2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学模拟卷(三)（辽宁适用）

**基本信息** 高一数学期中模拟卷，覆盖必修三和解三角形，通过解三角形、三角函数、向量等知识，结合摩天轮应用情境（题18）与几何综合问题（题19），考查数学建模与推理能力，适配期中阶段性检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|解三角形（题1）、三角函数周期（题2）|基础概念辨析，考查抽象能力| |选择题（多选）|3/18|三角恒等变换（题9）、函数性质（题10）|多角度辨析，培养批判性思维| |填空题|3/15|向量共线（题12）、三角形面积最值（题13）|情境化设计，体现数据意识| |解答题|5/77|摩天轮高度模型（题18）、几何综合运算（题19）|分层设问，考查数学建模与推理能力|

2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 3．已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 6．已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．中，内角的对边分别是，，且，，若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．为偶函数 D．的图象关于直线对称 11．在中，，且为边的中点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，若、、三点共线，则______. 13．甲、乙两人分别从相距3千米的两地出发，沿直线方向前往同一目的地.甲的速度是乙的一半，到达时，两人所用时间相同.则由三地围成的三角形面积的最大值为________平方千米. 14．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设两个向量，满足． (1)若，求的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围． 16．记的内角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若的面积为1，求的周长． 17．已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 18．某摩天轮的直径为米，最高点距离地面达110米，共有个座舱（图为摩天轮示意图）．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），.求 (1)的解析式； (2)甲进舱分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人第一次距离地面高度相等？ 19．已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，，    (1)求； (2)求. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理计算直接得出结果. 【详解】在中，由余弦定理得， ， 由解得. 故选：D 2．函数 的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 【答案】A 【详解】， 所以最小正周期. 3．已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理可将角化为边，再利用余弦定理计算可得，即可得为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得，设， 则，，，， 故为钝角，即的形状为钝角三角形. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解. 【详解】由， 故， 故，故，即. 5．若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因是偶函数，则， 即，也即函数是偶函数，则， ，则得，所以， 则. 6．已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，由题可得三点共线，时，最小，据此可得，根据数量积的运算律求结论. 【详解】设，， 则， 从而三点共线. 当时，最小， 则时，，又，从而 ，又三点共线，则，故， 所以. 7．中，内角的对边分别是，，且，，若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化可得的大小，进而利用余弦定理求解长度，可判断三角形为直角三角形，进而根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由可得, 故,由于，故 , 由余弦定理可得，故，， 由得,故， 由于，，，故, 故. 8．如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意得到，再由，求解. 【详解】由题意知：，则， ，， 则，， 所以，解得， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据两角和的余弦公式可判断A，根据二倍角的余弦公式可判断B，根据两角和的正切公式可判断C，根据两角差的正切公式可判断D. 【详解】A，根据两角和的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； B，根据二倍角的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； C，根据两角和的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，即， 所以，正确； D，根据两角差的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，正确. 10．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．为偶函数 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【详解】A.余弦函数的最小正周期公式为， ，所以，故A正确． B.，故B错误． C.， 是奇函数，不是偶函数，故C错误． D.余弦函数的对称轴是使函数取到最值的位置，即， 解得，当时，，是函数的一条对称轴，故D正确． 11．在中，，且为边的中点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】由余弦定理、正弦定理及同角三角函数基本关系化简可得，判断A；由结合余弦定理计算判断B；由二倍角公式结合二次函数性质计算判断C，由向量数量积运算律计算判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得，， 所以， 由正弦定理可得， 而，所以， 因为在中，， 所以，即，故，故A正确； 对于B，由A可知，为等腰三角形，所以， 因为是边的中点， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得，故B正确； 对于C，因为，，所以， 故， 因为，所以，令，， 由二次函数性质可知，当，即时，有最大值，即， 因为，所以不成立，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，若、、三点共线，则______. 【答案】/ 【分析】根据向量共线可得，即可根据正切的二倍角公式求解. 【详解】,由于、、三点共线，故共线， 因此，故， 则 13．甲、乙两人分别从相距3千米的两地出发，沿直线方向前往同一目的地.甲的速度是乙的一半，到达时，两人所用时间相同.则由三地围成的三角形面积的最大值为________平方千米. 【答案】3 【分析】根据题意可得，即，再结合余弦定理及三角形面积公式用表示出面积，利用配方法求最值即可． 【详解】由题意可知，在中，，记角所对的边分别为 ， 故当时，此时取最大值9，故面积的最大值为3平方千米. 14．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 【答案】 【分析】由最小值可得的最小正周期，从而可得，再将代入计算即可得. 【详解】由最小值为，则的最小正周期为，即， 则，， 解得，又，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设两个向量，满足． (1)若，求的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算及垂直的坐标公式列式求解即可. （2）根据向量的数量积的坐标运算以及共线的坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以，解得. （2）因为，所以. 若为钝角，所以，且不反向共线. 由，所以，解得. 设，解得（两向量同向舍去）. 所以实数的取值范围为. 16．记的内角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若的面积为1，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出A，解法1由正弦定理及两角差的正弦公式化简可得，即可由同角三角函数基本关系求，解法2由正弦定理及条件可得，再由余弦定理及正弦定理求解； （2）解法1由正弦定理及面积公式求出即可得解，解法2由正弦定理及条件得出，在直角三角形中设，再由面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理，可得， 且，则， 解法1：， 由正弦定理：，， 所以，即， 又因为，解得， 因为，所以； 解法：因为，， 所以由，即， 不妨设， 由余弦定理，即， 解得， 由正弦定理，， 所以. （2）解法1： 由（1）知，，，， 由正弦定理，， 于是， ， 所以， 解得，所以， 所以； 解法2：由（1），，， 则，所以， 如图，延长，过点作， 由，则， 设， 所以， 所以， 则解得， 于是. 17．已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由三角恒等变换和辅助角公式化简，求出单调区间； （2）转化为两函数图象交点个数问题，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）由题可得， ， 令，， 解得，， 故单调递增区间为，； （2）由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故，则，即. 18．某摩天轮的直径为米，最高点距离地面达110米，共有个座舱（图为摩天轮示意图）．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），.求 (1)的解析式； (2)甲进舱分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人第一次距离地面高度相等？ 【答案】(1) (2)85 (3) 【分析】（1）首先根据周期求，再根据最值求和，根据初始的高度求，即可求得函数的解析式； （2）根据（1）的结果，代入求值； （3）首先设甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，并求，经过后，分别求甲和乙的高度，根据高度相等求. 【详解】（1）摩天轮转动t分钟时游客的高度， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期， 则，所以， 由题意可得，，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， （2）由（1）知，当时，； （3）甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则， 经过后，乙距离地面的高度， 点B相对于A始终落后，甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：，经验证成立， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等． 19．已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，，    (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，为直角三角形且， 由勾股定理，故. 因为，所以，即，解得. 在中，由余弦定理： 代入，，，得 即，. 解得. （2）由，得，. 在中，，，. 由余弦定理：. 代入得，即. 在中，，，. 由余弦定理：. 代入得. 由同角三角函数关系，. 故. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $