第4章 统计（单元自测·提升卷）数学湘教版选择性必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高二数学单元自测 第4章 统计·提升卷 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列图形中具有相关关系的两个变量是（    ）． A．   B．   C．   D．   2．已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 3．下列说法正确的是（    ） 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系 4．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（    ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 5．2025年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度（单位：1000万度）和反应持续时间（单位：秒）的一组观测数据作线性相关分析，其回归直线方程是，且，则实数的值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．李华新开了一家便利店，开业第一周的营业收入(单位：千元)统计如下： 天数序号X 1 2 3 4 5 6 7 营业收入Y/千元 11 13 18 ※ 28 ※ 35 其中第4天和第6天的数据由于某种原因而模糊，但知道7天的营业收入的平均值是23.已知营业收入Y与天数序号X可以用线性回归方程拟合，且第7天的实际值比预测值小0.6，则预计第10天的营业收入是（    ） A．38.4千元 B．44.8千元 C．46.2千元 D．48.2千元 7．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 8．设两个相关变量x和y分别满足xi＝i，yi＝2i－1，i＝1,2，…，6.若相关变量x和y可拟合为非线性经验回归方程＝2bx＋a，则当x＝7时，的估计值为(　　) A．32 B．63 C．64 D．128 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表： … … 其中数据和数据的平均数分别为和，并且计算相关系数，回归方程为，如下结论正确的为（   ） A．将以上数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 B．变量的相关性强 C．当时，必有 D． 10．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（    ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 11．某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元） 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为 亿元. 13．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为________． 14．若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为______ 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 17．（15分）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 18．（17分）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 19．（17分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第4章 统计·提升卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A D B D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．19 13．11 14．5.1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【详解】由题意，零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，，...........7分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过............13分 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）由已知得，，，...........3分 ，， ，...........6分 故，...........8分 所以与的线性相关性很强............9分 （2）因为，，，， ，...........12分 所以， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以5月份该生物繁殖量的残差为............15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）零假设：产品的质量与生产线无关； ，…………………………………..4分 根据的独立性检验，拒绝零假设，并认为产品的质量与生产线有关………5分 （2）甲生产线优等品概率：，乙生产线优等品概率：； 混合产品中，甲乙数量比为，故甲产品占比，乙产品占比； 故总体优等品概率为：； 由题可知：，………………………………………………………9分 ，， ，，………………………………….13分 故的分布列如下所示： 的数学期望……………………………………………………………15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异． 因为， 依据的独立性检验，所以假设不成立， 即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异．………………….…6分 （2）由题意，，， , , 则，．……………17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）由散点图知，卵数随温度的变化是按指数形式变化，而非线性变化，因此模型②更合适， 令，则，由所给参考数据得，， ，因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为……………………………………..6分 （2）①依题意，， 求导得 ，………………………………9分 令，得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率；…………………………….12分 ②由①知，当时，取最大值，当时，， 每年需要人工防治的概率，且服从二项分布， 所以，………………………17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第4章 统计·提升卷 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图形中具有相关关系的两个变量是（    ）． A．   B．   C．   D．   2．已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 3．下列说法正确的是（    ） 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系 4．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（    ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 5．2025年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度（单位：1000万度）和反应持续时间（单位：秒）的一组观测数据作线性相关分析，其回归直线方程是，且，则实数的值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．李华新开了一家便利店，开业第一周的营业收入(单位：千元)统计如下： 天数序号X 1 2 3 4 5 6 7 营业收入Y/千元 11 13 18 ※ 28 ※ 35 其中第4天和第6天的数据由于某种原因而模糊，但知道7天的营业收入的平均值是23.已知营业收入Y与天数序号X可以用线性回归方程拟合，且第7天的实际值比预测值小0.6，则预计第10天的营业收入是（    ） A．38.4千元 B．44.8千元 C．46.2千元 D．48.2千元 7．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 8．设两个相关变量x和y分别满足xi＝i，yi＝2i－1，i＝1,2，…，6.若相关变量x和y可拟合为非线性经验回归方程＝2bx＋a，则当x＝7时，的估计值为(　　) A．32 B．63 C．64 D．128 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表： … … 其中数据和数据的平均数分别为和，并且计算相关系数，回归方程为，如下结论正确的为（   ） A．将以上数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 B．变量的相关性强 C．当时，必有 D． 10．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（    ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 11．某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元） 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为 亿元. 13．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为________． 14．若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 17．（15分）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 18．（17分）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 19．（17分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第4章 统计·提升卷 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图形中具有相关关系的两个变量是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】根据散点图可知在C中，样本点成带状分布，则两个变量具有相关关系， 所以两个变量x、y具有相关关系的图是C. A，B为函数关系，D无相关关系．故选：C. 2．已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 【答案】C 【详解】由题意，可得，， 所以样本点的中心坐标为， 代入回归直线方程，可得， 解方程得. 3．下列说法正确的是（    ） 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系 【答案】A 【详解】对于A，根据标准差定义，一组数据的标准差时， 显然有，故A正确； 对于B，两组数据的标准差相等，这两组数据的平均数未必相等， 如都为1和都为2的两组数据，它们的标准差均为0，但它们的平均数分别为1和，故B错误； 对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误； 对于D，，根据独立性检验原理， 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量有关系，故D错误. 故选：A 4．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（    ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 【答案】D 【详解】由样本相关系数可得y与x呈正相关关系，故A错误； 由数据可得: , 故经验回归直线经过点，故B错误； 由， 则，故经验回归方程为，故C错误； 由于样本相关系数较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，故D正确； 故选：D. 5．2025年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度（单位：1000万度）和反应持续时间（单位：秒）的一组观测数据作线性相关分析，其回归直线方程是，且，则实数的值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】由可知 ，.因为回归直线过样本中心点，即， 将其坐标代入方程可得，解得. 6．李华新开了一家便利店，开业第一周的营业收入(单位：千元)统计如下： 天数序号X 1 2 3 4 5 6 7 营业收入Y/千元 11 13 18 ※ 28 ※ 35 其中第4天和第6天的数据由于某种原因而模糊，但知道7天的营业收入的平均值是23.已知营业收入Y与天数序号X可以用线性回归方程拟合，且第7天的实际值比预测值小0.6，则预计第10天的营业收入是（    ） A．38.4千元 B．44.8千元 C．46.2千元 D．48.2千元 【答案】D 【详解】由第7天的实际值是，所以预测值为35.6，得　①， 因为回归直线经过中心点，又，，所以②， 联立①②，解得，， 所以预计第10天的营业收入(千元). 7．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人.所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为.故选：C 8．设两个相关变量x和y分别满足xi＝i，yi＝2i－1，i＝1,2，…，6.若相关变量x和y可拟合为非线性经验回归方程＝2bx＋a，则当x＝7时，的估计值为(　　) A．32 B．63 C．64 D．128 C　解析：令zi＝log2yi＝i－1，则＝x＋， ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，＝(0＋1＋2＋3＋4＋5)＝2.5， 所以＝＝＝1， ＝－＝2.5－1×3.5＝－1， 所以＝x－1，即＝2x－1，所以当x＝7时， ＝27－1＝64. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表： … … 其中数据和数据的平均数分别为和，并且计算相关系数，回归方程为，如下结论正确的为（   ） A．将以上数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 B．变量的相关性强 C．当时，必有 D． 【答案】ABD 【详解】对于A．因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，所以A正确； 对于B．相关系数，变量的相关性强，所以B正确； 对于C．当时，不一定有，因此C错误； 对于D．因为，是负相关，所以，故D正确． 故选：ABD. 10．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（    ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 【答案】BCD 【详解】A：甲地购买燃油车人数为，购买新能源车人数为， 故购买燃油车的人数比新能源车的多人，A错误. B：乙地购买新能源车比例为，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有人，B正确. C：列出列联表： 甲地 乙地 总计 燃油车 120 80 200 新能源车 80 120 200 总计 200 200 400 则. 小概率值时，. 因为，所以根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C正确. D：所调查的新能源车主共有人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为，D正确. 11．某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 【答案】BCD 【解析】零假设为：参加社会实践活动与性别无关联，则，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于，故A错误.从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B正确.记事件表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则，记事件表示抽到的学生是男生，，所以，故C正确.按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人，则7人中有男生人，有女生人，从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有，所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为，所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元） 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为 亿元. 【答案】19 【详解】因为：，，由线性回归方程一定经过样本中心点，可得： ，所以，即. 当时，. 故答案为：19 13．在某文化节活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，2，3，4，5，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程．已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为________． 【答案】11 【解析】由题意得，把代入， 得，解得，则， 当时，． 故答案为：. 14．若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为______ 【答案】5.1 【详解】依题意，两个变量满足一元线性回归模型，随机误差， 则随机误差平方和 ， 易知，随机误差平方和是一个一元二次函数， 当时，随机误差平方和取得最小值， 因此参数的最小二乘估计值为5.1. 故答案为：5.1. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 由题意，零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，，...........7分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过............13分 16．（15分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 解：（1）由已知得，，，...........3分 ，， ，...........6分 故，...........8分 所以与的线性相关性很强............9分 （2）因为，，，， ，...........12分 所以， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以5月份该生物繁殖量的残差为............15分 17．（15分）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 【详解】（1）零假设：产品的质量与生产线无关； ，…………………………………..4分 根据的独立性检验，拒绝零假设，并认为产品的质量与生产线有关………5分 （2）甲生产线优等品概率：，乙生产线优等品概率：； 混合产品中，甲乙数量比为，故甲产品占比，乙产品占比； 故总体优等品概率为：； 由题可知：，………………………………………………………9分 ，， ，，………………………………….13分 故的分布列如下所示： 的数学期望……………………………………………………………15分 18．（17分）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【详解】（1）假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异． 因为， 依据的独立性检验，所以假设不成立， 即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异．………………….…6分 （2）由题意，，， , , 则，．……………17分 19．（17分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【详解】（1）由散点图知，卵数随温度的变化是按指数形式变化，而非线性变化，因此模型②更合适， 令，则，由所给参考数据得，， ，因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为……………………………………..6分 （2）①依题意，， 求导得 ，………………………………9分 令，得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率；…………………………….12分 ②由①知，当时，取最大值，当时，， 每年需要人工防治的概率，且服从二项分布， 所以，………………………17分 学科网（北京）股份有限公司13 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $