4.4 二项式定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.公式(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-rbr+…+ bn称为二项式定理. (其中0≤r≤n,r ∈N,n∈N+)叫作二项式系数,在定理中,令a=1,b=x,则得到公式(1+x)n= + x+ x2 +…+ xr+…+ xn. 2.二项展开式的通项为Tr+1= an-rbr,它是(a+b)n展开式的第(r+1)项. 4.4　二项式定理 1 | 二项式定理及相关概念 第4章　计数原理 1.对称性 　　在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 =  . 2.单调性和最大值 　　二项式系数从两端向中间逐渐增大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数  最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 (1) + +…+ =2n; (2) + + +…= + + +…=2n-1. 2 | 二项式系数的有关性质 第4章　计数原理 1.二项式(a+b)n和(b+a)n的展开式相同吗? 相同.虽然二者展开式相同,但展开式中项的排列顺序是不同的,(a+b)n展开式中的 第(r+1)项是 an-r·br,(b+a)n展开式中的第(r+1)项是 bn-rar. 2.(a-b)n与(a+b)n的展开式中二项式系数和项的系数都相同吗? 二项式系数相同,项的系数不相同.二项式系数只与项数有关,与a,b的值无关,而项 的系数指项中除变量外的常数部分,不仅与项数有关,还与a,b的值有关. 3.令f(r)= (0≤r≤n,且r∈N),则f(r)的图象关于直线r= 对称吗? 对称. 知识辨析 第4章　计数原理 1.对于常数项,隐含的条件是字母的指数为0. 2.对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整 数.求解时必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数 的整除性来求解. 3.对于整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与求有理 项一致. 1 求二项展开式中的特定项(项的系数) 第4章　计数原理  典例    (1) x-  n(n∈N+)的展开式中,第5项是常数项,则常数项为 (　    ) A.-270　    B.-240　     C.240　    D.270 (2) 的展开式中的有理项共有 (　    ) A.4项　　B.5项　     C.6项　　D.7项 (3)(x- )n(n∈N+)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为 　　12x2　    . C C 第4章　计数原理 解析    (1)∵ x-  n的展开式的通项为Tr+1= ·xn-r· -  r=(-2)r · ,令r=4,则n - ×4=0,解得n=6.∴展开式中的常数项为T5=(-2)4 =240.故选C. (2) 的展开式的通项为Tr+1= ·2r· (r=0,1,2,…,10),令20- 为整数,可 得r=0,2,4,6,8,10,则有理项共有6项,故选C. (3)(x- )n(n∈N+)的展开式中第二项与第四项分别为T2= xn-1·(- )=- nxn-1,T4=  xn-3·(- )3=-2  xn-3.依题意得 = ,即n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x-  )n=(x- )4,其展开式的通项为Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x-  )4的展开式中含x2的项为T3= x2(- )2=12x2. 第4章　计数原理 求三项式中特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分 别展开. (2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的展开. (3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的 构成,注意最后把各个同类项合并. 2 三项展开式问题 第4章　计数原理  典例     的展开式中x2的系数为　800     . 解析    解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5. (1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1= ·25-kxk, 所以 的展开式的通项为Tr+1,k+1=  25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N. 令r+k=2,可得 或 或  因此, 的展开式中x2的系数为 · ·23+ · ·24+ · ·25=800. 解法二: = ,且它的展开式的通项为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1, 2,…,5), 的展开式的通项为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= ·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N), 所以Tk+1=  2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N), 令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0. 当k=3,r=2时,x2的系数为 · ·23·32=720;当k=4,r=0时,x2的系数为 · ·24·30=80. 综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800. 第4章　计数原理 　　赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根 据所求,灵活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1. (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;对形如(ax+by)n (a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1. (2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系 数之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=  ;偶数项系数之和为a1+a 3+a5+…=  . 3 赋值法求展开式中的系数和 第4章　计数原理  典例    (1)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则  + + +…+ 的值为 ( B  ) A.28　　　　　　　　　B.28-1 C.27　　 D.27-1 (2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=　364　    . 第4章　计数原理 解析    (1)设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和 为B,则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…, 由已知可得B-A=38. 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n, 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n, ∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8. 故 + + +…+ =2n- =28-1. (2)令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,① 令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②  ,得a0+a2+a4+…+a12= . 令x=0,则a0=1.故a2+a4+…+a12= -1=364. 第4章　计数原理 1.求展开式中二项式系数最大的项时,可直接根据性质求解. 2.求二项展开式中系数的最值问题有两种思路:(1)看成关于n的函数,结合函数的 单调性判断系数的增减性,从而求出系数的最值;(2)在系数均为正值的前提下,求 它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根据其展开式的通项列出不等式 (组)即可. 3.根据二项式系数的性质求参数时,关键是正确列出与参数有关的式子,然后解此 关系式即可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求. 4 二项式系数的性质及应用 第4章　计数原理  典例　在 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求项数n; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中所有系数的绝对值的和. 第4章　计数原理 解析    (1) 的展开式的通项为Tr+1=    =  -  r , 因为前三项系数的绝对值成等差数列, 所以2 · = +  , 化简得n2-9n+8=0, 解得n=8或n=1, 因为n≥2, 所以n=8. (2)由(1)知n=8,二项式的展开式共9项,故二项式系数最大的项为第5项,即T5= ·   =70×  =  . 第4章　计数原理 (3)展开式中所有系数的绝对值的和为  +  +…+   = = . 第4章　计数原理 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路   5 杨辉三角问题 第4章　计数原理  典例    如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,若第n(n∈N)行中从左至右 第14与第15个数的比为2∶3,则n的值为(　    ) 第0行　　　　　　　　    1 第1行　　　　　　　    1    1 第2行　　　　　　    1    2    1 第3行　　　　　    1    3    3    1 第4行　　　　     1    4    6    4    1 第5行　　 　    1    5    1010    5    1 ……　　　　　　　    …… A.32　　B.33　     C.34　　D.35 C 第4章　计数原理 解析    (1)由题意知 ∶ =2∶3, 所以3 =2 , 即  = , 得 = ,所以n=34. 故选C. 第4章　计数原理 $$