精品解析：广东汕头市潮阳区河溪中学2025-2026学年高一第二学期质检数学试卷

河溪中学 2025-2026 学年度第二学期质检 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　） ①的最小正周期为； ②直线是函数图象的一条对称轴； ③函数在上单调递增； ④将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则有两解 11. 函数，则关于的下列说法中正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于点中心对称 C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 已知向量满足与的夹角为，则_____． 13. 三角形中，角所对的边分别为，若 ，则_____________． 14. 位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是______海里. 四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 16. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 17. 近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x（0＜x≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为万元，满足：． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 19. 已知函数的图象关于原点对称． （1）求实数的值； （2）若，求的取值范围； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河溪中学 2025-2026 学年度第二学期质检 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，即， 又，故. 2. 《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件； 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件； 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，，故. 4. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为，所以，， 所以. 5. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知：， 则向量减法的三角形法则，可得：， 又因为，，所以. 6. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，，， 则在上的投影向量为. 7. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　） ①的最小正周期为； ②直线是函数图象的一条对称轴； ③函数在上单调递增； ④将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数图象可得函数的解析式为，再由正弦型函数的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由图象可知，，且，所以， 且，即，所以①正确， 由①选项可知，，所以，即， 又因为， 所以，，即，， 且，所以，则， 因为，为的最大值， 正弦函数在最值点处为对称轴，所以②正确， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， 当时，得函数在上单调递增，则在上先增后减，③错误； 将函数的图象向右平移个单位可得： ，故④正确. 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围. 【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即， 解得：，，当且仅当时取等号， 又，因此b＋c的取值范围是. 故选：B 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案 【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得判定A、B正确；由，可得或，可判定C错误；根据，可得判定D正确. 【详解】对于A中，因为，由正弦定理可得，所以，所以A正确； 对于B中，因为，由正弦定理可得，所以，所以B正确； 对于C中，因为，可得或，即或， 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形，所以C不正确； 对于D中，因为，满足, 所以该三角形有两个解，所以D正确． 故选：ABD. 11. 函数，则关于的下列说法中正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于点中心对称 C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由三角恒等变形化简，再根据正余弦型函数的性质逐项判断即可． 【详解】 ， 函数的最小正周期，故A正确； 当时，，所以函数图象不关于点中心对称，故B错误； 当时，， 当，即时，，故在区间上不单调，故C错误； 为偶函数，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 已知向量满足与的夹角为，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为  所以. 13. 三角形中，角所对的边分别为，若 ，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，利用给定等式，结合同角公式求出，进而求出角. 【详解】在中，由正弦定理及，得，而， 则，两边平方得, 于是，而，则，于是，， 而，根据大边对大角，不可能是钝角，所以. 故答案为： 14. 位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是______海里. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 故答案为：. 四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 16. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 17. 近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x（0＜x≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为万元，满足：． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 【答案】（1）； （2）当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元． 【解析】 【分析】（1）由已知条件，根据利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本即可建立年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式； （2）根据（1）所得分段函数，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案． 【小问1详解】 当0＜x≤20时，＝x﹣（180+450x）＝610x﹣2x2﹣180﹣450x＝﹣2x2+160x﹣180， 当20＜x≤50时， 所以，. 【小问2详解】 当0＜x≤20时，＝﹣2x2+160x﹣180＝﹣2（x﹣40）2+3020， 则函数在（0,20]上单调递增，故当x＝20时，取得最大值，且最大值为2220； 当20＜x≤50时， ， 当且仅当，即x＝30（负值舍去）时等号成立，此时取得最大值，且最大值为2270， 因为2270＞2220， 所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，即可根据正弦型函数的性质求其周期和递增区间； （2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值； （3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为 由，可得， 故函数的单调增区间为. 【小问2详解】 由（1）已得，则， 因，则，故， 则 . 【小问3详解】 在中，， 因，可得， 故，解得，则， 故， 因，则，故， 则，即的取值范围为. 19. 已知函数的图象关于原点对称． （1）求实数的值； （2）若，求的取值范围； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，代入表达式化简后即可得到答案； （2）先由（1）得的表达式，再根据函数单调性的定义，任取并作差，通过判断差的正负来证明在上单调递减，由函数的单调性即可得到的取值范围； （3）先化简不等式左边得到，再代入的表达式，换元转化为函数最值问题，最后观察函数的单调性求出最小值，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 令可得，，解得， 因此，实数的值为. 【小问2详解】 由（1）可知，则，则任取且， 则，即，因此函数在上单调递减， 由，解得，又由于，所以的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以即， 令，因为，所以，则不等式转化为，整理得， 设，则， 因为，且函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $