专题 统计（专项训练）数学湘教版选择性必修第二册

专题 统计 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相关系数的计算 题型二、相关指数的计算及分析 题型三、一元线性回归模型 题型四、非线性回归模型 题型五、独立性检验 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相关系数的计算 1．已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大 【答案】B 【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关， 所以B正确，A错误； 由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误， 由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大， 而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误. 故选：B. 2．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【详解】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. 3．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 【答案】0.98 【详解】由题设，，， ， 所以. 故答案为：. 4．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 【答案】 【详解】因为，，所以． 由， 解得，所以． 故答案为： 5．下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】对于①，数据均在上，故样本相关系数为1， 对于③，数据均在上，故样本相关系数为-1， 对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0， 对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故， 事实上， ， 其中，故， 故， 综上，样本相关系数最小的是③. 故选：C 题型二、相关指数的计算及分析 1．某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为，则拟合效果最好的模型是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】越大，则回归模型的拟合效果越好， 因为，所以拟合效果最好的是模型丁． 故选：D. 2．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 【答案】C 【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对； 对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对； 对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错； 对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对. 故选：C. 3．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 【答案】D 【详解】A选项，回归方程，则变量与负相关，A选项错误. B选项，值越小，则模型的拟合效果越差，B选项错误. C选项，数据，，…，的方差为，C选项错误. D选项，连续射击三次， 事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”， D选项正确. 故选：D 4．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（    ） A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 【答案】ACD 【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确； 对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误； 对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确； 对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确． 故选：ACD． 5．今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下： 服务人员增量x/人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58 据此，建立了y与x的两个回归模型：    模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为； 模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近． 对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中， (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）； (2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数 【答案】(1)＝21.3－14.4 (2)模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，92.1万元． 【详解】（1）令，则. 由参考数据得 ＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4， 所以，模型②中y关于x的经验回归方程为＝21.3－14.4． （2）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即， 模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好 当x＝25时，模型②的收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(万元)． 所以预测服务人员增加25人时的年收益增量为92.1万元． 题型三、一元线性回归模型 1．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【答案】C 【详解】依题意，， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元. 故选：C. 2．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给数据，及参考公式，求线性回归方程即可. 【详解】由题中的数据可知 所以 所以 所以y关于x的线性回归方程为 故选：D 3．由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为 . x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 【答案】 【详解】，， 线性回归方程恒过， 所以，解得：. 故答案为：. 4．某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 【答案】(1) (2)4.5万人 【详解】（1）解：由统计表格中的数据，可得，， 且， 则， 可得， 所以关于的线性回归方程为. （2）解：由（1）知：线性回归方程为， 当时，可得. 由此预测第7个月的打卡人数为4.5万人. 5．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1~6月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 昼夜温差X/℃ 10 11 13 12 8 6 就诊人数 23 25 29 26 16 13 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2~5月份的数据，求出关于的线性回归方程；（参考数据：设2~5月份每月5日的昼夜温差的平均数为，就诊人数的平均数为，则，） (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，问：该小组所得线性回归方程是否理想？ 【答案】(1) (2)得到的线性回归方程是理想的 【详解】（1）因为，，所以，， 可得，， 所以关于的线性回归方程为． （2）由（1）可得， 当时，，且； 当时，，且． 可知由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2， 所以得到的线性回归方程是理想的． 题型四、非线性回归模型 1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号). 【答案】④ 【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律． 【详解】根据表中数据，画出图象如下：    通过图象可看出，能比较近似的反映这些数据的规律． 故答案为：④． 2．用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、根据回归方程求原数据中的值 【分析】根据对数运算法则将表达式化简即可求出的值. 【详解】由模型可得，所以； 令，所以，可得； 又因为回归直线方程为，因此，可得. 故选：A 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 【答案】C 【分析】根据题中所给散点图，根据正负相关的概念即可判断A选项；根据水温的变化情况，以及指数函数的单调性，即可判断B选项；根据最小二乘法可求出的回归方程一定经过，即可判断C选项；根据残差的定义可判断D选项． 【详解】对于A选项，观察散点图，变量与具有负的相关关系，A对； 对于B选项，由于函数模型二中的函数， 在时，函数单调递减，且递减速度越来越慢， 所以，模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况，B对； 对于C选项，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过，C错； 对于D选项，根据残差的定义可知，残差真实值预测值，故残差为，D对. 故选：C. 4．某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【答案】(1)模型的拟合程度更好 (2). 【分析】（1）根据相关数据分别计算出和y的相关系数和x和v的相关系数，比较大小，即可得结论； （2）根据最小二乘估计公式求出相关参数，即可得答案. 【详解】（1）令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. （2）由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 5．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5. 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 (1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率. 参考数据：，，，其中. 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， ，，， 所以， . 所以关于的回归方程为. （2）因为中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1， 按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，则选择在品牌官方直播间购物的用户为人，记作， 不在品牌官方直播间购物的用户为人，记作， 从这人随机抽取人，结果有： ，共种， 其中人全是选择在品牌官方直播间购物用户的结果为： ，共种， 所以这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率为. 题型五、独立性检验 1．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【知识点】独立性检验的基本思想、独立性检验的概念及辨析 【分析】根据独立性检验的概念可得正确的选项. 【详解】因为，所以在显著性水平下， 没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的， 故选：B 2．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】独立性检验解决实际问题、独立性检验的概念及辨析 【分析】由独立性检验的原理的理解辨析可判断. 【详解】由题意知观测值，所以对照题中的附表可作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过的结论. 故选：B 3．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 【答案】(1)答案见解析，有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）完善的列联表并计算的值，即可得出结论； （2）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率可得出其分布列及其期望值. 【详解】（1）根据题意，可得如下的的列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 6 24 30 喜欢阅读纸质书 12 18 30 总计 18 42 60 则， 所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关. （2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名， 所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 由超几何分布的分布列可得，, ，； 所以X的分布列为： 0 1 2 3 则期望为. 4．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)有关联 【分析】（1）根据题干表格，完善列联表即可； （2）计算出卡方，即可判断. 【详解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件， 由此可得列联表如下： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 根据列联表数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于． 5．为了了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表： 年龄 心肺疾病 合计 患心肺疾病 不患心肺疾病 大于40岁 16 小于等于40岁 12 合计 40 已知在40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的市民的概率为． (1)请将列联表补充完整； (2)已知在大于40岁且患心肺疾病的市民中，有4名重症患者，专家建议以重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出2人，记需住院治疗的人数为，求的分布列和数学期望； (3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， (3)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关． 【分析】（1）根据题意，求得抽到不患心肺疾病的市民的人数为人，进而完成列联表 （2）根据题意，得到需住院治疗的人数为可能取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）由（1）中的列联表，求得，结合附表，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意知，在40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的市民的概率为， 所以抽到不患心肺疾病的市民的人数为人， 将列联表补充完整，如下表所示： 年龄 心肺疾病 合计 患心肺疾病 不患心肺疾病 大于40岁 16 4 20 小于等于40岁 8 12 20 合计 24 16 40 （2）解：由题意知，需住院治疗的人数为可能取值为， 可得，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的数学期望． （3）解：零假设为：是否患心肺疾病与年龄无关， 由（1）中的列联表，可得， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关． 1．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【分析】根据散点图及相关性判断AB，由相关系数性质判断CD. 【详解】对A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确； 对B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 对C，图1正相关，图2负相关，所以C不正确； 对D，因为图2相关程度更强，所以D正确. 故选：C. 2．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 【答案】 【分析】利用相关系数与回归系数的关系，结合已知数据计算．需要先求出，再通过求出分子，最后代入公式得到． 【详解】因为，，所以． 由， 解得，所以． 故答案为： 3．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 【答案】(1) (2)，与之间具有很强的相关性 【分析】（1）由平均数的计算公式得到和； （2）由相关系数的计算公式计算，再由判断相关性. 【详解】（1）依题意， （2）依题意，，，， 所以， 因为，所以与之间具有很强的相关性． 4．某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为，则拟合效果最好的模型是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】线性回归模型中越接近1，效果越好，即可得出答案. 【详解】越大，则回归模型的拟合效果越好， 因为，所以拟合效果最好的是模型丁． 故选：D. 5．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 【答案】D 【分析】根据正相关、相关指数、方差、对立事件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，回归方程，则变量与负相关，A选项错误. B选项，值越小，则模型的拟合效果越差，B选项错误. C选项，数据，，…，的方差为，C选项错误. D选项，连续射击三次， 事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”， D选项正确. 故选：D 6．下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量，若，则 C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为，则 【答案】BD 【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出即可求出的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出. 【详解】由题意， A项， 两个变量的相关系数为，越小, 与 之间的相关性越弱, 故A 错误, 对于 B, 随机变量 服从正态分布 , 由正态分布概念知若 , 则 , 故 B 正确, 对于 , 在回归分析中, 越接近于 1 , 模型的拟合效果越好, ∴ 为 0.98 的模型比 为 0.89 的模型拟合的更好 故 C 错误, 对于 , 某人在 10 次答题中, 答对题数为 , 则数学期望 , 故 D 正确. 故选：BD. 7．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（   ） A．68度 B．52度 C．12度 D．28度 【答案】A 【分析】根据给定数据，求出样本的中心点，进而求出预测值. 【详解】由表格知 根据经验回归直线必过，得， 因此经验回归方程为，当时，． 所以当气温为时，预测用电量约为68度. 故选：A 8．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 【答案】C 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项、B项，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项错误； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：C 9．在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程； (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出和的值，然后求出，进而由，，可求出，从而可求出关于的线性回归方程； （2）当年份为2025年时，年份代码为，由（1）求得的回归方程，求出的值即可． 【详解】（1）由题意可知： ， ， ， 所以， 又， 故关于的线性回归方程为． （2）由（1）可得，当年份为2025年时，年份代码为，此时． 所以可预测2025年该地区该农产品的年产量约为万吨． 10．（多选题）随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（    ） 超市 广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20 销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54 A．销售额与广告支出正相关 B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓 C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近 D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠 【答案】ABD 【分析】作出散点图，由散点图可判断ABD选项；根据线性相关系数与线性相关关系的强弱可判断C选项. 【详解】对于A选项，作出散点图如下图所示：    由散点图可知，销售额与广告支出正相关，A对； 对于B选项，由散点图可知，销售额与广告支出的变化趋势相同， 但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓，B对； 对于C选项，销售额与广告支出线性相关越强，相关系数的绝对值越接近，C错； 对于D选项，由散点图可知，随着的增大而增大，当时，销售额增加幅度变缓， 所以，要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠，D对. 故选：ABD. 11．新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数. 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差)：经过计算得，，，，其中，. (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由； (2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）； (3)由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?（结果保留整数） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1)选择模型①，理由见解析 (2) (3)157 【分析】（1）选择模型①.根据残差的意义直接判断；（2）套公式求出系数，即可得到y关于x的回归方程；（3）将代入，即可求得. 【详解】（1）选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好 （2）由（1），知y关于x的回归方程为，令，则. 由所给数据得：， ，. ，∴y关于x的回归方程为， （3）将代入上式，得(人)， 所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为157人. 12．近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据： x 6 6.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.5 6.8 (1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程； (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量； (3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望． 参考数据和公式：．，． 令，，，． 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】(1) (2)约为万辆 (3)3 【知识点】非线性回归、二项分布的均值、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）先根据数据计算，再根据计算即可求出； （2）将代入回归方程中即可； （3）由题意可知，利用二项分布的期望公式计算即可. 【详解】（1）因为，则， 又，， 由得，，解得， 所以回归方程为． （2）当时，代入回归方程可得 ， 价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量约为万辆． （3） 由题知，，所以，即的数学期望为3． 13．某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年末体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年末体检的人数为（   ）（附：，） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【分析】据独立性检验的原理与知识，列式计算即可得结论． 【详解】由于（*）， 又， 则可得，代入（*）式可得： ，解得或（舍）. 故选：D. 14．某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)答案见解析 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价. 【详解】（1）由表可知：                             所以= , 因为与的相关系数接近1, 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题可知： =                ， 所以 （3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 15．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 【答案】(1)答案见解析，有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）完善的列联表并计算的值，即可得出结论； （2）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率可得出其分布列及其期望值. 【详解】（1）根据题意，可得如下的的列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 6 24 30 喜欢阅读纸质书 12 18 30 总计 18 42 60 则， 所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关. （2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名， 所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 由超几何分布的分布列可得，, ，； 所以X的分布列为： 0 1 2 3 则期望为. 29 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 统计 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相关系数的计算 题型二、相关指数的计算及分析 题型三、一元线性回归模型 题型四、非线性回归模型 题型五、独立性检验 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相关系数的计算 1．已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大 2．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 3．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 4．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 5．下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 题型二、相关指数的计算及分析 1．某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为，则拟合效果最好的模型是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 3．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 4．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（    ） A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 5．今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下： 服务人员增量x/人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58 据此，建立了y与x的两个回归模型：    模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为； 模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近． 对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中， (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）； (2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数 题型三、一元线性回归模型 1．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 2．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（    ） A． B． C． D． 3．由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为 . x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 4．某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 5．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1~6月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 昼夜温差X/℃ 10 11 13 12 8 6 就诊人数 23 25 29 26 16 13 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2~5月份的数据，求出关于的线性回归方程；（参考数据：设2~5月份每月5日的昼夜温差的平均数为，就诊人数的平均数为，则，） (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，问：该小组所得线性回归方程是否理想？ 题型四、非线性回归模型 1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号). 2．用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 4．某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 5．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017-2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年-2021年对应的代码依次为1-5. 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 (1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1，按照分层抽样从这两类用户中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率. 参考数据：，，，其中. 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 题型五、独立性检验 1．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 2．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 3．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 4．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．为了了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表： 年龄 心肺疾病 合计 患心肺疾病 不患心肺疾病 大于40岁 16 小于等于40岁 12 合计 40 已知在40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的市民的概率为． (1)请将列联表补充完整； (2)已知在大于40岁且患心肺疾病的市民中，有4名重症患者，专家建议以重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出2人，记需住院治疗的人数为，求的分布列和数学期望； (3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 1．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 2．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 3．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 4．某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为，则拟合效果最好的模型是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 6．下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量，若，则 C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为，则 7．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（   ） A．68度 B．52度 C．12度 D．28度 8．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 9．在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程； (2)根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量. 10．（多选题）随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（    ） 超市 广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20 销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54 A．销售额与广告支出正相关 B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓 C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近 D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠 11．新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数. 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差)：经过计算得，，，，其中，. (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由； (2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）； (3)由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?（结果保留整数） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 12．近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据： x 6 6.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.5 6.8 (1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程； (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量； (3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望． 参考数据和公式：．，． 令，，，． 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 13．某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年末体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年末体检的人数为（   ）（附：，） A．20 B．30 C．40 D．50 14．某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 15．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $