专题06 求数列的通项公式（抢分专练）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题06 求数列的通项公式 题型 考情分析 考向预测 1．观察法求通项 2025年天津卷：6题、19题分别考查了Sn与an关系求通项； 2024年天津卷：19题题考查了数列求通项和求和； 2023年天津卷： 5题、19题考查了等比数列通项公式和求和；   近三年共性规律：必考，解答题第1问+小题组合，5-11分；高频递推模型：Sn型、线性递推（一阶/二阶）、差比型；核心要求：转化为等差/等比、n=1验证、多解取舍。 2.由Sn与an关系求通项 3.累加、累乘法求通项 4.构造法求通项 5.倒数法求通项 题型1 观察法求通项 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 【例1】（2026·天津·月考）数列的一个通项公式可以是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可. 【详解】因为 所以该数列的一个通项公式可以是 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误. 故选：A. 【变式1-1】（2026·天津和平·一模）已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由. 所以. 故选项C正确. 【变式1-2】（2025·天津河西·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察得到中的奇数项都是数列中的项，即，其为公比为4的等比数列，求出，得到答案. 【详解】数列中的项为， 观察得到中的奇数项都是数列中的项， 即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列， 故，故. 故选：D 题型2由Sn与an关系求通项 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一） 【例2】（2026·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是 ． 【答案】 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】当时，， 当时， ， 当时，， 故， 故答案为： 【变式2-1】（2026·天津·月考）已知数列的前n项和，则= ． 【答案】 【分析】根据数列的递推关系中与的关系求解，要注意验证. 【详解】当时，； 当时，. 又也满足，所以. 故答案为：. 【变式2-2】（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项. 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 题型3 累加、累乘法求通项 累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 【例3】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 【变式3-1】（2025·天津·模拟预测）已知数列{}满足 则数列 {}的通项公式 = ，若数列{}对任意的 恒成立，则实数k的最小值为 【答案】 / 【分析】运用累和法，结合等比数列的前项和公式，再利用参变量分离法、构造新数列、差比法判断新数列的单调性，最后根据数列的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时， ； ， 设，， 当时，，， 当时，，因此是数列的最大项 要想数列{}对任意的 恒成立， 只需， 故答案为：； 【变式3-2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解. 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 题型4 构造法求通项 1、形如（其中均为常数且）型 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列． 2、形如型 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列； （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以， 得：，引入辅助数列（其中），得：。 【例4】（25-26高三下·天津·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，可求出的值，当时，由可得，两式作差可判断出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高三上·天津西青·期中）已知数列，下列结论不正确的是（） A．若为等比数列，则数列是等差数列 B．若，，则 C．若，，则 D．若为等差数列，则数列是等比数列 【答案】A 【分析】对于A，当是负数构成的等比数列时，此时没有意义；对于B，构造等比数列即可求解数列的通项；对于C，用累加法求解即可；对于D，根据等比数列的定义证明即可. 【详解】对于A，若是负数构成的等比数列，此时没有意义，故A错误； 对于B，等价于， 数列是以为首项，公比为2的等比数列， ，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，若为等差数列，可设， （常数） 数列是等比数列，故D正确. 故选：A. 题型5 倒数法求通项 形如an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 【例5】（2025·天津南开·模拟预测）已知数列满足，，则的值为 . 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 则，所以. 故答案为： 【变式5-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可. 【详解】， ， 即， 两边同时除以得：， 即， 令，则， 则是首项为，公差为的等差数列， 则，即， 则，则. 故选：D 【变式5-2】（2026·天津·模拟预测）已知各项均不为0的数列满足，且，则 ． 【答案】/ 【分析】将取倒数化简可得，即判断为等差数列，即可求得的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意知数列满足，即， 即， 即为首项是，公差为1的等差数列， 故， 故， 故答案为： 1.（2025·天津河西·模拟预测）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可. 【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正， 而分母可归纳为，分子可归纳为， 故数列的一个通项公式是，故B正确. 故选：B 2．（2026·天津北辰·一模）已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质求出，然后转化求解即可. 【详解】数列为等比数列，，且， 可得，所以，所以， 所以， 又，则. 3．（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 4．（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项可得，进而可得和，代入等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，可得，则等比数列公比， 且首项，所以. 5．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 6．（23-24高三上·湖南长沙·月考）已知数列的前n项和为，若，，则有（   ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】D 【分析】根据得到，可判断选项A和B；根据，得到可判断选项C和D. 【详解】由题意，数列的前项和满足， 当时，，两式相减，得， 所以，即， 又由，当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 故数列既不是等差数列也不是等比数列，故A错误，B错误； 当时，，，， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故D正确，C错误. 故选：D. 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到. 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 9．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由累乘法可求得，代入求值即可. 【详解】，即， 所以，, 显然满足上式，所以， 则. 故选：C. 10．（24-25高三上·天津河西·期中）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察得到中的奇数项都是数列中的项，即，其为公比为4的等比数列，求出，得到答案. 【详解】数列中的项为， 观察得到中的奇数项都是数列中的项， 即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列， 故，故. 故选：D 11．（2025·天津滨海新·月考）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法可数列的通项公式. 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 12．（2025·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解. 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 13.（2026·天津滨海新·月考）已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查累加法在求数列通项公式中的应用及单调性在求数列的最小项中的应用.先由题设，然后利用累加法求得，进而求得，再利用单调性求得其最小值. 【详解】 ， 将以上式子相加，可得：， 即，又当时，有也适合上式， ，易知：当时，单调递减； 当时，单调递增，又的最小值为. 故答案为： 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 求数列的通项公式 题型 考情分析 考向预测 1．观察法求通项 2025年天津卷：6题、19题分别考查了Sn与an关系求通项； 2024年天津卷：19题题考查了数列求通项和求和； 2023年天津卷： 5题、19题考查了等比数列通项公式和求和；   近三年共性规律：必考，解答题第1问+小题组合，5-11分；高频递推模型：Sn型、线性递推（一阶/二阶）、差比型；核心要求：转化为等差/等比、n=1验证、多解取舍。 2.由Sn与an关系求通项 3.累加、累乘法求通项 4.构造法求通项 5.倒数法求通项 题型1 观察法求通项 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 【例1】（2026·天津·月考）数列的一个通项公式可以是 （    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·天津和平·一模）已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·天津河西·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 题型2由Sn与an关系求通项 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一） 【例2】（2026·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是 ． 【变式2-1】（2026·天津·月考）已知数列的前n项和，则= ． 【变式2-2】（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 题型3 累加、累乘法求通项 累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 【例3】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【变式3-1】（2025·天津·模拟预测）已知数列{}满足 则数列 {}的通项公式 = ，若数列{}对任意的 恒成立，则实数k的最小值为 【变式3-2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 题型4 构造法求通项 1、形如（其中均为常数且）型 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列． 2、形如型 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列； （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以， 得：，引入辅助数列（其中），得：。 【例4】（25-26高三下·天津·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·天津西青·期中）已知数列，下列结论不正确的是（） A．若为等比数列，则数列是等差数列 B．若，，则 C．若，，则 D．若为等差数列，则数列是等比数列 题型5 倒数法求通项 形如an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 【例5】（2026·天津南开·模拟预测）已知数列满足，，则的值为 . 【变式5-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·天津·模拟预测）已知各项均不为0的数列满足，且，则 ． 1.（2025·天津河西·模拟预测）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·一模）已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 4．（2026·天津河北·一模）已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（   ） A． B．4 C． D． 5．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·湖南长沙·月考）已知数列的前n项和为，若，，则有（   ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 9．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 10．（24-25高三上·天津河西·期中）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·天津滨海新·月考）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 12．（2025·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 13.（2026·天津滨海新·月考）已知数列满足，则的最小值为 . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $