2.3.1 两条直线平行与垂直的判定（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行与垂直的判定及应用，通过知识辨析问题导入，连接直线方程知识，构建从定义、判定方法到几何图形形状判断、参数求解的学习支架。 其亮点在于知识辨析结合典例分析，以数学眼光发现易错点，用数学思维进行逻辑推理，通过规范解题步骤培养数学语言表达。如判断四边形形状时，通过描点、求斜率、判定平行垂直，帮助学生提升推理与应用能力，为教师提供系统教学资源。

知识点 1 两条直线平行与垂直的判定 2.3 两条直线的位置关系 2.3.1 两条直线平行与垂直的判定 必备知识 清单破 1.对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,有 (1)l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2; (2)l1⊥l2⇔(1,k1)·(1,k2)=1+k1k2=0⇔k1k2=-1. 2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,有 (1)l1∥l2⇔A2=λA1,B2=λB1,C2≠λC1,λ为非零实数⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0); (2)l1⊥l2⇔(A1,B1)·(A2,B2)=A1A2+B1B2=0. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 知识点 2 根据位置关系设直线方程的方法 1.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C). 2.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 3.与直线y=kx+b平行的直线方程可设为y=kx+m(m≠b). 4.与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程可设为y=- x+m. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 知识辨析 1.如果两条直线平行,那么这两条直线的斜率一定相等吗? 2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线一定垂直吗? 3.已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°一定成立吗? 4.直线2x+3y-1=0与直线 + =1平行吗? 5.若直线l1的一个方向向量为(-2,3),直线l2的一个法向量为 ,则l1与l2垂直吗? 第二章 平面解析几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.若两条直线平行,则它们的斜率相等或都不存在. 2.不一定.只有当两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线 才垂直. 3.不一定.由l1⊥l2,可得α-β=±90°. 4.平行. + =1可化为2x+3y-6=0,显然平行. 5.垂直.由于向量(-2,3)与 共线,所以l1与l2垂直. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 两条直线平行与垂直的判定及简单应用 1.判断两条不重合的直线是否平行的方法 (1)利用直线的斜率判断:   (2)利用直线的方向向量判断:分别求出两直线的方向向量,通过两方向向量是否共线判断两 直线是否平行. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 2.判断两条直线是否垂直的方法 (1)利用直线的斜率判断:在两条直线的斜率都存在的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1 即可.特别地,当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. (2)利用直线的方向向量判断:设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m ⇔n·m=0. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 典例 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,顺次连接A,B,C,D四点,判断四边形ABCD的形状. 思路点拨    作出图形,计算斜率,判断对边是否平行、邻边是否垂直,进而得出结论. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 解析    由题意知A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示,   由斜率公式可得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- . 因为kAB=kCD,且由图可知直线AB与CD不重合,所以AB∥CD. 因为kAD≠kBC,所以直线AD与BC不平行. 又因为kAB·kAD= ×(-3)=-1,所以AB⊥AD, 故四边形ABCD为直角梯形. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 规律总结 　　利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤:   第二章 平面解析几何初步 高中同步 利用直线的平行、垂直关系求参数的方法 (1)作出示意图,确定问题中直线的平行、垂直关系,利用斜率、方向向量或法向量列出相关 方程,进行求解. (2)充分分析图形的特征,有多种情况的,要分类依次求解. (3)解题时要注意斜率不存在的情况是否符合题意. 定点 2 利用两条直线的平行、垂直关系求参数 第二章 平面解析几何初步 高中同步 典例 (1)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A ,B ,C ,则点D的 坐标为　　　    ; (2)已知四边形ABCD的顶点分别为A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形, 求m和n的值. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 思路点拨    (1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC列出方程组求解.思路二:设出 点D的坐标,根据 = 列出方程组求解. (2)分析直角顶点的位置,利用两底边所在直线平行、直角腰与底边垂直列方程求解. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 解析    (1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC, 易得直线AB,BC的斜率存在,∴直线CD,AD的斜率也存在, ∴kAB=kCD,kAD=kBC, ∴ 化简得  解得  第二章 平面解析几何初步 高中同步 ∴点D的坐标为 . 解法二:设点D的坐标为(m,n). 由题意知, = ,且 = , = , ∴ 解得  ∴点D的坐标为 . (2)易知直角梯形ABCD有2种情形: ①AB∥CD,AB⊥AD, 第二章 平面解析几何初步 高中同步   由图可知,A(2,-1),∴m=2,n=-1. ②AD∥BC,AD⊥AB,   第二章 平面解析几何初步 高中同步 由图可知 即  解得  综上, 或  第二章 平面解析几何初步 高中同步 答案    (1)  易错警示 　　已知四边形三个顶点求另外一个顶点时,注意判断图形是否唯一,以防漏解. 第二章 平面解析几何初步 高中同步 $