2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学模拟卷(四)（辽宁适用）

**基本信息** 高一数学期中模拟卷聚焦必修三向量、三角函数及必修四解三角形，通过汽车测铁塔高度等真实情境和解答题三问递进设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|向量平行、三角函数值域与平移|基础巩固，如第1题向量共线求参数| |选择题（多选）|3/18|向量运算、解三角形性质|能力辨析，如第11题三角形多选项判断| |填空题|3/15|三角函数图象、向量数量积、三角形面积|直观应用，如12题由图象求解析式| |解答题|5/77|扇形面积、解三角形证明与计算、三角函数单调性、向量表示与最值|综合创新，如19题分层设问（求角、周长、面积范围），体现推理与模型意识|

2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，.若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．若函数的图象向右平移后图象关于对称，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶100m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A． B． C． D． 5．已知，在上单调递增，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 7．已知、均为锐角，且，，，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的是（   ） A．对任意向量，，，都有 B．已知向量与单位向量同向，且，，则 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 11．在中，角所对的边分别为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则， B．若为锐角三角形，则可能有 C．若，，，则解此的结果有一解． D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的部分图象如图所示，则为________. 13．平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 14．在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 17．已知函数的部分图象如下图所示. (1)求的解析式及单调减区间； (2)若对任意，有，求实数的最小值. 18．如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点（即），设，. (1)用基底表示向量，，； (2)若点为线段上的动点，求的最小值. 19．在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(四) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示建立方程，解之即可. 【详解】由，得，解得. 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式化简函数，由，可得，从而得到答案. 【详解】，即． 因为，所以， 即，即， 所以函数的值域为． 3．若函数的图象向右平移后图象关于对称，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向右平移后可得函数的图象. 因为其对称轴为，所以，. 所以，. 结合答案，. 4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶100m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到相关角的度数，结合正弦定理求解即可. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 5．已知，在上单调递增，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简得出，由可得出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，且， 所以， 因为在上单调递增，则， 所以，解得. 6．已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即， 由，所以， 因为，则， 所以，而，则，且， 所以，则得. 7．已知、均为锐角，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为、均为锐角，且，所以. 由； 由，所以. 所以. 8．在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得,为三角形外接圆半径. 代入，，得. 因此，. 因为，，所以，且. 则 由，得，所以. 故，即的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先利用三角函数的基本关系式，求得，结合基本关系式和正弦和余弦的倍角公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以A正确； 对于B，由，所以B不正确； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由，所以D正确. 10．下列说法中正确的是（   ） A．对任意向量，，，都有 B．已知向量与单位向量同向，且，，则 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．Q是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】BCD 【分析】对于A，利用向量数量积的性质即可判断；对于B，先写出的坐标，再利用同向单位向量的公式计算；对于C，利用投影向量公式判断；对于D，利用向量加法和数乘向量的意义即可计算判断. 【详解】对于A，对任意向量，，，和均为实数， 设，，则，， 而和关系不明确，故不一定成立，A错误； 对于B，，单位向量与向量同向， 则，B正确； 对于C，依题意有， 则在上的投影向量为，C正确； 对于D，如图，分别取，，则， 即得平行四边形，故，又因为，， 所以，，故， 即的面积是的面积的2倍，D正确. 11．在中，角所对的边分别为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则， B．若为锐角三角形，则可能有 C．若，，，则解此的结果有一解． D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 【答案】AD 【分析】选项A：若，可利用大角对大边及正弦定理推导；选项B：因为三角形内角和，所以，利用正切的两角和公式变形，可推导与的关系，再结合锐角三角形的条件判断等式是否可能成立；选项C，利用正弦定理计算的值，根据的取值范围及三角形解的个数判定规则，判断解的个数；选项D，因为，根据正弦定理可得三边之比，可设三边为；再利用余弦定理计算内角余弦值，进而得到正弦值，结合外接圆半径公式求出；利用三角形面积公式和建立等式求出，最后计算的值. 【详解】选项A，在中，在上单调递减，因此可推出； 根据大角对大边，，结合正弦定理，可得，A 正确； 选项B，由得，对等式两边取正切，整理后恒有：， 该等式对所有非直角三角形都成立，锐角三角形恒满足该等式，不是“可能成立”，表述错误，B 错误； 选项C，已知，由正弦定理得：， 又，因此既可以是锐角也可以是钝角，该三角形有两解，C 错误； 选项D，由正弦定理得， 设： 由余弦定理得，因此，结合正弦定理，得， 半周长，三角形面积，结合得， ，D 正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的部分图象如图所示，则为________. 【答案】 【详解】由图象得的最大值为3，最小值为，所以， ，解得，所以， 又过点，代入可得，所以， 则，解得， 因为，所以. 13．平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 14．在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以 ， ， 所以， 则的面积为. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【答案】（1）（2）时，面积S取得最大值 【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式及二次函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）设扇形半径为，圆心角为， 由题意得， 解得（舍去），． 所以扇形圆心角为． （2）设扇形半径为，弧长为， 由已知得，． 所以扇形面积， 所以当时，S取得最大值，此时，解得． 当扇形的圆心角为2弧度时，这个扇形的面积最大为． 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【详解】（1）由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2）由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 17．已知函数的部分图象如下图所示. (1)求的解析式及单调减区间； (2)若对任意，有，求实数的最小值. 【答案】(1)，单调递减区间为， (2) 【分析】（1）根据图象得到，，代入特殊点的函数值得到，确定函数解析式并求出单调递减区间； （2）先求出时，函数的值域，并转化为，从而求出答案. 【详解】（1）由题意得，设函数的最小正周期为，则，解得， 又，故，解得，则， 将代入上式可得，，即， 又，故，故，解得， 所以； 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，； （2），则，， 所以， 对任意，有，只需， 即，故的最小值为. 18．如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点（即），设，. (1)用基底表示向量，，； (2)若点为线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1)，， (2)3 【分析】（1）应用平面向量的加法及减法，数乘运算应用平面向量基本定理计算求解； （2）先应用平面向量基本定理表示向量，再应用平面向量数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1） . （2）设，， 则， ， 所以 当时，取得最小值为3. 19．在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $