专题05 计数原理、随机变量概率及分布列（抢分专练）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题05 计数原理、随机变量概率及分布列 题型 考情分析 考向预测 1．二项式定理 2025年天津卷：5题、11题、13题分别考查了正态分布、二项定理、概率； 2024年天津卷：3题、11题、13题考查了统计、二项定理、概率； 2023年天津卷： 7题、11题、13题考查了统计、二项定理、概率；   该部分考查的必备知识在选择题和填空题中常常考查排列组合、二项式定理、抽用样本估计总体等,解答题则以利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题为主。 2.事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 3.离散型随机变量的均值或数学期望 4.正态分布 题型1 二项式定理 二项式定理：，(展开式有n+1项) (1)展开式通项公式： (2)二项式系数和： 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 (3)当n为偶数时，二项式系数最大的项为正中间的一项；当n为奇数时，二项式系数最大的项为正中间的两项； 【例1】（2026·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 【变式1-1】（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 【变式1-2】（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 题型2事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1.条件概率：在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式 2.概率乘法公式：对于任意两个事件和，若，则 (1)若与是两个互斥事件，则 (2)设与互为对立事件，则 3.全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且,，则对任意的事件， 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 事件相互独立 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【例2】（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【变式2-1】（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【变式2-2】（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 题型3 离散型随机变量的均值或数学期望 (1)期望(均值)： (2)方差：；(3)标准差： 2.(1)均值的性质：；(2)方差的性质： 3.(1)若（二项分布、两点分布） 则 (2)若服从超几何分布，则 4.(1)二项分布：随机变量X服从二项分布，即， (2)超几何分布：随机变量X服从超几何分布，则，的取值根据实际数据确定：属于古典概型 【例3】2．（25-26高三上·天津·期末）Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为______；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为______． 【变式3-1】12．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【变式3-2】13．（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 题型4 正态分布 1．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 2．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【例3】（2026·天津和平·一模）已知下列三个命题：其中真命题的序号是（   ） ①数据的第60百分位数为3； ②若随机变量服从二项分布，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式3-1】（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】8．（2026·湖南邵阳·一模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 一、单选题 1．（25-26高三上·天津河东·期末）下列命题错误的是（   ） A．设，若，，则 B．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中的黄球个数，则服从超几何分布，且 2．（25-26高三上·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为．若一个样本点为，则实数的值是2 B．进行经验回归方程分析时，可以用决定系数来比较模型的拟合效果，越小，表示残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则 3．（25-26高三上·天津蓟州·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 B．设且，则 C．已知直线与平面、，若，，则. D．已知随机变量服从二项分布，若，则 4．（25-26高三上·天津西青·期末）下列说法中正确的是（    ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．若随机变量服从正态分布，且，则 5．（25-26高三上·天津·期末）下列说法不正确的是（   ） A．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，没有充分的证据推断与有关联 B．极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度 C．若事件、发生的概率分别为、，且，则与独立 D．若随机变量，且，则 6．（25-26高三上·天津·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．已知变量和变量的四对随机观测数据为，则关于的经验回归直线一定经过点 B．在研究吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验中，计算得到，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关联，且此推断犯错误的概率不大于0.001 C．若随机变量，则 D．在1，4，7，8，11，15这组数据中，第50百分位数为7.5 7．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，变量每增加1个单位，平均减少个单位 C．若随机变量，满足，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 8．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 9．（2026·天津红桥·一模）二项式的展开式的常数项___________． 10．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 11．（2026·天津河西·一模）在的展开式中，常数项为______． 12．（2026·天津宁河·一模）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 13．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______． 14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________． 15．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 16．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 17．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 18．（25-26高三上·天津·期末）盒中有3个红球、5个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）．随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球，则第二次取出的球是黑球的概率为___________；在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为___________． 19．（25-26高三上·天津南开·期末）甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则______；______． 20．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为______；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为______. 21．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 22．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 23．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 计数原理、随机变量概率及分布列 题型 考情分析 考向预测 1．二项式定理 2025年天津卷：5题、11题、13题分别考查了正态分布、二项定理、概率； 2024年天津卷：3题、11题、13题考查了统计、二项定理、概率； 2023年天津卷： 7题、11题、13题考查了统计、二项定理、概率；   该部分考查的必备知识在选择题和填空题中常常考查排列组合、二项式定理、抽用样本估计总体等,解答题则以利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题为主。 2.事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 3.离散型随机变量的均值或数学期望 4.正态分布 题型1 二项式定理 二项式定理：，(展开式有n+1项) (1)展开式通项公式： (2)二项式系数和： 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 (3)当n为偶数时，二项式系数最大的项为正中间的一项；当n为奇数时，二项式系数最大的项为正中间的两项； 【例1】（2026·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项, 令得, 所以的系数为. 【变式1-1】（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 【答案】20 【详解】因为的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 【变式1-2】（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 题型2事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1.条件概率：在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式 2.概率乘法公式：对于任意两个事件和，若，则 (1)若与是两个互斥事件，则 (2)设与互为对立事件，则 3.全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且,，则对任意的事件， 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 事件相互独立 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【例2】（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 / 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 【变式2-1】（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二. 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则； 设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 【变式2-2】（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 题型3 离散型随机变量的均值或数学期望 (1)期望(均值)： (2)方差：；(3)标准差： 2.(1)均值的性质：；(2)方差的性质： 3.(1)若（二项分布、两点分布） 则 (2)若服从超几何分布，则 4.(1)二项分布：随机变量X服从二项分布，即， (2)超几何分布：随机变量X服从超几何分布，则，的取值根据实际数据确定：属于古典概型 【例3】2．（25-26高三上·天津·期末）Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为______；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为______． 【答案】 0.9 8.1 【分析】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被Deep Seek正确回答”，利用全概率公式计算可得；而X服从二项分布，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被Deep Seek正确回答”， 由题意知， 则， ． 已知Deep Seek答对的题数为X，则X服从二项分布， 则． 故答案为：. 【变式3-1】12．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 / 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 【变式3-2】13．（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用二项分布概率公式求解第一空，利用二项分布期望公式求解第二空即可. 【详解】由题意得每名学生被要求用英语回答问题的概率均为， 则用汉语回答的概率为，可得， 由二项分布概率公式得， ， 则至少有2人用英语回答问题的概率为， 由二项分布期望公式得. 题型4 正态分布 1．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 2．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【例3】（2026·天津和平·一模）已知下列三个命题：其中真命题的序号是（   ） ①数据的第60百分位数为3； ②若随机变量服从二项分布，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】命题①：因为，所以这6个数据的第60百分位数是第4个，为3，故①正确； 命题②：若随机变量服从二项分布，则，故②正确； 命题③：因为，且，则，所以，所以，故③错误. 所以A选项正确. 【变式3-1】（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布对称性和性质可判断④. 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，故①错误； 对于②，根据列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01，故②正确； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确； 对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称， 由，若，则，即得， 所以，故④正确. 综上，错误的只有①. 【变式3-2】8．（2026·湖南邵阳·一模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先利用正态分布的对称性求的关系，进而利用基本不等式求最小值. 【详解】由，得正态曲线关于对称. 因为， 所以，得. 又， 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为6. 故选：D 一、单选题 1．（25-26高三上·天津河东·期末）下列命题错误的是（   ） A．设，若，，则 B．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中的黄球个数，则服从超几何分布，且 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望和方差公式、独立性检验的定义，结合相关系数的性质和超几何分布的定义和期望公式逐一判断即可. 【详解】A：因为， 所以由， 所以本选项说法正确； B：因为独立性检验是利用卡方的取值推断两个分类变量是否独立的方法，所以本选项说法不正确； C：因为两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以本选项说法正确； D：一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机摸出1个球是黄球的概率为. 因为从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中的黄球个数， 所以服从超几何分布，且，所以本选项说法正确. 故选：B 2．（25-26高三上·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为．若一个样本点为，则实数的值是2 B．进行经验回归方程分析时，可以用决定系数来比较模型的拟合效果，越小，表示残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则 【答案】D 【分析】由回归方程不一定过样本点可判断A；根据决定系数的意义可判断B；根据二项分布的期望和方差公式列方程计算可判断C；利用正态分布的对称性求解可判断D. 【详解】对A，回归方程不一定过样本点，所以无法求出的值，错误； 对B，决定系数越小，残差平方和越大，拟合效果越差，错误； 对C，若，则，解得，错误； 对D，若，则， 又，所以， 所以，由对称性可得，正确. 故选：D 3．（25-26高三上·天津蓟州·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 B．设且，则 C．已知直线与平面、，若，，则. D．已知随机变量服从二项分布，若，则 【答案】C 【分析】选项A，根据百分位数的概念计算. 选项B，根据正态分布的图像和概念. 选项C，根据线面垂直，面面垂直的性质. 选项D，根据二项分布的期望公式计算. 【详解】选项A，数据：1， 2， 2， 3， 5， 8， 15， 20(共8个)， 计算位置， 向上取整为第5个数5，选项A错误. 选项B，，正态曲线关于对称， ，则， ，选项B错误. 选项C，由，在内作直线 因，故，又，所以. 选项C正确. 选项D，，则 解得. 选项D错误. 故选；C 4．（25-26高三上·天津西青·期末）下列说法中正确的是（    ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【分析】利用百分位数的定义计算可判断A；利用相关系数的意义可判断B；利用独立性检验的意义可判断C，根据正态分布的对称性求解可判断D. 【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为从小到大排列得到的第五个数5，故A错误； 对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故B错误； 对于C，根据小概率值的独立性检验：，因为，则不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，故C错误； 对于D，因为服从正态分布，且， 所以，故D正确； 故选：D. 5．（25-26高三上·天津·期末）下列说法不正确的是（   ） A．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，没有充分的证据推断与有关联 B．极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度 C．若事件、发生的概率分别为、，且，则与独立 D．若随机变量，且，则 【答案】A 【分析】对于A，结合独立性检验的性质判断即可；对于B，根据极差、方差、标准差的定义判断即可；对于C，根据事件独立的定义判断即可；对于D，根据正态分布的对称性求解判断即可. 【详解】对于A：由于，根据的独立性检验，可以认为变量与有关联，故A错误； 对于B：根据极差、方差、标准差的定义，极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度，故B正确； 对于C：根据定义，若，则称事件与相互独立，故C正确； 对于D：由，，则， 所以，故D正确. 故选：A. 6．（25-26高三上·天津·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．已知变量和变量的四对随机观测数据为，则关于的经验回归直线一定经过点 B．在研究吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验中，计算得到，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关联，且此推断犯错误的概率不大于0.001 C．若随机变量，则 D．在1，4，7，8，11，15这组数据中，第50百分位数为7.5 【答案】C 【分析】利用经验回归直线必经过样本中心点判断A选项；利用独立性检验判断B选项；利用正态分布的对称性判断C选项；计算百分位数判断D选项. 【详解】选项A：经验回归直线必过样本中心点，计算得，故直线过，A正确； 选项B：，根据小概率值的独立性检验， 认为吸烟与患肺癌有关联，且推断犯错误概率不大于，B正确； 选项C：正态分布关于对称， 故，而非，C错误； 选项D：个数据的第百分位数为中位数，第个数据是，第个数据是， 中位数为，D正确. 故选：C 7．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，变量每增加1个单位，平均减少个单位 C．若随机变量，满足，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【分析】对于A，根据第60百分位数为判断；对于B，根据系数为正判断B；根据线性关系判断C；根据正态分布的对称性判断D. 【详解】对于A，由于，所以第60百分位数为，故错误； 对于B，线性回归方程中，变量每增加1个单位，平均增加个单位，故错误； 对于C，，，故错误； 对于D，随机变量服从正态分布，且，故，所以，故正确. 故选：D 8．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 【答案】45 【详解】根据二项式定理， 的展开式为 . 要在 的展开式中得到 项，需分两种情况计算： 1. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分 的系数为 . 2. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分的系数为. 综上所述， 的系数为 . 9．（2026·天津红桥·一模）二项式的展开式的常数项___________． 【答案】120 【详解】的通项是 令，解得 所以常数项为 10．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】60 【详解】由二项式定理，展开式的通项为. 令，解得，将代入通项，得的系数为. 11．（2026·天津河西·一模）在的展开式中，常数项为______． 【答案】 【详解】由题设，， 令，则常数项为. 12．（2026·天津宁河·一模）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】/ 【详解】二项式的展开式第项为， 令得，，即的系数为. 13．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______． 【答案】20 【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 15．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 / 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 16．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 17．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率可求第一空答案，利用条件概率的公式可求第二空的答案. 【详解】设事件=“摸出的球中没有二星球”，则事件包含两个互斥事件：第一次摸出了白色一星球，第一次摸出了黄色一星球同时第二次摸出了白色一星球， . 设事件“第1次摸出白球”， 事件“第2次摸出二星球”， ，， 所以. 故答案为：   18．（25-26高三上·天津·期末）盒中有3个红球、5个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）．随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球，则第二次取出的球是黑球的概率为___________；在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为___________． 【答案】 / / 【分析】利用全概率公式计算即可求得第二次取出的球是黑球的概率，再结合条件概率以及乘法公式计算可得在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率. 【详解】根据题意记“第一次取出红球”为事件，“第二次取出黑球”为事件， 易知， 再由放球规则可知，第二次取球时袋中共有10个球，所以可得； 由全概率公式可得第二次取出的球是黑球的概率为； 在第一次取出黑球的条件下，第二次取出的球是黑球的概率为. 故答案为： 19．（25-26高三上·天津南开·期末）甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观，每人只去一个大学，设事件为“4个人去的大学各不相同”，事件为“只有甲去了大学”，则______；______． 【答案】 【分析】先根据乘法原理得每人只去一个大学共有种不同情况，再分别讨论事件的不同情况，最后根据古典概率模型与条件概率公式求解对应概率即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四位同学到四个大学的实验室参观， 每人只去一个大学，共有种不同情况； 事件为“4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 事件为“只有甲去了大学”，共有种不同情况， 事件为“甲去了大学且4个人去的大学各不相同”，共有种不同情况， 所以，，， 所以. 故答案为：； 20．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为______；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为______. 【答案】 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空． 【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”， 所以 设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”， 则 所以 故答案为：； 21．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 /； . 【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量的所有可能取值为，，，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望. 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 22．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二. 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则； 设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 23．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 【答案】 2 【分析】设甲,乙在猜谜活动中猜对分别为事件、，根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可求出甲获胜的概率；分析出甲获胜的次数服从二项分布，再根据二项分布的期望公式计算即可. 【详解】设甲在猜谜活动中猜对为事件，设乙在猜谜活动中猜对为事件， 则由题意知，甲猜对的概率，乙猜对的概率. 在一次猜谜活动中，甲获胜即甲猜对，乙猜错为事件， 则甲获胜的概率； 由题意可知，甲获胜的次数服从二项分布， 所以随机变量的期望为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $