易错04 二次函数（7大易错陷阱）（易错专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦二次函数7大核心易错点，以“典例剖析-避坑攻略-类题巩固”为框架，系统提炼解题技巧，培养数学思维与模型意识，构建从概念理解到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义条件|1典例+3巩固|含参先判a是否为0|二次函数定义三要素（整式、最高次2、a≠0）| |图像开口|1典例+3巩固|先圈a符号定开口方向|a符号决定开口方向与最值类型| |系数作用|1典例+3巩固|“定开口-定对称轴-定轴交点”三步法|a/b/c与图像特征的关联（左同右异等）| |图像平移|1典例+3巩固|顶点式化归，左加右减针对x|平移规则与顶点坐标变化的一致性| |不等式结合|1典例+3巩固|图像分界法求范围|函数图像与不等式解集的几何意义| |实际应用|1典例+3巩固|列解析式即标自变量取值范围|实际背景对自变量的限制（非负、整数等）| |含参最值|1典例+3巩固|分类讨论开口方向与对称轴位置|参数对函数单调性及最值位置的影响|

易错04 二次函数 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错点 1 忽略二次函数定义中a≠0的条件 易错点 2 判断图像时忽略开口方向，默认开口向上 易错点 3 混淆a、b、c对图像的作用，不会判断对称轴与交点位置 易错点 4 二次函数图像平移出错，左右平移不提取a 易错点 5 二次函数与不等式结合，不会看图找范围 易错点 6 二次函数实际应用题忽略自变量取值范围 易错点 7 含参数二次函数求最值时不分类讨论 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 忽略二次函数定义中的条件 易错典例 【典例01】（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【错因分析】属于概念理解不完整、定义记忆遗漏，只关注形式而忽略关键限制条件，遇到含参数函数时不会分类讨论，直接默认是二次函数 避坑攻略 【技巧点拨】 看到含参数的二次函数问题，第一步先讨论的情况，判断是否为一次函数或常函数，确认后再按二次函数解题，保证分类不重不漏 【知识链接】 形如（为常数）的函数是二次函数，必须满足；若且则变为一次函数，且则为常函数。判断二次函数要同时满足：整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0这三个条件 类题巩固 1．（2025·重庆开州·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是____________． 2．（2025·河南信阳·三模）若抛物线与轴有交点，则______． 3．（2024·江苏南通·二模）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 易错02 判断图像时忽略开口方向，默认开口向上 易错典例 【典例02】（2024·吉林·二模）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是，则m的取值范围是___________． 【错因分析】属于思维定式、审题粗心，平时练习开口向上的题目较多，形成惯性认知，忽略题目中的情况，导致图像判断、最值分析全部错误 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先圈出的符号，根据符号确定开口方向与最值类型，开口向下一定要注意最大值问题，不凭经验做题，严格按条件判断 【知识链接】 二次函数的开口方向由的符号唯一决定，开口向上，函数有最小值；开口向下，函数有最大值，越大开口越窄 类题巩固 1．（2022·辽宁阜新·一模）关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（   ） A．对称轴在轴左侧 B．顶点坐标 C．时，随的增大而减小 D．与直线有唯一公共点 2．（2026·广东佛山·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·26九年级上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围_____________． 易错03 混淆对图像的作用，不会判断对称轴与交点位置 易错典例 【典例03】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【错因分析】属于知识点混淆、逻辑关联不清，不能把系数符号、对称轴位置、与轴交点三者结合分析，只会单独记忆，不会综合判断。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“定开口、定对称轴、定轴交点”，做题时按顺序逐一判断，用对称轴公式验证“左同右异”，确保每一步都有依据。 【知识链接】 决定开口方向与大小；共同决定对称轴，对称轴公式为，满足“左同右异”原则，即同号对称轴在轴左侧，异号在右侧；决定抛物线与轴交点，坐标为，交正半轴，交负半轴，过原点 类题巩固 1．（2026·贵州遵义·一模）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 易错04 二次函数图像平移出错，左右平移不提取 易错典例 【典例04】（2025·陕西西安·一模）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【错因分析】属于方法理解错误、步骤遗漏，左右平移时不提取系数，直接对项加减，混淆平移对象，违背“左加右减只针对”的原则。 避坑攻略 【技巧点拨】 平移前先化成顶点式，或把含的项提取，只对单独的进行左加右减，做完后用顶点坐标变化验证，避免公式用错。 【知识链接】 二次函数平移优先化为顶点式，平移规则为“左加右减（针对），上加下减（针对常数项）”；左右平移必须对本身进行操作，一般式平移要先提取再对括号内的进行加减。 类题巩固 1．（2026·河南周口·一模）已知二次函数 ，若将其图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（   ） A． B． C． D．0 3．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数经过点和点． （1）若将二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移12个单位经过原点，则___________； （2）若，则的取值范围是___________． 易错05 二次函数与不等式结合，不会看图找范围 易错典例 【典例05】（2024·25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【错因分析】数形结合能力薄弱、思路跑偏，把不等式问题当成求解析式问题，强行计算参数，忽略图像法更简单直接，导致计算量大且容易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 先找抛物线与轴交点，以交点为分界，看图像在轴上还是轴下，直接写出对应范围，不需要求完整解析式，简化思路。 【知识链接】 ：表示图像在轴上方的部分，表示图像在轴下方的部分，抛物线与轴的交点是取值范围的分界点，根据开口方向和交点坐标可直接写出的范围。 类题巩固 1．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 2．（2025·26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 3．（2025·26九年级上·福建福州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 易错06 二次函数实际应用题忽略自变量取值范围 易错典例 【典例06】（2025·河南开封·三模）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2） 怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【错因分析】审题不细致、重表达式轻实际背景，只关注函数模型与计算，忘记实际场景的约束条件，导致求出的最值或取值范围不符合题意。 避坑攻略 【技巧点拨】 列出解析式后立刻分析实际限制，把文字条件转化为、、为整数等数学形式，求最值时先判断顶点是否在范围内。 【知识链接】 实际问题中自变量受实际意义限制，如长度、时间、数量、面积等必须非负，部分量要求为正整数，解析式必须附带合法取值范围，最值也必须在范围内选取。 类题巩固 1．（2024·25九年级上·黑龙江牡丹江·月考）某水果种植基地，为有效指导种植和销售，对市场行情和水果种植情况进行了调查．调查发现这种水果每千克售价（元）与销售月份x（月）满足关系式，而每千克成本（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示： (1)求出的函数解析式； (2)求出这种水果每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式； (3)“五一之前”，几月份出售这种水果每千克的利润最大？最大利润是多少？ 2．（2024·浙江金华·二模）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？ 3．（2025·湖北黄冈·二模）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y（百件）与时间（t为整数，单位：天）的函数关系为：，网上商店的日销售量（百件）与时间（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． (1)求与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围： (2)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值． (3)求这30天中第几天的日销售量为8000件？ 易错07 含参数二次函数求最值时不分类讨论 易错典例 【典例07】（2025·湖南怀化·一模）已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 【错因分析】分类意识薄弱、逻辑不严谨，默认开口方向固定或对称轴在固定位置，不考虑参数变化带来的性质改变，导致答案不完整。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到含参求最值，先看是否确定，不确定则分正负讨论；再看对称轴位置，结合区间判断单调性，按不同情况分别求最值。 【知识链接】 含参数的二次函数，参数会影响开口方向、对称轴位置，进而改变函数增减性与最值位置；开口方向不定时，必须按、分类，对称轴不定时要讨论对称轴与区间的位置关系。 类题巩固 1．（2024·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北沧州·一模）已知二次函数 (，是常数)． (1)当，时，求二次函数的最大值； (2)当时，函数有最大值为，求的值； (3)当且自变量时，函数有最大值为，求此时二次函数的表达式． 3．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过原点O和点，其中． (1)当时 ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (2)当时，在范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 易●错●闯●关 1．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，对于这个函数有下列四个结论：①；②；③；④．则结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，已知二次函数的图象经过，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 5．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 6．（2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 7．（2025·26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是___________． 8．（2025·浙江温州·模拟预测）已知抛物线经过点与． (1)求该抛物线的函数关系式． (2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． 9．（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 10．（2025·浙江·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错04 二次函数 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错点 1 忽略二次函数定义中a≠0的条件 易错点 2 判断图像时忽略开口方向，默认开口向上 易错点 3 混淆a、b、c对图像的作用，不会判断对称轴与交点位置 易错点 4 二次函数图像平移出错，左右平移不提取a 易错点 5 二次函数与不等式结合，不会看图找范围 易错点 6 二次函数实际应用题忽略自变量取值范围 易错点 7 含参数二次函数求最值时不分类讨论 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 忽略二次函数定义中的条件 易错典例 【典例01】（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 【错因分析】属于概念理解不完整、定义记忆遗漏，只关注形式而忽略关键限制条件，遇到含参数函数时不会分类讨论，直接默认是二次函数 避坑攻略 【技巧点拨】 看到含参数的二次函数问题，第一步先讨论的情况，判断是否为一次函数或常函数，确认后再按二次函数解题，保证分类不重不漏 【知识链接】 形如（为常数）的函数是二次函数，必须满足；若且则变为一次函数，且则为常函数。判断二次函数要同时满足：整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0这三个条件 类题巩固 1．（2025·重庆开州·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是____________． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， 解得：， ∵二次项系数， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 2．（2025·河南信阳·三模）若抛物线与轴有交点，则______． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵抛物线， ∴，， 即，或， ∴， 此时， 此时，即抛物线与轴有交点， ∴． 故答案为：． 3．（2024·江苏南通·二模）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】且 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， 令，则， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 易错02 判断图像时忽略开口方向，默认开口向上 易错典例 【典例02】（2024·吉林·二模）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是，则m的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵，顶点坐标为，开口向下 当时，取得最大值， 当，，根据对称性可得时， ∴时，函数值的取值范围是， ∵当时，函数值的取值范围是， ∴结合图象可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出的值是解题的关键． 【错因分析】属于思维定式、审题粗心，平时练习开口向上的题目较多，形成惯性认知，忽略题目中的情况，导致图像判断、最值分析全部错误 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先圈出的符号，根据符号确定开口方向与最值类型，开口向下一定要注意最大值问题，不凭经验做题，严格按条件判断 【知识链接】 二次函数的开口方向由的符号唯一决定，开口向上，函数有最小值；开口向下，函数有最大值，越大开口越窄 类题巩固 1．（2022·辽宁阜新·一模）关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（   ） A．对称轴在轴左侧 B．顶点坐标 C．时，随的增大而减小 D．与直线有唯一公共点 【答案】D 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为， ∴选项A，B错误； ∵开口向下，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大， 又∵， ∴ 时，随的增大而增大， ∴选项C错误； 联立二次函数与直线方程， ∴， ∵判别式， ∴该一元二次方程只有一个实数根，即二次函数与直线有唯一公共点， ∴选项D正确． 2．（2026·广东佛山·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大， ∵点，，到对称轴的距离分别为，，，且 ∴． 3．（2025·26九年级上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围_____________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 易错03 混淆对图像的作用，不会判断对称轴与交点位置 易错典例 【典例03】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【错因分析】属于知识点混淆、逻辑关联不清，不能把系数符号、对称轴位置、与轴交点三者结合分析，只会单独记忆，不会综合判断。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“定开口、定对称轴、定轴交点”，做题时按顺序逐一判断，用对称轴公式验证“左同右异”，确保每一步都有依据。 【知识链接】 决定开口方向与大小；共同决定对称轴，对称轴公式为，满足“左同右异”原则，即同号对称轴在轴左侧，异号在右侧；决定抛物线与轴交点，坐标为，交正半轴，交负半轴，过原点 类题巩固 1．（2026·贵州遵义·一模）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 2．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 易错04 二次函数图像平移出错，左右平移不提取 易错典例 【典例04】（2025·陕西西安·一模）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】A 【详解】解：抛物线， 抛物线经过向左平移个单位得到抛物线． 【错因分析】属于方法理解错误、步骤遗漏，左右平移时不提取系数，直接对项加减，混淆平移对象，违背“左加右减只针对”的原则。 避坑攻略 【技巧点拨】 平移前先化成顶点式，或把含的项提取，只对单独的进行左加右减，做完后用顶点坐标变化验证，避免公式用错。 【知识链接】 二次函数平移优先化为顶点式，平移规则为“左加右减（针对），上加下减（针对常数项）”；左右平移必须对本身进行操作，一般式平移要先提取再对括号内的进行加减。 类题巩固 1．（2026·河南周口·一模）已知二次函数 ，若将其图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴ 平移后所得图象的解析式为 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：． ∴其顶点坐标是， ∴将其向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到． ∴原抛物线的解析式是：． 所以，，． 所以． 3．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数经过点和点． （1）若将二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移12个单位经过原点，则___________； （2）若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）平移后抛物线解析式为， ∵该抛物线经过点 ， 解得． 又 ． （2）对于，可得对称轴为直线， ∵二次函数经过点和点 ∴． 又， ∴ ， 解得． 易错05 二次函数与不等式结合，不会看图找范围 易错典例 【典例05】（2024·25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【答案】 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 【错因分析】数形结合能力薄弱、思路跑偏，把不等式问题当成求解析式问题，强行计算参数，忽略图像法更简单直接，导致计算量大且容易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 先找抛物线与轴交点，以交点为分界，看图像在轴上还是轴下，直接写出对应范围，不需要求完整解析式，简化思路。 【知识链接】 ：表示图像在轴上方的部分，表示图像在轴下方的部分，抛物线与轴的交点是取值范围的分界点，根据开口方向和交点坐标可直接写出的范围。 类题巩固 1．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 2．（2025·26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 3．（2025·26九年级上·福建福州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 易错06 二次函数实际应用题忽略自变量取值范围 易错典例 【典例06】（2025·河南开封·三模）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【错因分析】审题不细致、重表达式轻实际背景，只关注函数模型与计算，忘记实际场景的约束条件，导致求出的最值或取值范围不符合题意。 避坑攻略 【技巧点拨】 列出解析式后立刻分析实际限制，把文字条件转化为、、为整数等数学形式，求最值时先判断顶点是否在范围内。 【知识链接】 实际问题中自变量受实际意义限制，如长度、时间、数量、面积等必须非负，部分量要求为正整数，解析式必须附带合法取值范围，最值也必须在范围内选取。 类题巩固 1．（2024·25九年级上·黑龙江牡丹江·月考）某水果种植基地，为有效指导种植和销售，对市场行情和水果种植情况进行了调查．调查发现这种水果每千克售价（元）与销售月份x（月）满足关系式，而每千克成本（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示： (1)求出的函数解析式； (2)求出这种水果每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式； (3)“五一之前”，几月份出售这种水果每千克的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，其中 (2)，其中 (3)4月份出售这种水果每千克的利润最大，且最大利润是每千克11元 【分析】 【详解】（1）由图象知，函数过点(3，25)及点(4，24) 把这两点坐标代入函数解析式中得： 解得： ∴，其中 （2） 即这种水果每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式，其中 （3）∵，且 而 ∴当1≤x<6时，函数随自变量x的增大而增大 ∴当x=4时，y取得最大值，且最大值为11 即“五一之前”，4月份出售这种水果每千克的利润最大，且最大利润是11元． 【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，关键是正确理解题意，并能从图象中获取信息． 2．（2024·浙江金华·二模）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？ 【答案】（1）（0≤x≤5且x为整数）；（2）定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元.. 【分析】 【详解】解：（1）由题意得每件涨价x元， 则每星期的销量为，（0≤x≤5且x为整数）； （2）每星期的利润为W元， ， ∵x为整数， ∴当x=3或2时，W有最大值1560， 当x=3时，销量为120件，当x=2时销量为130件， 所以定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元. 【点睛】本题是对二次函数运用题型的考查，准确根据题意列出代数式是解决本题的关键． 3．（2025·湖北黄冈·二模）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y（百件）与时间（t为整数，单位：天）的函数关系为：，网上商店的日销售量（百件）与时间（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． (1)求与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围： (2)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值． (3)求这30天中第几天的日销售量为8000件？ 【答案】(1) (2)当时，日销售总量y达到最大，此时的最大值为 (3)第10天和第20天，日销售量为8000件 【分析】 【详解】（1）解：当时，设 ∵在其图象上， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为： 当时，， ∴ （2）解：依题意，， ∴ 当时，， ∴时，取得最大值为， 当时， 当时取得最大值为 综上所述，当时，日销售总量y达到最大，此时的最大值为； （3）当时，令（百件） 即，解得：， 当时，令 即，解得：（舍去）或， 综上所述，第10天和第20天，日销售量为8000件． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 易错07 含参数二次函数求最值时不分类讨论 易错典例 【典例07】（2025·湖南怀化·一模）已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 【答案】或 【分析】 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①当 时，开口向上，最小值在 处取得， 代入得， 令，解得； ②当时，开口向下，最小值在 处取得（因距离对称轴较远）， 代入得， 令，解得． 故答案为：或． 【错因分析】分类意识薄弱、逻辑不严谨，默认开口方向固定或对称轴在固定位置，不考虑参数变化带来的性质改变，导致答案不完整。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到含参求最值，先看是否确定，不确定则分正负讨论；再看对称轴位置，结合区间判断单调性，按不同情况分别求最值。 【知识链接】 含参数的二次函数，参数会影响开口方向、对称轴位置，进而改变函数增减性与最值位置；开口方向不定时，必须按、分类，对称轴不定时要讨论对称轴与区间的位置关系。 类题巩固 1．（2024·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 当点P，Q均在对称轴左侧时，有，， ， 则， ∵m随t的增大而减小，， ∴ 当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时 ①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有，， ， 则， 对称轴：，在对称轴左侧m随t的增大而减小， ∴ ②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时， 当时，，， 则， 对称轴：，在对称轴右侧m随t的增大而增大， ∴， ∵， ∴点P，Q不可能均在对称轴右侧． 综上可得：， 故答案为D． 2．（2023·河北沧州·一模）已知二次函数 (，是常数)． (1)当，时，求二次函数的最大值； (2)当时，函数有最大值为，求的值； (3)当且自变量时，函数有最大值为，求此时二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：当，时， ， 当时，； （2）解：当，则， 函数有最大值为， ， ； （3）解：当时， ， 抛物线对称轴为直线， ①时，在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小， 当时，最大． ， ； ②，当时，最大． ， （舍去）； ③时，在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大， 当时，最大． ， （舍去）， 综上所述可得：或， 二次函数的表达式：或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 3．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过原点O和点，其中． (1)当时 ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (2)当时，在范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；当时，有最大值为；； (2)，． 【分析】 【详解】（1）解： 当时，， 把、代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵和时，函数值相等， ∴， 整理得，， ∵，则， ∴， ∴． （2）解：∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过原点和点， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 即， 整理得，， ∴或， ∵ ∴， ∴或不合，舍去； 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，，． 易●错●闯●关 1．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵原抛物线解析式为 将抛物线向右平移1个单位，根据平移规律得：，再向上平移1个单位，得：， ∴所得抛物线的表达式为． 2．（2026·安徽阜阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，对于这个函数有下列四个结论：①；②；③；④．则结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与x轴交点为， ∴抛物线对称轴为， ， ， ∴，故②正确， ， 故①正确； 由图象得，当时，， ，故③正确， ∵， ∴ 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，有3个． 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，已知二次函数的图象经过，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可知：，，， ， ， ∴A错误； 由图象经过，可得， ， ， ， ，即， ∴B正确； 由图象得，， ， ， ∴C错误； ， ， ， ∴D错误． 4．（2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【详解】解：将原抛物线解析式化为顶点式为， 根据平移规律，可得新抛物线的解析式为． 5．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 6．（2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵不等式的解集为一切实数， 即对于任意的，都有函数始终大于0， 当时，函数为满足题意； 当时，函数的对称轴为直线， ∴当时，函数值应大于， 故，解得； 综上，的取值范围为． 7．（2025·26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是___________． 【答案】0或7/7或0 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7． 故答案为：0或7． 8．（2025·浙江温州·模拟预测）已知抛物线经过点与． (1)求该抛物线的函数关系式． (2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：将点与点代入中，得 ， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴顶点坐标为， ∵此抛物线向下平移m个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∵平移后的顶点落在直线上， ∴将，代入中， 得：， 解得：， ∴此抛物线向下平移个单位， ∵原抛物线， ∴令，， 可得原抛物线与y轴交点为， 又∵此抛物线向下平移个单位， ∴点向下平移后，得， 即平移后抛物线与y轴的交点坐标为． 9．（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元 (3)当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，设， 将和代入， 得：，解得：， 与的函数表达式为． （2）解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． （3）解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 10．（2025·浙江·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为；ⅱ， (2)或 【分析】 【详解】（1）已知函数图象过点，， 将代入函数得：，即，解得， 将，代入函数得：， 即，，解得， 二次函数的解析式为； 根据知，二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图象开口向上， 当时，y取得最小值，， 比较和到对称轴直线的距离，，， 离对称轴更远． 当时，， （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点，根据函数平移规律“左加右减”，则原函数过点 将代入得： ，即，，化简得， 二次函数的解析式为，其对称轴为， 时函数值y有最小值，分情况讨论： 当时，函数图象开口向上，对称轴直线在范围内， 当时，y取得最小值 将，代入函数得：，即，，解得， 当时，函数图象开口向下，在范围内，函数在端点处取得最小值． 比较和时的函数值： 当时， ； 当时，， ， ， 则当时，y取得最小值，解得， 当时，时，，符合时在端点处取得最小值的情况． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $