数学终极押题猜想（江苏常州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 几何图形初步的数学依据 1 押题猜想二 从动点图像中获取信息 7 押题猜想三 锐角三角函数与三角形、四边形结合 17 押题猜想四 三角形、四边形中动点运动后的取值范围问题 24 押题猜想五 图形的新定义问题 31 押题猜想六 函数的新定义问题 42 押题猜想七 二次函数等角、倍角问题 50 押题猜想八 二次函数增减性求最值、取值范围问题 67 押题猜想九 尺规作图与图形综合题 76 押题猜想一 几何图形初步的数学依据 试题前瞻·能力先查 限时：10min 在数学活动课上，老师要求同学们通过折纸的方式过直线外一点作已知直线的平行线（如图1）．小明的折纸步骤如下： 步骤1：如图2，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线． 步骤2：如图3，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线． 在折纸的过程中蕴含的依据是（　　） ①平角的定义；②垂线段最短；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等． A．②④ B．①⑤ C．①③⑤ D．①③④ 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以选择题呈现，从点、线、面、体几个方向出题，让学生从平面图形到立体图形更好的过渡。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 2．（2025·江苏扬州·一模）下面是“过直线外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． 上述方法通过构造直线上线段的垂直平分线，得到直线的垂线其中判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线直线就是所求作的垂线 A．点与点关于直线对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图①，P是直线m外一点．如图②，在直线m 上取一点Q，作直线．以点Q为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交和直线m于点A、B．再以点P 为圆心，以长为半 径画圆弧交于点D，以点D为圆心，以长为半径画圆弧交于点E，过点P、E作直线n，则的理论依据是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补， 两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线互相平行 4．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，分别将两把相同的直尺的一边分别与射线重合，若两把直尺的另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角平分线是轴对称图形 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，在直线l上任取两点A、B，分别以A、B为圆心，不同的长为半径，画弧，两弧相交于点C、D，连接，则，其依据是（   ） A．直径所对的圆周角是直角 B．勾股定理逆定理 C．菱形对角线互相垂直 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 6．（2026·吉林长春·模拟预测）两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，作射线，则在说明为的平分线的过程中，证全等的依据是(　　) A． B． C． D． 押题猜想二 从动点图像中获取信息 试题前瞻·能力先查 限时：10min 某生物兴趣小组在探究酵母菌发酵过程时，通过实验测得发酵时间内酵母菌数量、酒精浓度和葡萄糖浓度的变化数据，并绘制成函数图象．已知酵母菌在发酵前期营养充足时繁殖迅速，后期因代谢产物积累和底物消耗而受到抑制．则下列结论中正确的是（   ） A．在发酵全过程（小时），酵母菌数量始终随时间增加而增加 B．酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，且增长速率保持不变 C．发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果 D．葡萄糖浓度在发酵过程中先增加后减少，小时时达到最大值 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以选择题呈现，现多以新情境和跨学科的题目出现，结合实际生活中的数学问题进行出卷，把生活带入课本，建立多门学科之间的联系。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江苏扬州·三模）如图1是扬州南部城市快速通道的一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点的距离（）与时间（）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（    ）    A．甲车在立交桥上共行驶8 B．从F口出比从G口出多行驶40 C．甲车从F口出，乙车从G口出 D．立交桥总长为150 2．（2025·江苏宿迁·二模）小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（   ）个． ①本次充电持续时间是120分钟   ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量   ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时   ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·江苏常州·二模）如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·江苏宿迁·一模）小明同学利用计算机软件绘制函数（、为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数、的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·江苏扬州·一模）函数 的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时， D．该函数图像与x轴有3个交点 押题猜想三 锐角三角函数与三角形、四边形结合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以填空题呈现，多以三角形中的特殊角的三角函数值求解，也会通过相似三角形构造比例关系，有时还会出现两次相似。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏泰州·一模）如图，中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为_____ ． 2．（2025·江苏镇江·二模）如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，点 为上一点，连接交于点，若、、的面积分别为、、，则的面积为_____． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为___________． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则______． 5．（2025·江苏苏州·二模）如图，中，，将绕点按顺时针旋转得到，射线与射线相交于点，连接．当四边形是矩形时，的值等于__________ 6．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，________． 押题猜想四 三角形、四边形中动点运动后的取值范围问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点，点分别在射线和上，过点分别作交于点，交于点．设，，令，则的取值范围是______． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以填空题呈现，在三角形或四边形中出现单动点、双动点、甚至三动点来构造数量关系，最终可能会以轨迹为直线、圆的方法来解最值、取值范围题。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江苏常州·二模）如图，， O为的中点， 以O为圆心，为半径的圆交线段于点C．P是上的动点，连接，若线段交于Q，弦的中点为M，则 的周长c(单位：)的取值范围是________． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，中，，，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部上时，的取值范围为____________________． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点E在上（端点除外），，作，垂足为F．当时，的长是__；当时，m的取值范围是__． 4．（2025·江苏盐城·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且．在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是________． 5．（2025·江苏·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 6．（2025·江苏南京·一模）在中，，．若为钝角，则的取值范围是__________． 押题猜想五 图形的新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． (1)【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： (2)【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． (3)【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，会对三角形、四边形进行新的定义，如美好三角形、垂美四边形等，学生根据题目新的定义进行解题与证明，有的时候还会涉及作图。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．如图，在中，分别是边上的中线，三条中线交于重心G． 【性质探究】 (1)小颖发现点E、D分别是的中点，由此联想到三角形中位线，请你根据小颖的思路，证明：； 【迁移应用】 (2)经过探究，小颖进一步发现：以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形．请你帮助小颖完成这一结论的证明． 【创新研究】 (3)探究由三条中线为边构成的三角形与的面积之间的数量关系．若设的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为，请写出S与之间的数量关系． 2．（2026·江苏宿迁·一模）筝韵寄情——传统风筝中的数学探究 实践背景：风筝，古称“纸鸢”“鹞子”，是我国极具代表性的传统民间工艺，承载着千年民俗文化．从古代的军事通讯到如今的清明踏青，风筝不仅是娱乐器具，其对称优美的骨架结构更是数学几何的生动体现．初三数学某综合实践小组以经典风筝为原型，结合几何定义开展综合探究． 基础建模：在几何中，两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形为筝形，则满足，；称对角线为筝形的中轴线，称对角线为筝形的横轴． 经综合实践小组研究发现，筝形有如下性质： 性质1．筝形是轴对称图形，对称轴为中轴线所在直线，且； 性质2．中轴线垂直平分横轴； 性质3．筝形的面积：． 请利用筝形的相关性质，解决以下问题： (1)在图1中，若，，则______°； (2)综合实践小组研究发现，筝形不具备稳定性，当筝形四条边的长度确定时，它的四个内角却不能完全确定，测量发现某筝形的各边长分别为：，，要使筝形受力面积最大，需将固定为． ①如图2，若用横轴将筝形固定，并使，求横轴的长度； ②经进一步研究发现，如图3，在取一点E，在边上取一点F，固定线段，也可以将固定为．若始终保持，求的最小值． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ． (2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形． (3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 4．（2025·江苏徐州·二模）定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． (2)如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． (3)如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 押题猜想六 函数的新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【数学定义】在平面直角坐标系中，对于已知点，，，给出如下定义：若点恰好在以为直径的圆上，且满足，则称点为点与点的“圆生点”． 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，． 【初步探究】 (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若已知坐标系中一点的坐标为，则该点与点的“圆生点”的坐标是________； 【问题解决】 (3)如图2，作轴，作轴，与相交于点，点在射线上，点在轴上，若点恰好是点与点的“圆生点”，设，的面积为，请求出关于的关系式； (4)若以轴上的一点为圆心，2为半径作，点为轴上的动点，在上存在点，使得点恰好为点与点的“圆生点”，请直接写出的取值范围． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，圆的新定义分为几何圆与函数圆，几何圆多与四边形结合，以四边形的性质去求圆或构造圆，寻求圆的轨迹，也会涉及最值题与作图题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 2．（2025·江苏常州·一模）对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角，如图形的点视角，记作． (1)如图1，为坐标原点，，，则________； (2)如图2，在菱形中，，，，已知，求； (3)如图3，，F在第一象限且纵坐标为2，H是线段延长线上一点，且，则的坐标为________，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为________． 3．（2025·江苏盐城·二模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则____． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行，画图分析．求点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 4．（2025·江苏常州·二模）在平面直角坐标系中，已知和外一点，给出如下定义：在上存在一点，将点绕点旋转后得到点，点恰好落在上，我们把点称为关于点的“中对点”，也可简单的把点称为的“中对点”．    (1)如图1，在平面直角坐标系中，的半径是，与轴交于点、（点在点的左侧）． ①若点在轴上，且点是关于点的“中对点”，则点的坐标是_________； ②如图2，点是第四象限内一点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，过点画直径，连接交于点，点是关于点的“中对点”吗？说明理由； (2)已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为圆心，1长为半径作⊙，若线段上所有的点都是的“中对点”，直接写出的取值范围． 押题猜想七 二次函数等角、倍角问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 已知二次函数． (1)若是二次函数图象上的一点，求的值． (2)如图1，若二次函数的图象交轴正半轴于点（点在左侧），交轴正半轴于点，且的面积为3．若，在图象的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若二次函数图象的对称轴为轴．设点是轴正半轴上一点，过点任意作一条直线与二次函数的图象交于两点，点为函数图象下方的轴上一点，当时，记点，的横坐标分别为，点的纵坐标为，试判断是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，二次函数中的等角可以直接构造相似来求解，如果遇到倍角或半角，可先构造等角，在构造相似求解。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标． 3．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由； (3)如图2，点是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 押题猜想八 二次函数增减性求最值、取值范围问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． (1)若，，求抛物线的对称轴； (2)若，，如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，连接．当时，求的长． (3)已知点，在该抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，二次函数中的增减性最重要的就是先看对称轴，再看开口方向，确定求最大值还是最小值，前面小问可能结合铅垂高，胡不归；在对称轴的参数范围内，求恒成立问题，要知道分类讨论。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． (3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 2．（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 3．（2026·江苏宿迁·一模）已知二次函数． (1)点在函数图像上，且，求a的值； (2)已知，点在函数图像上运动，当时，y的最大值记作：，y的最小值记作：，记；如：当，，时，，，，． ①若，，，则______；______；______； ②已知：，，，（t、k为整数），若，求a的值． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 押题猜想九 尺规作图与图形综合题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫做“内邻值”． (1)如图1，正方形是正方形的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”； (2)请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图2和图3的正方形中分别作出它的“内邻值”为的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹） 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，现阶段作图会结合三角形、四边形、圆、相似、后续应该会出现在压轴题中并与投影一起出现，更会加大难度。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 4．（2025·江苏镇江·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮上切一块最大的且无破损的圆形铁皮． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，不写作法) (2)三角形铁皮上有一破损小洞(点)． ①如图②，点在的中心，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明) ②点不在的中心，点的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路． 28 / 87 29 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 几何图形初步的数学依据 1 押题猜想二 从动点图像中获取信息 7 押题猜想三 锐角三角函数与三角形、四边形结合 17 押题猜想四 三角形、四边形中动点运动后的取值范围问题 24 押题猜想五 图形的新定义问题 31 押题猜想六 函数的新定义问题 42 押题猜想七 二次函数等角、倍角问题 50 押题猜想八 二次函数增减性求最值、取值范围问题 67 押题猜想九 尺规作图与图形综合题 76 押题猜想一 几何图形初步的数学依据 试题前瞻·能力先查 限时：10min 在数学活动课上，老师要求同学们通过折纸的方式过直线外一点作已知直线的平行线（如图1）．小明的折纸步骤如下： 步骤1：如图2，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线． 步骤2：如图3，折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线． 在折纸的过程中蕴含的依据是（　　） ①平角的定义；②垂线段最短；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等． A．②④ B．①⑤ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：①∵折叠纸张，使直线与自身重合， ∴两个角加起来是， ②∵使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线， ∴没有体现线段最短， ③使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线， ∴，平分平角 ④折叠纸张，使直线与自身重合，且折痕过点，得到直线，则直线即为直线的平行线， ∴，同旁内角互补，两直线平行， ⑤∵直线c上方没有线段，故没有体现两直线平行，同位角相等. 故选：D. 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以选择题呈现，从点、线、面、体几个方向出题，让学生从平面图形到立体图形更好的过渡。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 【答案】A 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 故选： 2．（2025·江苏扬州·一模）下面是“过直线外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． 上述方法通过构造直线上线段的垂直平分线，得到直线的垂线其中判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线直线就是所求作的垂线 A．点与点关于直线对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【详解】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点在线段的垂直平分线上． 故选：． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图①，P是直线m外一点．如图②，在直线m 上取一点Q，作直线．以点Q为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交和直线m于点A、B．再以点P 为圆心，以长为半 径画圆弧交于点D，以点D为圆心，以长为半径画圆弧交于点E，过点P、E作直线n，则的理论依据是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补， 两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线互相平行 【答案】A 【详解】解：由作图可知：， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：A． 4．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，分别将两把相同的直尺的一边分别与射线重合，若两把直尺的另一边相交于点P，则平分的依据是（   ） A．角平分线是轴对称图形 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的定义 D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【答案】D 【详解】解：如图所示：，过两把直尺的交点P作， 两把完全相同的长方形直尺， ， 平分到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故选：D 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，在直线l上任取两点A、B，分别以A、B为圆心，不同的长为半径，画弧，两弧相交于点C、D，连接，则，其依据是（   ） A．直径所对的圆周角是直角 B．勾股定理逆定理 C．菱形对角线互相垂直 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【详解】解：由作图可知：， 点都在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ， 故选：D. 6．（2026·吉林长春·模拟预测）两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，作射线，则在说明为的平分线的过程中，证全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得：， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴为的平分线， 故选：C． 押题猜想二 从动点图像中获取信息 试题前瞻·能力先查 限时：10min 某生物兴趣小组在探究酵母菌发酵过程时，通过实验测得发酵时间内酵母菌数量、酒精浓度和葡萄糖浓度的变化数据，并绘制成函数图象．已知酵母菌在发酵前期营养充足时繁殖迅速，后期因代谢产物积累和底物消耗而受到抑制．则下列结论中正确的是（   ） A．在发酵全过程（小时），酵母菌数量始终随时间增加而增加 B．酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，且增长速率保持不变 C．发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果 D．葡萄糖浓度在发酵过程中先增加后减少，小时时达到最大值 【答案】C 【详解】解：观察函数图象可得，在发酵全过程（小时），酵母菌数量先是随着时间增加而增加，达到峰值后又随着时间增加而减少，选项结论错误； 酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，增长速率由快变慢，一直在变化，选项结论错误； 发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果，选项结论正确； 葡萄糖浓度在发酵过程中一直在减少，且减少速度一直在变化，选项结论错误． 故选：． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以选择题呈现，现多以新情境和跨学科的题目出现，结合实际生活中的数学问题进行出卷，把生活带入课本，建立多门学科之间的联系。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江苏扬州·三模）如图1是扬州南部城市快速通道的一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点的距离（）与时间（）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（    ）    A．甲车在立交桥上共行驶8 B．从F口出比从G口出多行驶40 C．甲车从F口出，乙车从G口出 D．立交桥总长为150 【答案】C 【详解】解：由图象可知，两车通过弧时每段所用时间均为通过直行道时，每段用时为 因此，甲车所用时间为故A正确； 根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长之和，用时为则走故B正确； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C错误； 根据题意立交桥总长为D正确； 故选：C． 2．（2025·江苏宿迁·二模）小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（   ）个． ①本次充电持续时间是120分钟   ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量   ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时   ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：仔细观察汽车电池含电率（电池含电率随充电时间（分钟）变化的函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答如下： A．由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意； B．由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意； C．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量千瓦时，即本次耗电56千瓦时，故该选项错误，不符合题意； D．由函数图象可知，本次充电60分钟，汽车电池含电率达到，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·江苏常州·二模）如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 4．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 5．（2025·江苏宿迁·一模）小明同学利用计算机软件绘制函数（、为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数、的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时，有一个不能取得的值，即， ∴， 当时，， 而，则， ∴， ∴； 故选：B． 6．（2025·江苏扬州·一模）函数 的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时， D．该函数图像与x轴有3个交点 【答案】D 【详解】解：A、该函数图象不是关于y轴对称，故A错误，不符合题意； B、当时，y随x先增大再减小，故B错误，不符合题意； C、当时，，故C错误，不符合题意； D、该函数图像与x轴有3个交点，故D正确，符合题意． 故选：D． 押题猜想三 锐角三角函数与三角形、四边形结合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 【答案】 【详解】解：过点、分别作，，垂足为点， ∵矩形中， ∴，， 由旋转可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以填空题呈现，多以三角形中的特殊角的三角函数值求解，也会通过相似三角形构造比例关系，有时还会出现两次相似。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏泰州·一模）如图，中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为_____ ． 【答案】 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵，， ∴， 在中，， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 取的中点，连接，则， ∵是中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 要使最小，则要最小， 在中， ， 当时，取最小值，最小值为， 此时， ∴最小值为(负值已舍去)． 2．（2025·江苏镇江·二模）如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，点 为上一点，连接交于点，若、、的面积分别为、、，则的面积为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点分别作的垂线垂足分别为， ∵在正方形中，点为对角线上一点，、、的面积分别为、、， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴，则， ∵ ∴ 设,则， ∴ 解得： ∴， ∵在正方形的对角线上， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴即 解得： ∵ ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∵ ∴的面积为 故答案为：． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为___________． 【答案】 【详解】解：过点F作，分别交于点N，M， ∵四边形为正方形， ∴， ∵E是边的中点，把沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，令、交于点， 由图①为边长为4的正方形七巧板可知, ，， 为等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2025·江苏苏州·二模）如图，中，，将绕点按顺时针旋转得到，射线与射线相交于点，连接．当四边形是矩形时，的值等于__________ 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，________． 【答案】 【详解】解：作交于点， 由折叠性质 可得，，， ， ， ， 即， ， ， 即，， 中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、勾股定理解直角三角形、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 押题猜想四 三角形、四边形中动点运动后的取值范围问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 如图，点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点，点分别在射线和上，过点分别作交于点，交于点．设，，令，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点， ∴正八边形的每个内角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 当点与点重合时， ∴，， ∴； 当点与点重合时， 同理，，， ∴点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∴，， ∴； 当点与点重合时， 同理，点与点重合，点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∴， ∴； ∴． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以填空题呈现，在三角形或四边形中出现单动点、双动点、甚至三动点来构造数量关系，最终可能会以轨迹为直线、圆的方法来解最值、取值范围题。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江苏常州·二模）如图，， O为的中点， 以O为圆心，为半径的圆交线段于点C．P是上的动点，连接，若线段交于Q，弦的中点为M，则 的周长c(单位：)的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：当点P位于如图所示的位置取得最小值， ∵， ∴， 由题意可知，则， ∵弦的中点为M， ∴， 则的周长， 当点P、点M与点Q重合时，如图所示的位置取得最小值， 则与相切， 取的中点H，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为直角三角形，且点C为的中点， ∴， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， 则的周长， 故答案为：． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，中，，，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部上时，的取值范围为____________________． 【答案】 【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上， ， ， ， ， 在中，， ， 作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上， 由折叠可知：， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∵点落在内部（不包括边上）， ， 故答案为：． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点E在上（端点除外），，作，垂足为F．当时，的长是__；当时，m的取值范围是__． 【答案】 / 【详解】解：作于点， 当时， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 同理求得，， ∴， 当时，则， 解得（负值已舍）， ∵， ∴， 故答案为：；． 4．（2025·江苏盐城·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且．在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：如图，延长，作点E关于的对称点，连接，交于点，连接，以为直径作交于点、，由矩形的性质可得， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴， 当时，∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 即图中的直径为5，作于点G， 根据垂径定理，得， ∴， ∴此时图中所作的圆心到的距离为，等于的半径， 此时重合， 此时，即当时，符合条件的F有2个，为； 当时，图中所作和相离，此时不存在了，即此时符合条件的F只有个，为， 当时，且时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 整理，得， 解得； 当时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 解得， 故时，符合题意的点F有两个， 故当且有3个， 故答案为：且． 5．（2025·江苏·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴中，， ∵， ∴点在线段上运动， ∴当点与点重合时，最小为，当点与点重合时，最大为， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏南京·一模）在中，，．若为钝角，则的取值范围是__________． 【答案】 如图，过A作， 则，由三角形的内角和定理可得，则，即，然后求得的取值范围即可． 【详解】解：如图：过A作， 则 ∵为钝角，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 押题猜想五 图形的新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． (1)【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： (2)【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． (3)【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)或． 【详解】（1）证明：①如图 ∵若是单余三角形，且是单余角，， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是单余三角形，且是单余角． （3）解：过点B作于点M，如图 ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， 由，得， ∴是单余三角形时，或， ①当时，如图 过点O作于点P，有， 由（1）同理可得， ∴， 即， 解得 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ②当时，如图，过点A作的延长线于点P， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）同理可得， ∴ ∴ 即 解得，即， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 解得． 综上所述，或． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，会对三角形、四边形进行新的定义，如美好三角形、垂美四边形等，学生根据题目新的定义进行解题与证明，有的时候还会涉及作图。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．如图，在中，分别是边上的中线，三条中线交于重心G． 【性质探究】 (1)小颖发现点E、D分别是的中点，由此联想到三角形中位线，请你根据小颖的思路，证明：； 【迁移应用】 (2)经过探究，小颖进一步发现：以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形．请你帮助小颖完成这一结论的证明． 【创新研究】 (3)探究由三条中线为边构成的三角形与的面积之间的数量关系．若设的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为，请写出S与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴点为的中点， ∴， ∴ ∴， 即； （2）证明：连接并延长至点，使得，连接， 同理可得， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵构成了， ∴以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形； （3）解：S与之间的数量关系为，如图： 设， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴ ∴， ∴，即 ∵点为中点， ∴ ∴ 同理 由（2）知， ∴ 同理可得， ∴， ∴，即， ∴． 2．（2026·江苏宿迁·一模）筝韵寄情——传统风筝中的数学探究 实践背景：风筝，古称“纸鸢”“鹞子”，是我国极具代表性的传统民间工艺，承载着千年民俗文化．从古代的军事通讯到如今的清明踏青，风筝不仅是娱乐器具，其对称优美的骨架结构更是数学几何的生动体现．初三数学某综合实践小组以经典风筝为原型，结合几何定义开展综合探究． 基础建模：在几何中，两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形为筝形，则满足，；称对角线为筝形的中轴线，称对角线为筝形的横轴． 经综合实践小组研究发现，筝形有如下性质： 性质1．筝形是轴对称图形，对称轴为中轴线所在直线，且； 性质2．中轴线垂直平分横轴； 性质3．筝形的面积：． 请利用筝形的相关性质，解决以下问题： (1)在图1中，若，，则______°； (2)综合实践小组研究发现，筝形不具备稳定性，当筝形四条边的长度确定时，它的四个内角却不能完全确定，测量发现某筝形的各边长分别为：，，要使筝形受力面积最大，需将固定为． ①如图2，若用横轴将筝形固定，并使，求横轴的长度； ②经进一步研究发现，如图3，在取一点E，在边上取一点F，固定线段，也可以将固定为．若始终保持，求的最小值． 【答案】(1)150 (2)①24；② 【详解】（1）解：由筝形的性质得， ∵， ∴； （2）解：①如图2，连接交于点， ∵， ∴， 由筝形的性质得，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②如图，连接，，过点作交于点，过点作交于点，与交于点， 由①得，，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为288， ∴的最小值为． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ． (2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形． (3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)，见解析 【详解】（1）解：∵四边形是对余四边形， 当和互余时， ， 当与互余时， ， 则， 故答案为：或； （2）解：连接OB， 是的直径，点A、B、C在上， ∴，， ， 即， 四边形是对余四边形． （3）解：猜想：线段、和之间的数量关系为 理由如下：， 将绕点B逆时针旋转得到连接，如图， 则≌，， ，，， 为等边三角形， ， ， 。 ， ， ， ， ， 4．（2025·江苏徐州·二模）定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． (2)如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． (3)如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 【答案】(1)的长为或 (2)证明过程见详解 (3)作图见详解 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）解：如图所示， 以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 押题猜想六 函数的新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【数学定义】在平面直角坐标系中，对于已知点，，，给出如下定义：若点恰好在以为直径的圆上，且满足，则称点为点与点的“圆生点”． 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，． 【初步探究】 (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若已知坐标系中一点的坐标为，则该点与点的“圆生点”的坐标是________； 【问题解决】 (3)如图2，作轴，作轴，与相交于点，点在射线上，点在轴上，若点恰好是点与点的“圆生点”，设，的面积为，请求出关于的关系式； (4)若以轴上的一点为圆心，2为半径作，点为轴上的动点，在上存在点，使得点恰好为点与点的“圆生点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 (4)或 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， 点的坐标为， 将代入得： ， 则点的坐标为； （2）解：令，点是点与点的“圆生点”，设， 、， 、， ， 整理得， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得或， 当时，， 当时，， 综上所述，点坐标为或； （3）解：当点D在点B右侧时，如图，过D作于点H， 、， 四边形为正方形， ， 在中，， 由（1）可得， ， 在中，由勾股定理得： ， 点D恰好是点C与点E的“圆生点”， 、， ； 当点D在点B左侧时，如图，过D作交延长线于点I， 同理可得， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 综上所述，S关于n的关系式为或； （4）解：如图，当在上方时，点F是点A与点G的“圆生点”， 过点G作轴于点K， 、， 、， ， 在和中， ， ， 、， 设， 、， ，即点G在直线上， ∴直线与y轴交于点，与轴交于点， ， ， 过点B作轴， ， ， 当与相切于点G时，， 即， 解得或， 如图， 的取值范围为； 当G在AF下方时，作点关于轴的对称点，则， 过点G作轴于点，同理证得， 、， 设， 、， ，即点G在直线上， 同理可得：当与相切于点G时，， 即， 解得或， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，圆的新定义分为几何圆与函数圆，几何圆多与四边形结合，以四边形的性质去求圆或构造圆，寻求圆的轨迹，也会涉及最值题与作图题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴． （2）解：设P点坐标为，由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论： 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得：； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的得， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得， 综上所述：或． 2．（2025·江苏常州·一模）对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角，如图形的点视角，记作． (1)如图1，为坐标原点，，，则________； (2)如图2，在菱形中，，，，已知，求； (3)如图3，，F在第一象限且纵坐标为2，H是线段延长线上一点，且，则的坐标为________，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为________． 【答案】(1)1 (2) (3)； 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意可知表示以点O为圆心，r为半径作圆，与线段有交点时，r最大值和最小值的差， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图，连接，过D作轴于点H，过M作于点K， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交y轴于点F，过M作于点M，过C作于点N，连接、， 由前述同理可知，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴F的坐标为； 设， ∵，， ∴，， ∴， 作E关于x轴对称点，则，连接，并延长交x轴于点， 由，可设直线解析式为， 有，解得， ∴直线解析式为， 令，得， ∴此时， ， ∴最大值为， 故答案为：；． 3．（2025·江苏盐城·二模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则____． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行，画图分析．求点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析，或；（4） 【详解】解：（1）设， ∵点，点N为点M关于点P的二次对称点， ∴， ∴， ∴； （2）∵点，，点B为点A关于点Q的二次对称点， ∴点关于点的对称点为， ∴点B的坐标为； （3）∵点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行， ∴如图，当轴，轴时， ， 由题意可得，，， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∵，即为的中点， ∴； 如图，当轴，轴时， ， 由题意可得，，， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∵，即为的中点， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （4）如图，连接，令直线交轴于，交轴于， ， 在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， ∵点F为点E关于点的二次对称点， ∴由（1）可得：，，， ∵， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴点在以 圆心，为半径的圆上运动， 当直线于相切时，此时， ∵， ∴， ∴， ∵在运动过程中，一定存在的情形． ∴b的取值范围为． 4．（2025·江苏常州·二模）在平面直角坐标系中，已知和外一点，给出如下定义：在上存在一点，将点绕点旋转后得到点，点恰好落在上，我们把点称为关于点的“中对点”，也可简单的把点称为的“中对点”．    (1)如图1，在平面直角坐标系中，的半径是，与轴交于点、（点在点的左侧）． ①若点在轴上，且点是关于点的“中对点”，则点的坐标是_________； ②如图2，点是第四象限内一点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，过点画直径，连接交于点，点是关于点的“中对点”吗？说明理由； (2)已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为圆心，1长为半径作⊙，若线段上所有的点都是的“中对点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②是，见解析 (2)或 【详解】（1）解：①如图，    ∵，， ∴， ∵点在轴上，且点是关于点的“中对点”， ∴，且在的右侧， ∴． ②点是关于点的“中对点”，理由如下： 如图，连接，      ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点是关于点的“中对点”． （2）解：如图，，的半径为，    当过圆心时，， ∴的“中对点”在以为圆心，半径为与半径为的圆环内，包括外圆边界，不包括内圆边界， ∵一次函数的图像与轴、轴分别交于点、， ∴当时，，当时，则， ∴，， 如图，当时，    ∴， 如图，当过时，    ∴此时， ∴此时线段上所有的点都是的“中对点”时，的取值范围为． 如图，当与直线切于时，则，，    ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图，当过时，    同理可得：此时， ∴此时线段上所有的点都是的“中对点”时，的取值范围为． 综上：的取值范围为或． 押题猜想七 二次函数等角、倍角问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 已知二次函数． (1)若是二次函数图象上的一点，求的值． (2)如图1，若二次函数的图象交轴正半轴于点（点在左侧），交轴正半轴于点，且的面积为3．若，在图象的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若二次函数图象的对称轴为轴．设点是轴正半轴上一点，过点任意作一条直线与二次函数的图象交于两点，点为函数图象下方的轴上一点，当时，记点，的横坐标分别为，点的纵坐标为，试判断是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或； (3)是定值，且为1． 【详解】（1）解：把点代入中， 得， 解得． （2）解：由题意得， 令，则，解得． ， ． 令，则， ∴点的坐标为， ， 解得（舍去）， ， ． ， ， ． 令对称轴与轴交于点，如图1，过点作，垂足为点， 则点． 设点，分别连接AK，CK， 则； 当时，则． 在中，， ． 又， ， ， 即，解得， 或； （3）解：是定值，且为1．理由如下： ∵二次函数的对称轴为轴， ， ∴二次函数表达式为． 设直线的表达式为，则点． 如图2，过点和点分别作轴，轴，垂足分别为点和点． 令点， 则点． ∵，， ∴， ， ， 又， ， 整理，得． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，二次函数中的等角可以直接构造相似来求解，如果遇到倍角或半角，可先构造等角，在构造相似求解。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为； (2)点的坐标或； (3)点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点的坐标为， 在线段上取点，使，此时， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则， ∴， ∵， ∴， 当点在轴上方时，设交轴于点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标； 当点在轴下方时，设交轴于点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标； 综上，点的坐标或； （3）解：如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，且， 设，， ∴， ∴两边平方得，①， ∵，， ∴②， ∴①②得，，即 ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，过点作轴，交于，交轴于， ∵点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为， ∴， 令抛物线中，则， 解得：或， ∴，，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点横坐标为，点在直线上， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：如图所示，作轴，，在轴上取一点，使得， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∵轴，轴，且， ∴四边形是正方形，即， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则： ， 解得： ∴直线的解析式为：， ∵直线， ∴， 解得：， ∴． 3．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由； (3)如图2，点是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上． 【答案】(1) (2)相等；见解析 (3)点始终在直线 【详解】（1）解：把，两点代入得， ， 解得， ； （2）解：，理由： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ， ∵的横坐标为， ∴点， 过点作轴的平行线交于点，    设直线的表达式为：，由点、的坐标得， ， 解得， 直线的表达式为：， 当时，， 即， ，， ， ∴； （3）解：连接，，    ∵，， ，， ， ． 设，由题意可得 轴， ， 因为，， ，， ， ． 整理得． 在轴上，且在轴上方， 点始终在直线上． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线． 将代入抛物线表达式得，即， ， ，得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， 设直线的表达式为， 将，代入， 则，解得， 则直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，， 则， ． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得， 在中垂线上． 的坐标为． 设， 则， 解得， 即， 将点代入，得． 综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有 则，， ∴ 即． 直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 则，， 即，， 即， 整理得， 联立直线与抛物线得到 整理得， ，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 押题猜想八 二次函数增减性求最值、取值范围问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． (1)若，，求抛物线的对称轴； (2)若，，如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，连接．当时，求的长． (3)已知点，在该抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)直线 (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：当，时，将和代入抛物线可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线； （2）解：当，时，将和代入抛物线可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，， ∴，， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵点，在该抛物线上， ∴，， ∵点和点在抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，二次函数中的增减性最重要的就是先看对称轴，再看开口方向，确定求最大值还是最小值，前面小问可能结合铅垂高，胡不归；在对称轴的参数范围内，求恒成立问题，要知道分类讨论。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． (3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② (3) 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴该抛物线的顶点在第一象限． （2）解：①将代入， 得， ∴， ∴此抛物线的表达式为． ②根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小． ∵抛物线上有两点和，且， ∴， ∴， 解得：． 2．（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 3．（2026·江苏宿迁·一模）已知二次函数． (1)点在函数图像上，且，求a的值； (2)已知，点在函数图像上运动，当时，y的最大值记作：，y的最小值记作：，记；如：当，，时，，，，． ①若，，，则______；______；______； ②已知：，，，（t、k为整数），若，求a的值． 【答案】(1)a的值为 (2)①1，，9；②a的值为 【详解】（1）解：∵点在函数图像上，且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，对称轴为直线，顶点为， ①∵，， ∴， ∵，，，对称轴为直线， ∴当时，最大值在顶点处的函数值为，即， 最小值：端点和时，代入后两个函数值均为，即， ∴； ②∵，，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∴， ∴时在对称轴直线的右侧取值， ∴当时，在对称轴直线的右侧随的增大而增大， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵（t、k为整数）， ∴， ∴， ∵t、k为整数，， ∴时满足条件， ∴， ∴， 当时，在对称轴直线的右侧随的增大而减小， 同理可推导出， ∵， ∴是分数不符合题意． 综上，. 4．（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 押题猜想九 尺规作图与图形综合题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫做“内邻值”． (1)如图1，正方形是正方形的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”； (2)请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图2和图3的正方形中分别作出它的“内邻值”为的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴此时的“内邻值”为； （2）解：方法一：如图2， 1.连接，，并交于点； 2.以为圆心，为半径画弧，交于，交于； 3.以为圆心，为半径画弧，交于； 4.正方形即为所求． 方法二：如图3， 1.取中点； 2.延长至，使． 3.以为直径作圆，交于； 4.以为圆心，为半径画弧，交于； 5.以为圆心，为半径画弧，交于； 6.正方形即为所求． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以解答题呈现，现阶段作图会结合三角形、四边形、圆、相似、后续应该会出现在压轴题中并与投影一起出现，更会加大难度。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）解：如图所示，即为所求． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：如图①，连接，，作和的垂直平分线，交于点O，则点O即是所求作的旋转中心； （2）解：如图，直线l即为所求； （3）解：如图③， 理由：∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 理由：连接， ∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·江苏镇江·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮上切一块最大的且无破损的圆形铁皮． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，不写作法) (2)三角形铁皮上有一破损小洞(点)． ①如图②，点在的中心，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明) ②点不在的中心，点的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②如图⑤或图⑥，即为所求． 思路：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作； 思路：作的角平分线，作点关于的对称点，的延长线交于点；作，在上截取，以为直径作，过点作，交于点，可得；在上截取，可知；过点作，交于点，以为圆心，为半径作． 28 / 87 96 / 96 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $