成立时等式左边计算所得项是.故选：D 8．(2024高二下辽宁大连期中)用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为( ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项.故选：A 二、多选题 9.用数学归纳法证明＂ ，则() A．首先验证的 B． 时，等式左端为 C．当 时，等式左端为 D．当 时，应当在 时对应的等式的左边 【答案】ABD【解】A. 首项验证正确； B. 时左端为，正确； C. 时左端为，错误； D. 时左端在基础上从开始，正确。 10.用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；故选：BC. 11．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是(    ) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 【答案】AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误. 【解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. 故选：AD 三、填空题 12．用数学归䚝法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是 ． 【答案】【解】时，左边为。 13．(2024高二下河南濮阳期末)用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 【答案】【分析】利用数学归纳法的步骤计算即可. 【解】把和代入等式左边分别可得： ① ② 两式作差得.故答案为： 14.用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ． 【答案】【分析】分别写出和时，等式的左端的表达式，进而得到答案. 【解】由， 当时，等式的左端， 当时，等式的左端， 所以从“第步到步”时，两边应同时加上.故答案为：. 四、解答题 15．(2024高二江苏课后作业)设，，且，用数学归纳法证明：． 【解】当时，左边，右边， 因为，所以，故左边右边，原不等式成立； 假设当时，不等式成立，即， 则当时，，，在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式也成立． 综上，对一切正整数，不等式都成立． 16．用数学归纳法证明：能被整除. 【分析】先验证时，能被整除；假设当时，能被整除，再证明能被整除，结合归纳原理可得出结论成立. 【解】证明：(1)当时，能被整除，所以结论成立； (2)假设当时结论成立，即能被整除． 则当时，， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切都成立． 17.已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：(是正整数)；(2)求数列的通项公式. 【分析】(1)先根据题意得到之间的等式关系，再证明时，符合题意，而后假设时，所证成立，最后再根据之间的关系，推出时所证成立即可；(2)根据(1)的结论，结合，可得出当时，的通项公式，再验证时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。 【解】(1)证明：因为，，成等差数列，所以， 因为，所以上式可化简为， 将带入上式可得：， 当时，，符合， 假设当时，有成立， 则当时，， 因为，所以, 所以,符合，故有成立； (2)由(1)可得，， 当时，， 因为，符合，故。 18.(2024高二下北京房山期末)已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值；(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 【分析】(1)，从而可得出， (2)猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可. 【解】(1)因为， 所以，，， . (2)猜想，下面用数学归纳法进行证明： 当时，，猜想正确， 假设当时，猜想也正确，则有， 当时，， 所以时，猜想也正确， 综上所述，. 19．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：(1)当时，显然成立； (2)假设时，成立； 则当时， 左边 右边， 所以时，等式也成立． 综合(1)(2)，由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 24 页 专题 1.4 数学归纳法 教学目标 1、理解数学归纳法的概念、掌握数学归纳法的原理步骤； 2、掌握用数学归纳法证明几种常见命题的方法技巧； 教学重难点 1、重点：(1)数学归纳法的原理；(2)用数学归纳法证明几种常见命题的方法． 2、难点：(1)数学归纳法原理的理解；(2)“证明 n = k + 1时结论也成立”. 1.定义：一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，先证明当 n 取第一个值�0时命题成立； 第二步(归纳递推)，假设当 n = k(k ∈ N∗, k ≥ n0)时命题成立，证明当 n = k + 1时命题也成立； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立． 这种证明方法叫做数学归纳法． 2.数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． (1)证明了第一步：先证明当 n 取第一个值�0时命题成立；就获得了递推的基础．(归纳奠基也称归纳基础) 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性． 在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察更多的正整数， 因为即使再考察几个正整数，对这几个正整数命题都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； 所以必须证明第二步：假设当 n = k(k ∈ N∗, k ≥ n0)时命题成立，证明当 n = k + 1时命题也成立； 第 2 页 共 24 页 (2)证明了第二步，就获得了递推的依据．(归纳递推也称归纳传递) 即：n = n0时命题成立⇒ � = �0 + 1时命题成立⇒ � = �0 + 2时命题成立⋯⋯ ⇒ � ≥ �0时命题均成立。 (3)若没有第一步就失去了递推的基础；若没有第二步就失去了递推的依据． 只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 3.数学归纳法的适用范围：只适用于证明与正整数 n(一般 n可取无穷多个值)有关的数学命题。 但是，并不能简单地说所有与正整数 n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 【即学即练 1-1】用数学归纳法证明：     1 2 2 1 1 2 1n n n       ，在验证 1n  成立时，左边所得的 代数式是( ) A．1 B．1 3 C．1 2 3  D．1 2 3 4   【答案】C【解】当 1n  时， 2 1 2 1 1 3n      ，所以左边为1 2 3  .故选：C. 【即学即练 1-2】已知 n为正偶数，用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 4 1 2 4 2n n n n             时，若已假设 n k ( 2k  ，k为偶数)时命题为真，则还需要再证( ) A． 1n k  时等式成立 B． 2n k  时等式成立 C． 2 2n k  时等式成立 D．  2 2n k  时等式成立 【答案】B【解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设 n k ( 2k  ，k为偶数)时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即 2n k  时等式成立.故选：B 1.功能： 数学归纳法将无穷的归纳过程依据归纳公理转化为有限的特殊演绎(直接验证与演绎推理相结合)的过程 1.步骤： (1)证明：当 n取第一个值�0结论正确； (2)假设当 n = k(k ∈ N∗, k ≥ n0)时结论正确，证明当 n = k + 1时结论也正确 新疆源头学子小屋特级教师王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 (3)由(1)，(2)可知，命题对于从�0开始的所有正整数 n都正确，命题得证。 2.易错点： (1)弄错起始�0:注意的是�0不一定都是 1，起始值可以是任意一个正整数(需要由题意判断�0 = ?)． (2)项数估算错误:从 n = k与 n = k + 1的关系时，项数的变化易出现错误(即跨度问题)． (3)没有利用归纳假设:如果没有归纳假设，整个证明过程也就不正确了(即伪证问题)． (4)关键步骤含糊不清：“假设 n = k时结论成立，证明 n = k + 1时结论也成立”，是数学归纳法的关键和最 重要的环节，要把推导的过程写完整，且要保证证明过程的严谨性、规范性(即规范问题)． 3.难点：“假设 n = k时结论成立，证明 n = k + 1时结论也成立”，是数学归纳法证明的难点； 突破难点的关键是：分析清楚由 n = k到 n = k + 1时，要证明命题的差异与联系，利用拆、添、并、放、 缩等手段，或从归纳假设出发，或从 n = k + 1时的式子中分离出 n = k时的式子，再进行局部调整；也可 以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 【即学即练】某同学用数学归纳法证明不等式 �2 + � < � + 1 � ∈ �∗ ，过程如下： 第 3 页 共 24 页 (1)当� = 1时， 12 + 1 < 1 + 1，不等式成立． (2)假设当� = � � ∈ �∗ ,且� ≥ 1 时，不等式成立，即 �2 + � < � + 1，则当� = � + 1时， (� + 1)2 + (� + 1) = �2 + 3� + 2 < �2 + 3� + 2 + (� + 2) = (� + 2)2 = (� + 1) + 1， ∴当� = � + 1 时，不等式成立． 根据(1)和(2)可知对任何� ∈ �∗, �2 + � < � + 1都成立．则上述证法( ) A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．� = 1的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从� = �到� = � + 1 的推理没有用到归纳假设 【答案】D【分析】根据数学归纳法的定义与证明即可判断. 【解】根据数学归纳法的证明可知当� = 1的验证正确，归纳假设正确，故 BC错误； 从� = �到� = � + 1的推理中，并没有用到� = �时的假设，故 D正确，A错误，故选：D. 1、用数学归纳法证明与正整数 n有关的恒等式； 证明要有目的性：证明恒等式时，在证 n = k + 1 时等式也成立时，应把 n = k + 1 时的结论和 n = k 时的结论进行对比，采用两边凑的方法，从而得出所要证明的式子. 2、用数学归纳法证明与正整数 n有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与 n有关的不等式时，在证 n = k + 1时等式也成立时，有时要进行一些简单的 放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 3、用数学归纳法证明与正整数 n有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，在证 n = k + 1时等式也整除时，先要从 n = k + 1时要证的式子中拼 凑出 n = k时的式子；只需要证明剩余的式子也能被整除． 4、用数学归纳法证明与正整数 n有关的几何问题； 此类问题解决的关键在于：抓住线、面、体的个数及(线线、线面、面面)交点、面面交线间的关系等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题：归纳⟶猜想⟶证明 基本步骤是：“试验—归纳—猜想—证明” (1)计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； (2)归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； (3)证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 6.由数学归纳法可得常用结论： 1 + 2 + 3 + ⋯+ n = 1 2 n(n + 1)； 12 + 22 + 32 +⋯ + �2 = 1 6 �(� + 1)(2� + 1)； 13 + 23 + 33 +⋯ + �3 = 1 4 �2(� + 1)2； 1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) = n2； 第 4 页 共 24 页 2 + 4 + 6 +⋯+ 2n = n2 + n； 【即学即练 3-1】(证明恒等式)用数学归纳法证明：对任意的正整数�, 2 + 6 + 10 + ⋯ + 4� − 2 = 2�2． 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【解】当� = 1时，左边= 2 = 2 × 12 =右边； 假设� = � � ≥ 1, 时，原等式成立，则� = � + 1时， 等式左边= 2 + 6 + 10 + ⋯ + 4� − 2 + 4� + 2 = 2�2 + 4� + 2 = 2(� + 1)2， 因此� = � + 1 时原等式也成立． 综上，∀� ∈ N*都有 2 + 6 + 10 + ⋯ + 4� − 2 = 2�2． 【即学即练 3-2】(证明不等式)(2024高三全国专题练习)证明∶不等式3 2 × 5 4 × 7 6 ×⋅⋅⋅× 2�+1 2� ≥ � + 1成立. 【分析】利用数学归纳法证明即可.【解】①当� = 1时，左边= 3 2 > 2 =右边，∴不等式成立. ②假设当� = �时不等式成立，即3 2 × 5 4 × 7 6 ×⋅⋅⋅× 2�+1 2� > � + 1. ③当� = � + 1 时，左边= 3 2 × 5 4 × 7 6 ×⋅⋅⋅× 2�+1 2� × 2�+3 2�+2 > � + 1 × 2�+3 2�+2 = (2�+3) 2 4(�+1) = 4 �+1 2+4 �+1 +1 4 �+1 = � + 1 + 1 + 1 4 �+1 > � + 1 + 1， ∴当� = � + 1 时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 【即学即练 3-3】(证明整除)用数学归纳法证明：�3 + � + 1 3 + � + 2 3能被 9整除 � ∈ �∗ . 【分析】先验证� = 1时，�3 + � + 1 3 + � + 2 3能被 9整除；假设当� = �时，�3 + � + 1 3 + � + 2 3 能被 9整除，再证明 � + 1 3 + � + 2 3 + � + 3 3能被 9整除，结合归纳原理可得出结论成立. 【解】证明：(1)当� = 1时，13 + 23 + 33 = 36能被 9整除，所以结论成立； (2)假设当� = � � ∈ �∗ 时结论成立，即�3 + � + 1 3 + � + 2 3能被 9整除． 则当� = � + 1 时， � + 1 3 + � + 2 3 + � + 3 3 = � + 1 3 + � + 2 3 + �3 + 9�2 + 27� + 27� = �3 + � + 1 3 + � + 2 3 + 9 �2 + 3� + 3 ， 因为�3 + � + 1 3 + � + 2 3能被 9整除，9 �2 + 3�2 + 3 能被 9整除， 所以， � + 1 3 + � + 2 3 + � + 3 3能被 9整除，即即� = � + 1时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切� ∈ �∗都成立． 【即学即练 3-4】(证明几何问题)已知� ≥ 2，且平面内有 n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同 一点，证明这些直线的交点的个数为�(�) = �(�−1) 2 ． 【分析】按照数学归纳法证明步骤证明即可.【解】(1)当� = 2时，两直线交点只有 1个， 又�(2) = 2(2−1) 2 = 1，所以� = 2时，命题成立； (2)假设� = � ∈ N∗且� > 2时，命题成立，即平面内满足题设的任何 k条直线交点个数�(�) = �(�−1) 2 ， 那么，当� = � + 1 时，任取一条直线 l，除 l以外其他 k条直线的交点个数为�(�) = �(�−1) 2 ， 因为任意两条直线不平行，所以直线 l与其他 k条直线的交点个数为 k， 第 5 页 共 24 页 又任意三条不过同一点，所以上面 k个交点两两不同，且与平面内其他的�(�) = �(�−1) 2 个交点也两两不同， 从而 k+1条直线共有�(�) + �个交点， 即�(� + 1) = �(�) + � = �(�−1) 2 + � = 1 2 �(� − 1 + 2) = 1 2 �(� + 1) = 1 2 (� + 1)[(� + 1) − 1]， 所以当� = � + 1时，命题成立. 综上，原命题成立. 【即学即练 3-5】(证明数列问题)(23-24高二下·北京房山·期中)已知数列 �� 中，�1 = 0且��+1 = 1 2−�� . (1)求数列 �� 的第 2，3，4项；(2)根据(1)的计算结果，猜想数列 �� 的通项公式，并用数学归纳法证明. 【分析】(1)由题意逐个计算即可得； (2)由(1)的计算结果可猜想出数列 �� 的通项公式，利用数学归纳法证明即可得. 【解】(1)由�1 = 0且��+1 = 1 2−�� ，则�2 = 1 2−�1 = 1 2 ，�3 = 1 2−�2 = 1 2−12 = 2 3 ，�4 = 1 2−�3 = 1 2−23 = 3 4 ； (2)由(1)的计算结果可猜想�� = �−1 � ，证明如下： 当� = 1时，�1 = 1−1 1 = 0，等式成立； 假设当� = �时等式成立，即有�� = �−1 � ， 则当� = � + 1 时，有��+1 = 1 2−�� = 1 2−�−1� = � �+1 ， 即当� = � + 1 时，等式成立； 故猜想�� = �−1 � 成立. 题型 01 对数学归纳法的理解 【典例 1-1】现有命题：      1 1 *1 11 2 3 4 5 6 1 14 4 2 n n nn n                   N ，用数学归纳法探究 此命题的真假情况，下列说法正确的是( ) A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件 9n  后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数m，当 n m 时，此命题为假命题 【答案】B【解】①当 1n  时，左边 1 ，右边 1 ，左边右边，即 1n  时，等式成立； ②假设  *1,n k k k  N 时，等式成立，即 1 11 11 2 3 4 5 6 ( 1) ( 1)4 4 2 k k kk                   ， 则当 1n k  时， 1 2 1 21 11 2 3 4 5 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 4 2 k k k kkk k k                         21 1( 1) 1 4 4 2 k kk           21 1 1( 1) 4 4 2 k k         ， 即当 1n k  时，等式成立． 第 6 页 共 24 页 综上，对任意 n N ，等式 1 11 11 2 3 4 5 6 ( 1) ( 1) 4 4 2 n n nn                   恒成立， 所以 ACD错误；故选：B． 【典例 1-2】(2024高二下辽宁阶段练习)利用数学归纳法证明不等式 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 3�−1 < � � ≥ 1, � ∈ N∗ 的过程中，由� = � � ≥ 1 变到� = � + 1时，左边增加了( ) A．1项 B．�项 C．3�项 D．2 × 3�项 【分析】根据题意，结合� = �变到� = � + 1 时，左边由 3� − 1 项增加到 3�+1 − 1 项，即可求解. 【解】由题意，不等式的左边中分子都为 1，分母是从 1开始到 3� − 1 ，故共有3� − 1项， 又由� = �变到� = � + 1时，左边由 3� − 1 项增加到 3�+1 − 1 项， 从而左边增加了 3�+1 − 1 − 3� − 1 = 2 × 3�项.故选：D. 【变式 1-1】用数学归纳法证明等式     3 41 2 3 3 2 n n n          N, 1n n  时，第一步验证 1n  时，左边 应取的项是( ) A．1 B．1 2 C．1 2 3  D．1 2 3 4   【答案】D【解】由数学归纳法的证明步骤可知：当 1n  时，等式的左边是1 2 3 4   .故选：D． 【变式 1-2】(2024高二下四川成都阶段练习)用数学归纳法证明“对任意的� ∈ N*，都有 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 +⋯+ 1 2�−1 − 1 2� = 1 �+1 + 1 �+2 + 1 �+3 +⋯+ 1 2� ，第一步应该验证的等式是( ) A．1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 = 1 3 + 1 4 B．1 − 1 2 + 1 3 = 1 2 + 1 3 C．1 = 1 2 + 1 2 D．1 − 1 2 = 1 2 【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 【解】在等式 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 +⋯+ 1 2�−1 − 1 2� = 1 �+1 + 1 �+2 + 1 �+3 +⋯+ 1 2� , � ∈ N*中， 当� = 1时，2� = 2，故等式的左边为 1 − 1 2 ，右边为 1 2 . 所以第一步应该验证的等式是 1 − 1 2 = 1 2 .故选：D. 【变式 1-3】已知经过同一点的 � � ∈ �∗, � ≥ 3 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这 n 个平 面将空间分成 �(�) 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由 � = � 到 � = � + 1 时，应证 明增加的空间个数为( ) A．2� B．2� + 2 C．� 2+�+2 2 D．�2 + � + 2 【答案】A【解】� = 3时，3个平面分空间为 8部分，� = 2时为 4 部分，增加 4=2×2； � = 4时，增加 6=2×3，故增加量为 2�，选 A。 题型 02 数学归纳法中的增项问题 【典例 2】(2024 高二下北京丰台期中)用数学归纳法证明“对任意的 n *N ，1 2 3 3n     3�(1+3�)2 ”，由 n k 到 1n k  时，等式左边应当增加的项为( ) A．3 1k  B． (3 1) (3 2) (3 3)k k k     C．3 3k  D． ( 1) ( 2) (3 )k k k    【答案】B【分析】分别写出 n k 和 1n k  时，左边的式子，两式作差，即可得出结果. 第 7 页 共 24 页 【解】由题意可得，当 n k 时，等式左边等于1 2 3 3k    ，共3k 项求和； 当 1n k  时，等式左边等于1 2 3 3( 1)k     ，共3 3k  项求和； 所以由n k 的假设到证明 1n k  时,等式左边应添加的式子是 (3 1) (3 2) (3 3)k k k     .故选：B. 【变式 2-1】用数学归纳法证明等式 12 + 22⋯+ (� − 1)2 + �2 + (� − 1)2 +⋯+ 22 + 12 = � 2� 2+1 3 ，当 � = � + 1 时，等式左就应在 � = � 的基础上加上( ) A．(� + 1)2 + 2�2 B．(� + 1)2 + �2 C．(� + 1)2 D．1 3 (� + 1) 2(� + 1)2 + 1 【答案】B【解】� = �时左边为12 + 22 +⋯+ �2 +⋯+ 22 + 12，� = � + 1时增加(� + 1)2 + �2，选 B。 【变式 2-2】(2024高二浙江杭州期末)用数学归纳法证明：   1 1 1 21 2 3 2 2n nf n      ≥ ( *nN )的过程中，从 n k 到 1n k  时，  1f k  比  f k 共增加了( ) A．1项 B． 2 1k  项 C． 12k 项 D． 2k 项 【答案】D【解】因为   1 1 11 2 3 2nf n      ，所以   1 1 11 2 3 2k f k      ，共 2k 项， 则   1 1 1 1 1 11 2 3 2 1 2 21k kk f k            共 12k 项， 所以  1f k  比  f k 共增加了 12 2 2k k k   项，故选：D 【变式 2-3】用数学归纳法证明等式 (� + 1)(� + 2)⋯⋯(� + �) = 2� ⋅ 1 ⋅ 3⋯⋯(2� − 1) � ∈ N∗ , 从 � 到 � + 1 左端需要增乘的代数式为( ) A． 2�+3 �+1 B． 2�+1 �+1 C．2� + 1 D．2(2� + 1) 【答案】D【解】� = �时左端为(� + 1)(� + 2)⋯(2�)，� = � + 1时为(� + 2)(� + 3)⋯(2� + 2)， 增乘 (2�+1)(2�+2) �+1 = 2(2� + 1)，选 D。 题型 03 用数学归纳法证明恒等式 【典例 3】用数学归纳法证明： 2 )1 3 5 (2 1) (n n n       N ； 【解】当 1n  时，左边 1 ，右边 21 1  ，则原等式成立； 假设当 )(n k k  N 时，原不等式成立，即 21 3 5 (2 1)k k      成立， 则当 1n k  时，      221 3 5 2 1 2 1 2 1 1k k k k k            ，即当 1n k  时原等式成立， 所以   21 3 5 2 1n n       对于任意 n N 成立. 【变式 3-1】用数学归纳法证明 1 ⋅ � + 2 ⋅ � − 1 + 3 ⋅ � − 2 + ⋯+ � ⋅ 1 = 1 6 � � + 1 � + 2 (�为正整数)． 【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当� = 1时成立，进而假设� = �时等式成立，证明� = � + 1 时，等式也成立；即可得证． 【解】设�(�) = 1 ⋅ � + 2 ⋅ (� − 1) + 3 ⋅ (� − 2) + … + (� − 1) ⋅ 2 + � ⋅ 1． ①当� = 1时，左边= 1，右边= 1 6 × 1 × 1 + 1 × 1 + 2 = 1，等式成立； ②设当� = �时等式成立， 即� � = 1 ⋅ � + 2 ⋅ (� − 1) + 3 ⋅ (� − 2) + … + (� − 1) ⋅ 2 + � ⋅ 1 = 1 6 �(� + 1)(� + 2)， 第 8 页 共 24 页 则当� = � + 1 时， �(� + 1) = 1(� + 1) + 2[(� + 1) − 1] + 3[(� + 1) − 2] + ⋯ + [(� + 1) − 2] ⋅ 3 + [(� + 1) − 1] ⋅ 2 + (� + 1) ⋅ 1 = �(�) + 1 + 2 + 3 + … + � + (� + 1) = 1 6 �(� + 1)(� + 2) + 1 2 (� + 1)(� + 1 + 1) = 1 6 (� + 1)(� + 2)(� + 3)． ∴由①②可知当� ∈ N∗时等式都成立． 【变式 3-2】用数学归纳法证明 2 3 1 2 3 22 2 2 2 2 2n n n n        ( n为正整数)． 【答案】证明见解析【分析】根据数学归纳法的步骤证明即可. 【解】当 1n  时，左侧 1 2  ，右侧 1 2 12 2 2     ，显然成立， 假设 n k 时， *2 3 1 2 3 22 ( N ) 2 2 2 2 2k k k k k      当 1n k  时， 2 3 1 1 1 2 3 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2k k k k k k k k             1 1 2 4 1 ( 1) 22 2 2 2k k k k k            ， 即当 1n k  时，等式也成立， 综上可得， * 2 3 1 2 3 22 ( N ) 2 2 2 2 2n n n n n      ． 【变式 3-3】是否存在常数 a、b、 c，使等式      2 2 2 2 2 2 4 21 1 2 2n n n n n an bn c            对任何 正整数 n都成立？证明你的结论． 【解】假设存在 a b c， ， ，使得所给等式成立． 令 1 2 3n  ，，代入等式得 0 16 4 3 81 9 18 a b c a b c a b c            ，解得 1 4 1 . 4 0 a b c          以下用数学归纳法证明等式      2 2 2 2 2 2 4 21 11 1 2 2 4 4n n n n n n n        对一切正整数 n都成立． ①当 1n  时，由以上可知等式成立； ②假设当  1, N*n k k k   时等式成立， 即      2 2 2 2 2 2 4 21 11 1 2 2 4 4k k k k k k k        ， 当 1n k  时，                2 2 2 2 22 2 21 1 1 2 1 2 1 1 1 1k k k k k k k k                             2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1k k k k k k k k k                    4 2 3 4 2 22 3 2 11 1 1 12 1 4 4 2 4 4 k k k k k k k kk k                 4 3 2 4 3 2 21 14 5 2 4 6 4 1 2 14 4k k k k k k k k k k                  4 21 11 1 4 4 k k    ． 即 1n k  时等式成立． 由①②知等式对于一切正整数 n都成立． 故存在 1 1 0 4 4 ， ，a b c    ，使等式对一切正整数 n都成立. 第 9 页 共 24 页 题型 04 用数学归纳法证明不等式 【典例 4】证明不等式 1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 � <2 � (n∈N*)． 【分析】利用数学归纳法可证明，先假设 n＝k时成立，再证明 n＝k＋1时成立即可. 【解】当 n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． 假设当 n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 � < 2 �， 当 n＝k＋1时，1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 � + 1 �+1 < 2 � + 1 �+1 = 2 � �+1+1 �+1 < ( �) 2+( �+1)2+1 �+1 = 2(�+1) �+1 = 2 � + 1， 所以当 n＝k＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意 n∈N*都成立． 【变式 4-1】用数学归纳法证明不等式：  *2 1 1 1 1 , 1 1 n n n n n        N ． 【解】证明：①当 2n  时，左边 1 1 1 13 1 2 3 4 12      ， 2n  时成立 ②假设当 ( 2)n k k  时成立，即 2 1 1 1 1 1 1 2k k k k        那么当 1n k  时，左边  2 1 1 1 1 1 2 3 1k k k k          2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 ( 1)k k k k k k k k               2 2 2 1 1 1 11 1 2 ( 1)k k k k                2 2 2 1 1 11 2 1 1 1. 2 11 k kk k k k kk             ∴ 1n k  时也成立 根据①②可得不等式对所有的 n>1都成立． 【变式 4-2】设 +1 2, , , Rnx x x  ，且 1 2 1nx x x  ，证明∶       1 22 2 2 2 1 n nx x x      . 【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法证明即可. 【解】证明：①当 1n  时， 1 1x  ，∴ 12 2 1 2 1x     成立. ②假设当  *n k k N 时命题成立， 即当 1 2 1kx x x  ，且 ix R ( 1i  ，2，…，n)时，均有       1 22 2 2 2 1 k kx x x      . ③当  *1n k k  N 时，对于 1 2 1 1kx x x   ， 若 1 2 1 1kx x x      ，则命题显然成立. 若存在 1ix  ，不妨设 1 1kx   ，则在 1 2, , , kx x x 中必存在一个数小于 1，不妨设这个数为 1kx  ， 从而    11 1 0k kx x    ，即 1 11k k k kx x x x    .把 1k kx x  看作一个整体，有      1 2 12 2 2 2k kx x x x          1 2 1 12 2 2 2 k k k kx x x x x x              1 2 1 12 2 2 2 1 k k k kx x x x x x               1 2 12 2 2 2 1k kx x x x             12 1 2 1 2 1k k      . 故原命题对 1n k  也成立. 第 10 页 共 24 页 综上可得，原命题成立. 【变式 4-3】设 1( ) (1 )nf n n n    ，其中 n为正整数． (1)求 (1)f ， (2)f ， (3)f 的值； (2)猜想满足不等式 ( ) 0f n  的正整数 n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【解】(1) 1(1) (1 1) 1 1f     ， 2 1 1(2) (1 ) 2 2 4 f     ， 3 1 17(3) (1 ) 3 3 27 f      ． (2)猜想： 3n  时， 1( ) (1 ) 0nf n n n     ， 证明：①当 3n  时， 17(3) 0 27 f    成立， ②假设当 *( 3, N )n k k k   时，猜想正确，即 1( ) (1 ) 0kf k k k     ，∴ 1(1 )k k k   ， 11 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 k k k kk k k k k k k k k k                        ， 11(1 ) 1 1 k k k      ，即 11( 1) (1 ) ( 1) 0 1 kf k k k        成立， 由①②可知，对于 3n  时， 1( ) (1 ) 0nf n n n     成立． 题型 05 用数学归纳法证明整除问题 【典例 5】设 *nN ，用数学归纳法证明： 2 2( ) 3 8 9nf n n   是 64的倍数． 【解】(1)当 1n  时，   41 3 8 9 64f     能被 64整除，命题成立． (2)假设当 n k 时， 2 2( ) 3 8 9kf k k   能够被 64整除． 当 1n k  时，    2 4 2 2 2 2( 1) 3 8( 1) 9 9 3 8 9 64 64 9 3 8 9 64( 1)k k kf k k k k k k                 ， 2 2( ) 3 8 9kf k k   能够被 64整除，  2 2( 1) 9 3 8 9 64( 1)kf k k k       能够被 64整除． 即当 1n k  时，命题也成立． 由(1)(2)可知， 2 2 *( ) 3 8 9( N )nf n n n    能被 64整除， 即 2 2( ) 3 8 9nf n n   是 64的倍数． 【变式 5-1】(2024 高二江苏)先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：  3 *5n n n N 能被哪些自然数整除？ 【答案】  3 *5n n n N 能被自然数 6，1，2，3 整除;证明见解析 【分析】先分别用 n取 1,2,3,4 时验证，则可猜想： 3 5n n 可以被 6 整除，利用数学归纳法证明即可． 【解】 1n  时，原式 6 ， 2n  时，原式 18 ， 3n  时，原式 42 ， 4n  时，原式 84 ， 这些数都可以被 6 整除，所以猜想： 3 5n n 可以被 6 整除，那么也可被 1，2,3 整除； 证明：(1)当 1n  时， 31 5 1 6   ，命题显然成立； (2)假设当  *n k k N  时， 3 5k k 能被 6 整除． 第 11 页 共 24 页 当  *1n k k N   时， 3 3 2 3( 1) 5( 1) 3 3 1 5 5 ( 5 ) 3 ( 1) 6k k k k k k k k k k              ， 其中两个连续自然数之积是偶数，它的 3 倍能被 6 整除， 由假设知 3 5k k 能被 6 整除,故 3 5k k ， 3 ( 1)k k  ，6 分别能被 6 整除， 所以当 1n k  时，命题也成立． 据(1)(2)，可知 3 5n n 可以被 6 整除． 故  3 *5n n n N 能被自然数 6,，1，2，3 整除. 【变式 5-2】用数学归纳法证明： 2 2n nx y 能被 x y 整除( Nn  ) 【解】当 1n  时，   2 2x y x y x y    ，故 2 2x y 能被 x y 整除， 假设当n k 时，结论成立，即 2 2k kx y 能被 x y 整除， 则当 1n k  时， 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 k kk kk kx x x x y x yy y y         2 2 2 2 2 2k k kx x y x y y    ， 由于 2 2k kx y 和 2 2x y 均能被 x y 整除， 故 2 2 2 2k kx y  能被 x y 整除， 综上： 2 2n nx y 能被 x y 整除( Nn  ). 【变式 5-3】已知数列 na 满足 1 0a  ， 2 1a  ，  *2 1 Nn n na a a n    ，证明：数列 na 的第 4 1m  项( *Nm ) 能被 3 整除． 【答案】证明见解析【分析】利用数学归纳法，先验证 1m  时，结论成立，再证明当m k 时，结论成立， 可推出 1m k  时也成立，即可证明结论成立. 【解】用数学归纳法证明： ①当 1m  时，    4 1 5 4 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 3ma a a a a a a a a a a a a              ，能被 3 整除． ②假设当m k 时， 4 1ka  能被 3 整除． 当 1m k  时，   4 5 4 4 4 3 4 3 4 2 4 2 4 14 1 1 k k k k k k kka a a a a a a a               4 2 4 1 4 2 4 2 4 1k k k k ka a a a a         4 2 4 13 2k ka a   , 由于假设了 4 1ka  能被 3 整除，又 4 23 ka  能被 3 整除，故 4 2 4 13 2k ka a  能被 3 整除, 因此，当 1m k  时，  4 1 1ka   也能被 3 整除． 综上可知：对一切 *Nm ，数列 na 中的第 4 1m  项都能被 3 整除． 题型 06 用数学归纳法证明几何问题 【典例 6】平面上有 ,( )3n n N n  个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线， 这样的直线共有多少条？证明你的结论． 【解】当 3n  时，过任意两个点作直线，共有 3条； 当 4n  时，设四个点为 , , ,A B C D，过 , ,A B C三点中的任意 2点的直线有三条， 过 , ,A B C三点中的任意 1点与 D点相连的直线有 3条，即共有3 3 6  条； 当 5n  时，设五个点为 1 2 3 4 5, , , ,A A A A A ，同上，过 1 2 3 4, , ,A A A A 中的任意 2点的直线有 6条， 第 12 页 共 24 页 过 1 2 3 4, , ,A A A A 中的任意 1点与 5A 的连线共有 4条，即共有 6 4 10  条； 假设当 , ( 5)n k k  ，过 k个点(任意三点不共线)中任意 2点作直线，共有 ( 1)3 3 4 ( 1) 2 k kk       条； 则当 1n k  时，共有 k+1个点 1 2 3 1, , , , ,k kA A A A A  (任意三点不共线)， 过 k个点 1 2 3, , , , kA A A A 中任意 2个作直线，共有 ( 1) 2 k k  条； 过这 k个点中的任一个点与 k 1A  相连的直线共有 k条， 因此，过这 k+1个点中的任意 2个点作直线，共有 ( 1) ( 1)( 1 1)2 2 k k k kk     ， 所以当 1n k  时，假设成立； 综上，这样的直线共有 ( 1) 2 n n  条. 【变式 6-1】用数学归纳法证明：凸�边形的内角和� � = � − 2 ⋅ 180∘ � ≥ 3, � ∈ �∗ ． 【分析】验证当� = 3时，结论成立；假设当� = � � ∈ �∗ 时，结论成立， 分析知凸� + 1 � ≥ 3, � ∈ �∗ 边形�1�2⋯����+1边形可以在以�1��为边的△ �1����+1与凸�边形�1�2⋯�� 拼接而成， 即可得出� � + 1 = � � + 180∘成立， 这说明当� = � + 1 时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【解】当� = 3时，三角形的内角和为180∘，即� 3 = 180∘ = 3 − 2 ⋅ 180∘，结论成立； 假设当� = � � ∈ �∗, � ≥ 3 时，结论成立，即� � = � − 2 ⋅ 180∘， 假设凸� + 1 � ≥ 3, � ∈ �∗ 边形�1�2⋯����+1，如下图所示： 则凸� + 1 � ≥ 3, � ∈ �∗ 边形�1�2⋯����+1边形可以在以�1��为边的△ �1����+1与凸�边形�1�2⋯��拼接 而成， 所以，� � + 1 = � � + 180∘ = � − 2 ⋅ 180∘ + 180∘ = � − 1 ⋅ 180∘， 这说明当� = � + 1 时，结论成立， 故凸�边形的内角和� � = � − 2 ⋅ 180∘ � ≥ 3, � ∈ �∗ . 【变式 6-2】(2024上海普陀模拟预测)如图，曲线�: �� = 1 � > 0 与直线�: � = �相交于�1，作�1�1 ⊥ �交� 轴于�1，作�1�2//�交曲线�于�2，……，以此类推. 第 13 页 共 24 页 (1)写出点�1, �2, �3和�1, �2, �3的坐标；(2)猜想�� � ∈ �∗ 的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【分析】(1)将直线� = �，曲线�� = 1方程联立，由� > 0即可求得�1，由垂直关系可得直线�1�1方程，令 � = 0即可求得�1坐标，依次类推即可求得结果；(2)由(1)可归纳出�� � + � − 1, � − � − 1 ；设 �� ��, �� ，��−1 ��−1, ��−1 ，由直线��−1��−1方程可求得��−1坐标，由直线����−1斜率为 1可推导得到递 推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论. 【解】(1)由 � = � �� = 1 � > 0 得： � = 1 � = 1，即�1 1,1 ； ∴直线�1�1方程为：� − 1 =− � − 1 ，即� + � − 2 = 0， 令� = 0，解得：� = 2，∴ �1 2,0 ； ∴直线�2�1方程为：� = � − 2，由 � = � − 2 �� = 1 � > 0 得： � = 2 + 1 � = 2 − 1 ，即�2 2 + 1, 2 − 1 ； ∴直线�2�2方程为：� − 2 + 1 =− � − 2 − 1 ，即� + � − 2 2 = 0， 令� = 0，解得：� = 2 2，∴ �2 2 2, 0 ； ∴直线�3�2方程为：� = � − 2 2， 由 � = � − 2 2 �� = 1 � > 0 得： � = 3 + 2 � = 3 − 2 ，即�3 3 + 2, 3 − 2 ； ∴直线�3�3方程为� − 3 + 2 =− � − 3 − 2 ，即� + � − 2 3 = 0， 令� = 0，解得：� = 2 3，∴ �3 2 3, 0 ； (2)由(1)猜想�� � ∈ �∗ 的坐标为�� � + � − 1, � − � − 1 ， 设�� ��, �� ，��−1 ��−1, ��−1 ，则直线��−1��−1的方程为：� − ��−1 =− � − ��−1 ， 令� = 0，解得：� = ��−1 + ��−1，∴ ��−1 ��−1 + ��−1, 0 ， ∵直线����−1的斜率为 1，即 �� ��−��−1−��−1 = 1，即�� − ��−1 = �� + ��−1，∴ 1 �� + 1 ��−1 = �� − ��−1， 用数学归纳法证明��的坐标如下： ①当� = 1时，�1 1,1 满足�� � + � − 1, � − � − 1 ； ②假设当� = �时，�� � + � − 1, � − � − 1 成立， 那么当� = � + 1时，由 1 ��+1 − 1 �� = ��+1 − ��得： 1 ��+1 − 1 �+ �−1 = ��+1 − � + � + 1 ，解得：��+1 = � + � + 1， 即当� = � + 1 时，�� � + � − 1, � − � − 1 成立； 综上所述：�� � + � − 1, � − � − 1 . 【变式 6-3】在平面上画 n条直线，且任何 2条直线都相交，其中任何 3条直线不共点.问：这 n条直线将平 面分成多少个部分？ 【分析】通过� = 1，2，3，4，5的结果归纳出�� = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ �，再用数学归纳法证明. 【解】记 n条直线把平面分成��个部分，我们通过� = 1，2，3，4，5，画出图形观察��的情况(如图) 第 14 页 共 24 页 从图中可以看出， �1 = 2 = 1 + 1， �2 = 4 = �1 + 2 = 1 + 1 + 2， �3 = 7 = �2 + 3 = 1 + 1 + 2 + 3， �4 = 11 = �3 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4， �5 = 16 = �4 + 5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5. 由此猜想�� = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ �. 接下来用数学归纳法证明这个猜想. (1)当� = 1，2时，结论均成立. (2)假设当� = �时结论成立，即�� = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ �. 那么，当� = � + 1 时，第 k+1条直线与前面的 k条直线都相交，有 k个交点， 这 k个交点将这条直线分成 k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以��+1 = �� + (� + 1) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ � + (� + 1)，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对� ∈ �∗，都有�� = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ �， 即�� = 1 + �(�+1) 2 . 题型 07 用数学归纳法证明数列问题 【典例 7】已知数列 na 的首项 1 1a  ，且��+1 = �� 1+�� (� = 1,2,3, ⋯)，试猜想出这个数列的通项公式，并用 数学归纳法证明． 【解】 1 1a  ， 2 1 2 a  ， 3 1 3 a  ， 4 1 4 a  ，…， 猜想： 1 na n  ．证明如下： (1)当 1n  时， 1 1a  ，猜想成立； (2)假设当  *n k k N 时，猜想成立，即 1ka k ， 则当 1n k  时， 1 1 1 11 11 k k k a ka a k k      ， 所以当 1n k  时， 1 1 1k a k   猜想也成立． 综合(1)(2)，可知猜想 1 na n  对于任意 *nN 都成立． 【变式 7-1】(2024 高二上浙江杭州期末)已知数列 na 满足 1 1a  ，  1 1 0 Nn n n na a a a n      . 第 15 页 共 24 页 (1)求 2a ， 3a ， 4a ；(2)试猜想数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明. 【分析】(1)首先根据题意得到 1 1 n n n aa a   ，再求 2 a ， 3a ， 4a 即可. (2)首先猜想数列 na 的通项公式为 1 na n  ，再利用数学归纳法证明即可. 【解】(1)由 1 1 0n n n na a a a    可知 1 1 n n n aa a   ， 当 1n  时，代入 1 1a  ，解得 2 1 2 a  ； 当 2n  时，代入 2 1 2 a  ，解得 3 1 3 a  ； 当 3n  时，代入 3 1 3 a  ，解得 4 1 4 a  ； (2)猜想数列 na 的通项公式为 1 na n  . 当 1n  时，左边 1 1a  ，右边 1 1 1   ， 1 na n  成立. (2)假设当  Nn k k   时， 1ka k 成立. 则当 1n k  时，有 1 1 1 11 11 k k k a ka a k k      ， 即当 1n k  时， 1 na n  也成立. 所以 1 na n  对任何 Nn  都成立. 【变式 7-2】设数列 na 满足 1 2a  ，且 21 1n n na a na    (n为正整数)． (1)求 2a ， 3a ， 4a ，并由此猜想出 na 的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【解】(1)由 1 2a  ，得 21 12 1 3a a a    ， 由 2 3a  ，得 23 2 22 1 4a a a    ， 由 3 4a  ，得 4 3 3 2 3 1 5a a a    ， 由此猜想 na 的一个通项公式： 1na n  (n为正整数)； (2)用数学归纳法证明：①当 1n  ， 1 2a  满足 1na n  ，命题成立； 假设当n k (k为正整数)时命题成立， 即 1ka k  ，则当 1n k  时，    221 1 1 1 1 2k k ka a ka k k k k           ， 命题仍然成立，由①和②可知： 1na n  (n为正整数)． 第 16 页 共 24 页 【变式 7-3】)已知正项数列 �� 的前�项和为��，满足�� + 1 = ��2+2 2�� ． (1)求出数列 �� 的前三项；(2)根据数列 �� 的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【分析】(1)分别将� = 1, � = 2, � = 3代入求解即可； (2)先猜想通项公式，再应用数学归纳法及�� = �� − ��−1证明即可. 【解】(1)当� = 1时，由已知条件可得�1 + 1 = �1 2+2 2�1 ，即�12 + 2�1 − 2 = 0，解得�1 = 3 − 1 �1 > 0 ； 当� = 2时，由已知条件可得�1 + �2 + 1 = �2 2+2 2�2 ，将�1 = 3 − 1代入得�22 + 2 3�2 − 2 = 0， 解得�2 = 5 − 3 �2 > 0 ； 当� = 3时，由已知条件可得�1 + �2 + �3 + 1 = �3 2+2 2�3 ，同理解得�3 = 7 − 5 �3 > 0 ． (2)由(1)可以猜想�� = 2� + 1 − 2� − 1，� = 1,2,3时，等式成立； 假设当� = � � > 3, � ∈ N* 时，等式也成立，即�� = 2� + 1 − 2� − 1， 又因为��+1 = ��+1 − �� = ��+1 2 + 1 ��+1 − �� 2 − 1 �� ， 将�� = 2� + 1 − 2� − 1代入上式解得��+1 = 2� + 3 − 2� + 1 �� > 0 ， 所以� = � + 1 时命题成立． 综合可得，当� ∈ N*时，�� = 2� + 1 − 2� − 1 � ∈ N* ． 题型 08 用数学归纳法处理探究问题 【典例 8】请观察下列三个式子： ① 1 2 91 3 6     ；② 2 3 111 3 2 4 6       ；③ 3 4 131 3 2 4 3 5 6         ． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 【答案】1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ⋯ + n(n + 2) = 1 6 n(n + 1)(2n + 7)【分析】观察各个式子左右两边的关系 以及与正整数 n 的关系，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明． 【解】1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ⋯+ n(n + 2) = 1 6 n(n + 1)(2n + 7)． 证明：①当 1n  时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边． ②假设当  , 1n k k k  N 时，命题成立， 即 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ⋯ + k(k + 2) = 1 6 k(k + 1)(2k + 7)； 则 1n k  时，1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ⋯ + k(k + 2) + (k + 1)(k + 3) = 1 6 k(k + 1)(2k + 7) + (k + 1)(k + 3) = 1 6 (k + 1) k(2k + 7) + 6(k + 3) = 1 6 (k + 1)(2k2 + 13k + 18) = 1 6 (k + 1)(k + 2) 2(k + 1) + 7 ; 所以当 1n k  时命题立，由①②知，命题成立． 【变式 8-1】观察下列不等式：5 + 3 ≥ 8，25 + 9 ≥ 32，125 + 27 ≥ 128，625 + 81 ≥ 512，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数 n的命题； (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题． 【分析】(1)不完全归纳得解；(2)利用数学归纳法证明即可. 第 17 页 共 24 页 【解】(1)不等式可写为：5 + 3 ≥ 23，52 + 32 ≥ 25，53 + 33 ≥ 27，54 + 34 ≥ 29， 所以归纳得到命题：5� + 3� ≥ 22�+1(n为正整数)． (2)证明：①当 n＝1时，易知命题成立； ②假设当� = � (� ≥ 1, � ∈ N∗)时，命题成立，即5� + 3� ≥ 22�+1． 则当� = � + 1 时，5�+1 + 3�+1 = 5 × 5� + 3 × 3� = 4+ 1 × 5� + 4 − 1 × 3� = 4 × 5� + 3� + 5� − 3� ≥ 4 × 22�+1 + 5� − 3� ≥ 22 �+1 +1， 即� = � + 1时，命题也成立． 由①②可知，5� + 3� ≥ 22�+1． 【变式 8-2】(23-24高二下·山西吕梁·期末)给出下列不等式： 1 > 1 2 ， 1 + 1 2 + 1 3 > 1， 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 > 3 2 ， 1 + 1 2 + 1 3 +⋯⋯+ 1 15 > 2， (1)根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；(2)用数学归纳法证明你的猜想. 【分析】(1)猜想不等式左边最后一个数分母2�−1，对应各式右端为� 2 ，即得解； (2)递推部分，利用� = �时结论，替换括号内部分 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +⋯⋯+ 1 2�−1 + 1 2� +⋯⋯+ 1 2�+1−2 + 1 2�+1−1 > � 2 + 1 2� + 1 2�+1 +⋯+ 1 2�+1−2 + 1 2�+1−1 即得证. 【解】(1)观察不等式左边最后一个数分母的特点： 1 = 21 − 1，3 = 22 − 1，7 = 23 − 1，15 = 24 − 1， 猜想不等式左边最后一个数分母2�−1，对应各式右端为� 2 ， 所以，不等式的一般结论为：1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 1 2�−1 > � 2 (� ∈ �∗) (2)证明：①当� = 1时显然成立； ②假设� = �时结论成立，即：1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 1 2�−1 > � 2 成立， 当� = � + 1时，1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +⋯⋯+ 1 2�−1 + 1 2� +⋯⋯+ 1 2�+1−2 + 1 2�+1−1 > � 2 + 1 2� + 1 2�+1 +⋯+ 1 2�+1−2 + 1 2�+1−1 > � 2 + 2� × 1 2�+1 = � 2 + 1 2 = �+1 2 即当� = � + 1 时结论也成立. 由①②可知对任意 n ∈ �∗，结论都成立. 【变式 8-3】已知函数   , , 2 x x f x xf x          为正奇数 为正偶数 . (1)依次求  2f ，    3 4f f ，        5 6 7 8f f f f   的值； (2)对任意正整数 n，记          1 1 1 12 1 2 2 2 3 2 4 2n n n n nna f f f f f             ，即   12 1 1 2 n n n i a f i      .猜想 数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)  2 1f  ，    3 4 4f f  ，        5 6 7 8 16f f f f    ；(2)猜想 14nna  ，证明见解析 【解】(1)    2 1 1f f  ，  3 3f  ，    4 2 1f f  ，  5 5f  ，    6 3 3f f  ，  7 7f  ，    8 4 1f f  ， 第 18 页 共 24 页 所以  2 1f  ，    3 4 3 1 4f f    ，        5 6 7 8 5 3 7 1 16f f f f        ； (2)  1 2 1a f  ，    2 3 4 4a f f   ，        3 5 6 7 8 16a f f f f     ， 所以猜想 14nna  ，证明如下： 当 1n  时， 01 4 1a   ，成立， 假设当n k 时，命题成立，即 14kka  ，即          1 1 1 12 1 2 2 2 3 2 4 2k k k k kka f f f f f             那么当 1n k  时，        11 2 1 2 2 2 4 2k k k kka f f f f                     2 1 2 3 2 2 1 2 2 2 4 2 2k k k k k k k kf f f f f f                                 1 12 1 2 3 2 2 1 2 1 2 2 2k k k k k k kf f f                   11 12 1 2 12 2 4 2 k k k k k          2 1 2 2 12 2 4k k k      1 1 4 4 4 4 4 2 4 4 k k k kk       ， 所以当 1n k  时，猜想成立， 综合以上可知，当 *Nn 时， 14nna  成立. 1．观察下列式子： 1 + 1 22 < 3 2 , 1 + 1 22 + 1 32 < 5 3 , 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 < 7 4 , ⋯, 可归纳出 1 + 1 22 + 1 32 +⋯ + 1 (�+1)2 小 于( ) A． � �+1 B． 2�−1 �+1 C． 2�+1 �+1 D． 2� �+1 【答案】C【解】观察前三个式子，右边分母为项数加1，分子为项数的2倍加1。如第1个式子右边为 3 2 (� = 1时， 2 × 1 + 1 = 3，1 + 1 = 2)，故归纳得 1 + 1 22 + 1 32 +⋯+ 1 (�+1)2 < 2�+1 �+1 ，选 C。 2．对于不等式  2 1n n n n    N ，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当 1n  时，左边 21 1  ，右边1 1 ，不等式成立. (2)假设当n k ( 1k  且 k N )时，不等式成立，即 2 1k k k   ， 那么当 1n k  时，      2 2 21 1 3 2 3 2 2k k k k k k k              22 1 1k k     ， 所以当 1n k  时，不等式成立，则上述证法( ) A．过程全部正确 B． 1n  验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从 n k 到 1n k  的推理不正确 【答案】D【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【解】在 1n k  时，没有应用 n k 时的归纳假设，不是数学归纳法.故选：D. 3．用数学归纳法证明“  22 N , 4n n n n   ”时，第二步应假设( ) A．当  N , 2n k k k   时， 22k k≥ 成立 B．当  N , 3n k k k   时， 22k k≥ 成立 第 19 页 共 24 页 C．当  N , 4n k k k   时， 22k k≥ 成立 D．当  N , 5n k k k   时， 22k k≥ 成立 【答案】C【分析】根据 N , 4n n  ，结合数学归纳法的证明步骤，即可求解. 【解】根据题意，证明的结论为“  22 N , 4n n n n   ”， 所以第二步的假设应写出：假设  N , 4n k k k   时命题成立，即 22k k≥ 成立.故选：C. 4．利用数学归纳法证明不等式 1 1 11 2 3 2 1n n       ( 2n  ， *Nn )的过程中，由 n k 到 1n k  时，左边增 加了( ) A．1 项 B．k 项 C． 12k 项 D． 2k 项 【答案】D【分析】利用数学归纳法，分别写出 n k 和 1n k  的式子，作差能够得到增加的项. 【解】当 n k 时，左边 1 1 11 2 3 2 1k        ， 当 1n k  时，左边 1 1 1 1 1 1 11 2 3 2 1 2 2 1 2 1k k k k               ， 左边增加的项为 1 1 1 1 2 2 1 2 1k k k        ，共 2k 项.故选：D 5．(2024 高二下北京房山期末)用数学归纳法证明           1 2 *1 1 2 2 3 3 2nn n n n n       N ，从n k 到 1n k  ，左边需要增加的因式是( ) A． 2 1k  B．  2 1k  C．  1k k  D．   1 1k k  【答案】B【分析】将 1n k  时左边的等式除以 n k 时左边的等式即可得解. 【解】当 n k 时，左边      1 1 2 2 3 3 k k     ， 当 1n k  时，左边       1 1 2 2 3 3 +1 +1k k k k      ， 所以左边应添加因式为  2 1k  ；故选：B. 6．(2024 高一全国课后练习)用数学归纳法证明“当 n为正奇数时， n nx y 能被 x y 整除”，第二步归纳假设 应写成( ) A．假设 *2 1( N )n k k   正确，再推 2 3n k  正确 B．假设 *2 1( N )n k k   正确，再推 2 1n k  正确 C．假设 *( N )n k k  正确，再推 1n k  正确 D．假设 ( 1)n k k  正确，再推 2n k  正确 【答案】B【分析】注意 n 为正奇数，观察第一步取到 1，即可推出第二步的假设． 【解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意 n 为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设 *2 1( N )n k k   正确，再推 2 1n k  正确；故选：B． 7．用数学归纳法证明“   3 2 3 12 1 1 1 1 n n aaa a a a         ”，验证 1n  成立时等式左边计算所得项是( ) A．1 B．1 a C． 21 a a  D． 2 3 41 a a a a    【答案】D【分析】根据数学归纳法求解即可. 第 20 页 共 24 页 【解】表达式的左边是从1开始加到 3 1na  结束， 所以验证 1n  成立时等式左边计算所得项是 2 3 41 a a a a    .故选：D 8．(2024 高二下辽宁大连期中)用数学归纳法证明“  *1 1 11 N , 12 3 2 1n n n n       ”的过程中，从  *( N , 1n k k k   到 1n k  时，左边增加的项数为( ) A． 2k B． 2 1k  C． 12k D． k 【答案】A【分析】根据 n k 和 1n k  时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【解】n k 时，可得： 1 1 11 2 3 2 1k k       1n k  时，可得： 1 1 11 112 3 2 1 kk        ， 故增加了 12 1 (2 1) 2k k k     项.故选：A 9.用数学归纳法证明＂ 1 + 2 + 3 + … + �3 = � 5+�3 2 , � ∈ �∗ " ，则() A．首先验证的 �0 = 1 B．n = k 时，等式左端为 1 + 2 + 3 + …… + k3 C．当 � = � + 1 时，等式左端为 1 + 2 + 3 + … + (� + 1)2 D．当 � = � + 1 时，应当在 � = � 时对应的等式的左边 �3 + 1 【答案】ABD【解】A. 首项� = 1验证正确； B. � = �时左端为 1 + 2 + ⋯ + �3，正确； C. � = � + 1时左端为 1 + 2 + ⋯+ (� + 1)3，错误； D. � = � + 1时左端在� = �基础上从�3 + 1开始，正确。 10.用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 13 1 2 3 24           n n n n n 的过程中，下列说法正确的是( ) A．使不等式成立的第一个自然数 0 1n  B．使不等式成立的第一个自然数 0 2n  C． n k 推导 1n k  时，不等式的左边增加的式子是    1 2 1 2 2k k  D． n k 推导 1n k  时，不等式的左边增加的式子是    1 2 2 2 3k k  【答案】BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【解】当 1n  时，可得 1 132 24 ；当 2n  时，可得 1 1 14 13 3 4 24 24    ； 即使不等式成立的第一个自然数 0 2n  ，故 A 错误，B 正确； 当n k 时，可得 1 1 1 1 1 2 3k k k k k          ； 当 1n k  时，可得 1 1 1 1 12 3 2 1 2 2k k k k k k         ； 第 21 页 共 24 页 两式相减得：    1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2k k k k k         ， 所以 n k 推导 1n k  时，不等式的左边增加的式子是    1 2 1 2 2k k  ，故 C 正确，D 错误；故选：BC. 11．已知一个命题 p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当 n＝1，2，…，1000 时，p(k)成立，且当 n＝1001 时也成立，则 下列判断中正确的是( ) A．p(k)对 k＝528 成立 B．p(k)对每一个自然数 k都成立 C．p(k)对每一个正偶数 k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 【答案】AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误. 【解】由题意知 p(k)对 k＝2，4，6，…，2002 成立，当 k取其他值时不能确定 p(k)是否成立，故选 AD. 故选：AD 12．用数学归䚝法证明等式 1 + 2 + 3 + ⋯ + (� + 3) = (�+3)(�+4) 2 � ∈ N∗ 时，第一步验证 � = 1 时，左边 应取的项是 ． 【答案】1 + 2 + 3 + 4【解】� = 1时，左边为 1 + 2 + 3 + (1 + 3) = 1 + 2 + 3 + 4。 13．(2024 高二下河南濮阳期末)用数学归纳法证明 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1)1 2 ( 1) ( 1) + 2 1 3 n nn n n            时，从 “ k 到 1k  ”左边需要增加的代数式是 【答案】 2 2( 1)k k  【分析】利用数学归纳法的步骤计算即可. 【解】把 n k 和 1n k  代入等式左边分别可得： 2 2 2 2 2 2 21 2 ( 1) ( 1) + 2 1k k k          ①  22 2 2 2 2 2 2 21 2 ( 1) 1 ( 1) + 2 1k k k k k             ② 两式作差得 2 2( 1)k k  .故答案为： 2 2( 1)k k  14.用数学归纳法证明命题：  2 2 2 2 1 2 1 *( 1)1 2 3 4 ( 1) ( 1) N2 n n n nn n           ，从“第 k步到 1k  步”时，两边 应同时加上 ． 【答案】 2( 1) ( 1)k k  【分析】分别写出 n k 和 1n k  时，等式的左端的表达式，进而得到答案. 【解】由  2 2 2 2 1 2 1 *( 1)1 2 3 4 ( 1) ( 1) N2 n n n nn n           ， 当n k 时，等式的左端 2 2 2 2 1 21 2 3 4 ( 1) k k       ， 当 1n k  时，等式的左端 2 2 2 2 1 2 21 2 3 4 ( 1) ( (1) 1)k kk k         ， 所以从“第 k步到 1k  步”时，两边应同时加上 2( 1) ( 1)k k  .故答案为： 2( 1) ( 1)k k  . 15．(2024 高二江苏课后作业)设 0x  ， *nN ，且 2n  ，用数学归纳法证明： (1 ) 1nx nx   ． 【解】当 2n  时，左边 21 2x x   ，右边 1 2x  ， 因为 0x  ，所以 2 0x  ，故左边右边，原不等式成立； 第 22 页 共 24 页 假设当n k 时，不等式成立，即 (1 ) 1kx kx   ， 则当 1n k  时， 0x > ， 1 0x   ，在不等式 (1 ) 1kx kx   两边同乘以1 x 得 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)kx x kx x k x kx k x             ， 所以 1(1 ) 1 ( 1)kx k x    ．即当 1n k  时，不等式也成立． 综上，对一切正整数 n，不等式都成立． 16．用数学归纳法证明：    3 33 1 2n n n    能被9整除  n N  . 【分析】先验证 1n  时，    3 33 1 2n n n    能被9整除；假设当n k 时，    3 33 1 2k k k    能被9整除， 再证明      3 3 31 2 3k k k     能被9整除，结合归纳原理可得出结论成立. 【解】证明：(1)当 1n  时， 3 3 31 2 3 36   能被9整除，所以结论成立； (2)假设当  n k k N   时结论成立，即    3 33 1 2k k k    能被9整除． 则当 1n k  时，          3 3 3 3 3 3 21 2 3 1 2 9 27 27k k k k k k k k k                  3 33 21 2 9 3 3k k k k k        ， 因为    3 33 1 2k k k    能被9整除，  2 29 3 3k k  能被9整除， 所以，      3 3 31 2 3k k k     能被9整除，即即 1n k  时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切 n N  都成立． 17.已知数列 na 满足 1 1a  ，设该数列的前 n项和为 nS ，且 nS ， 1nS  ， 12a 成等差数列. (1)用数学归纳法证明： 1 2 1 2 n n nS    ( n是正整数)；(2)求数列 na 的通项公式. 【分析】(1)先根据题意得到 1,n nS S 之间的等式关系，再证明 1n  时，符合题意，而后假设 n k 时，所证成 立，最后再根据 1 1, ,n n nS S a  之间的关系，推出 1n k  时所证成立即可；(2)根据(1)的结论，结合 1n n na S S   ， 可得出当 2n  时， na 的通项公式，再验证 1n  时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。 【解】(1)证明：因为 nS ， 1nS  ， 12a 成等差数列，所以 1 122 n nS S a   ， 因为 1 1a  ，所以上式可化简为 12 2n nS S   ， 将 1 1n n nS S a   带入上式可得： 1 1 2n nS a   ， 当 1n  时， 1 1 1 1 1 2 1 1 2 S a     ，符合 1 2 1 2 n n nS    ， 假设当n k 时，有 1 2 1 2 k k kS    成立， 则当 1n k  时， 1 1k k kS S a   ， 因为 1 1 2n nS a   ，所以 1 12k kk SS S     , 所以 1 1 2 1 2 11 1 2 2 2 k k k k k k SS          ,符合 1 2 1 2 n n nS    ，故有 1 2 1 2 n n nS    成立； (2)由(1)可得 1 2 1 2 n n nS    ， 1 1 1a S  ， 第 23 页 共 24 页 当 2n  时， 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 n n n n n n n na S S             ， 因为 1 1a  ，符合 1 1 2n n a  ，故 1 1 2n n a  。 18.(2024 高二下北京房山期末)已知数列 na 的通项公式为 1 1n a n n    ，记该数列的前 n项和为 nS ． (1)计算 1S ， 2S ， 3S ， 4S 的值；(2)根据计算结果，猜想 nS 的表达式，并进行证明． 【分析】(1) 1 1 1n a n n n n       ，从而可得出 1 2 3 4, , ,S S S S ， (2)猜想 *1 1, NnS n n    ，然后根据数学归纳法的步骤证明即可. 【解】(1)因为 1 1 1n a n n n n       ， 所以 1 2 1S   ， 2 3 2 2 1 3 1S       ， 3 4 3 3 2 2 1 4 1 1S          ， 4 5 4 4 3 3 2 2 1 5 1S           . (2)猜想 *1 1, NnS n n    ，下面用数学归纳法进行证明： 当 1n  时， 1 1 1 1 2 1S      ，猜想正确， 假设当  *2, Nn k k k   时，猜想也正确，则有 1 1kS k   ， 当 1n k  时， 1 1 2 1 1 1 2 1k k kS S a k k k k             ， 所以 1n k  时，猜想也正确， 综上所述， 1 1nS n   . 19．是否存在常数 a、b，使等式         11 2 1 3 2 1 2 1 6 n n n n n n n a n b                对一切正整数 n 都成立？若存在，求出 a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【解】存在．将 1n  ， 2n  分别代入等式，得 11 1 ( 1)( 1) 6 11 2 2 1 2( 2)( 2) 6 a b a b                 ， 即 3 2 a b ab     ，所以 1 2 a b    或 2 1 a b    . 猜测         11 2 1 3 2 1 2 1 1 2 6 n n n n n n n n                对一切正整数都成立． 证明：(1)当 1n  时，显然成立； (2)假设 n k 时，         11 2 1 3 2 1 2 1 1 2 6 k k k k k k k k              成立； 则当 1n k  时， 左边    1 2 3 1 2k k k k           1 1k          1 2 1 3 2 1 2 1 1 2 3 1k k k k k k k                      第 24 页 共 24 页           1 1 11 2 1 2 3 1 1 2 2 1 6 6 2 k k k k k k k k k k                     1 1 2 3 6 k k k    右边， 所以 1n k  时，等式也成立． 综合(1)(2)，由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数 n都成立． 第 1 页 共 16 页 专题 1.4 数学归纳法 教学目标 1、理解数学归纳法的概念、掌握数学归纳法的原理步骤； 2、掌握用数学归纳法证明几种常见命题的方法技巧； 教学重难点 1、重点：(1)数学归纳法的原理；(2)用数学归纳法证明几种常见命题的方法． 2、难点：(1)数学归纳法原理的理解；(2)“证明 n = k + 1 时结论也成立”. 1.定义：一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，先证明当 n 取第一个值�0时命题成立； 第二步(归纳递推)，假设当 n = k(k ∈ N∗, k ≥ n0)时命题成立，证明当 n = k + 1 时命题也成立； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立． 这种证明方法叫做数学归纳法． 2.数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． (1)证明了第一步：先证明当 n 取第一个值�0时命题成立；就获得了递推的基础．(归纳奠基也称归纳基础) 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性． 在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察更多的正整数， 因为即使再考察几个正整数，对这几个正整数命题都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； 所以必须证明第二步：假设当 n = k(k ∈ N∗, k ≥ n0)时命题成立，证明当 n = k + 1 时命题也成立； 第 2 页 共 16 页 (2)证明了第二步，就获得了递推的依据．(归纳递推也称归纳传递) 即：n = n0时命题成立⇒ � = �0 + 1时命题成立⇒ � = �0 + 2时命题成立⋯⋯ ⇒ � ≥ �0时命题均成立。 (3)若没有第一步就失去了递推的基础；若没有第二步就失去了递推的依据． 只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 3.数学归纳法的适用范围：只适用于证明与正整数 n(一般 n可取无穷多个值)有关的数学命题。 但是，并不能简单地说所有与正整数 n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 【即学即练 1-1】用数学归纳法证明：     1 2 2 1 1 2 1n n n       ，在验证 1n  成立时，左边所得的 代数式是( ) A．1 B．1 3 C．1 2 3  D．1 2 3 4   【即学即练 1-2】已知 n为正偶数，用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 4 1 2 4 2n n n n             时，若已假设 n k ( 2k  ，k为偶数)时命题为真，则还需要再证( ) A． 1n k  时等式成立 B． 2n k  时等式成立 C． 2 2n k  时等式成立 D．  2 2n k  时等式成立 1.功能： 数学归纳法将无穷的归纳过程依据归纳公理转化为有限的特殊演绎(直接验证与演绎推理相结合)的过程 1.步骤： (1)证明：当 n取第一个值�0结论正确； (2)假设当 n = k(k ∈ N∗, k ≥ n0)时结论正确，证明当 n = k + 1时结论也正确 新疆源头学子小屋特级教师王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 (3)由(1)，(2)可知，命题对于从�0开始的所有正整数 n都正确，命题得证。 2.易错点： (1)弄错起始�0:注意的是�0不一定都是 1，起始值可以是任意一个正整数(需要由题意判断�0 = ?)． (2)项数估算错误:从 n = k与 n = k + 1的关系时，项数的变化易出现错误(即跨度问题)． (3)没有利用归纳假设:如果没有归纳假设，整个证明过程也就不正确了(即伪证问题)． (4)关键步骤含糊不清：“假设 n = k时结论成立，证明 n = k + 1时结论也成立”，是数学归纳法的关键和最 重要的环节，要把推导的过程写完整，且要保证证明过程的严谨性、规范性(即规范问题)． 3.难点：“假设 n = k时结论成立，证明 n = k + 1 时结论也成立”，是数学归纳法证明的难点； 突破难点的关键是：分析清楚由 n = k到 n = k + 1 时，要证明命题的差异与联系，利用拆、添、并、放、 缩等手段，或从归纳假设出发，或从 n = k + 1时的式子中分离出 n = k时的式子，再进行局部调整；也可 以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 【即学即练】某同学用数学归纳法证明不等式 �2 + � < � + 1 � ∈ �∗ ，过程如下： (1)当� = 1时， 12 + 1 < 1 + 1，不等式成立． (2)假设当� = � � ∈ �∗ ,且� ≥ 1 时，不等式成立，即 �2 + � < � + 1，则当� = � + 1 时， 第 3 页 共 16 页 (� + 1)2 + (� + 1) = �2 + 3� + 2 < �2 + 3� + 2 + (� + 2) = (� + 2)2 = (� + 1) + 1， ∴当� = � + 1 时，不等式成立． 根据(1)和(2)可知对任何� ∈ �∗, �2 + � < � + 1 都成立．则上述证法( ) A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．� = 1 的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从� = �到� = � + 1 的推理没有用到归纳假设 1、用数学归纳法证明与正整数 n有关的恒等式； 证明要有目的性：证明恒等式时，在证 n = k + 1 时等式也成立时，应把 n = k + 1 时的结论和 n = k 时的结论进行对比，采用两边凑的方法，从而得出所要证明的式子. 2、用数学归纳法证明与正整数 n有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与 n有关的不等式时，在证 n = k + 1时等式也成立时，有时要进行一些简单的 放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 3、用数学归纳法证明与正整数 n有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，在证 n = k + 1 时等式也整除时，先要从 n = k + 1 时要证的式子中拼 凑出 n = k时的式子；只需要证明剩余的式子也能被整除． 4、用数学归纳法证明与正整数 n有关的几何问题； 此类问题解决的关键在于：抓住线、面、体的个数及(线线、线面、面面)交点、面面交线间的关系等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题：归纳⟶猜想⟶证明 基本步骤是：“试验—归纳—猜想—证明” (1)计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； (2)归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； (3)证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 6.由数学归纳法可得常用结论： 1 + 2 + 3 + ⋯+ n = 1 2 n(n + 1)； 12 + 22 + 32 +⋯ + �2 = 1 6 �(� + 1)(2� + 1)； 13 + 23 + 33 +⋯ + �3 = 1 4 �2(� + 1)2； 1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) = n2； 2 + 4 + 6 +⋯+ 2n = n2 + n； 【即学即练 3-1】(证明恒等式)用数学归纳法证明：对任意的正整数�, 2 + 6 + 10 + ⋯ + 4� − 2 = 2�2． 第 4 页 共 16 页 【即学即练 3-2】(证明不等式)(2024高三全国专题练习)证明∶不等式3 2 × 5 4 × 7 6 ×⋅⋅⋅× 2�+1 2� ≥ � + 1成立. 【即学即练 3-3】(证明整除)用数学归纳法证明：�3 + � + 1 3 + � + 2 3能被 9整除 � ∈ �∗ . 【即学即练 3-4】(证明几何问题)已知� ≥ 2，且平面内有 n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同 一点，证明这些直线的交点的个数为�(�) = �(�−1) 2 ． 【即学即练 3-5】(证明数列问题)(23-24高二下·北京房山·期中)已知数列 �� 中，�1 = 0 且��+1 = 1 2−�� . (1)求数列 �� 的第 2，3，4项；(2)根据(1)的计算结果，猜想数列 �� 的通项公式，并用数学归纳法证明. 第 5 页 共 16 页 题型 01 对数学归纳法的理解 【典例 1-1】现有命题：      1 1 *1 11 2 3 4 5 6 1 14 4 2 n n nn n                   N ，用数学归纳法探究 此命题的真假情况，下列说法正确的是( ) A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件 9n  后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数m，当 n m 时，此命题为假命题 【典例 1-2】(2024高二下辽宁阶段练习)利用数学归纳法证明不等式 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 3�−1 < � � ≥ 1, � ∈ N∗ 的过程中，由� = � � ≥ 1 变到� = � + 1 时，左边增加了( ) A．1项 B．�项 C．3�项 D．2 × 3�项 【变式 1-1】用数学归纳法证明等式     3 41 2 3 3 2 n n n          N, 1n n  时，第一步验证 1n  时，左边 应取的项是( ) A．1 B．1 2 C．1 2 3  D．1 2 3 4   【变式 1-2】(2024高二下四川成都阶段练习)用数学归纳法证明“对任意的� ∈ N*，都有 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 +⋯+ 1 2�−1 − 1 2� = 1 �+1 + 1 �+2 + 1 �+3 +⋯+ 1 2� ，第一步应该验证的等式是( ) A．1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 = 1 3 + 1 4 B．1 − 1 2 + 1 3 = 1 2 + 1 3 C．1 = 1 2 + 1 2 D．1 − 1 2 = 1 2 【变式 1-3】已知经过同一点的 � � ∈ �∗, � ≥ 3 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这 n 个平 面将空间分成 �(�) 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由 � = � 到 � = � + 1 时，应证 明增加的空间个数为( ) A．2� B．2� + 2 C．� 2+�+2 2 D．�2 + � + 2 第 6 页 共 16 页 题型 02 数学归纳法中的增项问题 【典例 2】(2024 高二下北京丰台期中)用数学归纳法证明“对任意的 n *N ，1 2 3 3n     3�(1+3�)2 ”，由 n k 到 1n k  时，等式左边应当增加的项为( ) A．3 1k  B． (3 1) (3 2) (3 3)k k k     C．3 3k  D． ( 1) ( 2) (3 )k k k    【变式 2-1】用数学归纳法证明等式 12 + 22⋯+ (� − 1)2 + �2 + (� − 1)2 +⋯+ 22 + 12 = � 2� 2+1 3 ，当 � = � + 1 时，等式左就应在 � = � 的基础上加上( ) A．(� + 1)2 + 2�2 B．(� + 1)2 + �2 C．(� + 1)2 D．1 3 (� + 1) 2(� + 1)2 + 1 【变式 2-2】(2024高二浙江杭州期末)用数学归纳法证明：   1 1 1 21 2 3 2 2n nf n      ≥ ( *nN )的过程中，从 n k 到 1n k  时，  1f k  比  f k 共增加了( ) A．1项 B． 2 1k  项 C． 12k 项 D． 2k 项 【变式 2-3】用数学归纳法证明等式 (� + 1)(� + 2)⋯⋯(� + �) = 2� ⋅ 1 ⋅ 3⋯⋯(2� − 1) � ∈ N∗ , 从 � 到 � + 1 左端需要增乘的代数式为( ) A． 2�+3 �+1 B． 2�+1 �+1 C．2� + 1 D．2(2� + 1) 题型 03 用数学归纳法证明恒等式 【典例 3】用数学归纳法证明： 2 )1 3 5 (2 1) (n n n       N ； 【变式 3-1】用数学归纳法证明 1 ⋅ � + 2 ⋅ � − 1 + 3 ⋅ � − 2 + ⋯+ � ⋅ 1 = 1 6 � � + 1 � + 2 (�为正整数)． 第 7 页 共 16 页 【变式 3-2】用数学归纳法证明 2 3 1 2 3 22 2 2 2 2 2n n n n        ( n为正整数)． 【变式 3-3】是否存在常数 a、b、 c，使等式      2 2 2 2 2 2 4 21 1 2 2n n n n n an bn c            对任何 正整数 n都成立？证明你的结论． 题型 04 用数学归纳法证明不等式 【典例 4】证明不等式 1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 � <2 � (n∈N*)． 【变式 4-1】用数学归纳法证明不等式：  *2 1 1 1 1 , 1 1 n n n n n        N ． 第 8 页 共 16 页 【变式 4-2】设 +1 2, , , Rnx x x  ，且 1 2 1nx x x  ，证明∶       1 22 2 2 2 1 n nx x x      . 【变式 4-3】设 1( ) (1 )nf n n n    ，其中 n为正整数． (1)求 (1)f ， (2)f ， (3)f 的值； (2)猜想满足不等式 ( ) 0f n  的正整数 n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 题型 05 用数学归纳法证明整除问题 【典例 5】设 *nN ，用数学归纳法证明： 2 2( ) 3 8 9nf n n   是 64的倍数． 【变式 5-1】(2024 高二江苏)先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：  3 *5n n n N 能被哪些自然数整除？ 第 9 页 共 16 页 【变式 5-2】用数学归纳法证明： 2 2n nx y 能被 x y 整除( Nn  ) 【变式 5-3】已知数列 na 满足 1 0a  ， 2 1a  ，  *2 1 Nn n na a a n    ，证明：数列 na 的第 4 1m  项( *Nm ) 能被 3 整除． 题型 06 用数学归纳法证明几何问题 【典例 6】平面上有 ,( )3n n N n  个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线， 这样的直线共有多少条？证明你的结论． 【变式 6-1】用数学归纳法证明：凸�边形的内角和� � = � − 2 ⋅ 180∘ � ≥ 3, � ∈ �∗ ． 第 10 页 共 16 页 【变式 6-2】(2024上海普陀模拟预测)如图，曲线�: �� = 1 � > 0 与直线�: � = �相交于�1，作�1�1 ⊥ �交� 轴于�1，作�1�2//�交曲线�于�2，……，以此类推. (1)写出点�1, �2, �3和�1, �2, �3的坐标；(2)猜想�� � ∈ �∗ 的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【变式 6-3】在平面上画 n条直线，且任何 2条直线都相交，其中任何 3条直线不共点.问：这 n条直线将平 面分成多少个部分？ 题型 07 用数学归纳法证明数列问题 【典例 7】已知数列 na 的首项 1 1a  ，且��+1 = �� 1+�� (� = 1,2,3, ⋯)，试猜想出这个数列的通项公式，并用 数学归纳法证明． 第 11 页 共 16 页 【变式 7-1】(2024 高二上浙江杭州期末)已知数列 na 满足 1 1a  ，  1 1 0 Nn n n na a a a n      . (1)求 2a ， 3a ， 4a ；(2)试猜想数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式 7-2】设数列 na 满足 1 2a  ，且 21 1n n na a na    (n为正整数)． (1)求 2a ， 3a ， 4a ，并由此猜想出 na 的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【变式 7-3】)已知正项数列 �� 的前�项和为��，满足�� + 1 = ��2+2 2�� ． (1)求出数列 �� 的前三项；(2)根据数列 �� 的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 第 12 页 共 16 页 题型 08 用数学归纳法处理探究问题 【典例 8】请观察下列三个式子： ① 1 2 91 3 6     ；② 2 3 111 3 2 4 6       ；③ 3 4 131 3 2 4 3 5 6         ． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 【变式 8-1】观察下列不等式：5 + 3 ≥ 8，25 + 9 ≥ 32，125 + 27 ≥ 128，625 + 81 ≥ 512，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数 n的命题； (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题． 【变式 8-2】(23-24高二下·山西吕梁·期末)给出下列不等式： 1 > 1 2 ， 1 + 1 2 + 1 3 > 1， 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 > 3 2 ， 1 + 1 2 + 1 3 +⋯⋯+ 1 15 > 2， (1)根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；(2)用数学归纳法证明你的猜想. 第 13 页 共 16 页 【变式 8-3】已知函数   , , 2 x x f x xf x          为正奇数 为正偶数 . (1)依次求  2f ，    3 4f f ，        5 6 7 8f f f f   的值； (2)对任意正整数 n，记          1 1 1 12 1 2 2 2 3 2 4 2n n n n nna f f f f f             ，即   12 1 1 2 n n n i a f i      .猜想 数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明. 1．观察下列式子： 1 + 1 22 < 3 2 , 1 + 1 22 + 1 32 < 5 3 , 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 < 7 4 , ⋯, 可归纳出 1 + 1 22 + 1 32 +⋯ + 1 (�+1)2 小 于( ) A． � �+1 B． 2�−1 �+1 C． 2�+1 �+1 D． 2� �+1 2．对于不等式  2 1n n n n    N ，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当 1n  时，左边 21 1  ，右边1 1 ，不等式成立. (2)假设当n k ( 1k  且 k N )时，不等式成立，即 2 1k k k   ， 那么当 1n k  时，      2 2 21 1 3 2 3 2 2k k k k k k k              22 1 1k k     ， 所以当 1n k  时，不等式成立，则上述证法( ) A．过程全部正确 B． 1n  验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从 n k 到 1n k  的推理不正确 3．用数学归纳法证明“  22 N , 4n n n n   ”时，第二步应假设( ) A．当  N , 2n k k k   时， 22k k≥ 成立 B．当  N , 3n k k k   时， 22k k≥ 成立 C．当  N , 4n k k k   时， 22k k≥ 成立 D．当  N , 5n k k k   时， 22k k≥ 成立 第 14 页 共 16 页 4．利用数学归纳法证明不等式 1 1 11 2 3 2 1n n       ( 2n  ， *Nn )的过程中，由 n k 到 1n k  时，左边增 加了( ) A．1 项 B．k 项 C． 12k 项 D． 2k 项 5．(2024 高二下北京房山期末)用数学归纳法证明           1 2 *1 1 2 2 3 3 2nn n n n n       N ，从n k 到 1n k  ，左边需要增加的因式是( ) A． 2 1k  B．  2 1k  C．  1k k  D．   1 1k k  6．(2024 高一全国课后练习)用数学归纳法证明“当 n为正奇数时， n nx y 能被 x y 整除”，第二步归纳假设 应写成( ) A．假设 *2 1( N )n k k   正确，再推 2 3n k  正确 B．假设 *2 1( N )n k k   正确，再推 2 1n k  正确 C．假设 *( N )n k k  正确，再推 1n k  正确 D．假设 ( 1)n k k  正确，再推 2n k  正确 7．用数学归纳法证明“   3 2 3 12 1 1 1 1 n n aaa a a a         ”，验证 1n  成立时等式左边计算所得项是( ) A．1 B．1 a C． 21 a a  D． 2 3 41 a a a a    8．(2024 高二下辽宁大连期中)用数学归纳法证明“  *1 1 11 N , 12 3 2 1n n n n       ”的过程中，从  *( N , 1n k k k   到 1n k  时，左边增加的项数为( ) A． 2k B． 2 1k  C． 12k D． k 9.用数学归纳法证明＂ 1 + 2 + 3 + … + �3 = � 5+�3 2 , � ∈ �∗ " ，则() A．首先验证的 �0 = 1 B．n = k 时，等式左端为 1 + 2 + 3 + …… + k3 C．当 � = � + 1 时，等式左端为 1 + 2 + 3 + … + (� + 1)2 D．当 � = � + 1 时，应当在 � = � 时对应的等式的左边 �3 + 1 10.用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 13 1 2 3 24           n n n n n 的过程中，下列说法正确的是( ) A．使不等式成立的第一个自然数 0 1n  B．使不等式成立的第一个自然数 0 2n  第 15 页 共 16 页 C． n k 推导 1n k  时，不等式的左边增加的式子是    1 2 1 2 2k k  D． n k 推导 1n k  时，不等式的左边增加的式子是    1 2 2 2 3k k  11．已知一个命题 p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当 n＝1，2，…，1000 时，p(k)成立，且当 n＝1001 时也成立，则 下列判断中正确的是( ) A．p(k)对 k＝528 成立 B．p(k)对每一个自然数 k都成立 C．p(k)对每一个正偶数 k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 12．用数学归䚝法证明等式 1 + 2 + 3 + ⋯ + (� + 3) = (�+3)(�+4) 2 � ∈ N∗ 时，第一步验证 � = 1 时，左边 应取的项是 ． 13．(2024 高二下河南濮阳期末)用数学归纳法证明 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1)1 2 ( 1) ( 1) + 2 1 3 n nn n n            时，从 “ k 到 1k  ”左边需要增加的代数式是 14.用数学归纳法证明命题：  2 2 2 2 1 2 1 *( 1)1 2 3 4 ( 1) ( 1) N2 n n n nn n           ，从“第 k步到 1k  步”时，两边 应同时加上 ． 15．(2024 高二江苏课后作业)设 0x  ， *nN ，且 2n  ，用数学归纳法证明： (1 ) 1nx nx   ． 16．用数学归纳法证明：    3 33 1 2n n n    能被9整除  n N  . 第 16 页 共 16 页 17.已知数列 na 满足 1 1a  ，设该数列的前 n项和为 nS ，且 nS ， 1nS  ， 12a 成等差数列. (1)用数学归纳法证明： 1 2 1 2 n n nS    ( n是正整数)；(2)求数列 na 的通项公式. 18.(2024 高二下北京房山期末)已知数列 na 的通项公式为 1 1n a n n    ，记该数列的前 n项和为 nS ． (1)计算 1S ， 2S ， 3S ， 4S 的值；(2)根据计算结果，猜想 nS 的表达式，并进行证明． 19．是否存在常数 a、b，使等式         11 2 1 3 2 1 2 1 6 n n n n n n n a n b                对一切正整数 n 都成立？若存在，求出 a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由．