题号猜押11 江苏南京中考数学25～26题 圆中相关计算与证明、尺规作图、二次函数的性质与应用（解答题）（江苏南京专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押11 江苏南京中考数学25~26题（解答题） 考点1 切线的判定 1．（2026•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，过A，B两点的⊙O交AC于点D，BC＝BD． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若BD＝6，AD＝5， ①求AB的长； ②⊙O的半径为 ． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，锐角△ABC内接于⊙O，AF平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，BE平分∠CBF，连结BO并延长交AD于点G． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BG平分∠ABC，AG＝3，GD＝2，求BG的长． 考点2 圆与相似三角形 1．（2026•鼓楼区二模）如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB＝PC•PD． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是直径，AB＝AD＝4，BC＝5，AC与BD交于点M． （1）求AM•AC的值． （2）将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A′BC′． ①当点C′在线段CA的延长线上时，求∠CC′A′的度数． ②连接AA′，CC′．若△ABA′的面积为8，求△CBC′的面积． ③若点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P′，求线段EP′的取值范围． 考点3 切线的性质 1．（2026•南京一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，且AC＝BC，连接AD交⊙O于点E． （1）求证CD∥AB； （2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径． 2．（2026•南京一模）如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝10． （1）求点D到直线AB的距离． （2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N． ①当直线l与优弧COD相切时，t的值为 ． ②当t＝2时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为 ． 考点4 阴影部分的面积 1．（2026•南京一模）如图，点A在⊙O的直径CD的延长线上，点B在⊙O上，连接AB、BC．已知AB＝BC，∠A＝30°； （1）求证：AB与⊙O相切； （2）在（1）的条件下，若AB＝6，求图中阴影部分的面积． 2．（2026•沛县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC＝8，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 考点5 尺规作图 1．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O经过点B并且与边AC相切；（不写作法，保留痕迹） （2）D是边AB上一点（点D不与点B重合），若以BD为直径的圆与AC边有两个公共点，则BD长的取值范围是 ． 2．（2026•南京模拟）等腰三角形的确定性问题再探究： （1）证明：底边上的高和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形的底相等． 已知：如图，△ABC与△A′B′C′是等腰三角形，AB＝AC，A′B′＝A′C′，AD与A′D′是△ABC与△A′B′C′的高，CE与C′E′是△ABC与△A′B′C′腰上的中线，且AD＝A′D′，CE＝C′E′． 求证：BC＝B′C′． 小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明第三步： 小明的部分证明思路：第一步，连接DE与D′E′，DEAC，DE∥AC， 第二步证明△DEO与△AOC相似，同理可得△D′E′O′与△A′O′C′相似， 第三步… ∵△DEO∽△ACO， ∴ ， 可得DOAD，COCE， 同理：D′O′A′D′，C′O′C′E′， 又∵AD＝A′D′，CE＝C′E′， ∴DO＝ ，CO＝C′O′， 即可证明△CDO≌△C′D′O′， ∴DC＝D′C′， 进一步可得BC＝B′C′． （2）若已知等腰三角形腰上的中线为a，腰上的高线长为b，请用直尺和圆规画出△ABC（用两种方法）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 3．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，已知线段AB与点A′，按要求用无刻度直尺与圆规作图： （1）平移线段AB，使点A与点A′重合，作出平移后的线段A′B′；（在图1中完成作图，并写出必要的文字说明） （2）将线段AB沿某条直线对称，使点A与点A′重合，作出对称轴l及对称后的线段A′B′；（在图2中完成作图，并写出必要的文字说明） （3）将线段AB绕某个点逆时针旋转，使点A与点A′重合，且旋转角的大小恰好为α，作出旋转中心点O及旋转后的线段A′B′．（在图3中完成作图，并写出必要的文字说明） 考点6 待定系数法求二次函数解析式 1．（2026•建邺区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … （1）直接写出m的值 ； （2）求出函数表达式； （3）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集： ． 2．（2026•建邺区一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 ，当y＜0时，x取值范围是 ； （2） 求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 3．（2026•玄武区一模）如图，抛物线yx2+bx+c过点C（﹣1，m）和D（5，m），A（4，﹣1）． 求：（1）抛物线的对称轴； （2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （3）直线AB的函数表达式． 考点7 二次函数的平移 1．（2026•南京一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 2．（2026•千阳县校级模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c（b,c为常数）与y轴交于点A，将三个边长均为1的小正方形按如图所示位置摆放，且正方形均水平放置． （1）求出b,c的值； （2）若将小正方形AOBC沿x轴向左平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离． 考点8 二次函数销售利润问题 1．（2026•玄武区一模）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2026•建邺区一模）一种商品售价为10元，一周可卖出50件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件，已知该商品进价每件8元． （1）写出周利润y与涨价x之间的函数表达式； （2）如果要求保证利润为正值，请写出x的取值范围； （3）问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？ 3．（2026•建邺区一模）近几年，随着网络的发展，“网络直播”已成为商家销售商品的一种手段．某商家在直播间销售一种进价为每件16元的商品时，经过市场调查发现，该商品每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 25 26 27 … 每天销售数量y/件 … 150 140 130 … 设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）要使每天销售的利润W达到1280元，求该商品的销售单价； （3）当销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件时，求W的最大值． 考点9 二次函数的应用 1．（2026•南京模拟）如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩二次函数的应用形场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式． （2）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 2．（2026•鼓楼区一模）某一小球以一定的初速度开始向前滚动，并且均匀减速，小球滚动的速度v（单位：米/秒）与时间x（单位：秒）之间关系的部分数据如表一： 表一： 时间x（秒） 0 1 2 2.5 3 … 速度v（米/秒） 8 6 4 3 2 … （1）根据表一的信息，请在表二中填写滚动的距离s（单位：米）的对应值，（提示：本题中，sx，，其中，v0表示开始时的速度，vx表示x秒时的速度．） 表二： 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 … （2）根据表二中的数据在给出的平面坐标系中画出相应的点； （3）选择适当的函数表示s与x之间的关系，求出相应的函数解析式； （4）当s＝13.75时，求滚动时间x． 3．（2026•鼓楼区二模）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m． （1）把桥拱看作一个二次函数的图象，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m，宽为7.5m（横断面如图②），以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 考点10 二次函数的图象与性质 1．（2026•建邺区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … （1）直接写出m的值 ； （2）求出函数表达式； （3）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集 ． 2．（2026•南京一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+n． （1）若n＝m2﹣1，求证：抛物线与x轴一定有两个交点． （2）若n＝m2+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中m﹣2＜x1＜m+1，x2＝1﹣2m． ①若y1的最小值是﹣2，求函数的表达式； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围． 3．（2026•建邺区一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 ，当y＜0时，x取值范围是 ； （2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 4．（2026•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x﹣4m（m为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当该函数图象的顶点纵坐标的值最大时，m的值为 ． 5．（2026•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点A（﹣1，0），B（4，0），抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； （3）M（1﹣m，y1），N（m，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx上两点，若|y1﹣y2|≤2，直接写出m取值范围． 1．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 2．（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC交于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若BD＝3，AE＝8，求⊙O的半径． 3．（2025•南京模拟）已知：线段c，d， （1）求作：△ABC，使∠BCA＝90°，AB＝c，高CD＝d． （2）求作：△ABC，使∠BCA＝90°，AB＝c，角平分线CD＝d． 要求：①作一个即可，用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 4．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式． 5．（2025•建邺区校级四模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为 ． 6．（2026•南京一模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，AB为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动⊙O绕圆心O转动，当连杆AB恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记⊙O与AB的另一个交点为C，过点B作BD⊥AB交直线l于点D，发现DO恰好平分∠ADB． （1）求证：直线l与⊙O相切； （2）若BD＝5，AD＝13，求⊙O的半径． 7．（2026•南京一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，5）． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为 ； （3）点P在x轴上，PB+PC的最小值为 ． 8．（2026•溧水区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝3BD，CE＝5，求⊙O的半径． 9．（2025•栖霞区校级三模）如图，已知线段AB和直线l．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线l作符合要求的点P（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）． （1）∠APB＝30°； （2）∠APB的度数最大． 10．（2025•鼓楼区校级三模）如图1，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为，将△ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点记作C′． （1）用无刻度直尺在图1中，作出C′第一次落在⊙O上时的位置，此时旋转角为 °； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出AC′与⊙O相切时的位置，此时C′B2的长为 ． 11．（2025•玄武区二模）图形的旋转 （1）将线段AB绕点O旋转一定角度得到线段A′B′，A′、B′分别是A、B的对应点． （I）如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （Ⅱ）如图②，设旋转角度为α（0°＜α＜180°），延长BA、B′A′交于点C．求证：∠C＝α． （2）在△ABC中，∠A＝60°，BC＝4，点D、E分别在边AB、AC上（包括端点），且BD＝DE＝EC． （I）在图③中，求作满足条件的DE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （Ⅱ）若存在满足条件的DE，则AB的取值范围是 ． 12．（2026•建邺区校级模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，A在⊙O上，点D是△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线EG∥AC． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若，BC＝6， ①求AB的长； ②直接写出DF的长度： ． 13．（2025•栖霞区校级三模）如图，⊙O过△ABC的顶点A，B，交BC于点D，点E为的中点，连接AE交BD于点F，AC＝CF． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）连接AD，若2AB＝3AD，BD＝10． （I）求AC的长． （Ⅱ）若AF＝BF，则⊙O的半径为 ． 14．（2026•鼓楼区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2＝BD•AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC＝6，BC＝8，求GH的长． 15．（2026•建邺区校级模拟）某公司销售一种新产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）求y关于x的函数关系式； （2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额﹣年销售产品总进价﹣年总开支），当x为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？ 16．（2026•南京一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将点B（1，5）向下平移6个单位，向左平移m个单位（m＞0）后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 17．（2025•南京二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，直线AE交CD的延长线于点E，延长AD，BC相交于点F，DA平分∠BDE． （1）求证：AB＝AC． （2）若AE是⊙O的切线． （Ⅰ）求证：△ABF∽△EAC． （Ⅱ）若AE＝2，DE＝1，C是BF的中点，则⊙O的半径为 ． 18．（2025•玄武区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC，且与BO的延长线交于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）连接AO并延长与交于点M，连接BM并延长与AC的延长线交于点N． ①求证：∠D＝∠N； ②若⊙O的半径为5，，则CN的长为 ． 19．（2025•秦淮区一模）已知在菱形ABCD中，AB＝3，过点A，B，D作⊙O． （1）如图（1），当∠A＝60°时，求证：CD，CB都与⊙O相切； （2）如图（2），当60°＜∠DAB＜90°时，BC与⊙O交于点E，连接AE． ①随着∠DAB度数的增大，下列说法正确的是 ． A．⊙O的半径与AE的长都增大 B．⊙O的半径增大，AE的长先增大后减小 C．⊙O的半径先增大后减小，AE的长增大 D．⊙O的半径与AE的长都先增大后减小 ②当AE＝4时，求⊙O的半径． 20．（2026•鼓楼区校级模拟）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD． 【特殊化感知】 （1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 ； 【一般化探究】 （2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押11 江苏南京中考数学25~26题（解答题） 考点1 切线的判定 1．（2026•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，过A，B两点的⊙O交AC于点D，BC＝BD． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若BD＝6，AD＝5， ①求AB的长； ②⊙O的半径为　　 ． 【答案】（1）见解析． （2）①9；②． 【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE．易证∠E＝∠ABC，进而可得∠ABC+∠ABE＝90°，即可得证； （2）证△ABC∽△BDC，即可得解； （3）过B作BH⊥AC于点H，设DH＝x，双勾股可得x＝2，进而求出AH、BH，作直径BM，连接DM，证△BHA∽△BDM，即可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE． ∵AB＝AC，BC＝BD， ∴∠C＝∠ABC，∠C＝∠BDC． ∴∠ABC＝∠BDC． ∵∠BDC+∠ADB＝180°， ∠E+∠ADB＝180°， ∴∠E＝∠BDC． ∴∠E＝∠ABC． ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°． ∴∠ABE+∠E＝90°． ∴∠ABC+∠ABE＝90°． ∴OB⊥BC， 又∵点B在⊙O上， ∴BC与⊙O相切． （2）解：①∵如图， 在△ABC与△BCD中， 由（1）得∠ABC＝∠BDC，且∠ACB＝∠BCD， ∴△ABC∽△BDC． ∴． ∵BD＝6，AD＝5， ∴BC＝BD＝6，AC＝CD+AD＝CD+5， ∴． 解得CD＝4． ∴AB＝AC＝AD+CD＝5+4＝9． ②过B作BH⊥AC于点H， 设DH＝x， 在Rt△BDH中，BH2＝BD2﹣DH2＝36﹣x2， 在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝81﹣（5+x）2， ∴36﹣x2＝81﹣（5+x）2， 解得x＝2， ∴AH＝7，BH4， 作直径BM，连接DM，则∠M＝∠A，∠BDM＝90°＝∠BHA， ∴△BHA∽△BDM， ∴，即， 解得BM， ∴半径为； 故答案为：． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，锐角△ABC内接于⊙O，AF平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，BE平分∠CBF，连结BO并延长交AD于点G． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BG平分∠ABC，AG＝3，GD＝2，求BG的长． 【答案】见解析； （2）． 【分析】（1）连接OC，根据角平分线定义和圆周角定理，设∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠FBE＝θ，证明OB⊥BF，进而可以解决问题； （2）设∠BAG＝∠CBG＝α，证明∠EBG＝∠EGB，得EB＝EG，设DE＝x，证明△EBD∽△EAB，对应边成比例求出x＝4，过点E作EM⊥BG于点M，再证明△EBF∽△BAF，求出BF，根据勾股定理即可求出BG． 【解答】（1）证明：如图1，BE平分∠CBF，则∠EBC＝∠FBE，连接OC， 设∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠FBE＝θ， ∴∠BAC＝2∠BAE＝2θ， ∴∠BOC＝2∠BAC＝4θ， ∴， ∴∠OBF＝∠OBC+∠EBC+∠FBE＝90°﹣2θ+θ+θ＝90°， ∴半径OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG＝∠CBG， 设∠ABG＝∠CBG＝α， ∵∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠FBE＝θ， ∴∠EBG＝∠CBG+∠EBC＝α+θ，∠EGB＝∠GBA+∠GAB＝α+θ， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， ∵AG＝3，GD＝2， 设DE＝x，则EB＝EG＝DE+DG＝x+2， ∴AE＝AG+EG＝x+5， ∵∠BED＝∠AEB，∠EBD＝∠EAB， ∴△EBD∽△EAB， ∴， ∴BE2＝AE•DE， ∴（x+2）2＝x（x+5）， 解得：x＝4， 如图2，过点E作EM⊥BG于点M， ∵EB＝EG， ∴EM⊥BG，BM＝GM， ∵GB⊥BF， ∴EM∥BF， ∴， ∴GE＝EF＝2+4＝6， ∴FG＝EF+GE＝6+6＝12， ∴AF＝AE+EF＝15， ∵∠F＝∠F，∠EBF＝∠FAB， ∴△EBF∽△BAF， ∴， ∴BF2＝AF•EF＝15×6＝90， 在直角三角形BFG中，由勾股定理得：． 考点2 圆与相似三角形 1．（2026•鼓楼区二模）如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB＝PC•PD． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论． 【解答】解：连接AC、BD． ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是直径，AB＝AD＝4，BC＝5，AC与BD交于点M． （1）求AM•AC的值． （2）将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A′BC′． ①当点C′在线段CA的延长线上时，求∠CC′A′的度数． ②连接AA′，CC′．若△ABA′的面积为8，求△CBC′的面积． ③若点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P′，求线段EP′的取值范围． 【答案】（1）16； （2）①90°； ②12.5； ③EP′≤7． 【分析】（1）证△BAM∽△CAB，根据线段比例关系求值即可； （2）①根据旋转和等腰直角三角形的性质求出角的度数即可； ②证△ABA′∽△CBC′，根据面积比等于相似比的平方得出面积即可； ③根据旋转确定EP'最大值和最小值即可得出取值范围． 【解答】解：（1）∵AB＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ACB（等弧所对的圆周角相等）， 又∵∠BAC＝∠BAC， ∴△BAM∽△CAB， ∴， ∴AM×AC＝AB2＝42＝16； （2）①如图， ∵BD是直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠BCA＝∠D＝45°， ∵BC′＝BC， ∴∠BC′C＝∠C＝45°， ∵∠A′C′B＝∠C＝45°， ∴∠CC′A′＝∠CC′B+∠A′C′B＝90°； ②由旋转知∠CBC′＝∠ABA′，A′B＝AB＝4，BC′＝BC＝5， ∴， ∴△ABA′∽△CBC′， ∴（）2（面积比等于相似比的平方）， 即， ∴S△CBC′＝12.5； ③如图，当A′C′⊥AB时，P′落在A′C′与AB的垂足处时，EP′最小， ∵∠BCA＝∠BC′A′＝45°，BC′＝5， ∴BP′， ∴EP′＝BP′﹣BE2， 当A、B、C′三点共线时，如图，P′落在C′处时，EP′最大，此时BC′＝BC＝5， EC′＝EB+BC′＝2+5＝7，即EP′的最大值为7， 故：EP′≤7． 考点3 切线的性质 1．（2026•南京一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，且AC＝BC，连接AD交⊙O于点E． （1）求证CD∥AB； （2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）5． 【分析】（1）连接CO并延长，交AB于F，根据垂径定理的推论得到CF⊥AB，根据切线的性质得到CF⊥CD，证明CD∥AB； （2）根据三角形中位线定理求出OF，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】（1）证明：如图，连接CO并延长，交AB于F， ∵CA＝CB， ∴CF⊥AB， ∵CD是⊙O的切线， ∴CF⊥CD， ∴CD∥AB； （2）解：设⊙O的半径为r， ∵CF⊥AB， ∴BF＝FA，又BO＝OE， ∴OF是△BAE的中位线， ∴OFAE＝4， 在Rt△OFB中，BF2＝OB2﹣OF2＝r2﹣42， 在Rt△CFB中，BF2＝CB2﹣CF2＝（3）2﹣（r+4）2， ∴r2﹣42＝（3）2﹣（r+4）2， 解得：r1＝5，r2＝﹣9（舍去）， ∴⊙O的半径为5． 2．（2026•南京一模）如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝10． （1）求点D到直线AB的距离． （2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N． ①当直线l与优弧COD相切时，t的值为 　3s或9s ． ②当t＝2时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为 　10　 ． 【答案】（1）5；（2）①3s或9s；②25；（3）10． 【分析】（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E，利用等边三角形的性质，圆的切线的性质定理，含30°角的直角三角形的性质解答即可； （2）①利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：Ⅰ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的左侧时，利用切线的性质定理和平行线的性质求得∠MOC的度数，得到30t＝90，解方程即可得出结论；Ⅱ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的右侧时，利用切线的性质定理和平行线的性质求得∠MOC的度数，得到30t＝270，解方程即可得出结论； ②连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，利用等边三角形的性质，圆的切线的性质定理求得MN，OF，∠MON，再利用阴影部分面积＝S扇形OMN﹣S△OMN解答即可； （3）延长DO交MP于点T，过点C作CQ⊥MP于点Q，过点O作OR⊥CQ于点R，利用矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理得到CPCQ（CR+RQ），利用垂线段最短的性质得到OT≤10，依据当OT取得最大值时，CP取得最大值，求得OT的最大值，代入化简即可得出结论． 【解答】解：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E，如图， ∵∠COD＝60°，OC＝OD， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠OCD＝60°，CD＝OC＝10． ∵优弧COD与直线AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∴∠OCB＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∴DECD＝5． ∴点D到直线AB的距离为5； （2）①Ⅰ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的左侧时，如图， ∵直线l与优弧COD相切， ∴OM⊥l， ∵直线l∥OC， ∴OM⊥OC， ∴∠MOC＝90°， ∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒， ∴30t＝90， ∴t＝3． Ⅱ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的右侧时，如图， ∵直线l与优弧COD相切， ∴OM⊥l， ∵直线l∥OC， ∴OM⊥OC， ∴∠MOC＝90°， ∴OM的旋转的度数为270°， ∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒， ∴30t＝270， ∴t＝9． 综上，当直线l与优弧COD相切时，t的值为3s或9s． 故答案为：3s或9s． ②连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，如图， ∵t＝2， ∴∠MOC＝60°． ∵优弧COD与直线AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵直线l∥OC， ∴直线l⊥AB， ∵OF⊥MN， ∴四边形OFAC为矩形， ∴∠FOC＝90°，AF＝OC＝10， ∴∠FOM＝30°， ∴FMOM＝5，OFOM＝5． ∵OF⊥MN， ∴FM＝FN＝5，∠MON＝2∠FOM＝60°， ∴阴影部分面积＝S扇形OMN﹣S△OMN25． （3）延长DO交MP于点T，过点C作CQ⊥MP于点Q，过点O作OR⊥CQ于点R，如图， ∵直线MP⊥OD，CQ⊥MP，OR⊥CQ， ∴四边形ORQT为矩形， ∴OT＝RQ，∠TOR＝90°， ∴∠ROC＝90°﹣∠COD＝30°， ∴RCOC＝5，∠OCQ＝60°， ∵OC⊥AB， ∴∠QCP＝30°， ∴CPCQ（CR+RQ）， ∵OT＝RQ， ∴CP（OT+5）． ∴当OT取得最大值时，CP取得最大值， ∵优弧COD上存在一动点M，MP⊥OT， ∴OT≤OM， ∴OT≤10， ∴当点T与点M重合时，OT的最大值为10， ∴CP的最大值为（10+5）＝10． 故答案为：10． 考点4 阴影部分的面积 1．（2026•南京一模）如图，点A在⊙O的直径CD的延长线上，点B在⊙O上，连接AB、BC．已知AB＝BC，∠A＝30°； （1）求证：AB与⊙O相切； （2）在（1）的条件下，若AB＝6，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析． （2）． 【分析】（1）连接OB，由AB＝BC，∠A＝30°，得到∠C＝∠A＝30°，∠ABC＝120°，由OB＝OC，得到∠OBC＝∠C＝30°，进而得到∠ABO＝90°，即可求证； （2）作BH⊥CD，根据特殊角三角函数求出BH＝3，，根据S阴影＝S扇形BOD+S△OBC即可求解． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵∠A＝30°，AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝30°（等边对等角）， ∴∠ABC＝180°﹣30°﹣30°＝120°（三角形的内角和定理）， ∵点B，点C在⊙O上， ∴OB＝OC，∠OBC＝∠C＝30°， ∴∠ABO＝∠ABC﹣∠OBC＝120°﹣30°＝90°， ∴OB⊥AB， ∵OB是半径， ∴AB与⊙O相切． （2）解：过点B作BH⊥CD于H， ∵∠C＝∠A＝30°，BH⊥CD， ∴， ∵∠A＝30°，∠ABO＝90°， ∴，即， ∴， ∴，， ∴． 2．（2026•沛县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC＝8，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，先根据切线的性质得到∠FCO＝90°，再证明△COF≌△∠AOF，可得∠FAO＝∠FCO＝90°，即可根据切线的判定证明结论； （2）先求出∠AOC＝60°，OA＝8，，再根据S△PCO﹣S扇形OAC计算，即可得到答案． 【解答】（1）证明：△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，连接OC， 由题意可得：∠FCO＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠B＝∠AOF，∠OCB＝∠COF， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB， ∴∠COF＝∠AOF， ∵OC＝OA，OF＝OF， ∴△COF≌△∠AOF（SAS）， ∴∠FAO＝∠FCO＝90°， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：由（1）知，∠COF＝∠AOF＝∠B， ∵∠B＝30°， ∴∠AOC＝∠COF+∠AOF＝2∠B＝60°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝2AC＝16， ∴OC＝OA＝8， 在Rt△PCO中，， ∴阴影部分的面积． 考点5 尺规作图 1．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O经过点B并且与边AC相切；（不写作法，保留痕迹） （2）D是边AB上一点（点D不与点B重合），若以BD为直径的圆与AC边有两个公共点，则BD长的取值范围是　　 ． 【答案】（1）见解析． （2）． 【分析】（1）如图，作∠ABC的角平分线，交AC于E，过点E作AC的垂线交AB于O，以O为圆心，OB为半径画圆，则⊙O即为所求； （2）当⊙O1与AC相切时，利用勾股定理求出AB＝5，设O1B＝O1D＝x，根据O1E∥BC得出△AEO1∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出x的值，当点D与点A重合时，根据圆周角定理可得点C在⊙O2，即可得答案． 【解答】解：（1）如图，作∠ABC的角平分线，交AC于E，过点E作AC的垂线交AB于O，以O为圆心，OB为半径画圆，则⊙O即为所求． ∵点O是BE垂直平分线与AB的交点， ∴OB＝OE，点E在⊙O上， ∴∠OBE＝OEB， ∵∠OBE＝∠CBE， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴AC是⊙O的切线． （2）如图所示： 当⊙O1与AC相切时，⊙O1与AC有一个交点， ∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴， 设O1B＝O1D＝x，则BD＝2x， 由（1）可知，O1E∥BC， ∴△AEO1∽△ACB， ∴，即， 解得， ∴， 当点D与点A重合时， ∵∠C＝90°，AB为直径， ∴点C在⊙O2上，⊙O2与AC有两个交点，符合题意， ∴BD长的取值范围是， 故答案为：． 2．（2026•南京模拟）等腰三角形的确定性问题再探究： （1）证明：底边上的高和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形的底相等． 已知：如图，△ABC与△A′B′C′是等腰三角形，AB＝AC，A′B′＝A′C′，AD与A′D′是△ABC与△A′B′C′的高，CE与C′E′是△ABC与△A′B′C′腰上的中线，且AD＝A′D′，CE＝C′E′． 求证：BC＝B′C′． 小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明第三步： 小明的部分证明思路：第一步，连接DE与D′E′，DEAC，DE∥AC， 第二步证明△DEO与△AOC相似，同理可得△D′E′O′与△A′O′C′相似， 第三步… ∵△DEO∽△ACO， ∴　　 ， 可得DOAD，COCE， 同理：D′O′A′D′，C′O′C′E′， 又∵AD＝A′D′，CE＝C′E′， ∴DO＝D'O'　 ，CO＝C′O′， 即可证明△CDO≌△C′D′O′， ∴DC＝D′C′， 进一步可得BC＝B′C′． （2）若已知等腰三角形腰上的中线为a，腰上的高线长为b，请用直尺和圆规画出△ABC（用两种方法）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）；D'O'； （2）见解析 【分析】（1）由相似三角形的性质可得出答案； （2）由题意画出图形即可． 【解答】解：（1）∵△DEO∽△ACO， ∴， 可得DOAD，COCE， 同理：D′O′A′D′，C′O′C′E′， 又∵AD＝A′D′，CE＝C′E′， ∴DO＝D'O'，CO＝C′O′， 即可证明△CDO≌△C′D′O′， ∴DC＝D′C′， 故答案为：；D'O'； （2）方法一：①先画出直角三角形BDE， ②利用第一题的重心结论，找出重心P， ③根据对称性，以点P为圆心，PB为半径作弧，交直线DE与点C， ④找出BC中点F，连接FP并延长交直线DE与点A， 则△ABC为所求． 方法二：①先画出直角三角形BDE， ②根据对称性，得到CD′（理论分析），作出中位线EG； ③确定直角△BEG， ④延长BG，延长DE交于点A， ⑤以点A为圆心，AB为半径画弧，交直线DE与点C， 则△ABC为所求． 3．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，已知线段AB与点A′，按要求用无刻度直尺与圆规作图： （1）平移线段AB，使点A与点A′重合，作出平移后的线段A′B′；（在图1中完成作图，并写出必要的文字说明） （2）将线段AB沿某条直线对称，使点A与点A′重合，作出对称轴l及对称后的线段A′B′；（在图2中完成作图，并写出必要的文字说明） （3）将线段AB绕某个点逆时针旋转，使点A与点A′重合，且旋转角的大小恰好为α，作出旋转中心点O及旋转后的线段A′B′．（在图3中完成作图，并写出必要的文字说明） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据题目要求作出A′B′，具体作法见解析； （2）根据题目要求作出A′B′，具体作法见解析； （3）根据题目要求作出A′B′，具体作法见解析． 【解答】解：（1）作法1：如图1，连接AA'过点B作BB'∥AA'，并且BB'＝AA'，线段A′B′即为所求； 作法2：如图2，过点A′作A′B′∥AB，且A'B'＝AB，线段A′B′即为所求； 作法3：如图3，连接AA'作A′B′＝AB，且BB'＝AA'，两弧交于点B′，线段A′B′即为所求； （2）第一步，连接AA'，作AA′的垂直平分线l，直线l即为所求对称轴， 第二步，下面用不同的方法确定点B′． 作法1：如图4，过点B作BM⊥l并延长，截MB′＝BM，连接A'B'，对称轴l与线段A′B′即为所求； 作法2：如图5，在l上任取点C，作CB＝CB'，AB＝A'B'，连接A'B'，对称轴l与线段A′B′即为所求； 作法3：如图6，在l上任取点C、D，作CB＝CB'，DB＝DB'，连接A′B′，对称轴l与线段A′B′即为所求； 作法4：如图7，延长线段BA交l于点C，连接CA′并延长，截A′B′＝AB，对称轴l与线段A′B′即为所求； （3）先找圆心，再作线段A'B'， 第一步，确定旋转中心，作AA′的垂直平分线l，作交直线l于点O，旋转中心点O即为所求， 第二步，下面用不同的方法确定点B′， 作法1：如图8，连接OA′、OB，作∠BOB′＝∠AOA′，截取OB′＝OB，连接A′B′，线段A'B'即为所求； 作法2：如图9，连接OA′，作∠OA′B′＝∠OAB，截取A′B′＝AB，线段A'B'即为所求； 作法3：如图10，作A′B′＝AB，OB′＝OB，两弧交于点B′，连接A′B′，线段A'B'即为所求； 考点6 待定系数法求二次函数解析式 1．（2026•建邺区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … （1）直接写出m的值 　5　 ； （2）求出函数表达式； （3）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集：x＜2或x＞3　 ． 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线x＝2，则当x＝4和x＝0时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式y＝a（x﹣2）2+1，然后把（0，5）代入求出a即可； （3）先确定抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝x﹣1的交点坐标为（2，1），（3，2），然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过点（1，2），（3，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴当x＝4和x＝0时，函数值相等， 而x＝4时，y＝5， ∴m＝5； 故答案为：5； （2）∵抛物线的顶点坐标为（2，1）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x﹣2）2+1， 把（0，5）代入得5＝a×4+1， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1； （3）∵抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝x﹣1的交点坐标为（2，1），（3，2）， ∴当x＜2或x＞3时，ax2+bx+c＞x﹣1， 即关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集为x＜2或x＞3． 故答案为：x＜2或x＞3． 2．（2026•建邺区一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 x　 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 x＝﹣2或1　 ，当y＜0时，x取值范围是 　﹣2＜x＜1　 ； （2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 【分析】（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0），可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得x＝2及x＝﹣3时的函数值相等，故由x＝2对应的函数值可得出x＝﹣3所对应的函数值，从而得出正确答案； ②由抛物线与x轴的交点坐标即可得到方程ax2+bx+c＝0的解；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（﹣2，0）和（1，0），与y轴的交点坐标（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c即可求出． 【解答】解：（1）①由表格可知：当x＝﹣2和x＝1时，y＝0， ∴对称轴直线， ∵抛物线经过点（2，8），点（﹣3，8）和（2，8）关于直线轴对称， ∴抛物线经过点（﹣3，8）， 故答案为：8，直线； ②由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣2或1； ∵对称轴为直线， 由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴当﹣2＜x＜1时，y＜0； 故答案为：x＝﹣2或1，﹣2＜x＜1； （2）把（﹣2，0），（1，0）和（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝2x2+2x﹣4． 3．（2026•玄武区一模）如图，抛物线yx2+bx+c过点C（﹣1，m）和D（5，m），A（4，﹣1）． 求：（1）抛物线的对称轴； （2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （3）直线AB的函数表达式． 【分析】（1）利用C点和D点为对称点确定抛物线的对称轴； （2）利用对称轴方程得到2，则可求出b，再把A点坐标代入yx2x+c中求出c得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到顶点坐标； （3）利用待定系数法求直线AB的解析式． 【解答】解：（1）∵点C（﹣1，m）和D（5，m）， ∴点C和点D为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2； （2）∵2， ∴b， 把A（4，﹣1）代入yx2x+c得c＝﹣1，解得c＝﹣1， ∴抛物线解析式为yx2x﹣1； ∵yx2x﹣1（x﹣2）2， ∴顶点B的坐标为（2，）； （3）设直线AB的解析式为y＝px+q， 把A（4，﹣1），B（2，）代入得，解得， ∴直线AB的解析式为yx． 考点7 二次函数的平移 1．（2026•南京一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x）2，可得当x时，y取最小值，最小值为，再根据n、n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为n≤1． 2．（2026•千阳县校级模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c（b,c为常数）与y轴交于点A，将三个边长均为1的小正方形按如图所示位置摆放，且正方形均水平放置． （1）求出b,c的值； （2）若将小正方形AOBC沿x轴向左平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离． 【分析】（1）先确定点A和点D的坐标，再代入抛物线方程求出b和c的值即可解答； （2）需先确定点C的初始坐标，再求出抛物线上值为1的点，取左侧的点为平移后的位置，减去初始位置即为平移距离． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得：； （2）由（1）可知：， 由图可知：C（-1，1） 将小正方形AOBC沿x轴向左平移，点C的纵坐标不变，仍为1 将y=1 代入抛物线解析式可得：， 解得：或x=0（与点A重合舍去）， ∴平移后点C落在抛物线上的坐标为， ∴平移距离为． 考点8 二次函数销售利润问题 1．（2026•玄武区一模）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为20%； （2）①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出每次下降的百分率； （2）①根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可； ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x， 由题意可得：50（1﹣x）2＝32， 解得x1＝0.2，x2＝1.8（舍去）， 答：每次下降的百分率为20%； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：（15+a）（1000﹣40a）＝15000， 解得a1＝0，a2＝10， 答：现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，W＝（15+m）（1000﹣40m）＝﹣40（m﹣5）2+16000， ∴当m＝5时，W取得最大值，此时W＝16000， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元． 2．（2026•建邺区一模）一种商品售价为10元，一周可卖出50件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件，已知该商品进价每件8元． （1）写出周利润y与涨价x之间的函数表达式； （2）如果要求保证利润为正值，请写出x的取值范围； （3）问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？ 【分析】（1）根据利润的等量关系列出函数表达式即可； （2）根据利润为正值列出不等式，求出x的取值范围即可； （3）利用二次函数的性质求出最大值即可． 【解答】解：（1）商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件， 依题意有： y＝（10+x）（50﹣5x）﹣8×（50﹣5x） ＝﹣5x2+40x+100； （2）由⇒﹣2＜x＜10， 或由y＝﹣5x2+40x+100＝0⇒x1＝﹣2，x2＝10， 抛物线开口向下，y＞0⇒﹣2＜x＜10． （3）y＝﹣5x2+40x+100 ＝﹣5（x﹣4）2+180 当x＝4时，取最大值y最大＝180元， 因此，当涨价4元时，周利润最大是180元． 3．（2026•建邺区一模）近几年，随着网络的发展，“网络直播”已成为商家销售商品的一种手段．某商家在直播间销售一种进价为每件16元的商品时，经过市场调查发现，该商品每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 25 26 27 … 每天销售数量y/件 … 150 140 130 … 设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）要使每天销售的利润W达到1280元，求该商品的销售单价； （3）当销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件时，求W的最大值． 【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案 （3）先根据销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件，求得30≤x＜34，再根据（2）中所求函数解析式，利用函数性质求解即可． 【解答】解：（1）设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y＝kx+b， 根据题意可得：， 解得：， 故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400； （2）∵y＝﹣10x+400 ∴W＝y×（x﹣16）＝（﹣10x+400）×（x﹣16）＝﹣10x2+560x﹣6400＝﹣10（x﹣28）2+1440． 当W＝1280元时，代入，得x1＝24，x2＝32． 故当定价为24元每件或32元每件时，商家可获利1280元； （3）∵每天销售商品的数量超过60件，所以﹣10x+400＞60，解得x＜34． 又∵销售单价不低于30元每件， ∴30≤x＜34． ∵W＝﹣10（x﹣28）2+1440， ∴抛物线对称轴为直线x＝28， 又∵a＝﹣10＜0， ∴当x＞28时，w随x增大而减小， ∴当x＝30时，W有最大值，最大值为1400元． 考点9 二次函数的应用 1．（2026•南京模拟）如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩二次函数的应用形场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式． （2）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【答案】（1）S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+44x （2＜x＜21）； （2）当x＝11时，S有最大值，最大值为242平方米． 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将S关于x的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【解答】解：（1）由题意得： S＝x[40﹣x﹣（x﹣2）+2]＝﹣2x2+44x， ∵， ∴2＜x＜21， ∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+44x （2＜x＜21）； （2）∵S＝﹣2x2+44x， ＝﹣2 （x﹣11）2+242， ∵﹣2＜0， ∴当x＝11时，S有最大值，最大值为242平方米． 2．（2026•鼓楼区一模）某一小球以一定的初速度开始向前滚动，并且均匀减速，小球滚动的速度v（单位：米/秒）与时间x（单位：秒）之间关系的部分数据如表一： 表一： 时间x（秒） 0 1 2 2.5 3 … 速度v（米/秒） 8 6 4 3 2 … （1）根据表一的信息，请在表二中填写滚动的距离s（单位：米）的对应值，（提示：本题中，sx，，其中，v0表示开始时的速度，vx表示x秒时的速度．） 表二： 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 … （2）根据表二中的数据在给出的平面坐标系中画出相应的点； （3）选择适当的函数表示s与x之间的关系，求出相应的函数解析式； （4）当s＝13.75时，求滚动时间x． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先求出的值，进而分别得出s的值，即可得出答案； （2）利用（1）中所求描出各点即可； （3）利用待定系数法确定函数关系式即可； （4）利用s＝13.75，进而代入（3）中解析式进而得出答案． 【解答】解：（1） 当x＝1时，7，则s＝7×1＝7； 当x＝2时，6，则s＝2×6＝12； 当x＝3时，5，则s＝3×5＝15； 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 7 12 15 … （2）如图所示： ； （3）由图象可得s是x的二次函数，设s＝ax2+bx，把（1，7，（2，12）代入可得： ， 解得：， 故相应的函数解析式为：s＝﹣x2+8x； （4）当s＝13.75时，则﹣x2+8x＝13.75， 解得：x1＝2.5，x2＝5.5， ∵0≤x≤4， ∴x＝2.5． 3．（2026•鼓楼区二模）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m． （1）把桥拱看作一个二次函数的图象，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m，宽为7.5m（横断面如图②），以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 【分析】（1）依据题意可设此函数的表达式为y＝a（x+8）（x﹣8），又当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m，则D（6，1.4），又把x＝6，y＝1.4代入y＝a（x+8）（x﹣8），从而求出a的值后可以得解； （2）依据题意，把，代入，则，又当船行至桥时水位上升高度为40÷5×0.25＝2（m），可得船顶距AB高为，结合，从而可以得解． 【解答】解：（1）∵AB为16m， ∴A（﹣8，0），B（8，0）． ∴可设此函数的表达式为y＝a（x+8）（x﹣8）． ∵当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m， ∴D（6，1.4）． 把x＝6，y＝1.4代入y＝a（x+8）（x﹣8）， ∴1.4＝a（6+8）×（6﹣8）， ∴． ∴，即； （2）船不能安全通过此桥．理由如下： 由题意，把，代入， ∴． ∵当船行至桥时水位上升高度为40÷5×0.25＝2（m）， ∴船顶距AB高为． ∵， ∴船不能安全通过此桥． 考点10 二次函数的图象与性质 1．（2026•建邺区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … （1）直接写出m的值 　5　 ； （2）求出函数表达式； （3）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集：x＜2或x＞3　 ． 【答案】（1）5； （2）y＝（x﹣2）2+1； （3）x＜2或x＞3． 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线x＝2，则当x＝4和x＝0时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式y＝a（x﹣2）2+1，然后把（0，5）代入求出a即可； （3）先确定抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝x﹣1的交点坐标为（2，1），（3，2），然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过点（1，2），（3，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴当x＝4和x＝0时，函数值相等， 而x＝4时，y＝5， ∴m＝5； 故答案为：5； （2）∵抛物线的顶点坐标为（2，1）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x﹣2）2+1， 把（0，5）代入得5＝a×4+1， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1； （3）∵抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝x﹣1的交点坐标为（2，1），（3，2）， ∴当x＜2或x＞3时，ax2+bx+c＞x﹣1， 即关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集为x＜2或x＞3． 故答案为：x＜2或x＞3． 2．（2026•南京一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+n． （1）若n＝m2﹣1，求证：抛物线与x轴一定有两个交点． （2）若n＝m2+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中m﹣2＜x1＜m+1，x2＝1﹣2m． ①若y1的最小值是﹣2，求函数的表达式； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围． 【分析】（1）求得Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，即可得到结论； （2）①求得抛物线的对称轴为直线x＝m，结合m﹣2＜x1＜m+1，y1的最小值是﹣2可知当x＝m时，y1＝m＝﹣2，据此即可求得函数的表达式为y＝x2+4x+2； ②由题意可知1﹣2m≤m﹣2或1﹣2m≥m+2，解得即可． 【解答】（1）证明：∵n＝m2﹣1， ∴y＝x2﹣2mx+m2﹣1， 令y＝0，x2﹣2mx+m2﹣1＝0， Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， ∴抛物线与x轴一定有两个交点． （2）解：①若n＝m2+m，则y＝x2﹣2mx+m2+m， ∴对称轴为直线x＝m， ∵m﹣2＜x＜m+1，y1的最小值是﹣2， ∴当x＝m时，y1＝m＝﹣2， ∴函数的表达式为y＝x2+4x+2． ②∵对于x1，x2，都有y1＜y2， 又∵图象开口向上，（m﹣2，y）关于对称轴的对称点为（m+2，y）， ∴1﹣2m≤m﹣2或1﹣2m≥m+2， ∴或m≥1． 3．（2026•建邺区一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 x　 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 x＝﹣2或1　 ，当y＜0时，x取值范围是 　﹣2＜x＜1　 ； （2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 【答案】（1）①8，直线；②﹣2，1，﹣2＜x＜1； （2）y＝2x2+2x﹣4． 【分析】（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0），可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得x＝2及x＝﹣3时的函数值相等，故由x＝2对应的函数值可得出x＝﹣3所对应的函数值，从而得出正确答案； ②由抛物线与x轴的交点坐标即可得到方程ax2+bx+c＝0的解；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（﹣2，0）和（1，0），与y轴的交点坐标（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c即可求出． 【解答】解：（1）①由表格可知：当x＝﹣2和x＝1时，y＝0， ∴对称轴直线， ∵抛物线经过点（2，8），点（﹣3，8）和（2，8）关于直线轴对称， ∴抛物线经过点（﹣3，8）， 故答案为：8，直线； ②由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣2或1； ∵对称轴为直线， 由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴当﹣2＜x＜1时，y＜0； 故答案为：x＝﹣2或1，﹣2＜x＜1； （2）把（﹣2，0），（1，0）和（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝2x2+2x﹣4． 4．（2026•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x﹣4m（m为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当该函数图象的顶点纵坐标的值最大时，m的值为 　﹣1　 ． 【分析】（1）当y＝0，x2+（2m﹣2）x﹣4m＝0，再计算根的判别式得到Δ＝4（m+1）2，根据非负数的性质得到Δ≥0．所以方程有实数根，从而得到该函数的图象与x轴总有公共点； （2）利用抛物线的顶点坐标公式得到函数图象的顶点纵坐标为，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】（1）证明：当y＝0，x2+（2m﹣2）x﹣4m＝0， ∵Δ＝（2m﹣2）2﹣4×1×（﹣4m） ＝4m2+8m+4 ＝4（m+1）2， 又（m+1）2≥0， ∴Δ≥0． ∴方程有实数根． ∴该函数的图象与x轴总有公共点； （2）∵函数图象的顶点纵坐标为（m+1）2， ∴当m＝﹣1时，该函数图象的顶点纵坐标的值最大． 故答案为：﹣1． 5．（2026•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点A（﹣1，0），B（4，0），抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； （3）M（1﹣m，y1），N（m，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx上两点，若|y1﹣y2|≤2，直接写出m取值范围． 【分析】（1）依据题意，对于抛物线y＝x2﹣2mx，则a＝1，b＝﹣2m，故对称轴为直线，进而得解； （2）依据题意，将 x＝﹣1代入抛物线y＝x2﹣2mx，得y＝1+2m；将x＝4代入抛物线，得y＝16﹣8m，又抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点，从而可分四种情况讨论，进而计算可以得解； （3）依据题意，将x＝1﹣m代入抛物线y＝x2﹣2mx，则1﹣2m+m2﹣2m+2m2＝3m2﹣4m+1；又将 x＝m代入抛物线y＝x2﹣2mx，则，故|y1﹣y2|＝|3m2﹣4m+1﹣（﹣m2）|＝|4m2﹣4m+1|＝|（2m﹣1）2|＝（2m﹣1）2，又|y1﹣y2|≤2，则（2m﹣1）2≤2，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，对于抛物线y＝x2﹣2mx， ∴a＝1，b＝﹣2m． ∴对称轴为直线． （2）由题意得，将 x＝﹣1代入抛物线y＝x2﹣2mx，得y＝1+2m；将x＝4代入抛物线，得y＝16﹣8m． 又∵抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点， ∴分四种情况讨论：①当抛物线经过点A（﹣1，0）时，1+2m＝0，解得； ②当抛物线经过点B（4，0）时，16﹣8m＝0，解得m＝2； ③∵抛物线对称轴为直线x＝m，且抛物线开口向上（a＝1＞0）， ∴当时，即，则m＞2；当时，即，则． ④抛物线与x轴切于原点， ∴Δ＝m2＝0． ∴m＝0． 综上，m的取值范围是或m＞2或m＝0． （3）由题意，将x＝1﹣m代入抛物线y＝x2﹣2mx， ∴1﹣2m+m2﹣2m+2m2＝3m2﹣4m+1． 又将 x＝m代入抛物线y＝x2﹣2mx， ∴． ∴|y1﹣y2|＝|3m2﹣4m+1﹣（﹣m2）|＝|4m2﹣4m+1|＝|（2m﹣1）2|＝（2m﹣1）2． ∵|y1﹣y2|≤2， ∴（2m﹣1）2≤2． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 1．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 【答案】见解答． 【分析】（1）先分别以O、M点为圆心，以OM长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作∠AOM和∠BOM的平分线OP、OQ，然后以M点为圆心，MO为半径画弧交OP、OQ于点N、N′，则点N、N′满足条件； （2）方法一：先过A点作AH⊥l于H点，再以点A、H为圆心，以AH长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件； 方法二：先过A点作AH⊥l于H点，再作AH得垂直平分线，接着以点A圆心，以AH长为半径画弧交AH得垂直平分线于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件． 【解答】解：（1）如图1，点N、N′为所作； （2）如图2、3，△ABC为所作． 2．（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC交于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若BD＝3，AE＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线． （2）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD、AD， ∵AB是直径， ∴AD⊥BC． ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠BAD． ∵∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BAC＝∠BOD， ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ODE＝∠AED＝90°， ∴半径OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝∠ADC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴ADC∽△DEC， ∴， ∴， ∴CE＝1或CE＝8（不合题意舍去）， ∴AB＝AC＝9， ∴⊙O的半径为4.5． 3．（2025•南京模拟）已知：线段c，d， （1）求作：△ABC，使∠BCA＝90°，AB＝c，高CD＝d． （2）求作：△ABC，使∠BCA＝90°，AB＝c，角平分线CD＝d． 要求：①作一个即可，用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【分析】（1）作线段AB＝c；作AB的垂直平分线得中点O；以O为圆心，OA为半径作圆；作与AB距离为d的平行线，交圆于点C；连接AC、BC，△ABC即为所求； （2）先画出一条射线，截取AB＝c，作AB的垂直平分线于AB交于O，以O为圆心，以OA为半径画圆，与AB垂直平分线交于点E，连接BE，作d的垂直平分线，确定d，以B为圆心，d为半径画圆，作BE的垂线，交⊙B于F，连接EF，以F为圆心，d为半径画圆，交EF于G，以E为圆心，EG为半径画圆，交AB于D，连接ED延长交⊙O于C，△ABC即为所求． 【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求； （2）如图所示：△ABC即为所求． ①先画出一条射线，截取AB＝c， ②作AB的垂直平分线于AB交于O， ③以O为圆心，以OA为半径画圆，与AB垂直平分线交于点E，连接BE， ④作d的垂直平分线，确定d， ⑤以B为圆心，d为半径画圆，作BE的垂线，交⊙B于F，连接EF， ⑥以F为圆心，d为半径画圆，交EF于G， ⑦以E为圆心，EG为半径画圆，交AB于D， ⑧连接ED延长交⊙O于C，△ABC即为所求； 4．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件； （2）分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】（1）解：如图△ABC即为所求； （2）解：这样的直线不唯一． ①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为yx． ②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为yx+4． 5．（2025•建邺区校级四模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为　　 ． 【分析】（1）连接AD，OD，由，得∠DAB＝∠DAC，根据等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ODA，等量代换得到∠DAC＝∠ODA，推出AE∥OD，于是得到结论； （2）设⊙O的半径为r，根据30度角所对直角边等于斜边一半即可得到结论． 【解答】解：（1）证明：连接OD，AD． ∵， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵EF⊥AC， ∴∠E＝90°． 在⊙O中，∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AE， ∴∠ODF＝∠E＝90°， 即OD⊥EF， 又∵点D在⊙O上， ∴直线EF是⊙O的切线． （2）在Rt△AEF中，AE＝1，∠F＝30°， ∴AF＝2AE＝2， 在Rt△ODF中，∠F＝30°， ∴OF＝2OD， ∴OB＝BF＝ODAF． 则⊙O半径长为． 故答案为：． 6．（2026•南京一模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，AB为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动⊙O绕圆心O转动，当连杆AB恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记⊙O与AB的另一个交点为C，过点B作BD⊥AB交直线l于点D，发现DO恰好平分∠ADB． （1）求证：直线l与⊙O相切； （2）若BD＝5，AD＝13，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）过点O作OE⊥AD于点E，先证△OED和△OBD全等，即可得到OE＝OB，从而得证； （2）先根据勾股定理求出AB的长，再证△AEO∽△ABD，即可求出圆的半径． 【解答】（1）证明：如图2，过点O作OE⊥AD于点E， ∴∠OED＝90°， ∵BD⊥AB， ∴∠OBD＝90°， ∴∠OED＝∠OBD， ∵DO恰好平分∠ADB， ∴∠EDO＝∠BDO， 在△OED和△OBD中， ， ∴△OED≌△OBD（AAS）， ∴OE＝OB， ∵OE⊥AD， ∴直线l与⊙O相切； （2）解：∵BD⊥AB， ∴∠OBD＝90°， ∵BD＝5，AD＝13， ∴由勾股定理得，， 设⊙O的半径为r， 则OE＝OB＝r， ∴OA＝AB﹣OB＝12﹣r， ∵∠AEO＝∠ABD＝90°，∠OAE＝∠DAB， ∴△AEO∽△ABD， ∴， ∴， 解得r， 即⊙O的半径为． 7．（2026•南京一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，5）． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为　（6，3）　 ； （3）点P在x轴上，PB+PC的最小值为　10　 ． 【答案】（1）见解析； （2）（6，3）； （3）10． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为C； （2）根据等腰三角形的性质求C点坐标即可； （3）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'交x轴于点P，连接CP，BC'的长即为所求． 【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠CBA， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴C点在AB的线段垂直平分线上， 作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为C； （2）∵A（0，1）、B（0，5）， ∴C点坐标为3， ∴C（6，3）， 故答案为：（6，3）； （3）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'交x轴于点P，连接CP， ∴CP＝CP'， ∴PB+PC＝PB+PC'≥BC'， ∵C（6，3）， ∴C'（6，﹣3）， ∴BC'＝10， ∴PB+PC的最小值为10， 故答案为：10． 8．（2026•溧水区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝3BD，CE＝5，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）⊙O的半径为． 【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可； （2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得． 【解答】（1）证明：连接OD，AD， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴， ∵， ∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC， 设DC＝x，则AC＝3x， ∴， ∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴（相似三角形的对应边成比例）， 即， ∴，， ∴AC＝3x＝35， ∴⊙O的半径为． 9．（2025•栖霞区校级三模）如图，已知线段AB和直线l．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线l作符合要求的点P（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）． （1）∠APB＝30°； （2）∠APB的度数最大． 【分析】（1）构造等边三角形ABC，利用圆周角定理作出点P，点P′即可； （2）由题意，当过A，B两点的圆与直线l相切于点P时，∠APB的值最大，此时CP2＝CA•CB，再利用相似三角形的性质作出点P即可（构造直角三角形CDB，AD是高，由射影定理可知CD2＝CA•CB，在直线l上截取线段CP＝CD）． 【解答】解：（1）如图①中，点P，P′即为所求． 方法：在AB的下方作等边三角形ABC，以C为圆心，CA为半径作⊙C交直线l于点P，点P′，点P，点P′即为所求； （2）如图②中，点P即为所求． 方法：延长BA交直线l于点C，以BC为直径作圆，过点A作AD⊥BC交圆于点D，以C为圆心，CD为半径作弧，在点C的右侧交于点P，点P即为所求． 10．（2025•鼓楼区校级三模）如图1，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为，将△ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点记作C′． （1）用无刻度直尺在图1中，作出C′第一次落在⊙O上时的位置，此时旋转角为 　30　 °； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出AC′与⊙O相切时的位置，此时C′B2的长为 　8+4或8﹣4　 ． 【分析】（1）作直径BC′，连接AC′，点C′即为所求；再根据旋转角的定义求解； （2）连接OA，过点A作AC′⊥OA，且使得AC′＝AC，分别以A，C′为圆心，AC为半径作弧，两弧交于点B′，连接AB′，C′B′即可．过点C′作C′H⊥BA交BA的延长线于点H．连接OA．利用勾股定理求出C′B2． 【解答】解：（1）如图1中，点C′即为所求； 方法：作直径BC′，连接AC′，点C′即为所求； 理由：连接OA． ∵AO＝BO，AB＝2， ∴△ABO是等腰直角三角形， ∴∠ABC′＝45°， ∵BC′是直径， ∴∠BAC′＝90°， ∴∠AC'B＝45°， ∴∠ABC＝∠AC′B＝45°， ∴AC′＝AB＝AC，故点C即为所求，此时旋转角＝CAC＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30； （2）如图2中，直线AC′即为所求． 过点C′作C′H⊥BA交BA的延长线于点H．连接OA． 由（1）可知∠OAB＝45°， ∵AC′是切线， ∴∠OAC′＝90°， ∴∠C′AH＝45°， ∴AH＝C′H2， ∴BH＝AH+AB＝2， ∴BC′2＝C′H2+BH2＝2+（2）2＝8+4． 当AC′在AB的下方时，同法可得BC′2＝8﹣4． 故答案为：8+4或8﹣4． 11．（2025•玄武区二模）图形的旋转 （1）将线段AB绕点O旋转一定角度得到线段A′B′，A′、B′分别是A、B的对应点． （I）如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （Ⅱ）如图②，设旋转角度为α（0°＜α＜180°），延长BA、B′A′交于点C．求证：∠C＝α． （2）在△ABC中，∠A＝60°，BC＝4，点D、E分别在边AB、AC上（包括端点），且BD＝DE＝EC． （I）在图③中，求作满足条件的DE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （Ⅱ）若存在满足条件的DE，则AB的取值范围是　　 ． 【分析】（1）（Ⅰ）根据旋转的性质得出OA＝OA′，OB＝OB′，故点O是AA′和BB′的垂直平分线的交点； （Ⅱ）连接OA．OA′，OB，OB′，可证得△AOB≌△A′OB′，从而∠ABO＝∠A′B′O，进而得出∠C＝∠BOB′＝α； （2）（Ⅰ）作△ABC的外接圆O，作射线BO，交AC于E，作射线CO，交AB于D，连接DE，则DE解是求作的线段； （Ⅱ）须点O在△ABC的内部，故求当AB是⊙OD直径和AC是直径的临界，进而得出结果． 【解答】（1）（Ⅰ）解：如图1， 连接AA′，BB′，作AA′和BB′的垂直平分线，交于点O，设OB，B′C交于点D， 则点O是旋转中心； （Ⅱ）证明：如图2， 连接OA．OA′，OB，OB′， ∴∠AOA′＝∠BOB′，OA＝OA′，OB＝OB′， ∴∠AOA′﹣∠A′OB＝∠BOB′﹣∠A′OB， ∴∠AOB＝∠A′OB′， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴∠ABO＝∠A′B′O， ∵∠BDC＝∠B′DO， ∴∠C＝∠BOB′＝α； （2）解：如图2， （Ⅰ）作△ABC的外接圆O，作射线BO，交AC于E，作射线CO，交AB于D，连接DE， 则DE解是求作的线段， 理由如下： 连接OA， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠ABO＝∠BAO，∠OAC＝∠ACO， ∵∠BAO+∠OAC＝60°， ∴∠ABO+∠ACO＝60°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠ABO+∠ACO）＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°， ∴∠DOE＝120°， ∴∠DOE+∠BAC＝180°， ∴点A、D、O、E共圆， ∴∠DEO＝∠OAB，∭EDO＝∠OAC， ∴∠DEO＝∠ABO，∠ODE＝∠ACO， ∴BD＝DE＝CE； （Ⅱ）当AB是⊙OD直径时， AB， 当AC是⊙O的直径时， AB， ∴， 故答案为：． 12．（2026•建邺区校级模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，A在⊙O上，点D是△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线EG∥AC． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若，BC＝6， ①求AB的长； ②直接写出DF的长度：　　 ． 【答案】（1）证明见解答； （2）①AB的长为4； ②． 【分析】（1）连接OE，交AC于点H，则∠OEB＝∠CBE，由BC是⊙O的直径，点D是△ABC的内心，得∠BAC＝90°，∠ABE＝∠CBE，则∠OEB＝∠ABE，所以OE∥AB，则∠OHC＝∠BAC＝90°，而EG∥AC，所以∠OEG＝∠OHC＝90°，即可证明EG是⊙O的切线； （2）①连接CE，则∠BEC＝90°，由∠ABE＝∠CBE，得，则AE＝CE，因为BC＝6，所以OEBC＝3，由∠HAE＝∠CBE，得sin∠HAE＝sin∠CBE，求得HEAE＝1，则HO＝2，由AH＝CH，BO＝CO，得AB＝2HO＝4； ②作DI⊥AB于点I，由∠BAD＝∠CAD＝45°，推导出AI＝DI，求得BE，则tan∠ABE＝tan∠CBE，所以BIDI，DI+DI＝4，求得DI1，由cos∠ABE＝cos∠CBE，求得BF，由sin∠ABE＝sin∠CBE，求得BD，则DF＝BF﹣BD，于是得到问题的答案． 【解答】（1）证明：连接OE，交AC于点H，则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠CBE， ∵BC是⊙O的直径，点D是△ABC的内心， ∴∠BAC＝90°，∠ABE＝∠CBE， ∴∠OEB＝∠ABE， ∴OE∥AB， ∴∠OHC＝∠BAC＝90°， ∵EG∥AC， ∴∠OEG＝∠OHC＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且EG⊥OE， ∴EG是⊙O的切线． （2）解：①连接CE，则∠BEC＝90°， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴， ∴AE＝CE， ∵BC＝6， ∴OEBC＝3， ∵∠HAE＝∠CBE，∠AHE＝90°， ∴sin∠HAE＝sin∠CBE， ∴HEAE6＝1， ∴HO＝OE﹣HE＝3＝1＝2， ∵OE⊥AC于点H， ∴AH＝CH， ∵BO＝CO， ∴AB＝2HO＝4， ∴AB的长为4． ②作DI⊥AB于点I，则∠AID＝∠BID＝90°， ∵∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∴tan45°＝1， ∴AI＝DI， ∵BE， ∴tan∠ABE＝tan∠CBE， ∴BIDI， ∴AB＝BI+AIDI+DI＝4， ∴DI1， ∵cos∠ABE＝cos∠CBE， ∴BFAB4， ∵sin∠ABE＝sin∠CBE， ∴BDDI（1）， ∴DF＝BF﹣BD（）， 故答案为：． 13．（2025•栖霞区校级三模）如图，⊙O过△ABC的顶点A，B，交BC于点D，点E为的中点，连接AE交BD于点F，AC＝CF． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）连接AD，若2AB＝3AD，BD＝10． （I）求AC的长． （Ⅱ）若AF＝BF，则⊙O的半径为　　 ． 【分析】（1）连接OA，OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，由点E为的中点，得到，根据垂径定理得到OE⊥BD，求得∠OAC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）（I）如图，延长AO交⊙O于G，连接DG，得到∠B＝∠G，∠ADG＝90°，求得∠B＝∠CAD，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （Ⅱ）连接OE交BD于H， 由（I）知，OE⊥BD，CF＝AC＝12，CD＝8，求得DF＝4，BH＝DHBD＝5，得到FH＝1，求得EF＝DF＝4，根据勾股定理得到HE，连接OB，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OA，OE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵点E为的中点， ∴， ∴OE⊥BD， ∴∠BFE+∠AEO＝90°， ∵AC＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， ∵∠CFA＝∠EFB， ∴∠CAF＝∠EFB， ∴∠CAF+∠OAF＝90°， ∴∠OAC＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． （2）解：（I）如图，延长AO交⊙O于G，连接DG， ∴∠B＝∠G，∠ADG＝90°， ∴∠G+∠GAD＝∠B+∠GAD＝∠CAD+∠GAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC， ∴， ∵2AB＝3AD， ∴， ∴设AC＝2x，BC＝3x， ∵， ∴， ∴x， ∵BC﹣CD＝BD， ∴3xx＝10， ∴x＝6， ∴AC＝2x＝12； （Ⅱ）解：连接OE交BD于H， 由（Ⅰ）知，OE⊥BD，CF＝AC＝12，CD＝8， ∴DF＝4，BH＝DHBD＝5， ∴FH＝1， ∵AF＝BF， ∴∠B＝∠BAE， ∴， ∴， ∴BD＝AE， ∴EF＝DF＝4， ∴HE， 连接OB， ∵OB2＝OH2+BH2， ∴OB2， ∴OB． ∴⊙O的半径为， 故答案为：． 14．（2026•鼓楼区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2＝BD•AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC＝6，BC＝8，求GH的长． 【分析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可证OE∥AC，从而OE⊥BC，即得BC是⊙O的切线； （2）证明△BED∽△BAE，可得，即有BE 2＝BD•AB； （3）过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，设CE＝x，则EM＝x，在Rt△BEM中，得x2+42＝（8﹣x）2，解得EM＝EC＝3，BE＝5，由△BED∽△BAE，可得DE，从而AD，DM，OM＝OD﹣DM，根据点H为的中点，可证△EGM∽△HGO，有，设MG＝a，则OG＝OM﹣MGa，即得，可得MG＝1，OG，故GH． 【解答】（1）证明：连接OE，如图： ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠AEO， ∴OE∥AC， ∴∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴OE⊥BC， ∵OE为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）证明：由（1）可知，BC与⊙O相切于点E， ∴∠OED+∠BED＝90°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AEO+∠OED＝90°， ∴∠AEO＝∠BED． ∵OE＝OA， ∴∠EAB＝∠AEO＝∠BED， ∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BAE， ∴， ∴BE 2＝BD•AB； （3）解：过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，如图： 在Rt△ABC中，AB10， ∵AE平分∠BAC， ∴EM＝EC，AM＝AC＝6， ∴BM＝AB﹣AM＝4， 设CE＝x，则EM＝x， ∴BE＝8﹣x， 在Rt△BEM中，EM 2+BM 2＝BE 2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴EM＝EC＝3，BE＝5， Rt△ACE中，AE3， 由（2）可知，△BED∽△BAE， ∴， ∴DE， 在Rt△AED中，AD， ∴DM， ∴OM＝OD﹣DMDM， ∵点H为的中点， ∴∠HOA＝∠HOD＝90°， ∴EM∥OH， ∴△EGM∽△HGO， ∴， 设MG＝a，则OG＝OM﹣MGa， ∴， ∴a＝1，即MG＝1，OG， 在Rt△OHG中，GH． 答：GH的长为． 15．（2026•建邺区校级模拟）某公司销售一种新产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）求y关于x的函数关系式； （2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额﹣年销售产品总进价﹣年总开支），当x为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）设直线解析式为y＝kx+b，把已知坐标代入求出k，b的值后可求出函数解析式； （2）根据题意可知z＝yx﹣40y﹣120，把x＝100代入解析式即可； （3）令z＝40，代入解析式求出x的实际值． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，它过点（60，5），（80，4）， ， 解得： ， ∴yx+8； （2）z＝yx﹣40y﹣120＝（x+8）（x﹣40）﹣120x2+10x﹣440， ∴当x100元时，最大年获利为60万元； （3）令z＝40，得40x2+10x﹣440， 整理得：x2﹣200x+9600＝0， 解得：x1＝80，x2＝120， 要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间， 又因为销售单价越低，销售量越大， 所以要使销售量最大，且年获利不低于40万元，销售单价应定为80元． 16．（2026•南京一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将点B（1，5）向下平移6个单位，向左平移m个单位（m＞0）后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点A（﹣1，3）代入求得c的值即可； （2）先求出点B（1，5）平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值； （3）根据二次函数的开口方向，对称轴分、、n＞1三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为求n的范围即可． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线x， ∴x， ∴b＝﹣1， 将点A的坐标代入y＝﹣x2﹣x+c得： ∴﹣1+1+c＝3， ∴c＝3， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+3； （2）根据题意，点B（1，5）平移后的点的坐标为（1﹣m，﹣1）（m＞0）， ∵点B（1，5）平移后恰好落在抛物线上， ∴﹣1＝﹣（1﹣m）2﹣（1﹣m）+3， 解得：m（舍去）或m， 即m的值为； （3）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+3开口向下且对称轴为直线， 当﹣2≤x≤n时，分三种情况求最值： ①当时， 当x时，， 当x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1， ， 不合题意，舍去； ③当n＞1时， x时，， x＝n时，函数取得最小值， ∵该二次函数的最大值与最小值的差为， ∴n2+n﹣3， 解得 ∴， 解得n1＝1或n2＝﹣2，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当． 17．（2025•南京二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，直线AE交CD的延长线于点E，延长AD，BC相交于点F，DA平分∠BDE． （1）求证：AB＝AC． （2）若AE是⊙O的切线． （Ⅰ）求证：△ABF∽△EAC． （Ⅱ）若AE＝2，DE＝1，C是BF的中点，则⊙O的半径为 　　 ． 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）（Ⅰ）连接AO并延长交BC于点G，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到AG⊥BC，利用圆的切线的性质定理得到AG⊥AE，则AE∥BC，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （Ⅱ）连接AO并延长交BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，连接OB，利用切割线定理求得EC，DC的长度，利用相似三角形的判定与性质求得FC，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到BG＝CG3，利用矩形的判定与性质得到GH＝AE＝2，AG＝EH，利用勾股定理求得AG，设⊙O的半径为r，则OB＝OA＝r，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）（Ⅰ）证明：连接AO并延长交BC于点G，如图， 由（1）知：AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，， ∴AG⊥BC， ∵AE是⊙O的切线， ∴AG⊥AE， ∴AE∥BC， ∴∠F＝∠EAD，∠EAC＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ABC． ∵AE是⊙O的切线， ∴∠EAD＝∠ECA， ∴∠ECA＝∠F， ∴△ABF∽△EAC； （Ⅱ）解：连接AO并延长交BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，连接OB，如图， ∵AE是⊙O的切线， ∴AE2＝DE•EC， ∵AE＝2，DE＝1， ∴EC＝4． ∴CD＝EC﹣ED＝3， 由（Ⅰ）知：AE∥BC， ∴△AED∽△FCD， ∴， ∴， ∴CF＝6． ∵C是BF的中点， ∴BC＝CF＝6， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BG＝CG3， ∵AG⊥BC，EH⊥BC，AE∥BC， ∴四边形AGHE为矩形， ∴GH＝AE＝2，AG＝EH， ∴CH＝CG﹣GH＝1， ∴AG＝EH． 设⊙O的半径为r，则OB＝OA＝r， ∴OG＝AG﹣OAr， ∵OG2+BG2＝OB2， ∴， ∴r． 故答案为：． 18．（2025•玄武区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC，且与BO的延长线交于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）连接AO并延长与交于点M，连接BM并延长与AC的延长线交于点N． ①求证：∠D＝∠N； ②若⊙O的半径为5，，则CN的长为　　 ． 【分析】（1）连接AO并延长交BC于点E，利用垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）①连接OC，利用垂径定理和圆周角定理得到∠BOM＝∠CPM＝∠BAC，利用平行线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； ②连接CM，利用直角三角形的边角关系定理，对顶角相等的性质得到tan∠BOE＝tan∠AOD，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠BOE，设BE＝4k，则OE＝3k，利用勾股定理求得BM，CM，再利用圆的内接四边形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接AO并延长交BC于点E，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴OE⊥BC， ∵AD∥BC， ∴AD⊥OA， ∵OA为⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）①证明：连接OC，如图， 由（1）知：AM⊥BC，OA⊥AD， ∴， ∴∠BAM＝∠CAM，∠BOM＝∠COM， ∵∠COM＝2∠CAM， ∴∠BOM＝∠CPM＝∠BAC． ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠OBE． ∵AM为⊙O的直径， ∴∠ABM＝90°， ∴∠BAC+∠N＝90°， ∵∠OBE+∠BOM＝90°， ∴∠N＝∠OBE， ∴∠D＝∠N； ②解：连接CM，如图， 由（1）知：OA⊥AD， ∴tan∠AOD， ∵∠BOE＝∠AOD， ∴tan∠BOE＝tan∠AOD， ∴tan∠BOE， ∴设BE＝4k，则OE＝3k， ∴OB5k＝5， ∴k＝1， ∴OE＝3，BE＝4， ∴EM＝OM﹣OE＝5﹣3＝2， ∴BM2． 由（2）①知：∠BAM＝∠CAM， ∴， ∴． ∵AM为⊙O的直径， ∴∠ACM＝∠MCN＝90°， ∵四边形ABMC为圆的内接四边形， ∴∠CMN＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠BOE， ∴∠CMN＝∠BOE． ∴tan∠CMN＝tan∠BOE， ∴tan∠CMN． ∴， ∴CN． 故答案为：． 19．（2025•秦淮区一模）已知在菱形ABCD中，AB＝3，过点A，B，D作⊙O． （1）如图（1），当∠A＝60°时，求证：CD，CB都与⊙O相切； （2）如图（2），当60°＜∠DAB＜90°时，BC与⊙O交于点E，连接AE． ①随着∠DAB度数的增大，下列说法正确的是A ． A．⊙O的半径与AE的长都增大 B．⊙O的半径增大，AE的长先增大后减小 C．⊙O的半径先增大后减小，AE的长增大 D．⊙O的半径与AE的长都先增大后减小 ②当AE＝4时，求⊙O的半径． 【分析】（1）如图（1），连接OB，OD，BD．由菱形的性质可得 AB＝AD＝CB＝CD、∠A＝∠C＝60°易得△CDB是等边三角形，再根据等边三角形的性质以及角的和差可得OD⊥CD，即可CD与⊙O相切．同理可证CB与⊙O相切； （2）①设⊙O的半径为r．根据菱形的性质以及平行线的性质可得∠AEB＝∠DAE，再根据弧、弦、圆周角的关系得到AD＝ED＝3，易得DO垂直平分AE，即∠DNE＝90°，，AE＝2AN；经分析可知随着∠DAB度数的增大，∠AON也随之变大，然后运用解直角三角形以及勾股定理判定⊙O的半径与AE的长的变化情况即可解答； ②结合①易得，然后运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OB，OA，OD，BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CB＝CD，∠DAB＝∠C＝60°， ∴△CDB是等边三角形， ∴∠CDB＝60°， ∵∠DAB＝60°， ∴∠DOB＝120°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠CDO＝∠CDB+∠ODB＝60°+30°＝90°，即OD⊥CD， ∵点D在⊙O上， ∴CD与⊙O相切． 同理可得：CB与⊙O相切； （2）解：①设⊙O的半径为r， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，AB＝AD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴， ∴ED＝AB， ∴AD＝ED＝3， 又∵OA＝OE， ∴DO垂直平分AE， ∴∠DNE＝90°，，AE＝2AN， ∵当60°＜∠DAB＜90°时， ∴随着∠DAB度数的增大，∠AON 也随之变大， ∴AE＝2AN＝2•AD•sin∠ADN＝6sin∠ADN，DN＝AD•cos∠ADN＝3cos∠ADN， ∵sin∠ADN随∠ADN的增大而增大， ∴AE随着∠DAB度数的增大而增大，ON＝DN﹣r＝3cos∠ADN﹣r， 在Rt△ONE中，∠ONE＝90°， ∴ON2+EN2＝OE2， ∴（3cos∠ADN﹣r）2+（3sin∠ADN）2＝r2， 解得：， ∵cos∠ADN 随∠ADN的增大而减小， ∴r随着∠DAB 度数的增大而增大， 故答案为：A； ②如图，连接DE，OA，OE，连接DO并延长，交AE于点N， 设⊙O的半径为r， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，AB＝AD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴， ∴ED＝AB， ∴AD＝ED＝3， 又∵OA＝OE， ∴DO垂直平分AE， ∴∠DNE＝90°，， 在Rt△DNE中，∠DNE＝90°， ∴EN2+DN2＝DE2， ∴22+DN2＝32， 解得：， 在Rt△ONE中，∠ONE＝90°， ∴ON2+EN2＝OE2， ∴， 解得． 20．（2026•鼓楼区校级模拟）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD． 【特殊化感知】 （1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 AD﹣BD＝CD ； 【一般化探究】 （2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示） 【答案】（1）AD﹣BD＝CD； （2）见解析． 【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可； （2）延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在AB同侧时，延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到DE＝2DF＝2CD•sin，再利用全等三角形的判定与性质得到AD＝BE，则结论可得；②当点C、D在AB两侧时，延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，利用①的方法解答即可． 【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°， ∴CD＝BDAD， ∴AD﹣BD＝CD． 故答案为：AD﹣BD＝CD； （2）若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，AD﹣BD与CD的数量关系为：AD﹣BD＝CD，理由： 延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CDE＝∠BAC＝60°， ∵DE＝CD， ∴△CDE为等边三角形， ∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝60°+∠BCD， ∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝60°+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE． ∵∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠ADC∠E＝60°． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BE， ∵BE＝BD+DE＝BD+CD， ∴AD＝BD+CD， ∴AD﹣BD＝CD． （3）①当点C、D在AB同侧时， 延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝α， ∴∠CAB＝∠CBA＝90°， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CDE＝∠BAC＝90°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E＝90°α，∠DCE＝α． ∵CF⊥DE， ∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin， ∴DE＝2DF＝2CD•sin， ∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝α+∠BCD，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝α+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝∠E． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BE， ∵BE＝BD+DE＝BD+2CD•sin， ∴AD﹣BD＝2CD•sin． ②当点C、D在AB两侧时， 延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝α， ∴∠CAB＝∠CBA＝90°， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CBE＝∠DAC， 在△CAD和△CBE中， ， ∴△CAD≌△CBE（SAS）， ∴CD＝CE，∠ADC＝∠E， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠E＝90°， ∵CF⊥DE， ∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin， ∴DE＝CD•sin， ∴DE＝2CD•sin， ∵DE＝BD+BE＝AD+BD， ∴AD+BD＝2CD•sin． 综上，若∠ACB＝α，AD、BD、CD满足的数量关系为：当点C、D在AB同侧时AD﹣BD＝2CD•sin；当点C、D在AB两侧时，AD+BD＝2CD•sin． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $