数学终极押题猜想（江苏南京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 科学记数法 1 押题猜想二 幂的运算和整式乘法 5 押题猜想三 分式计算及分式方程 8 押题猜想四 一次函数与反比例函数综合 12 押题猜想五 统计与概率综合 21 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 31 押题猜想七 四边形与几何变换 46 押题猜想八 二次函数含参综合 57 押题猜想九 代数推理 74 押题猜想十 圆的综合证明 82 押题猜想一 科学记数法 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【原创题】2026年，中国某领先的“具身智能”机器人企业宣布，其新一代人形机器人单台售价为 8.5 万元，预计今年销量将达到 120 万台，则该企业今年来自这款机器人的总销售额（用科学记数法表示）是（ ）元 A. 1.02×1011 B. 1.02×1012 C. 1.02×1010 D. 1.02×109 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】单价 8.5 万元 ＝ 8.5×104 元 销量 120万台＝ 1.2×106 台 总销售额 ＝ 8.5×104×1.2×106 ＝(8.5×1.2)×1010 ＝10.2×1010 ＝1.02×1011 元 故选A． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以小题呈现，每年必考（2021第1题、2022第7题、2023第1题、2024第3题、2025第4题）。科学记数法是送分题但易错在指数，2026年极可能延续。解题技巧：用科学记数法表示较大的数时应注意，1≤∣a∣<10，正指数等于所有整数位数减1；表示较小的数时应注意，1≤∣a∣<10，负指数等于第一个不为0的数前0的个数。 终极猜想·精练通关 1．（2025秋•苏州市）2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．0.8×105 B．8×105 C．0.8×104 D．8×104 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：80000＝8×104． 故选D． 2．（2025秋•淮安市淮阴区）2025年电影总票房破400亿元，暂居票房十强的都是清一色国产电影：哪吒之魔童闹海、唐探1900、南京照相馆、浪浪山小妖怪等等，其中哪吒之魔童闹海累计票房达154.5亿元，创造了新的票房纪录．其中数据154.5亿用科学记数法表示为（　　） A．1.545×108 B．1.545×109 C．1.545×1010 D．15.45×109 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：154.5亿＝15450000000＝1.545×1010． 故选C． 3．（2025•南京市建邺区一模）人眼可见的蓝光波长约为0.00000045m．用科学记数法表示0.00000045是（　　） A．0.45×10﹣7 B．0.45×10﹣8 C．4.5×10﹣7 D．4.5×10﹣8 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00000045＝4.5×10﹣7． 故选C． 4．（2025•苏州市工业园区一模）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　） A．0.7×10﹣9 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣9 D．7×10﹣8 【答案】C 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9． 故选C． 5．（2025春•盐城市盐湖区）北宋词人晏殊笔下《破阵子•春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为0.0000084m，则数据0.0000084用科学记数法可表示为（　　） A．0.84×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．8.4×10﹣7 D．8.4×106 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6． 故选B． 6．（2025春•南通市）已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（　　） A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1米＝1000000000纳米， 28纳米＝0.000000028米＝2.8×10﹣8米． 故选C． 7．（2025•扬州市姑苏区校级二模）在人体血液中，红细胞的直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为（　　） A．7.7×104 B．7.7×10﹣3 C．7.7×10﹣4 D．0.77×10﹣5 【答案】C 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00077＝7.7×10﹣4． 故选C． 8．（2025秋•泰州市期末）若每人每天浪费水0.32升，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（　　） A．3.2×107升 B．3.2×106升 C．3.2×105升 D．3.2×104升 【答案】C 【分析】原数大于10时科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：0.32×100万＝32万升＝3.2×105升． 故选C． 9．（2025春•扬州市姑苏区期末）DeepSeek是一款由国内人工智能公司研发的大型语言模型，可以辅助人们解决复杂的问题．提供高性能、低成本的AI服务．DeepSeek某次推理消耗约0.000005千瓦时的电量．数据0.000005用科学记数法可表示为（　　） A．0.5×10﹣6 B．5×10﹣6 C．5×10﹣7 D．0.5×10﹣7 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000005＝5×10﹣6． 故选B． 10．（2025春•扬州市期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为　 　 ． 【答案】8.4×10﹣6 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6． 故答案为8.4×10﹣6． 押题猜想二 幂的运算和整式乘法 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【原创题】计算：（－2a3)²·a－4－(a＋2)(a－2) ＝__________________. 【答案】3a²＋4 【分析】（－2a3)²＝4a6，4a6·a－4＝4a²，(a＋2)(a－2)＝a²－4 【解答】原式＝4a²－(a²－4) ＝3a²＋4 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，幂的运算每年必考（2021第2题、2022第2、12题、2023第11题），整式乘法结合乘法公式因式分解（2024第2题、2025第20题）。幂的运算和乘法公式是代数基础，常以简单计算或整体代入形式出现，难度不大但易错，需要熟练掌握幂的运算法则及整式乘法公式以及推导过程。 终极猜想·精练通关 1．（2026•无锡市江阴市一模）下列计算正确的是（　　） A．（a5）2＝a10 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a2+a2＝a4 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、（a5）2＝a10，故此选项符合题意； B、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意； C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意； D、a2+a2＝2a2，故此选项不符合题意； 故选A． 2．（2026春•盐城市月考）下列各式中，计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a6 B．a3•a2＝2a3 C．a2+a4＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 【答案】A 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项的运算法则逐一判断选项即可． 【解答】解：根据幂的运算法则与合并同类项的运算法则逐项分析判断如下： A、∵（a2）3＝a2×3＝a6， ∴该选项正确，符合题意； B、∵a3•a2＝a3+2＝a5≠2a3， ∴该选项错误，不符合题意； C、∵a2+a4≠a6， ∴该选项错误，不符合题意； D、∵（﹣2xy）3＝（﹣2）3x3y3＝﹣8x3y3≠﹣6x3y3， ∴该选项错误，不符合题意； 故选A． 3．（2026春•苏州市工业园区）若xm＝6，xn＝2，则xm+n的值是（　　） A．8 B．10 C．12 D．36 【答案】C 【分析】根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵xm＝6，xn＝2， ∴xm+n ＝xm•xn ＝6×2 ＝12． 故选C． 4．（2026春•苏州市工业园区）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝b8 B．a+3＝8b C．3a﹣8＝b D．3a＝8b 【答案】B 【分析】根据幂的乘方的计算方法得到（2b）8＝28b，再根据同底数幂乘法的计算方法以及乘法的定义得到8×2a＝23×2a＝23+a即可． 【解答】解：∵8×2a＝23×2a＝23+a，（2b）8＝28b，而， ∴23+a＝28b， ∴3+a＝8b， 故选B． 5．（2026春•苏州市）计算：（a•a3）2＝a2•（a3）2＝a2•a6＝a8，其中，第一步运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 【答案】D 【分析】根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【解答】解：根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则． 故选D． 6．（2026春•盐城市）计算：a（3b﹣1）＝　 　 ． 【答案】3ab﹣a． 【分析】直接根据单项式乘多项式的计算法则求解即可． 【解答】解：a（3b﹣1）＝3ab﹣a． 故答案为3ab﹣a． 7．（2026春•南京市鼓楼区）计算3a•（5a2b﹣2）的结果是　 　 ． 【答案】15a3b﹣6a． 【分析】根据单项式的乘法解答即可． 【解答】解：3a•（5a2b﹣2）＝15a3b﹣6a． 故答案为15a3b﹣6a． 8．（2026春•南京市建邺区）若（x+a）（x﹣2）的展开式中不含x的一次项，则a的值为　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开可得：x2﹣2x+ax﹣2a，即x2+（a﹣2）x﹣2a，再根据题意，展开式中不含x的一次项，可得a﹣2＝0，进而得出答案． 【解答】解：（x+a）（x﹣2） ＝x2﹣2x+ax﹣2a ＝x2+（a﹣2）x﹣2a， ∵展开式中不含x的一次项， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2． 故答案为2． 9．（2026春•南京市建邺区）已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　 　 ． 【答案】﹣11． 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，得出﹣6x3y5，然后再根据已知积为mx3yn，由此可得：m＝﹣6，n＝5，最后把m，n的值分别代入m﹣n计算即可． 【解答】解：（3x2y3）•（﹣2xy2）＝﹣6x3y5， ∵单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn， ∴m＝﹣6，n＝5， ∴m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11． 故答案为﹣11． 10．（2026春•南京市鼓楼区）计算2a•（4a2b﹣1）的结果是　 　 ． 【答案】8a3b﹣2a． 【分析】运用单项式乘多项式的计算方法进行求解． 【解答】解：2a•（4a2b﹣1） ＝2a•4a2b﹣2a•1 ＝8a3b﹣2a， 故答案为8a3b﹣2a． 押题猜想三 分式计算及分式方程 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】为实现“碳中和”目标，某工厂计划安装一批智能光伏发电板。甲工程队单独完成需要 a 天，乙工程队单独完成比甲多12 天。 （1）求甲、乙两队合作完成该工程所需的天数（用含 a的代数式表示），并化简； （2）已知甲、乙两队合作完成该工程所需的天数，比甲队单独完成所需天数的一半多2天，求 a 的值。 【答案】（1）（2）12 【解答】（1）甲队工作效率：​，乙队工作效率：​。 两队合作所需天数： （2） 根据题意，得 ＝ ＋2 解得， a＝12 经检验，a＝12 时，原分式方程分母均不为0，符合实际意义. 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，分式计算及分式方程每年必考（2021第18题、2022第17题、2023第17题，2024第11题、2025第10题）。分式计算是初中阶段重要的代数基础，区别于整式乘法，而解分式方程需转化为整式方程，是必考题，分式方程去分母时注意每一项都要乘最简公分母，同时需要检验。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）计算：． 【答案】x﹣4． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解： • • ＝x﹣4． 2．（2025•鼓楼区一模）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 【答案】原计划每天种树80棵． 【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树x棵，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合时间比原计划提前4天完成任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树x棵， 根据题意得：4， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树80棵． 3．（2025•南京一模）先化简，再求值，其中a＝﹣2． 【答案】，原式． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： • • ， 当a＝﹣2时，原式． 4．（2025•南京一模）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 【答案】每辆小型链车的运货量为10吨，每辆大型冷链车的运货量为15吨． 【分析】设每辆小型链车的运货量为x吨，根据每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车得：4，解方程并检验可得答案． 【解答】解：设每辆小型链车的运货量为x吨，则每辆大型冷链车的运货量为1.5x吨， 根据题意得：4， 解得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，也符合题意， ∴1.5x＝1.5×10＝15， 答：每辆小型链车的运货量为10吨，每辆大型冷链车的运货量为15吨． 5．（2025•秦淮区一模）计算：． 【答案】． 【分析】先将括号中的两个分式通分加减，合并分子，然后再算乘法，约分计算即可． 【解答】解： ． 6．（2025•玄武区一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解： • • ＝a﹣2， 当时，原式2﹣2． 7．（2024•鼓楼区一模）计算． 【答案】． 【分析】先算括号里面的，再算加法即可． 【解答】解： • ． 8．（2024•鼓楼区二模）计算． 【答案】． 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 9．（2023•鼓楼区一模）某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？ 【答案】该车间技术革新前每小时加工50个零件． 【分析】设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，由题意：当再加工同样多的1500个零件时，用时比以前少18h．列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件， 由题意得：18， 解得：x＝50， 经检验：x＝50是原分式方程的解，且符合题意， 答：该车间技术革新前每小时加工50个零件． 10．（2025•南京模拟）计算：． 【答案】x﹣3． 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【解答】解： • ＝x﹣3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/17 16:23:02；用户：房子；邮箱：njshj20@xyh.com；学号：37262488 押题猜想四 一次函数与反比例函数综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图1，已知双曲线与直线交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点A的坐标为（1，3），则点B的坐标为 ； （2）当x满足： 时，； （3）若作一条直线与直线y2平行，交双曲线于P，Q两点，如图2所示，且点A的坐标为（1，3），点P的横坐标为3，试求 ①k1、k3和b的值； ②四边形APQB的面积. 图1 图2 【分析】（1）由A和B为一次函数与反比例函数的交点，得到A和B关于y＝－x对称，由A的坐标即可求出B的坐标；由A和B的横坐标及原点的横坐标0，将x轴分为四个范围，分别为：x＜﹣3，﹣3＜x＜0，0＜x＜1，x＞1，找出一次函数在反比例函数上方的范围即可； （2）①由OP＝OQ＝OA＝OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形可得四边形APBQ一定是矩形； ②由A的坐标确定出反比例函数解析式，将P的横坐标x＝3代入反比例解析式中，求出P的纵坐标，确定出P的坐标，由P和Q为一次函数与反比例函数的交点，得到P和Q关于y＝－x对称，利用两点之间距离公式可得出PA，AB的长，由四边形ABPQ是矩形进而求出面积． 【解答】解：（1）由A和B为反比例函数与一次函数的交点， 得到A和B关于y＝－x对称， ∵A（1，3）， ∴B（﹣3，﹣1）． 由图象可得：当－3＜x＜0或x＞1时，y1≤y2． 故答案为：（﹣4，﹣2），x＜﹣4或0＜x＜4； （2）①由A（1，3）在反比例函数图象上，得到k1＝3，反比例解析式为， ∵P的横坐标为3，P在反比例函数图象上， ∴将x＝3代入反比例解析式得：y＝1，即P（3，1）， ∵点A（1，3）在的图象上 ∴把x＝1，y＝3代入得k2＝1，y2＝x＋2 ∵直线y3与y2平行，∴k3＝k2＝1， ∵P（3，1）在直线的图象上 ∴b＝－2 ②∵A和B为反比例函数与一次函数的交点，得到A和B关于y＝－x对称， ∴OA＝OB ∵由P和Q为一次函数与反比例函数的交点，得到P和Q关于y＝－x对称， ∴OP＝OQ 又∵A（1，3）、P（3，1）， ∴OA＝OP ∴OA＝OB＝OP＝OQ ∴四边形APQB是矩形 ∴S矩形APQB＝AB·AP＝4×2＝16． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，反比例函数与一次函数综合是南京中考常见题型（2021第13题、2022第4题、2023第14题、2025第14题），常结合面积、不等式。常用方法：待定系数法、面积用割补法或铅垂高法、不等式解集图像法，数形结合是核心，求交点、面积、解不等式是高频考点。 终极猜想·精练通关 1．（2025•建邺区一模）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（0，﹣1），点B的坐标是（2，0），点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则k＝ 　 　 ． 【答案】﹣6． 【分析】根据三角形相似，可求出D点坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值． 【解答】 解：过点D作DE垂直于y轴，并交y轴于点E， ∠CAB+∠ABO＝90°， ∠CAB+∠ACB＝90° ∴∠ABO＝∠ACB， 在Rt△OAB和Rt△OCB中， ∠AOB＝∠COB， ∠ABO＝∠ACB， ∴Rt△OAB和∽Rt△OCB， ∴， ∵OA＝1，OB＝2， ∴OC＝4， ∵DC∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵DC＝AB，∠DCA＝∠CAB，∠DEC＝∠BOA， ∴△DEC＝△BOA， ∴DE＝OB，CE＝AO， ∴D点坐标为（﹣2，3）， ∴点D在反比例函数上， ∴y，即3， ∴k＝﹣6． 故答案为﹣6． 2．（2025•玄武区一模）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴上，E是CD的中点，反比例函数的图象经过点A，E，若AB＝4，则k的值为　 　 ． 【答案】16． 【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案． 【解答】解：由题意可得：设A（a，4），则E（a+4，2）， ∵反比例函数的图象经过点A，E， ∴4a＝2×（a+4）， 解得：a＝4， ∴A（4，4）， ∴k＝4×4＝16． 故答案为16． 3．（2024•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为 　 　 ． 【答案】﹣12． 【分析】先根据点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点可得出x1•y1＝x2•y2＝6，再根据直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1＝x2•y2＝6①， ∵直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称， ∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2②， ∴原式＝﹣x1y1﹣x2y2＝﹣6﹣6＝﹣12． 故答案为﹣12． 4．（2023•鼓楼区一模）要使反比例函数y的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 　 　 （只填序号）． ①向上平移3个单位长度； ②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③沿直线y＝3轴对称； ④先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度． 【答案】②③． 【分析】①根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断； ②根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断； ③求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4），即可判断； ④求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x＝2代入y得y＝3，即可判断． 【解答】解：①反比例函数y的图象向上平移3个单位长度得到y3， ∵x＝3时，则y5， ∴方案①不可行； ②反比例函数y的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y， ∵x＝3时，y2＝4， ∴方案②可行； ③把x＝3代入y得，y＝2， ∴点（3，2）在反比例函数的图象上， ∵点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4）， ∴反比例函数y的图象沿直线y＝3轴对称得到的图象经过点（3，4）， ∴方案③可行； ④把x＝3代入y得，y＝2， ∴点（3，2）在反比例函数的图象上， ∵点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2）， 把x＝2代入y得y＝3， ∴反比例函数y的图象先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4）， ∴方案④不可行； 故答案为②③． 5．（2025•鼓楼区一模）一次函数y＝﹣2x+4的图象上有一个动点（m，n），则m2+n2的最小值是 　 　 ． 【答案】． 【分析】将M（m，n）代入直线y＝﹣2x+4中，得到n关于m的表达式，将表达式代入m2+n2中整理成关于m的顶点式即可． 【解答】解：∵点M（m，n）在一次函数y＝﹣2x+4的图象上， ∴n＝﹣2m+4， ∴m2+n2＝m2+（﹣2m+4）2 ＝m2+4m2﹣16m+16 ＝5m2﹣16m+16 ＝5（m）2， ∵5＞0， ∴当m时，m2+n2取得最小值． 故答案为． 6．（2025•南京一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．若该机器狗载重后总质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝16kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　 m/s． 【答案】5． 【分析】根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入数据求解即可． 【解答】解：反比例函数的解析式为：v， 该机器狗载重后总质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝4m/s， 则k＝vm＝20×4＝80， ∴v， m＝16kg时，v5． 故答案为5． 7．（2025•秦淮区一模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：m2）是反比例函数关系，其函数图象如图所示．当S＝0.2m2时，P＝　 　 Pa． 【答案】50． 【分析】先求出反比例函数的解析式，再代入数据求解即可． 【解答】解：设函数的解析式为P． 将（0.1，100）代入可得：100． 解得：k＝10， 当s＝0.2时， P50． 故答案为50． 8．（2022•鼓楼区一模）在同一平面直角坐标系中，若正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象有公共点，则对于反比例函数，当x＞0时，y随x增大而 　 　 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小． 【分析】由正比例函数的性质可知，y＝x经过第一象限和第三象限，若两函数由交点，则k＞0，所以反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小． 【解答】解：∵正比例函数y＝x经过第一象限和第三象限， ∴若两函数由交点，则k＞0， ∴反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小． ∴当x＞0时，y随x增大而减小； 故答案为减小． 9．（2021•鼓楼二模）如图1，已知双曲线与直线y2＝k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为　　 ；当x满足： 　 时，y1＞y2； （2）过原点O作另一条直线l，交双曲线于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示． ①四边形APBQ一定是　 　 ； ②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积． 【分析】（1）由A和B为正比例函数与反比例函数的交点，得到A和B关于原点对称，由A的坐标即可求出B的坐标；由A和B的横坐标及原点的横坐标0，将x轴分为四个范围，分别为：x＜﹣4，﹣4＜x＜0，0＜x＜4，x＞4，找出一次函数在反比例函数上方的范围即可； （2）①由OP＝OQ，OA＝OB，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形APBQ一定是平行四边形； ②由A得坐标确定出反比例函数解析式，将P得横坐标x＝1代入反比例解析式中，求出P的纵坐标，确定出P的坐标，过P作PN垂直于x轴，过A作AM垂直于x轴，可得出PN，AM，ON，OM的长，进而求出MN的长，根据四边形OPAM的面积﹣三角形AOM的面积表示出三角形AOP的面积，而四边形OPAM的面积＝三角形OPN的面积+梯形AMNP的面积，可求出三角形AOP的面积，在三角形ABP中，由O为AB的中点，根据等底同高得到三角形AOP的面积与三角形BOP的面积相等，同理得到三角形BOQ的面积＝三角形AOQ的面积＝三角形AOP的面积＝三角形BOP的面积，而这四个三角形的面积之和为平行四边形APBQ的面积，即可求出四边形APBQ的面积． 【解答】解：（1）由A和B为反比例函数与一次函数的交点， 得到A和B关于原点对称， ∵A（4，2）， ∴B（﹣4，﹣2）． 由图象可得：当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2． 故答案为（﹣4，﹣2），x＜﹣4或0＜x＜4； （2）①∵OP＝OQ，OA＝OB， ∴四边形APBQ为平行四边形； ②过A作AM⊥x轴，过P作PN⊥x轴，如图所示： 由A（3，1）在反比例函数图象上，得到反比例解析式为y， ∵P的横坐标为1，P在反比例函数图象上， ∴将x＝1代入反比例解析式得：y＝3，即P（1，3）， ∴AM＝1，OM＝3，PN＝3，ON＝1，MN＝OM﹣ON＝2， 则S△AOP＝S四边形OPAM﹣S△AOM＝S△PON+S梯形AMNP﹣S△AOM PN•ON（AM+PN）•MNAM•OM 3×1（1+3）×21×3 ＝4， 在△APB中，O为AB的中点，即AO＝BO， ∴S△AOP＝S△BOP， 同理S△BOQ＝S△AOQ＝S△AOP＝S△BOP， 又∵S平行四边形APBQ＝S△BOQ+S△AOQ+S△AOP+S△BOP， ∴S平行四边形APBQ＝4S△AOP＝16． 故答案为平行四边形． 10．（2024•鼓楼区一模）函数y＝x+m与的图象相交于A（2，1）、B两点． （1）求m及k的值； （2）结合函数图象，直接写出的解集． 【答案】（1）m＝﹣1，k＝2．（2）x＞2或﹣1＜x＜0． 【分析】（1）将点A（2，1）坐标分别代入两个解析式求出m、k值即可； （2）先求出两个函数解析式，再求出交点坐标，最后根据图象直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）将点A（2，1）坐标分别代入两个解析式得： 2+m＝1，1， ∴m＝﹣1，k＝2． （2）由（1）可知，直线解析式为：y＝x﹣1，反比例函数解析式为：y， 联立方程组， 解得：，， ∴A（2，1），B（﹣1，﹣2）， 函数图象如下： 由图象可知不等式的解集为：x＞2或﹣1＜x＜0． 押题猜想五 统计与概率综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）如火如荼进行中。南京队作为十三支参赛队伍之一，在本赛季备受关注。请你根据以下材料，解答问题： 材料一：2026赛季苏超首轮比赛中，常州队3:0南通队，苏州队1:0扬州队，无锡队3:1镇江队，盐城队2:0连云港队，宿迁队2:0南京队，徐州队3:0泰州队，淮安队1:1扬州队。 材料二：2026赛季南京队共有教练员4名、工作人员7名、球员50名，平均年龄仅22.26岁。其中，70%为U22球员（22岁以下），参加上赛季苏超的老队员13名。 材料三：本届苏超南京队球员的来源构成：南京青训体系占40%，校园足球占20%，驻宁高校占15%，职业俱乐部占10%，宁超联赛等社会渠道占15%。 材料四：2025赛季苏超常规赛期间，南京奥体中心连续七场比赛现场观赛人数突破6万人。七场的具体上座人数分别为：61106人、61238人、61459人、61722人、62015人、62329人、62987人。 （1） 根据材料一，求首轮7场比赛的平均每场进球数（精确到0.01）。 （2）根据材料二： ① 南京队有多少名U22球员？ ② 南京队新球员（未参加上赛季）有多少名？ （3）根据材料三，绘制南京队球员来源构成的扇形统计图（不要求作图，只需填写各部分的圆心角度数），并指出所占比例最大的球员来源是哪一类。 （4）根据材料四，求这七场观众人数数据的平均数、中位数和极差，并判断这七场人数呈什么变化趋势。 （5）小华同学说：“今年首轮南京队输了，这说明南京队夺冠的概率为0。”你同意他的说法吗？请结合所学概率知识简要说明理由。 【分析】（1）考查平均数的计算及实际情境中的数据提取能力，要求从文字描述的比分中准确识别“每场比赛的总进球数”，避免只统计某一队的进球。逐场计算两队进球之和：3+0=3，1+0=1，3+1=4，2+0=2，2+0=2，3+0=3，1+1=2。求和：3+1+4+2+2+3+2=17。除以场次数7：17÷7≈2.42857…，按精确度要求保留两位小数得2.43。 （2）考查百分数的简单应用（求一个数的百分之几），考查间接数据的推算能力（利用总人数与老队员人数求新队员人数）。 U22球员：已知总球员数50人，U22占70%，即50×70%=35（名）。 新球员：总球员数50人，减去参加上赛季的老队员13人，即50−13=37（名）。 （3）考查扇形统计图的构成原理（圆心角与百分比的关系：360°×百分比），考查数据分类的识别与比较。将各来源百分比乘以360°，计算对应圆心角度数：青训40% → 360°×0.4=144°，校园20% → 72°，高校15% → 54°，职业俱乐部10% → 36°，社会渠道15% → 54°，比较百分比，找出最大值：40%（南京青训体系）。 （4）考查平均数、中位数、极差三个统计量的计算及实际意义，考查数据的趋势描述能力。 平均数：先求和（432856），再除以7，精确计算得61836.57…，通常取整数或保留要求精度（此处为人数，取整数61837或保留一位小数）。中位数：7个数据已按升序排列，第4个数为61722。极差：最大值减最小值，62987−61106=1881。变化趋势：观察数据序列呈递增状态，描述为“逐场增加”或“稳步上升”。 （5）考查对概率概念的理解：概率是刻画随机事件发生可能性大小的度量，不同于频率或单次实验结果，考查逻辑推理与批判性思维能力，能识别“以偏概全”的谬误，考查结合现实情境进行合理表述的能力。 明确立场：不同意。阐述理由：概率反映长期统计规律或理论可能性，一场比赛的结果不能决定整个赛季的最终名次概率。影响夺冠的因素众多：球队实力、后续赛程、伤病情况、对手状态等，单场比赛失利并不意味夺冠可能性为0。举例说明：体育赛事中首轮失利最终夺冠的案例并不罕见。总结：仅凭一场比赛就断言概率为0，是错误地将频率（某场胜负）等同于概率。 【解答】（1）首轮7场比赛的总进球数：常州3:0南通 → 3 + 0 = 3球，苏州1:0扬州 → 1 + 0 = 1球，无锡3:1镇江 → 3 + 1 = 4球，盐城2:0连云港 → 2 + 0 = 2球，宿迁2:0南京 → 2 + 0 = 2球，徐州3:0泰州 → 3 + 0 = 3球，淮安1:1扬州 → 1 + 1 = 2球 总进球数 = 3 + 1 + 4 + 2 + 2 + 3 + 2 = 17球 平均每场进球数 = 17 ÷ 7 ≈ 2.43 （2） ① U22球员人数 = 50 × 70% = 35（名）  ② 新球员人数 = 50 - 13 = 37（名）  （3） 来源 比例 圆心角度数 南京青训体系 40% 360° × 40% = 144° 校园足球 20% 360° × 20% = 72° 驻宁高校 15% 360° × 15% = 54° 职业俱乐部 10% 360° × 10% = 36° 宁超联赛等社会渠道 15% 360° × 15% = 54° （圆心角度数填写正确得2分；指出比例最大的来源为南京青训体系得1分） （4）将7场观众人数从小到大排序（已基本有序）： 61106，61238，61459，61722，62015，62329，62987 平均数 = (61106 + 61238 + 61459 + 61722 + 62015 + 62329 + 62987) ÷ 7= 432856 ÷ 7 ≈ 61837（人） 中位数 = 第4个数 = 61722（人） 极差 = 62987 - 61106 = 1881（人） 变化趋势：七场观众人数逐场增加（或稳步上升）  （5）不同意。 理由：概率是描述事件发生可能性大小的量，不等于频率的某一次观测结果。一场比赛的输赢受到临场发挥、伤病、裁判、运气等多重因素影响，首轮输球只能说明南京队在该场比赛中表现不如对手，不能由此推出整个赛季夺冠的概率为0。事实上，在首轮结束之前，南京队仍有一定概率夺冠，只是这个概率需要通过球队实力、对手情况、赛程安排等多方面因素综合评估，不能由单场比赛结果简单推断。 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，每年统计（2021第21题、2022第20题、2023第12、20题、2024第22题、2025第7、22题）和概率（2021第22题、2022第21题、2023第21题、2024第21题、2025第21题）各有一道解答题。统计图表补全、用样本估计总体、概率计算（树状图或列表）是每年必考，贴近生活。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占10%，动作技巧占40%，感染力占50%．九年级1班和2班的成绩如表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分x应超过 　 　 ． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 x 【答案】90分． 【分析】根据加权平均数的计算公式列出不等式80×10%+75×40%+x×50%＞70×10%+80×40%+88×50%，解之可得． 【解答】解：根据题意，得：80×10%+75×40%+x×50%＞70×10%+80×40%+88×50%， 解得：x＞90， 所以他们的感染力得分x应超过90分． 故答案为90分． 2．（2025•建邺区一模）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则 　　 （填“＞”“＜”或“＝”号）． 【答案】＞． 【分析】分别根据方差公式计算出方差，然后判断即可． 【解答】解：6位评委的打分的平均数为8， 这组数据的方差s[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]， 去掉一个最高分和一个最低分后平均数为8， 方差s[（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]， ∵， ∴ss． 故答案为＞． 3．（2025•鼓楼区一模）甲口袋中有2个红球、1个白球，乙口袋中有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球，设摸出的2个球都是红球的概率为P． （1）求P的值； （2）在乙口袋中再放入a个红球，若P的值为，则a的值为 　 　 ． 【答案】（1）；（2）2； 【分析】（1）先根据题意列表求得所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可； （2）先根据题意列表求得所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式列方程求解即可． 【解答】解：（1）根据题意列表如下： 红 红 白 红 红，红 红，红 红，白 白 白，红 白，红 白，白 由列表可知：共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是红球的结果数为2， 所以摸出的2个球都是红球的概率为； （2）列表如下： 红 红 白 红 红，红 红，红 红，白 白 白，红 白，红 白，白 红1 红1，红 红1，红 红1，白 … … … … 红a 红a，红 红a，红 红a，白 由列表可知：共有3（2+a）种等可能结果，其中摸出的2个球都是红球的结果数为2（a+1）， 所以摸出的2个球都是红球的概率为， ∴， 解得 a＝2， 经检验 a＝2是原方程的解，且符合题意， ∴a＝2， 故答案为2． 4．（2025•建邺区一模）我国2015﹣2023年博士生招生增长率折线统计图如下． （1）下列说法中，所有正确结论的序号是 　 　 ． ①博士生招生增长率的中位数是10.16%； ②博士生招生增长率的平均数不超过10%； ③2018年博士生招生增长的人数最多； ④2023年博士生招生人数最多． （2）根据折线统计图，从两个不同的角度描述我国2015﹣2023年博士生招生变化情况． 【答案】（1）①②④；（2）见解答（答案不唯一）． 【分析】（1）根据中位数，平均数，增长率的定义解答即可； （2）根据统计图信息解答即可． 【解答】解：（1）由题意可知， 博士生招生增长率的中位数是10.16%，故①说法正确； 博士生招生增长率的平均数不超过10%，故②说法正确； 2023年博士生招生增长的人数最多，故③说法错误，④说法正确． 故答案为：①②④； （2）2015﹣2023年博士生招生呈现不断增长态势；2019至2024年博士生招生增长率稳定在10%左右．（答案不唯一）． 5．（2025•鼓楼区一模）南京市3月份每天的最高温度、最低温度的变化情况统计如下． （1）以下说法正确的是 　 　 ．（填写所有正确说法的序号） ①最高温度的方差比最低温度的方差更大； ②日温差最大的一天是3月26日； ③日温差最小的一天是3月4日和3月15日； ④在3月2日到3月11日之间，最高温度呈上升趋势． （2）完成3月1日～3月10日的日温差的条形统计图． （3）在3月，哪天最高温度相比前一天的降幅最大？借助数据进行说明． 【答案】（1）①③；（2）见解答；（3）3月3日最高温度相比前一天的降幅最大，理由见解答． 【分析】（1）根据折线统计图逐项判断即可求解； （2）分别求出3月2日﹣3月7日的温差，再补全条形统计图即可； （3）根据折线统计图解答即可． 【解答】解：（1）由折线统计图可知，最高温度的波动较最低温度的波动大， 所以最高温度的方差比最低温度的方差更大，故①说法正确； 日温差最大的一天是3月2日，故②说法错误； 日温差最小的一天是3月4日和3月15日，故③说法正确； 在3月2日到3月11日之间，最高温度先下降，再上升，故④说法错误； 所以说法正确的是①③， 故答案为：①③； （2）补全条形统计图如下： （3）3月3日最高温度相比前一天的降幅最大，理由如下： 由图可知，3月2日的最高温度为31℃，3月3日的最高温度为9℃，下降了：31﹣9＝22（℃），降幅增大． 6．（2025•南京一模）小李开车到公司上班有A，B两条路线可选择，路线A经城市高架，路线B经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线A，接着连续10个工作日选择路线B，记录用时（单位：min）数据如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线A用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 （1）路线A连续10天用时的中位数是　　 min，路线B连续10天用时的众数是　　 min； （2）求路线A连续10天用时的平均数和方差； （3）经计算，路线B连续10天用时的平均数是15.6min，方差是18.04min2.结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 【答案】（1）18，11； （2）18min和2.4min2； （3）小李优先考虑选择路线B（答案不唯一）． 【分析】（1）按照中位数和众数的定义求解即可； （2）按照平均数和方差的定义求解即可； （3）选择路线B，从平均数、众数、中位数等方面说明（答案不唯一）． 【解答】解：（1）将路线A的数据从小到大排列为15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，中位数为第5和第6个数的平均值， 路线A的中位数为18， 路线B数据中出现次数最多的数是11，共出现3次， 因此众数为11， 故答案为：18，11； （2）路线A的平均数为（15+16+17+18+18+18+19+19+20+20）＝18（min）， 路线A的方差为： [（15﹣18）2+（16﹣18）2+（17﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2+（19﹣18）2+（19﹣18）2+（20﹣18）2+（20﹣18）2）] （9+4+1+0+0+0+1+1+4+4） ＝2.4（min2）， 答：路线A连续10天用时的平均数和方差分别为18min和2.4min； （3）平均数：路线B的平均时间15.6分钟＜路线A的18分钟，说明路线B平均更快， 中位数：路线B的中位数为15分钟＜路线A的18分钟，说明路线B中间位置的时间更短， 众数：路线B的众数18分钟＜路线A的2.418分钟，说明路线B时间大部分时候更快， ∴小李优先考虑选择路线B（答案不唯一）． 7．（2025•南京一模）某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． （1）若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是　　 ； （2）若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好选中乙款的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲、乙两款的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好选中乙款的结果有1种， ∴恰好选中乙款的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两款的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴恰好选中甲、乙两款的概率为． 8．（2025•秦淮区一模）今年的3月21日是首个“世界冰川日”，中国科学院在当天发布了我国第三次冰川编目数据集（前两次分别于2002年和2014年发布）．图（1）（2）分别是我国三次冰川编目数据集中冰川条数和面积的折线统计图． （1）根据第三次冰川编目数据，我国每条冰川的平均面积是多少平方千米？（结果保留1位小数） （2）从图（2）中可以看出，我国冰川进入　 　 （填“扩张”或“退缩”）阶段． （3）冰川对地球的生态系统非常重要，请尝试提出保护冰川的一条建议． 【答案】（1）我国每条冰川的平均面积是0.7平方千米； （2）退缩； （3）建议：加强环境监测和数据收集（答案不唯一）． 【分析】（1）计算平均数即可； （2）由图（2）观察即可； （3）根据冰川对地球的生态系统的重要性，提出合理建议即可． 【解答】解：（1）我国每条冰川的平均面积是：0.7（平方千米）； （2）从图（2）中可以看出，我国冰川进入退缩期， 故答案为：退缩； （3）建议：加强环境监测和数据收集． 9．（2025•秦淮区一模）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． （1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率． （2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 【答案】（1）； （2）③④． 【分析】（1）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率； （2）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】解：（1）如图， 将第一层的两个管道分别记为P，Q，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种， 即（P，A），（P，B），（Q，B），（Q，C），它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足小球通过管道B（记为事件N）的结果有2种，分别是（P，B），（Q，B）， ∴； （2）如图， 画树状图， ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为， ①最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误； ②4个盒子中的小球的数量不一定一样多，原选项错误； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确； ∴③④正确， 故答案为③④． 10．（2025•玄武区一模）《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为　 　 亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是　 　 ．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 【答案】（1）6.345；（2）1月31日；（3）①②． 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）结合条形统计图解答即可； （3）结合折线统计图和条形统计图解答即可． 【解答】解：（1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为：6.345（亿元）， 故答案为：6.345； （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是1月31日； 故答案为：1月31日； （3）由题意可知： ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，说法正确； ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为：8.67﹣4.8＝3.87（亿元），说法正确； ③4.88÷26.9%≈18.14（亿元），6.19÷46.8%≈13.23（亿元），8.44÷68.3%≈12.26（亿元），8.67÷70.9%≈12.23（亿元）， 故1月29日至2月7日，1月29日的单日总票房最高，原说法错误； ④1月29日至2月7日，单日总票房先下降再上升后下降，原说法错误． 所以正确结论的序号①②． 故答案为①②． 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】2026年3月15日，南京半程马拉松在江心洲生态科技岛鸣枪开跑，本届赛事恢复了备受好评的“环岛跑”路线。该赛道的经典环线串联起A青奥森林公园、B环岛东路、C南京眼步行桥、D江堤路灯塔等网红打卡地，被誉为“世界最美赛道””。 小南和小京作为南京半马的参赛选手，计划赛后在江心洲徒步打卡四大热门景点，感受长江生态岛的魅力。如图，A、B、C、D是四个必打卡的景点，江心洲徒步旅游路线分为北环岛线：A→B→D→A和南环岛线：A→C→B→A。其中B在A的正东方向6km处，C在A的南偏东60°方向，D在A的北偏东15°方向，D也在B的北偏西30°方向。（参考数据：） (1) 求北环岛线的长度（结果保留小数点后一位）； (2) 小南选择走北环岛线，小京选择走南环岛线，两人同时从景点A出发。小南在A→B途中发现小京的号码布落在自己背包里了，于是小南决定到B之后前往C与小京汇合。已知小南的步行速度与小京的步行速度之比为8：7，结果两人同时到达景点C（忽略途中停留打卡时间），求南环岛线的长度（结果保留小数点后一位）。 【答案】（1）北环岛线的长度约为21.5km； （2）南环岛线的长度约为23.3km． 【分析】（1）过A点作AE⊥BD于点E，在Rt△AEB中，根据AB＝6km求出BE和AE，然后在Rt△AED中求出DE和AD即可解答； （2）作CF⊥AB于点F，设FC＝xkm，则AFxkm，AC＝2xkm，易得两人所走的路程之比为8：7，据此判断出BC的长，进而根据勾股定理求得x的值，即可求得AC和BC的长度，再加上AB的长度即为南环线的长度． 【解答】解：（1）过A点作AE⊥BD于点E， ∵D在A的北偏东15°方向，D在B的北偏西30°方向， ∴∠ADB＝45°，∠DBA＝60°， ∵∠DEA＝90°， ∴∠D＝45°， ∵在Rt△AEB中，AB＝6km，sin∠DAB，cos∠DAB， ∴AE＝AB•sin60°＝63（km）， EB＝AB•cos60°＝63（km）， ∵在Rt△AED中，AE＝3km，sin∠D，tan∠D， ∴AD3（km），DE＝AE＝3（km）， ∴北环岛线A→B→D→A的长度： AB+BD+DA ＝AB+BE+ED+DA ＝6+3+33 ≈21.5（km）， 答：北环岛线的长度约为21.5km； （2）如图，过点C作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°， 由题意得：∠BAC＝30°， 设FC＝xkm，则AFxkm，AC＝2xkm， ∴BFx﹣6， ∵小南的步行速度与小京的步行速度之比为8：7， ∴ ∴， 解得：BCx﹣6， ∵BF2+FC2＝BC2， ∴（x﹣6）2+x2＝（x﹣6）2， 3x2﹣12x+36+x2x2x+36， x2+（12）x＝0， x（x+12）＝0， 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2≈5.446， ∴AC＝2x≈10.892， ∴BCx﹣6≈6.448， ∴南环岛线的长度为：6+6.448+10.892≈23.3（km）． 答：南环岛线的长度约为23.3km． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，锐角三角函数的实际应用是每年必考解答题（2021第23题、2022第23题、2023第23题、2024第23题、2025第25题），方向角、仰角俯角、坡度是主流而测量高度、距离是南京中考特色，常利用三角函数建立方程，结合方程思想，构造直角三角形；值得注意的是单位换算和近似计算。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为50m/s．小明在B处通过窗口看到远处两棵树（记为C和D），此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向．7s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD．（参考数据：tan63.4°≈2，tan53.1°．） 【答案】两棵树之间的距离CD约为100m． 【分析】作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，设CE长xm，分别表示出AE及BE的长，易得AB的长度，根据AB的长度列出方程即可求得x的值，进而可得AC的长，设BF长ym，进而表示出FD及AF的长，根据53.1°的正切值可得y的值，那么可利用勾股定理求得AD的值，减去AC的长即为CD的长． 【解答】解：作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，则∠AEC＝∠BEC＝∠AFD＝∠BFD＝90°，设CE长xm， ∵∠ABC＝45°， ∴BE＝xm， ∵∠A＝53.1°， ∴AE0.75xm， 由题意得：AB＝50×7＝350（m）， ∴x+0.75x＝350， 解得：x＝200， ∴AE＝150m，CE＝200m， ∴AC＝250m， 设BF长ym，则AF＝（350﹣y）m， ∵∠ABD＝63.4°， ∴DF＝2ym， ∵tan∠A， ∴， 解得：y＝140， ∴DF＝280m，AF＝210m， ∴AD＝350m， ∴CD＝350﹣250＝100（m）． 答：两棵树之间的距离CD约为100m． 2．（2025•建邺区一模）如图，大坝的横截面是Rt△ABC，坝高AC为16m．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面AB改造成长为36m的折线形坝面AD﹣DE，坝面AD的倾斜角α为36.87°，坝面DE的倾斜角β为22.62°． （参考数据：，．） （1）求坝面DE的长度； （2）求坡脚向前推进的距离BE的长度． 【答案】（1）26米； （2）4米． 【分析】（1）过D点作DH⊥BC于点H，DF⊥AC于F点，如图，利用正弦的定义，在Rt△ADF中得到sin36.87°，则可设AF＝3x米，AD＝5x，所以DF＝4x，再表示出DE＝（36﹣5x）米，CF＝（16﹣3x）米，易得四边形DHCF为矩形，所以DH＝CF＝（16﹣3x）米，DF＝CH，接着在Rt△DEH中利用正弦的定义得到sin22.62°，解方程得到x＝2，从而得到DE的长； （2）在Rt△DEH中利用勾股定理得到EH＝24米，再利用改造前后大坝的横截面得面积不变，所以16×BC6×8（8+8+24）×10，则解方程可求出BC，然后计算CE﹣CB即可． 【解答】解：（1）过D点作DH⊥BC于点H，DF⊥AC于F点，如图， 在Rt△ADF中，∵sin∠ADF， ∴sin36.87°， 设AF＝3x米，则AD＝5x， ∴DF＝4x， ∵AC＝16米，AD+DE＝36米， ∴DE＝（36﹣5x）米，CF＝（16﹣3x）米， ∵∠DHC＝∠C＝∠DFC＝90°， ∴四边形DHCF为矩形， ∴DH＝CF＝（16﹣3x）米，DF＝CH， 在Rt△DEH中，∵sin∠DEH， ∴sin22.62°， 解得x＝2， 经检验x＝2为原方程的解， ∴AF＝6米，DF＝8米，CF＝DH＝10米，DE＝26米， 答：坝面DE的长度为26米； （2）在Rt△DEH中，∵DH＝10米，DE＝26米， ∴EH24（米）， ∵S△ABC＝S△ADF+S梯形DECF， ∴16×BC6×8（8+8+24）×10， 解得BC＝28（米）， ∴BE＝CE﹣CB＝8+24﹣28＝4（米）． 答：坡脚向前推进的距离BE的长度为4米． 3．（2025•南京一模）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的C处，此时在将绳子拉直的A处测得定滑轮点P的仰角为45°，继续向后水平移动1m到B处测得定滑轮点P的仰角为37°，此时物体上升到D处．已知AM，BN均垂直于地面，AM＝BN＝1.6m，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离PD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，， 【答案】PD的长为3.8m． 【分析】根据题意，在Rt△APE中，得到PE＝AE，在Rt△BPE中表示出BE，PB，根据AB＝BE﹣AE，求得PE的长，再利用解直角三角形，求出PA，PB，从而得到结果． 【解答】解：延长BA，交 PD于点E，由题意得BE⊥PC，设PE为xm， ∵在Rt△APE中，， ∴， ∵在Rt△BPE中，，sin 37°， ∴BE，， ∵AB＝BE﹣AE， 即， ∴x＝3， 在Rt△APE中，（m）， 在Rt△BPE中，（m）， ∵绳子总长不变， ∴CD＝PB﹣BA＝5﹣4.23≈0.77（m）， ∴PD＝PE+DE＝PE+（AM﹣CD）＝3+（1.6﹣0.77）≈3.8（m）， 答：PD的长为3.8m． 4．（2025•秦淮区一模）如图，港口A在港口B的南偏西53°方向20km处，一艘渔船从港口A出发，以10km/h的速度沿着北偏东23.5°的方向前进，15min后，一艘快艇从B出发，以40km/h的速度沿着北偏西53°的方向前进．设快艇出发xh． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程　 　 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92） 【答案】（1）； （2）x． 【分析】（1）根据题意，分别表示出快艇出发xh，快艇和渔船所走过的路程，即可根据等量关系得到方程； （2）分别在Rt△AEB、Rt△BCG和Rt△AFD中，表示出AE、BG和AF，从而得到方程，求得结果． 【解答】解：（1）快艇出发xh，渔船、快艇到各自出发地的距离相等， ∵渔船从港口A出发，以10km/h的速度前进，15min后，一艘快艇从B出发， ∴渔船行驶了（x）h， ∴渔船行驶的路程为10（x）（km）， ∵快艇的速度是40km/h， ∴xh走过的距离为40x（km）， ∴可得方程10（x）＝40x， 故答案为：； （2）设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D， 如图所示， 由题意得∠E＝∠AFD＝∠BGC＝90°，∠C＝53°，∠ADF＝23.5°， ∵在Rt△AEB中，∠ABE＝53°， ∴sin53°， ∴AE＝AB•sin53°＝20×0.80＝16， ∵在Rt△BCG中，∠BCG＝53°， ∴sin53°， ∴BG＝40x•0.80＝32x， 在Rt△AFD中，∠ADF＝23.5°， ∵sin23.5°， ∴AF＝AD•sin23.5°＝10（x）×0.40＝4x+1， ∵EF＝BG，AF+EF＝AE， ∴4x+1+32x＝16， 解得x． 5．（2025•玄武区一模）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面AE的垂线AC，垂足为A，过点B作AC的垂线，垂足为C，斜塔AB与AC的夹角∠CAB＝5.7°，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为33.7°，塔底A的俯角为4.2°，DE＝1.6m，求塔顶B到地面AE的距离． （参考数据：，， 【答案】15米． 【分析】过D点作DH⊥AC于H点，过B点作BF⊥DH于F点，如图，设CH＝x米，利用仰角俯角的定义得到∠HDA＝4.2°，∠FDB＝33.7°，易得四边形AEDH为矩形得到AH＝1.6m，四边形BCHF为矩形得到CH＝BF＝x米，HF＝BC，再根据正切的定义，在Rt△ADH中计算出DH＝21.6米，在Rt△ACB中表示出BC＝（0.1x+0.16）米，所以HF＝（0.1x+0.16）米，在Rt△BDF中表示出DF＝1.5x，然后利用DF+HF＝DH得到1.5x+0.1x+0.16＝21.6，解方程求出x，然后计算AH+CH得到塔顶B到地面AE的距离． 【解答】解：过D点作DH⊥AC于H点，过B点作BF⊥DH于F点，如图，设CH＝x米， 根据题意得∠CAB＝5.7°，∠HDA＝4.2°，∠FDB＝33.7°， ∵∠HAE＝∠AHD＝∠AED＝90°， ∴四边形AEDH为矩形， ∴AH＝DE＝1.6m， ∵∠CHF＝∠BCH＝∠BFH＝90°， ∴四边形BCHF为矩形， ∴CH＝BF＝x米，HF＝BC， 在Rt△ADH中，∵tan∠ADH， ∴DH21.6（米）， 在Rt△ACB中，∵tan∠CAB， ∴BC＝（1.6+x）×tan5.7°（1.6+x）＝（0.1x+0.16）米， ∴HF＝（0.1x+0.16）米， 在Rt△BDF中，∵tan∠FDB， ∴DF1.5x， ∵DF+HF＝DH， ∴1.5x+0.1x+0.16＝21.6， 解得x＝13.4， ∴AC＝AH+CH＝1.6+13.4＝15（米）． 答：塔顶B到地面AE的距离为15米． 6．（2024•鼓楼区一模）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表： 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角α α＝37° 从E处测得灯杆支架C处仰角β β＝63°26'； 两次测量之间的水平距离 DE＝5.1m 灯杆的高度 AB＝8.1m 求灯管支架BC的长度． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan63°26′≈2.00） 【答案】灯管支架BC的长度为1.5m． 【分析】延长AB，EC交于F，根据三角函数的定义得到AE＝AD﹣DE＝5.7（m），BF＝AF﹣AB＝3.3（m），过C作CH⊥AF于H，根据平行线的性质得到∠FCH＝∠FEA＝β，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：延长AB，EC交于F， 在Rt△ADB中，tanα， ∴tan37°0.75， ∴AD＝10.8m， ∵DE＝5.1m， ∴AE＝AD﹣DE＝5.7（m）， 在Rt△AEF中，tanβ， ∴2.00， ∴AF＝11.4m， ∴BF＝AF﹣AB＝3.3（m）， 过C作CH⊥AF于H， ∴∠CHF＝CHB＝90°， ∴CH∥AE， ∴∠FCH＝∠FEA＝β， ∵∠ABC＝127°， ∴∠CBH＝53°， ∴∠BCH＝37， ∴FH＝CH•tanβ，BH＝CH•tanα， ∴BF＝BH+FH＝CH•tanβ+CH•tanα＝CH•（0.75+2）＝3.3， 解得CH＝1.2m， ∴BC1.5（m）， 答：灯管支架BC的长度为1.5m． 7．（2024•鼓楼区二模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为31°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶B的仰角为71.57°，求山的高度BC．（参考数据：tan31°≈0.60，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan71.57°≈3.00．） 【答案】山的高度BC约为620m． 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据题意可得：DF＝CE，DE＝CF，设DE＝CF＝xm，在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AF的长，从而求出AC的长，然后分别在Rt△BDE和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BE和BC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， 由题意得：DF＝CE，DE＝CF， 设DE＝CF＝xm， 在Rt△ADF中，∠DAF＝20°，AD＝1000m， ∴AF＝AD•cos20°≈1000×0.94＝940（m）， DF＝AD•sin20°≈1000×0.34＝340（m）， ∴CE＝DF＝340m，AC＝AF+CF＝（940+x）m， 在Rt△BDE中，∠BDE＝71.57°， ∴BE＝DE•tan71.57°≈3x（m）， 在Rt△ABC中，∠BAC＝31°， ∴BC＝AC•tan31°≈0.6（940+x）m， ∵BE+CE＝BC， ∴3x+340＝0.6（940+x）， 解得：x， ∴BC＝3x+340＝620（m）， ∴山的高度BC约为620m． 8．（2023•鼓楼区一模）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度． （参考数据：tan37°，tan22°，tan58°） 【答案】建筑物DE的高度约为36.8m． 【分析】过点A作AF⊥ED，垂足为F，根据题意可得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，从而可得∠FAC＝∠ACB＝22°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，设CD＝xm，则AF＝BD＝（x+17）m，再在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，最后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而根据EF+DF＝ED，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点A作AF⊥ED，垂足为F， 由题意得： ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD， ∴∠FAC＝∠ACB＝22°， 在Rt△ABC中，BC17（m）， 设CD＝xm， ∴AF＝BD＝BC+CD＝（x+17）m， 在Rt△ECD中，∠ECD＝58°， ∴ED＝CD•tan58°x（m）， 在Rt△EAF中，∠EAF＝37°， ∴EF＝AF•tan37°（x+17）m， ∵EF+DF＝ED， ∴（x+17）+6.8x， 解得：x＝23， ∴DEx＝36.8（m）， ∴建筑物DE的高度约为36.8m． 9．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 【答案】（1）y＝2.5x2+2x； （2）6s． 【分析】（1）设y＝ax2+bx，由待定系数法求出a、b的值，即可解决问题； （2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方，此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′，过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，此时运动员滑行到点C，则BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t），过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E，由锐角三角函数定义求出AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t，则AE＝AG﹣EG＝2.25t2﹣4.5t，再由锐角三角函数定义得3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t），求出t的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）猜想y与x是二次函数关系， 设y＝ax2+bx， 把（1，4.5）（2，14）代入得：， 解得：， ∴y＝2.5x2+2x， 当x＝3时，y＝2.5×9+6＝28.5， 当x＝4时，y＝2.5×16+8＝48， ∴y＝2.5x2+2x符合题意， ∴y与x之间的函数表达式为：y＝2.5x2+2x； （2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方， 此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′， 过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，如图所示： 此时运动员滑行到点C， ∴BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t）， 过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E， 则四边形AFDG与四边形PEGP′都是矩形， ∵AB＝500m，∠ABF＝26°， ∴AF＝GD＝AB×sin26°≈500×0.44＝220（m），∠GAC＝∠ABF＝26°， ∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停， ∴PE＝P′G＝292﹣AF＝292﹣220＝72（m）， 在Rt△AGC中，AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t， ∴AE＝AG﹣EG＝2.25t2+1.8t﹣6.3t＝2.25t2﹣4.5t， 在Rt△APE中，tan53°， ∴3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t）， 解得：t1＝6，t2＝﹣4（不合题意舍去）， ∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方． 10．（2023•鼓楼区二模）如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离． （参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．） 【答案】两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m． 【分析】过点C作CF⊥BD，垂足为F，根据题意可得：AC＝DF＝12m，CF＝AD，然后设AD＝CF＝xm，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△CFB中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出BD的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CF⊥BD，垂足为F， 由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD， 设AD＝CF＝xm， 在Rt△ABD中，∠BAD＝31°， ∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）， 在Rt△CFB中，∠BCF＝20°， ∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）， ∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m， ∴0.6x＝0.36x+12， 解得：x＝50， ∴AD＝50m，BD＝30m， ∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m． 押题猜想七 四边形与几何变换 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相交于点E，且BE＝EF，AF∥BC． （1）求证：四边形ADCF为平行四边形； （2）若DA＝DC＝5，AC＝6，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE． 又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB， ∴△AEF≅△DEB（ASA）． ∴AF＝DB． ∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴DB＝DC． ∴AF＝DC． ∴四边形ADCF为平行四边形； （2）24． 【分析】（1）证明△AEF≌△DEB（ASA），得AF＝DB，再证明AF＝DC，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再由勾股定理得AB＝8，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE． 又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB， ∴△AEF≅△DEB（ASA）． ∴AF＝DB． ∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴DB＝DC． ∴AF＝DC． ∴四边形ADCF为平行四边形； （2）解：∵DA＝DC＝5，DB＝DC， ∴． ∴点A，B，C都在以BC为直径的圆上． ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°． ∴． ∴． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，四边形（矩形、菱形、正方形）与折叠、旋转结合是南京中考几何压轴题（2021第16题旋转、2022第22题菱形、2023第16题菱形折叠、2024第24题中心对称、2025第6题点线面变换）。折叠产生的轴对称，对应的相等关系，常结合勾股定理建立方程模型求解；旋转产生的全等变换、中心对称性等是几何探究的热点。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接EO，过点E，O作BC的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求四边形OEFG的面积． 【分析】（1）证明OE是△ABC的中位线，得OE∥BC，再证明EF∥OG，∠EFG＝90°，则四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AC⊥BD，进而由勾股定理得BC＝5，则OEBC，然后由三角形面积求出OG的长，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∵E是边AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∵EF⊥BC，OG⊥BC， ∴EF∥OG，∠EFG＝90°， ∴四边形OEFG是平行四边形， 又∵∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴BC5， 由（1）可知，OE是△ABC的中位线，四边形OEFG是矩形， ∴OEBC， ∵OG⊥BC， ∴S△BOCBC•OGOB•OC， ∴OG， ∴S矩形OEFG＝OE•OG6． 2．（2025•建邺区一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）当 　 　 时，四边形AECF是正方形． 【分析】（1）连接AC∠BD于点O，根据菱形性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，进而得AC⊥EF，OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）当时，四边形AECF是正方形，设AD，BD＝2a，根据菱形性质得OB＝ODBD＝a，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理得OA＝3a，则AC＝6a，再根据BE＝BD＝DF＝2a得BE＝6a，继而得AC＝EF＝6a，然后根据对角线相等的菱形是正方形即可得出结论． 【解答】解：（1）四边形AECF的形状是菱形，理由如下： 连接AC∠BD于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF， ∴OB+BE＝OD+DF，AC⊥EF， ∴OE＝OF， 在四边形AECF中，OA＝OC，OE＝OF，AC⊥EF， 根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得：四边形AECF的形状是菱形； （2）当时，四边形AECF是正方形，理由如下： ∵， ∴设AD，BD＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝a，OA＝OC，AC⊥BD， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA3a， ∴AC＝2OA＝6a， ∵BE＝BD＝DF＝2a， ∴BE＝3BD＝6a， ∴AC＝EF＝6a， 根据对角线相等的菱形是正方形得：四边形AECF是正方形． 故答案为． 3．（2025•南京一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝CD，连接CA，CA平分∠BCD． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CG⊥AD，分别交AD，AE于点F，G．若DF＝4，DG＝5，则菱形ABCD的边长为　 　 ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠ACB，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACD，求得∠ACB＝∠BAC，得到AB＝BC，根据全等三角形的性质得到AB＝AD，得到AB＝BC＝CD＝AD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD为菱形； （2）根据勾股定理得到FG3，根据平行线的性质得到CD⊥DE，求得∠CDG＝90°，根据相似三角形的性质得到3CF＝16，根据勾股定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵CA平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝BC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD为菱形； （2）解：在Rt△DGF中，DF＝4，DG＝5， ∴FG3， ∵AB∥CD，DE⊥AB， ∴CD⊥DE， ∴∠CDG＝90°， ∵CG⊥AD， ∴∠DGF＝∠DCF＝90°﹣∠CDF，∠DFG＝∠CFD＝90°， ∴△DGF∽△CDF， ∴， ∴DF2＝FG•CF， ∴3CF＝16， ∴CF， ∴CD． 故答案为． 4．（2025•秦淮区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．求证：AC＝BD． 【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC，由SAS证明△ABC≌△DCB，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴AC＝BD． 5．（2025•玄武区一模）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，△EFD和△ABC关于点O成中心对称，连接BD，BE，AF，CF． （1）求证：四边形ABEF是平行四边形． （2）若AB＝AC，∠BAC＝∠DBC，求证：▱ABEF是菱形． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】证明：（1）∵△EFD和△ABC关于点O成中心对称， ∴△EFD≌△ABC， ∴EF＝AB，∠BAC＝∠FED， ∴EF∥AB， ∴四边形ABEF是平行四边形； （2）连接BF，则BF交AC于点O， ∵△EFD≌△ABC， ∴DF＝BC，∠CDF＝∠BCD， ∴DF∥BC， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴OD＝OC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC， ∠BDC＝∠BAC+∠ABD， ∠BAC＝∠DBC， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴BD＝BC， ∵OD＝OC， ∴OB⊥CD， ∵四边形ABEF是平行四边形， ∴OA＝OE， ∴AB＝BE， ∴▱ABEF是菱形． 6．（2024•鼓楼区一模）在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD． （1）如图，若AB＝CB，求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝CD，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举反例． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，求得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定定理得到AD∥BC，等量代换得到AD＝BC，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形； （2）具备这些条件的四边形可能的等腰梯形． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥BC， ∵AB＝CB， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：（1）中结论不成立， 如图， ∵AB＝AD＝CD，BD平分∠ABC， 但四边形ABCD是等腰梯形． 7．（2023•鼓楼区一模）如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AB＝6，BC＝12，求菱形AFCE的面积． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠ECO． 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）； ∴AE＝CF， ∴AE＝CE＝CF＝AF， ∴四边形AECF为菱形． （2）解：设AE＝CF＝x，则BF＝12﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°． 在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BF2＝AF2， 即62+（12﹣x）2＝x2， 解得，x＝7.5， 即AE＝7.5， ∴DE＝BF＝4.5， ∴CF＝12﹣4.5＝7.5， ∴菱形AFCE的面积＝AB×FC＝6×7.5＝45． 8．（2022•鼓楼区一模）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD． （1）求证∠CAB＝∠DAB； （2）若将△ADB沿AB的垂直平分线翻转，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 　 　 （写出图形的形状）； （3）若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程． 【分析】（1）由∠C＝∠D＝90°可得△ACB和△ADB为直角三角形，由AC＝AD，AB＝AB可用HL证明两三角形全等，从而证明∠CAB＝∠DAB； （2）作出线段AB的垂直平分线MN，再根据轴对称变换将△ADB沿MN翻折，即可得出图形的形状； （3）将△ADB以点B为旋转中心，旋转至BD与BC重合时，所形成的三角形为等腰三角形，或者将△ADB以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时，所形成的三角形为等腰三角形． 【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）， ∴∠CAB＝∠DAB； （2）解：如图，作出线段AB的垂直平分线MN，再根据轴对称变换将△ADB沿MN翻折，变换后的图形为四边形ACBD′， 由折叠性质可得： ∠D′＝∠D＝90°，∠C＝90°，∠DAB＝∠D′BA， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵∠CAB＝∠DAB， ∴∠CBA+∠D′BA＝90°， ∴∠CBD′＝90°， ∴四边形ACBD′为矩形， 故答案为：矩形； （3）方法一：如图，将△ADB以点B为旋转中心，旋转至BD与BC重合时， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴此时A，C，A1三点共线， ∵AB＝A1B， ∴△ABA1为等腰三角形； 方法二：如图，将△ADB以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴此时B，C，B2三点共线， ∵AB＝A2B， ∴△ABB2为等腰三角形； 综上，方法一：将△ADB以点B为旋转中心，旋转至BD与BC重合时，所形成的三角形为等腰三角形； 方法二：将△ADB以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时，所形成的三角形为等腰三角形． 9．（2022•鼓楼区二模）尺规作图：如图，在▱ABCD的边AD上求作点P，使P分别满足以下要求： （1）BP＝CP； （2）BP＝AP+BC． 【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AD于点P，点P即为所求； （2）延长DA到T，使得AT＝AD，连接BT，作线段BT的垂直平分线交AD于点P，连接BP，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图1在中，点P即为所求； （2）如图2中，点P即为所求． 10．（2023•鼓楼区二模）如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，D、D′分别是BC、B′C′的中点，且AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A'B'C'． 【分析】依据BD＝B'D'，AB＝A'B'，AD＝A'D'，即可判定△ABD≌△A'B'D'，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠B'，结合AB＝A'B'，BC＝B'C'，即可得判定△ABC≌△A'B'C'． 【解答】证明：∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC＝B'C'， ∴BD＝B'D'， 在△ABD和△A'B'D'中， ， ∴△ABD≌△A'B'D'（SSS）， ∴∠B＝∠B'， 在△ABC和△A'B'C'中， ， ∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）． 押题猜想八 二次函数含参综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上． ①a＝　 　 ； ②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【分析】（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，即知（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，用待定系数法可得a＝1； ②设BC交y轴于E，设菱形的边长为2t，可得B（﹣t，t2），故AEt，D（2t，t2t），代入y＝x2得t2t＝4t2，可解得t，故菱形的边长为； ③过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，可得BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，证明△ABF≌△DAE（AAS），有BF＝AE，AF＝DE，故m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，即可得n﹣m＝1； （2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，知B（m，am2），D（n，an2），分三种情况：①当B，D在y轴左侧时，由△ABF≌△DAE（AAS），可得﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，故n﹣m；②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，由△ABF≌△DAE（AAS），有﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，知m+n＝0或n﹣m；③当B，D在y轴右侧时，m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，可得n﹣m． 【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0， ∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上， ∵四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上， ∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0），（1，1），（﹣1，1）， 把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1， 故答案为：1； ②设BC交y轴于E，如图： 设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t， ∵B，C关于y轴对称， ∴BE＝CE＝t， ∴B（﹣t，t2）， ∴OE＝t2， ∵AEt， ∴OA＝OE+AE＝t2t， ∴D（2t，t2t）， 把D（2t，t2t）代入y＝x2得： t2t＝4t2， 解得t或t＝0（舍去）， ∴菱形的边长为； ③n﹣m是为定值，理由如下： 过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图： ∵点B、D的横坐标分别为m、n， ∴B（m，m2），D（n，n2）， ∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB， ∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA， ∵∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n， ∴m＝n2﹣n﹣m2， ∴m+n＝（n﹣m）（n+m）， ∵点B、D在y轴的同侧， ∴m+n≠0， ∴n﹣m＝1； （2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E， ∵点B、D的横坐标分别为m、n， ∴B（m，am2），D（n，an2）， ①当B，D在y轴左侧时，如图： ∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n， ∴﹣m＝am2+n﹣an2， ∴m+n＝a（n﹣m）（n+m）， ∵m+n≠0， ∴n﹣m； ②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图： ∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n， ∴﹣m＝am2+n﹣an2， ∴m+n＝a（n+m）（n﹣m）， ∴m+n＝0或n﹣m； ③当B，D在y轴右侧时，如图： ∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n， ∴m＝an2﹣n﹣am2， ∴m+n＝a（n+m）（n﹣m）， ∵m+n≠0 ∴n﹣m； 综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，二次函数含参问题是南京中考的函数压轴大题（2021第26题、2022第26题、2023第25题、2024第25题、2025第26题），分值10分左右。主要考查二次函数图象性质（开口、对称轴、顶点、最值）、判别式、韦达定理、不等式综合，能力要求高，前两问较简单易得分，第三问往往具有一定拔升。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1的图象为C． （1）用m表示图象C的顶点坐标； （2）证明：当m＜﹣1时，图象C与x轴有两个交点； （3）记一次函数y＝mx+m（m是常数，m≠0，﹣1≤x≤4）的图象为线段AB，若图象C与线段AB恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）图象C的顶点坐标为（m，m+1）； （2）证明见解析； （3）6m≤6或﹣2≤m≤﹣1或m时，图象C与线段AB恰有一个公共点． 【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图象C的顶点坐标为 （m，m+1）； （2）当y＝0时，可得：x2﹣2mx+m2+m+1＝0利用一元二次方程根与系数的关系可证当m＜﹣1时，图象C与x轴有两个交点； （3）根据一次函数的解析式可知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，5m），根据图象C与线段AB恰有一个公共点，分m＜0或m＞0两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）整理y＝x2﹣2mx+m2+m+1， 可得：y＝（x﹣m）2+m+1 ∴图象C的顶点坐标为（m，m+1）； （2）当 y＝0时， 可得：x2﹣2mx+m2+m+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m+1）， 整理得：Δ＝﹣4（m+1）， 当m＜﹣1时，Δ＝﹣4（m+1）＞0， ∴方程x2﹣2mx+m2+m+1＝0有两个不相等的实数根， ∴图象C与x轴有两个交点； （3）①当m＞0时， 设点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，5m）， 一次函数y＝mx+m（m是常数，m≠0，﹣1≤x≤4）的图象为线段AB， 当x＝﹣1时，y＝0， 当x＝4时，y＝5m， 依题意，图象C与线段AB恰有一个公共点，如图， 当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣m）2+m+1≥0， 解得：m≥﹣1或m≤﹣2， 当x＝4时，y＝（4﹣m）2+m+1＜5m， 解得：6m＜6； ∴； ②当m＜0时， ， 解得：﹣2≤m≤﹣1， 当一次函数y＝mx+m与二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1联立方程， 得x2﹣2mx+m2+m+1＝mx+m一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得x2﹣3mx+m2+1＝0， Δ＝（3m）2﹣4×（m2+1）＝0， 解得， 此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去）， 综上所述，6m≤6或﹣2≤m≤﹣1或m时，图象C与线段AB恰有一个公共点． 2．（2025•建邺区一模）已知二次函数y＝ax2﹣a2x（a为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）该函数图象的对称轴是直线x＝ 　 　 （用含a的代数式表示）． （3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上．对于2≤x1≤3，2a≤x2≤2a+1，都有y1＜y2，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）见证明； （2）； （3）a的取值范围是a或﹣2＜a＜0． 【分析】（1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用对称轴公式求得即可； （3）分两种情况讨论，根据二次函数的增减性列出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【解答】（1）证明：由题知， （﹣a2）2﹣4a×0＝a4， 因为a≠0， 所以a4＞0， 故该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）解：二次函数y＝ax2﹣a2x（a为常数）的对称轴为直线xa； 故答案为：． （3）解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，对称轴为直线xa， ∴点B（x2，y2）关于对称轴的对称点为（a﹣x2，y2）， ∵2a≤x2≤2a+1， ∴﹣a﹣1≤a﹣x2≤﹣a， ∵对于2≤x1≤3，2a≤x2≤2a+1，都有y1＜y2， ∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴2a＞3或﹣a﹣1＞3， 解得a； 当a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴2a+1＜2或﹣a＜2，解得﹣2＜a＜0， 综上，a的取值范围是a或﹣2＜a＜0． 3．（2025•秦淮区一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5）． （1）求m的值； （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围； （3）将该函数的图象沿着x轴向右平移得到一个新函数的图象，当2≤x≤6时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）m＝5；（2）﹣4≤y≤5；（3）平移的距离为3． 【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5），可得5＝5×（6﹣m），进而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，从而当x＝3时，y取最小值为﹣4，结合当x＝2时，y＝﹣3；当x＝6时，y＝5，进而可以判断得解； （3）依据题意，由二次函数为y＝（x﹣3）2﹣4，从而可设向右平移后得到的新函数为y＝（x﹣3﹣m）2﹣4（m＞0），故新抛物线的对称轴是直线x＝3+m，进而分当2≤3+m≤6时和当3+m＞6时两种情形讨论计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5）， ∴5＝5×（6﹣m）． ∴m＝5． （2）由（1）可得二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴当x＝3时，y取最小值为﹣4． 又∵当x＝2时，y＝﹣3；当x＝6时，y＝5， ∴当2≤x≤6时，﹣4≤y≤5． （3）由题意，∵二次函数为y＝（x﹣3）2﹣4， ∴可设向右平移后得到的新函数为y＝（x﹣3﹣m）2﹣4（m＞0）． ∴新抛物线的对称轴是直线x＝3+m． ①当2≤3+m≤6时，即0＜m≤3， 又∵若当x＝2时，y＝（2﹣3﹣m）2﹣4＝12，则m＝3或m＝﹣5（不合题意，舍去）； 若当x＝6时，y＝（6﹣3﹣m）2﹣4＝12，则m＝7（不合题意，舍去）或m＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴m＝3． ②当3+m＞6时，即m＞3， ∵当x＜3+m时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y＝（2﹣3﹣m）2﹣4＝12，则m＝3或m＝﹣5，均不合题意，舍去． 综上，m＝3． 答：平移的距离为3． 4．（2025•玄武区一模）A，B是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是该函数图象的顶点，顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h． （1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为　 　 ； （2）当2≤h≤4时，求证：； （3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为﹣1，则a的值是　 　 ． 【答案】（1）1； （2）； （3）． 【分析】（1）根据题意可设抛物线表达式为y＝ax2，再找出B点的坐标，代入解析式，即可求得a的值； （2）设顶点C的坐标为（m，n），则函数的表达式为y＝a（x﹣m）2+n，由题意可得B点坐标为（m+h，n+h），将点B（m+h，n+h）代入函数表达式，得：n+h＝a（m+h﹣m）2+n，即得a，即可解得a的范围； （3）抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+4﹣h（a＞0），代入点B（2h，4），得ah2﹣h＝0，故h.最后再根据对称轴和区间的不同位置展开分类讨论即可． 【解答】（1）解：∵顶点C的坐标为（0，0）， ∴设抛物线表达式为y＝ax2， 且A、B两点关于y轴对称，AB＝2， 故h＝1，点C到AB距离为1， ∴点B坐标为（1，1），代入y＝ax2中，可得a＝1； 故答案为：1． （2）证明：（法一）设顶点C的坐标为（m，n），则函数的表达式为y＝a（x﹣m）2+n， ∵点C到直线AB的距离为h，AB＝2h， 设A在B的左侧，则B点坐标为（m+h，n+h）， 将点B（m+h，n+h）代入函数表达式，得：n+h＝a（m+h﹣m）2+n， 故a， 当2≤h≤4时，则， 即； （法二）平移函数y＝ax2+bx+c的图象，使其顶点与原点O重合， 则新函数的表达式应为y＝ax2，顶点C的对应点即是原点O， 设点A的对应点为A'，点B的对应点为B'， 则A'B'＝AB＝2h，点O到直线A'B'的距离为h， 设点A在点B的左侧，则点B'的坐标为（h，h）， 将点B'（h，h）代入y＝ax2中，可得a， 当2≤h≤4时，则， 即； （3）解：∵点A的坐标为（0，4），AB＝2h，点C到直线AB的距离为h， ∴设B（2h，4），C（h，4﹣h）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+4﹣h（a＞0），代入点B（2h，4）， 得ah2﹣h＝0， 故h． 当0时，不成立，故舍去； 当时，即a时，此时当x时，ymin＝41，解得a（舍去）； 当4时，即时，此时当x＝4时，ymin＝a（4）2+41，解得a． 综上，a的值为． 故答案为． 5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）． ①若函数图象恰好经过点M，求a的值； ②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）抛物线对称轴为直线x＝2； （2）①a；②0＜a或a＜0． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标，根据A、B关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴； （2）①根据对称轴公式求得b＝﹣4a，则y＝ax2﹣4ax﹣a，代入M（1，1﹣a）即可求得a的值； ②根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A， ∴A（0，﹣a）， 点A向右平移4个单位长度，得到点B（4，﹣a）， ∴点B（4，﹣a）； ∵A与B关于对称轴为直线x＝2对称， ∴抛物线对称轴为直线x＝2； （2）①∵对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴b＝4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣a， ∵函数图象恰好经过点M（1，1﹣a）， ∴1﹣a＝a﹣4a﹣a， ∴a； ②当a＞0时，抛物线开口向上， ∴﹣3≤﹣4a， 解得a， 故0＜a， 当a＜0时，抛物线开口向下， ∴1﹣a≥﹣4a， 解得a， 故a＜0， 综上，若函数图象与线段MN只有一个交点，a的取值范围是0＜a或a＜0． 6．（2024•鼓楼区二模）已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）． （1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知A（m，2），B（5，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为（﹣1，﹣7）； （2）定点坐标为（2，2），（﹣2，﹣6）． （3）0＜m≤2或m＜0或m＝﹣0.5． 【分析】（1）把m＝1代入y＝mx2+2x﹣4m﹣2，求出顶点坐标即可； （2）把y＝mx2+2x﹣4m﹣2化为y＝m（x2﹣4）+2x﹣2，即可求出定点坐标； （3）根据题意，结合图象．即可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝1时， y＝x2+2x﹣6 ＝（x+1）2﹣7， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣7）； （2）∵y＝mx2+2x﹣4m﹣2＝m（x2﹣4）+2x﹣2， ∴当x2﹣4＝0时，即x＝2或x＝﹣2时，y的值与m无关， ∴当x＝2时，y＝2， x＝﹣2时，y＝﹣6， ∴定点坐标为（2，2），（﹣2，﹣6）． （3）y＝mx2+2x﹣4m﹣2， 当y＝2时，2＝mx2+2x﹣4m﹣2， 即mx2+2x﹣4m﹣4＝0， 当Δ＝0时，x1＝x2＝2，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． 4﹣4m（﹣4m﹣4）＝0， m＝﹣0.5． 当Δ＞0时， ∵x1＝2， ∴x22， ∴抛物线与直线y＝2的两交点坐标为（2，2），（2，2）． ①当m＞0时，抛物线开口向上，过（2，2），（﹣2，﹣6）两点， ∴2＜﹣2． ∴（2，2）在（2，2）的左边， 根据图象可知0＜m≤2时该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． ②m＜0时，抛物线开口向下，过（2，2），（﹣2，﹣6）两点， ∴2＞5， ∴m． ∴m＜0，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． 综上，当0＜m≤2或m＜0或m＝﹣0.5时，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． 7．（2023•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 　 　 ； （3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3； （2）2≤y＜6； （3）m的取值范围为m． 【分析】（1）把（2，3）代入解析式求出a即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据已知条件结合二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）， ∴4+2（a﹣2）+3＝3， 解得a＝0， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3； （2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y的最小值为2， 当x＝0时，y＝3， 当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6， ∴0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6， 故答案为：2≤y＜6； （3）∵点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）且y1＞y2，对称轴为直线x＝1， ∴1， 解得m， ∴m的取值范围为m． 8．（2023•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3． （1）该抛物线经过一个定点：　 　 （写出坐标）； （2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N． ①若N＝3，求k的值； ②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围． 【答案】（1）（0，3）． （2）①k的值为2． ②N的取值范围为． 【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得到y＝x（x+k﹣2）+3，即可得到当x＝0时，y＝3，即可得出答案． （2）①由二次函数图象的顶点公式可求得k值； ②已知k的取值范围，可求得顶点纵坐标的取值范围，也就得到N的取值范围． 【解答】（1）解：∵y＝x2+（k﹣2）x+3， ∴y＝x（x+k﹣2）+3， ∴当x＝0时，y＝3， ∴无论k取何值，抛物线经过（0，3）． 故答案为：（0，3）． （2）①∵y＝x2+（k﹣2）x+3，a＝1＞0， ∴二次函数的图象是开口向上的，点P为顶点时的n最小， ∵N＝3， ∴， 解得k＝2， 答：k的值为2． ②∵﹣1＜k＜3， ∴0≤（k﹣2）2＜9， ∴﹣9＜﹣（k﹣2）2≤0， ∵， ∴． 答：N的取值范围为． 9．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）． （1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　 　 ； ②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　 　 ； ③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　 　 ． （2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值． 【答案】（1）①（1，2）；②2；③3； （2），． 【分析】（1）①把m＝1代入，得y＝x2﹣2x+3，利用顶点坐标公式求解即可； ②y＝x2﹣2x+3，对称轴是直线x＝1，在0≤x≤4之间，故可求最小值； ③y＝x2﹣2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值； （2）根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可． 【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3， ①y＝x2﹣2x+3 ＝x2﹣2x+1+2， ＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； ②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， 所以最小值为2， 故答案为：2； ③y＝x2﹣2x+3， 当2≤x≤5时，在对称轴为直线x＝1的右侧， y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3， 故答案为：3； （2）∵对称轴为x， 当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝﹣1时，有最小值1， ∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3， 解得m； 当﹣1≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝m时，有最小值1， ∴1＝m2﹣2m×m+3， ∴m， ∵﹣1≤m≤3， ∴m； 当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝3时，有最小值1， ∴1＝32﹣2m×3+3， 解得m3，舍去． 综上所述，m或． 10．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 【答案】（1）y＝2.5x2+2x； （2）6s． 【分析】（1）设y＝ax2+bx，由待定系数法求出a、b的值，即可解决问题； （2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方，此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′，过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，此时运动员滑行到点C，则BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t），过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E，由锐角三角函数定义求出AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t，则AE＝AG﹣EG＝2.25t2﹣4.5t，再由锐角三角函数定义得3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t），求出t的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）猜想y与x是二次函数关系， 设y＝ax2+bx， 把（1，4.5）（2，14）代入得：， 解得：， ∴y＝2.5x2+2x， 当x＝3时，y＝2.5×9+6＝28.5， 当x＝4时，y＝2.5×16+8＝48， ∴y＝2.5x2+2x符合题意， ∴y与x之间的函数表达式为：y＝2.5x2+2x； （2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方， 此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′， 过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，如图所示： 此时运动员滑行到点C， ∴BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t）， 过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E， 则四边形AFDG与四边形PEGP′都是矩形， ∵AB＝500m，∠ABF＝26°， ∴AF＝GD＝AB×sin26°≈500×0.44＝220（m），∠GAC＝∠ABF＝26°， ∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停， ∴PE＝P′G＝292﹣AF＝292﹣220＝72（m）， 在Rt△AGC中，AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t， ∴AE＝AG﹣EG＝2.25t2+1.8t﹣6.3t＝2.25t2﹣4.5t， 在Rt△APE中，tan53°， ∴3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t）， 解得：t1＝6，t2＝﹣4（不合题意舍去）， ∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方． 押题猜想九 代数推理 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】已知a＞b，比较与的大小． 【分析】利用作差法、作商法、面积法分类讨论比较大小． 【解答】解：（1）∵a＞b＞0， ∴b﹣a＜0，b（b+1）＞0． ∴0． ∴． （2）∵0＞a＞b＞－1， ∴b﹣a＜0，b（b+1）＜0． ∴0． ∴． （3）∵－1＞a＞b， ∴b﹣a＜0，b（b+1）＞0． ∴0． ∴． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，代数推理是近几年对学生核心素养提升的最新要求（2021第5题、2022第5题、第27题新定义变换、2023第27题新定义几何变换中的代数推理、2024第2、15题、2025第20题）。代数推理渗透范围广，以各种形式渗透在试卷中——选择题的选项辨析、填空题的代数表达式推导、解答题中函数与几何的综合应用，含参二次函数、实际情境建模、新定义理解是代数推理题的三大核心题型，体现了注重概念理解和即时学习能力的命题导向。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）计算结果为23a的式子是（　　） A．2a+2a+2a B．2a×2a×2a C．2a×2a+2a D．2a×（2a+2a） 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法分别运算即可判断求解． 【解答】解：根据整式的相关运算法则，逐项运算判断如下： A、2a+2a+2a＝3×2a，该选项不合题意； B、2a×2a×2a＝2a+a+a＝23a，该选项符合题意； C、2a×2a+2a＝22a+2a，该选项不合题意； D、2a×（2a+2a）＝2a×2a+1＝22a+1，该选项不合题意； 故选B． 2．（2025•秦淮区一模）若代数式M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，则M和N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 【答案】C 【分析】因为M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，所以M﹣N＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a）＝a2+1，因为a2≥0，所以a2+1≥1，所以M﹣N＞0，所以M＞N． 【解答】解：因为M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a， 所以M﹣N ＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a） ＝﹣2a2+4a+1+3a2﹣4a ＝a2+1， 因为a2≥0， 所以a2+1≥1， 所以M﹣N＞0， 所以M＞N． 故选C． 3．（2024•鼓楼区一模）若a8（a为大于1的整数），则n的值是 　　 ． 【答案】7． 【分析】根据合并同类项法则进行化简后可得a•an＝an+1＝a8，计算出n值即可． 【解答】解：根据题意得：a•an＝an+1＝a8， ∴n+1＝8， ∴n＝7． 故答案为：7． 4．（2023•鼓楼区一模）要使反比例函数y的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 　 　 （只填序号）． ①向上平移3个单位长度； ②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③沿直线y＝3轴对称； ④先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度． 【答案】②③． 【分析】①根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断； ②根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断； ③求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4），即可判断； ④求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x＝2代入y得y＝3，即可判断． 【解答】解：①反比例函数y的图象向上平移3个单位长度得到y3， ∵x＝3时，则y5， ∴方案①不可行； ②反比例函数y的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y， ∵x＝3时，y2＝4， ∴方案②可行； ③把x＝3代入y得，y＝2， ∴点（3，2）在反比例函数的图象上， ∵点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4）， ∴反比例函数y的图象沿直线y＝3轴对称得到的图象经过点（3，4）， ∴方案③可行； ④把x＝3代入y得，y＝2， ∴点（3，2）在反比例函数的图象上， ∵点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2）， 把x＝2代入y得y＝3， ∴反比例函数y的图象先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4）， ∴方案④不可行； 故答案为②③． 5．（2023•鼓楼区二模）已知整式M＝a2﹣2a，下列关于整式M的值的结论： ①M的值可能为4； ②当a为小于0的实数时，M的值大于0； ③不存在这样的实数a，使得M的值小于﹣1． 其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 【答案】①②③． 【分析】当M＝4时，a2﹣2a＝4，然后整理得：a2﹣2a﹣4＝0，再计算出Δ的值，即可判断①；根据已知可得M＝a2﹣2a＝a（a﹣2），再根据有理数的乘法法则进行计算，即可判断②；利用完全平方公式进行计算，即可判断③． 【解答】解：①当M＝4时，a2﹣2a＝4， 整理得：a2﹣2a﹣4＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝4+16＝20＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴M的值可能为4， 故①正确； ②M＝a2﹣2a＝a（a﹣2）， ∵a＜0， ∴a﹣2＜0， ∴a（a﹣2）＞0， ∴M＞0， ∴当a为小于0的实数时，M的值大于0， 故②正确； ③M＝a2﹣2a＝a2﹣2a+1﹣1＝（a﹣1）2﹣1， ∵（a﹣1）2≥0， ∴（a﹣1）2﹣1≥﹣1， ∴M≥﹣1， ∴不存在这样的实数a，使得M的值小于﹣1， 故③正确； 所以，上列关于整式M的值的结论，其中所有正确结论的序号是①②③， 故答案为①②③． 6．（2025•建邺区一模）求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【分析】设x为奇数，则另一个奇数为x+2，根据平方差公式求证即可． 【解答】解：设两个连续的奇数分别为x、x+2， ∴（x+2）2﹣x2 ＝（x+2﹣x）（x+2+x） ＝2（2x+2） ＝4（x+1） ∵x为奇数， ∴x+1为偶数， ∴4（x+1）是8的倍数． 7．（2025•南京一模）代数式A＝mx+2，代数式B＝2m+1． （1）当m＝3时，若A＜B，则x的取值范围是　 　 ； （2）若m＜0，x＜2，判断代数式A与B的大小，并说明理由； （3）将“A与B的差”记为C，即C＝A﹣B．当﹣3≤x≤3时，要使C的值满足﹣3≤C≤3，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）A＞B；（3）． 【分析】（1）将m＝3代入A、B的式子中，求出A＝3x+2，B＝7，利用A＜B，得出不等式3x+2＜7，求出x的取值范围； （2）因为A＝mx+2，B＝2m+1，所以A﹣B＝mx+2﹣（2m+1）＝m（x﹣2）+1，因为m＜0，x＜2，所以m（x﹣2）+1＞0，所以A﹣B＞0，得出A＞B； （3）求出C＝m（x﹣2）+1，分成m＞0、m＝0、m＜0三种情况讨论，确保﹣3≤x≤3，﹣3≤C≤3，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）因为A＝mx+2，B＝2m+1， 当m＝3时，A＝3x+2，B＝7， 因为A＜B， 所以3x+2＜7， 3x＜5， ． （2）因为A＝mx+2，B＝2m+1， 所以A﹣B＝mx+2﹣（2m+1） ＝mx+2﹣2m﹣1 ＝mx﹣2m+1 ＝m（x﹣2）+1， 因为m＜0，x＜2， 所以x﹣2＜0， 所以m（x﹣2）＞0， 所以m（x﹣2）+1＞0， 所以A﹣B＞0， 即A＞B． （3）因为A＝mx+2，B＝2m+1， 所以C＝A﹣B ＝mx+2﹣（2m+1） ＝mx﹣2m+1 ＝m（x﹣2）+1， 因为﹣3≤x≤3，﹣3≤C≤3， 当m＞0时，C随着x的增大而增大， 当x＝3时，C的最大值是m+1， 当x＝﹣3时，C的最小值是﹣5m+1， 可得m+1≤3，﹣5m+1≥﹣3， 得：， 当m＝0时，C＝1，满足﹣3≤C≤3， 所以m＝0满足题意． 当m＜0时，C随着x的增大而减小， 当x＝﹣3时，C的最大值是﹣5m+1， 当x＝3时，C的最小值是m+1， 可得﹣5m+1≤3，m+1≥﹣3， 解得：， 综上． 8．（2024•鼓楼区二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：4.9，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． （1）按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； （2）结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】（1）的近似值为6.6； （2）见解答． 【分析】（1）根据题目中给定的运算法则进行估算即可； （2）设a，其中|a|＜1，利用完全平方公式即可证得结论． 【解答】解：（1）根据题意得：6.6， ∴的近似值为6.6；． （2）∵，m是最接近n的完全平方数， ∴设a，其中|a|＜1， ∴a， 两边分别平方，得：n﹣2m＝a2， ∵|a|＜1， ∴a2的值会更接近于0，不妨设a2近似为0， ∴n﹣2m≈0， ∴2n+m， ∴． 9．（2023•鼓楼区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． （1）用“＞、＝、＜”号填空：k　　 0，b　　 0； （2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹） ①y＝kx﹣b； ②y＝2kx+2b； ③y＝﹣kx+2b． 【答案】（1）＞，＜； （2）①图见解析； ②图见解析； ③图见解析． 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象即可确定答案； （2）①在y轴正半轴上截取OC＝OB，过点C作直线l∥AB，则直线l即为所求； ②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求； ③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求． 【解答】解：（1）由函数图象可知，k＞0，b＜0， 故答案为：＞，＜； （2）①在y轴正半轴上截取OC＝OB，过点C作直线l∥AB，则直线l即为所求，如图所示： ②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求，如图所示： ③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求，如图所示： 10．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由． 【分析】设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1，根据因式分解化简即可得出答案． 【解答】解：一定能被9整除．理由如下： 设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1， a2+4a+4 ＝（a+2）2 ＝（3b+3）2 ＝[3（b+1）]2 ＝9（b+1）2， ∴a2+4a+4一定能被9整除． 押题猜想十 圆的综合证明 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形—如图（2），将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点P、线段AB，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线l、点O、点F1和F2．已知l垂直平分AB，垂足为O，OF1＝OF2＝10cm．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线PC，其折射光线CD经过点F2；经过光心的入射光线PO，其传播方向不变（即OE与PO在同一条直线上）．CD与OE的交点Q即为点P的像． （1）若点P到直线l的距离为5cm，到AB的距离为15cm，求其像Q到AB的距离． （2）点M在OF1的延长线上，MF1＝5cm，点P在半径为5cm的⊙M上移动（⊙M与AB在同一平面内，点P不与点F1重合）． ①如图（3），光屏GH∥AB，用直尺和圆规作一个点P，使其像Q恰在GH上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点P的像Q到直线l、AB的距离分别为xcm，ycm，直接写出y与x之间的函数表达式． 【答案】（1）像Q到AB的距离为30cm；（2）①见解析；②． 【分析】（1）过点Q作QN⊥AB，垂足为N，根据相似三角形的判定和性质得出△POC∽△QON，QN＝3ON，△COF2∽△CNQ，，求解即可； （2）①以点F2为圆形，OI为半径画弧，交GH于点M，连接MF2并延长交AB于点N，在AB左侧作与AB平行且距离为F2N的长长的直线m，取m与⊙M的一个交点即为点P； ②根据题意得：QI＝x，IO＝y，OF2＝10cm，利用相似三角形的判定和性质得出，，得出，再由勾股定理及得出相应关系式． 【解答】解：（1）过点Q作QN⊥AB，垂足为N，如图所示： 根据题意得：PC＝15cm，CO＝5cm，OF2＝10cm， ∵PC⊥AB，QN⊥AB， ∴∠PCO＝∠QNO＝90°， ∵∠POC＝∠QON， ∴△POC∽△QON， ∴， ∴， ∴QN＝3ON，OF2∥QN， ∴△COF2∽△CNQ， ∴， ∴， ∴ON＝10， ∴QN＝30cm， ∴像Q到AB的距离为30cm； （2）①如图，点P即为所求， 作法提示：以点F2为圆形，OI为半径画弧，交GH于点M， 连接MF2并延长交AB于点N， 在AB左侧作与AB平行且距离为F2N的长的直线m， 取m与⊙M的一个交点为点P； ②根据题意得：QI＝x，IO＝y，OF2＝10cm， ∵AB⊥l，GH⊥l， ∴∠COF2＝∠QIF＝90°，∠CF2O＝∠QF2I， ∴△COF2∽△QIF2， ∴， ∴， ∴， 同理得△PEO∽△QIO， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△MEP中，ME2+PE2＝MP2， ∴， 整理得：． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，圆的综合题每年必考（2021第12、27题，2022第24题，2023第26题，2024第20题，2025第23题），涉及切线、垂径定理、圆周角、弧长、扇形面积等。圆是几何综合的载体，常与相似三角形、勾股定理结合，是中考中等难度解答题。值得注意的是辅助线作法及几何模型的构建，遇到中点弧，想到垂径定理；切线垂直半径；直径所对圆周角90°；求阴影面积常用割补法或和差法。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，在CA的延长线上取点F，使BA平分∠FBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝5，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AB＝6． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ABD+∠D＝90°，进而可得∠ABD+∠ABF＝90°，即得∠DBF＝90°，即可求证； （2）由已知得AD＝9，再由△ABE∽△ADB得代入计算即可求解． 【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠D＝90°， ∵∠C＝∠D， ∴∠ABD+∠C＝90°， ∵BA平分∠FBC， ∴∠ABF＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠ABD+∠ABF＝90°， ∴∠DBF＝90°， 即DB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4，ED＝5， ∴AD＝4+5＝9， 由（1）知，∠C＝∠D，∠ABC＝∠C， ∴∠ABC＝∠D， 即∠ABE＝∠D， 又∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴， 即， 解得AB＝6． 2．（2025•玄武区一模）光的折射． 物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即n＝ ． 【概念理解】 （1）如图①，若入射角α的度数为60°，折射率，求折射角β的度数． （2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率n＝2，PA是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线AQ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板AB，且M是AB的中点；在直线l下方有一个圆形区域⊙O，且⊙O与AB相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板AB的遮挡，使得折射光线不能进入⊙O的内部，已知⊙O的半径为，AB＝2．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射） ①点光源P到直线l的距离的最大值是　 　 ； ②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而　 　 ．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）30°； （2）过程详见解答； （3）①； ②变小． 【分析】（1）把α＝60°和n代入求得结果； （2）因为sinα＝2sinβ，所以只要斜边相同，对边满足2倍关系即可； （3）①过点A和点B作⊙O的切线，交于点E，P在直线AE上，当点光源发出的光线折射的光线是AC时，此时PM的值是点光源P到直线l的距离的最大值，进一步得出结果； ②因为n越大，β越大，tanβ越大，PM，所以PM越小，进而得出结果． 【解答】解：（1）由得， sinβ， ∴β＝30°； （2）如图1 ， ①在AP上任取一点B，作BC⊥法线于C， ②以A为圆心，OB长为半径画⊙O， ③作BC的垂直平分线MN，交⊙O于D， ④作射线DA，交⊙O于Q， 则AQ就是求作的图形； （3）①如图3， 过点A和点B作⊙O的切线，交于点E，P在直线AE上，当点光源发出的光线折射的光线是AC时，此时PM的值是点光源P到直线l的距离的最大值， ∵tan∠BAO， ∴∠BAO＝60°， ∵AB是⊙O的切线， ∴∠CAO＝∠BAO＝60°， ∴β＝90°﹣∠BAO＝30°， ∵， ∴， ∴sinα， ∴， ∴， ∴AP， ∴PM， 故答案为：； ②∵n越大，β越大，tanβ越大，PM， ∴PM越小， ∵S区域， ∴满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而减小， 故答案为：变小． 3．（2025•玄武区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC，且与BO的延长线交于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）连接AO并延长与交于点M，连接BM并延长与AC的延长线交于点N． ①求证：∠D＝∠N； ②若⊙O的半径为5，，则CN的长为　 　 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②． 【分析】（1）连接AO并延长交BC于点E，利用垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）①连接OC，利用垂径定理和圆周角定理得到∠BOM＝∠CPM＝∠BAC，利用平行线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； ②连接CM，利用直角三角形的边角关系定理，对顶角相等的性质得到tan∠BOE＝tan∠AOD，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠BOE，设BE＝4k，则OE＝3k，利用勾股定理求得BM，CM，再利用圆的内接四边形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接AO并延长交BC于点E，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴OE⊥BC， ∵AD∥BC， ∴AD⊥OA， ∵OA为⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）①证明：连接OC，如图， 由（1）知：AM⊥BC，OA⊥AD， ∴， ∴∠BAM＝∠CAM，∠BOM＝∠COM， ∵∠COM＝2∠CAM， ∴∠BOM＝∠CPM＝∠BAC． ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠OBE． ∵AM为⊙O的直径， ∴∠ABM＝90°， ∴∠BAC+∠N＝90°， ∵∠OBE+∠BOM＝90°， ∴∠N＝∠OBE， ∴∠D＝∠N； ②解：连接CM，如图， 由（1）知：OA⊥AD， ∴tan∠AOD， ∵∠BOE＝∠AOD， ∴tan∠BOE＝tan∠AOD， ∴tan∠BOE， ∴设BE＝4k，则OE＝3k， ∴OB5k＝5， ∴k＝1， ∴OE＝3，BE＝4， ∴EM＝OM﹣OE＝5﹣3＝2， ∴BM2． 由（2）①知：∠BAM＝∠CAM， ∴， ∴． ∵AM为⊙O的直径， ∴∠ACM＝∠MCN＝90°， ∵四边形ABMC为圆的内接四边形， ∴∠CMN＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠BOE， ∴∠CMN＝∠BOE． ∴tan∠CMN＝tan∠BOE， ∴tan∠CMN． ∴， ∴CN． 故答案为：． 4．（2025•南京一模）如图，⊙O的半径为r，点P在⊙O外．按下列要求分别求作一条直线l，使l过点P，并交⊙O于点A，B． （1）PB﹣PA＝r； （2）PB+PA＝2r． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【分析】（1）连接PO，以PO为边，在PO上方作等边△POQ，作△POQ的外接圆⊙O'交于点B，连接PB交⊙O于点A即可； （2）连接PO，以PO为直径作⊙O'，以P为圆心，r为半径画弧交⊙O'于Q，连接AQ交⊙O于点A，延长AQ交⊙O于点B即可． 【解答】解：（1）如图，直线l即为所求， 作法提示：①连接OP，在OP上方作等边三角形POQ， ②作△POQ的外接圆⊙O'，交⊙O于点B， ③作直线l经过点P和点B交⊙O于点A， 则直线l即为所求； 理由：由作图知，⊙O'是等边△POQ的外接圆， ∴∠PBO＝∠PQO＝60°， 连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝r， ∴PB﹣PA＝AB＝r； （2）如图，点A、B即为所求， 作法提示：①连接PO，以PO为直径作⊙O'， ②以P为圆心，r为半径画弧交⊙O'于Q， ③过点P和点Q作直线l，交⊙O于点A，点B， 直线l即为所求； 理由：由作图知，PQ＝r，连接OQ， ∵PO是⊙O的直径， ∴∠PQO＝90°，即OQ⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AQ＝BQ， ∴PA+PB＝（PQ﹣AQ）+（PQ+BQ）＝2PQ＝2r． 5．（2025•南京一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的切线，且AD∥BC，作射线DB交⊙O于点E，连接EA交BC于点G，连接EC． （1）求证AB＝AC； （2）作CF平分∠BCE，交AE于点F，． ①判断AF与AC的数量关系，并求的值； ②若CF∥AB，CF＝3，则⊙O的半径为　 　 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）①AF与AC的数量关系为AF＝AC．理由见解析；②2． 【分析】（1）利用弦切角定理，平行线的性质定理和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）①利用角平分线的定义，圆周角定理和等腰三角形的判定定理得到AF＝AC；设GF＝a，则AG＝2a，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用角平分线的性质定理解答即可得出结论； ②连接OA，OB，OA与BC交于点H，利用相似三角形的 判定与性质得到AE＝9，EG＝AE﹣AG＝5；再利用相似三角形的判定与性质求得CG，BG＝2，则BC＝BG+CG＝3，利用垂径定理和勾股定理求得AH，设⊙O的半径为r，则OH＝r，利用勾股定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线， ∴∠DAB＝∠ACB． ∵AD∥BC， ∴∠ABC＝∠DAB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）解：①AF与AC的数量关系为AF＝AC．理由： ∵CF平分∠BCE， ∴∠GCF＝∠ECF， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠ACB＝∠AEC． ∵∠ACF＝∠ACB+∠GCF，∠AFC＝∠AEC+∠ECF， ∴∠ACF＝∠AFC， ∴AF＝AC； ∵， ∴设GF＝a，则AG＝2a， ∴AC＝AF＝AG+FG＝3a， ∴AB＝AC＝3a． ∵∠ABC＝∠AEC，∠AGB＝∠CGE， ∴△ABG∽△CEG， ∴， ∴． 过点F作FH∥CG，交EC于点H，如图， ∵FH∥CG， ∴∠CFH＝∠GCF， ∵CF平分∠BCE， ∴∠GCF＝∠FCH， ∴∠CFH＝∠FCH， ∴FH＝CH， ∵FH∥CG， ∴，△EFH∽△FGC， ∴，， ∴； ②连接OA，OB，OA与BC交于点H，如图， ∵AD是⊙O的切线， ∴OA⊥AD， ∵AD∥BC， ∴OA⊥BC， ∴BH＝CH， ∵CF∥AB， ∴∠ABC＝∠GCF， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠GCF＝∠ECF＝∠AEC， ∵∠ACB＝∠GCF， ∴， ∴AC＝2CF＝6， ∴AF＝AC＝6， ∴AG4， ∴FG＝2． ∵∠CAG＝∠EAC，∠ACB＝∠AEC， ∴△AGC∽△ACE， ∴， ∴， ∴AE＝9， ∴EG＝AE﹣AG＝5． ∵∠AFC＝∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝∠BCF+∠ECF＝∠GCE， ∵∠CGF＝∠EGC， ∴△CGF∽△EGC， ∴， ∴， ∴CG． ∵∠AGB＝∠CGE，∠BAE＝∠BCE， ∴△ABG∽△CEG， ∴， ∴， ∴BG＝2． ∴BC＝BG+CG＝3． ∴BH． ∴AH． 设⊙O的半径为r，则OH＝r， ∵OB2＝HO2+BH2， ∴， ∴r＝2． 故答案为：2． 6．（2025•秦淮区一模）已知在菱形ABCD中，AB＝3，过点A，B，D作⊙O． （1）如图（1），当∠A＝60°时，求证：CD，CB都与⊙O相切； （2）如图（2），当60°＜∠DAB＜90°时，BC与⊙O交于点E，连接AE． ①随着∠DAB度数的增大，下列说法正确的是A ． A．⊙O的半径与AE的长都增大 B．⊙O的半径增大，AE的长先增大后减小 C．⊙O的半径先增大后减小，AE的长增大 D．⊙O的半径与AE的长都先增大后减小 ②当AE＝4时，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）①A；②． 【分析】（1）如图（1），连接OB，OD，BD．由菱形的性质可得 AB＝AD＝CB＝CD、∠A＝∠C＝60°易得△CDB是等边三角形，再根据等边三角形的性质以及角的和差可得OD⊥CD，即可CD与⊙O相切．同理可证CB与⊙O相切； （2）①设⊙O的半径为r．根据菱形的性质以及平行线的性质可得∠AEB＝∠DAE，再根据弧、弦、圆周角的关系得到AD＝ED＝3，易得DO垂直平分AE，即∠DNE＝90°，，AE＝2AN；经分析可知随着∠DAB度数的增大，∠AON也随之变大，然后运用解直角三角形以及勾股定理判定⊙O的半径与AE的长的变化情况即可解答； ②结合①易得，然后运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OB，OA，OD，BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CB＝CD，∠DAB＝∠C＝60°， ∴△CDB是等边三角形， ∴∠CDB＝60°， ∵∠DAB＝60°， ∴∠DOB＝120°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠CDO＝∠CDB+∠ODB＝60°+30°＝90°，即OD⊥CD， ∵点D在⊙O上， ∴CD与⊙O相切． 同理可得：CB与⊙O相切； （2）解：①设⊙O的半径为r， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，AB＝AD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴， ∴ED＝AB， ∴AD＝ED＝3， 又∵OA＝OE， ∴DO垂直平分AE， ∴∠DNE＝90°，，AE＝2AN， ∵当60°＜∠DAB＜90°时， ∴随着∠DAB度数的增大，∠AON 也随之变大， ∴AE＝2AN＝2•AD•sin∠ADN＝6sin∠ADN，DN＝AD•cos∠ADN＝3cos∠ADN， ∵sin∠ADN随∠ADN的增大而增大， ∴AE随着∠DAB度数的增大而增大，ON＝DN﹣r＝3cos∠ADN﹣r， 在Rt△ONE中，∠ONE＝90°， ∴ON2+EN2＝OE2， ∴（3cos∠ADN﹣r）2+（3sin∠ADN）2＝r2， 解得：， ∵cos∠ADN 随∠ADN的增大而减小， ∴r随着∠DAB 度数的增大而增大， 故答案为：A； ②如图，连接DE，OA，OE，连接DO并延长，交AE于点N， 设⊙O的半径为r， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，AB＝AD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴， ∴ED＝AB， ∴AD＝ED＝3， 又∵OA＝OE， ∴DO垂直平分AE， ∴∠DNE＝90°，， 在Rt△DNE中，∠DNE＝90°， ∴EN2+DN2＝DE2， ∴22+DN2＝32， 解得：， 在Rt△ONE中，∠ONE＝90°， ∴ON2+EN2＝OE2， ∴， 解得． 7．（2025•秦淮区一模）身高1.6m的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯MN，其光源N到地面的距离为4.8m． （1）如图（1），步道为直线型（记为直线PQ）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线NB与地面的夹角（∠MBN）以及影子和步道的夹角（∠BAP）均为30°，则影子顶端（点B）到步道的距离（BC）为　　 m； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． （2）如图（2），步道为圆型（记为⊙O），其半径为4m．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】（1）①；②见解析； （2）12π m． 【分析】（1）①如图，由题意得，AE＝1.6m，∠BAP＝∠MBN＝30°，Rt△ABE中，BE＝2AE＝3.2m，，Rt△ABE中，，即可求解； ②作MD⊥PQ，垂足为D，设小明头顶为E，由题意得，AE∥MN，则△BAE∽△BMN，得到，再由垂直得到△BAC∽△MAD，推出，即，MD是定值，BC是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接OA，过D作GD∥OA交MO延长线于G，由题意得，AE∥MN，则△DAE∽△DMN，，再由GD∥OA，得到△MDG∽△MAO，得到，则由MO是定值，得到MG是定值，即G位置固定不变，由⊙O半径为4m，即OA＝4，得到，确定点D运动轨迹为以G为圆心，DG＝6为半径的圆，据此求解即可． 【解答】解：（1）①如图，由题意得，AE＝1.6m， 当小明步行到点A处时，路灯光线NB与地面的夹角（∠MBN）以及影子和步道的夹角（∠BAP）均为30°时，即∠BAP＝∠MBN＝30°， ∴Rt△ABE中，BE＝2AE＝3.2m，， ∴Rt△ABE中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（BC）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作MD⊥PQ，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，AE∥MN， ∴△BAE∽△BMN， ∴， ∴， ∵MD⊥PQ，BC⊥PQ， ∴∠BCA＝∠MDA＝90°， 又∵∠BAC＝∠MAD， ∴△BAC∽△MAD， ∴， ∴， ∵MD是定值， ∴BC是定值，即影子顶端到步道的距离不变； 方法二：如图，设小明头顶为E，当他走到PQ上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为DF，连接BF，作FH⊥PQ，垂足为H， 由题意得，AE∥MN∥GD，BC∥FH， ∴△BAE∽△BMN， ∴， 同理，， 又∵AE＝DG， ∴， ∴， 又∵∠AMD＝∠BMF， ∴△AMD∽△BMF， ∴∠MAD＝∠MBF， ∴AD∥BF， 又∵BC∥FH， ∴四边形BCHF是平行四边形， ∴HF＝BC， ∴HF是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）如图，设小明头顶为E，连接OA，过D作GD∥OA交MO延长线于G， 由题意得，AE∥MN， ∴△DAE∽△DMN， ∴， ∴， ∵GD∥OA， ∴△MDG∽△MAO， ∴， ∴，， ∵MO是定值， ∴MG是定值，即G位置固定不变， ∵⊙O半径为4m，即OA＝4， ∴， ∴点D运动轨迹为以G为圆心，DG＝6为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为2π×6＝12π m． 8．（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC交于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若BD＝3，AE＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）⊙O的半径为4.5． 【分析】（1）连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线． （2）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD、AD， ∵AB是直径， ∴AD⊥BC． ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠BAD． ∵∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BAC＝∠BOD， ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ODE＝∠AED＝90°， ∴半径OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝∠ADC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴ADC∽△DEC， ∴， ∴， ∴CE＝1或CE＝8（不合题意舍去）， ∴AB＝AC＝9， ∴⊙O的半径为4.5． 9．（2025•鼓楼区二模）【提出问题】 过平面内一点P画直线l平分已知△ABC的面积． 【发现问题】 根据点P与△ABC的位置不同，可以分成点P在△ABC边上、在△ABC内部、在△ABC外部三种情况． （1）当点P在△ABC边上 ①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法； ②若点P在△ABC的边AB上，如图②，小明取BC的中点D，连接PD，… 请根据小明的思路画出直线l，并简述画法． 【分析问题】 （2）当点P在△ABC的内部， 如图③，如何画出直线l呢？ 小红的画法： 第一步取BC的中点D； 第二步画△ABH∽△PBD； 第三步过点P画PI∥BC，交BH于点I； 第四步过P、I、H三点的圆交AB于点J； 第五步过点P画直线JP，交BC于点K． 则JK就是所求的直线l． 请说明小红画图的正确性． 【解决问题】 （3）当点P在△ABC的外部如图④，画出直线l，并简述画法． 【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形的面积即可得解； （2）过点A画直线AM∥PD，交BC于点M，画直线PM，PM就是所求的直线l； （3）连接连接JD、AK、AD．证△JBH∽△PBK，再证△IBD∽△ABK，进而推出S△BAD＝S△BKJ，即可得解； （4）第一步取AB的中点D；第二步画△CBH∽△PBD；第三步过点P画PI∥BA，交HB的延长线于点I；第四步过P、I、H三点的圆交CB于点J；第五步过点P作直线JP，交BA于点K．则JK就是所求的直线l． 【解答】解：（1）如图①，画法：取BC中点D，画直线AD，AD就是所求的直线l； （2）如图②，画法：过点A画直线AM∥PD，交BC于点M，画直线PM，PM就是所求的直线l； （3）连接JD、AK、AD． ∵△ABH∽△PBD， ∴，∠ABH＝∠PBD， ∵∠JHI与∠JPI是同弧所对圆周角， ∴∠JHI＝∠JPI． 而IP∥BC， ∴∠JPI＝∠JKB， ∴∠JHI＝∠JKB， 又∵∠ABH＝∠PBD， ∴△JBH∽△PBK， ∴， 由，得， 又∵∠JBD＝∠ABK， ∴△JBD∽△ABK， ∴∠BJD＝∠BAK， ∴JD∥AK， ∴S△AOJ＝S△DOK， ∴S△BAD＝S△BKJ， ∵点D是AB中点， ∴， ∴，即直线K平分△ABC面积． （4）如图④， 画法：第一步取AB的中点D； 第二步画△CBH∽△PBD； 第三步过点P画PI∥BA，交HB的延长线于点I； 第四步过P、I、H三点的圆交CB于点J； 第五步过点P作直线JP，交BA于点K．则JK就是所求的直线l． 10．（2025•玄武区二模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，⊙O与AD、BC分别相切于点A、C，与BD交于点E、F． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）连接AF并延长与CD交于点M，若BE＝AC，AM＝6，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解答； （2）． 【分析】（1）由切线的性质可得出∠DAO＝∠BCO＝90°，证明△BCO≌△DAO，得出OB＝OD，即可得证； （2）设⊙O的半径为r，则BE＝AC＝2r．由平行四边形的性质可得OB＝OD＝3r，AB∥CD，证明△AFB∽△MFD，得出，最后利用勾股定理计算即可得解． 【解答】（1）证明：∵⊙O与AD、BC相切于点A、C， ∴OA⊥AD，OC⊥BC， ∴∠DAO＝∠BCO＝90°， 在△BCO和△DAO中， ， ∴△BCO≌△DAO（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OC＝OA， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：如图， 设⊙O的半径为r，则BE＝AC＝2r， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝3r，AB∥CD， ∴DF＝2r，BF＝4r，∠ABO＝∠CDO， 又∵∠AFB＝∠MFD， ∴△AFB∽△MFD， ∴， ∴， ∴M为CD的中点， 在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，M为CD的中点，AM＝6， ∴CD＝2AM＝12，AD2+AC2＝CD2， ∴AD2＝CD2﹣AC2＝144﹣4r2， 同理，AD2＝OD2﹣OA2＝8r2， ∴144﹣4r2＝8r2， 解得， ∴⊙O的半径为． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 科学记数法 1 押题猜想二 幂的运算和整式乘法 3 押题猜想三 分式计算及分式方程 4 押题猜想四 一次函数与反比例函数综合 5 押题猜想五 统计与概率综合 7 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 11 押题猜想七 四边形与几何变换 15 押题猜想八 二次函数含参综合 18 押题猜想九 代数推理 21 押题猜想十 圆的综合证明 23 押题猜想一 科学记数法 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【原创题】2026年，中国某领先的“具身智能”机器人企业宣布，其新一代人形机器人单台售价为 8.5 万元，预计今年销量将达到 120 万台，则该企业今年来自这款机器人的总销售额（用科学记数法表示）是（ ）元 A. 1.02×1011 B. 1.02×1012 C. 1.02×1010 D. 1.02×109 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以小题呈现，每年必考（2021第1题、2022第7题、2023第1题、2024第3题、2025第4题）。科学记数法是送分题但易错在指数，2026年极可能延续。解题技巧：用科学记数法表示较大的数时应注意，1≤∣a∣<10，正指数等于所有整数位数减1；表示较小的数时应注意，1≤∣a∣<10，负指数等于第一个不为0的数前0的个数。 终极猜想·精练通关 1．（2025秋•苏州市）2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．0.8×105 B．8×105 C．0.8×104 D．8×104 2．（2025秋•淮安市淮阴区）2025年电影总票房破400亿元，暂居票房十强的都是清一色国产电影：哪吒之魔童闹海、唐探1900、南京照相馆、浪浪山小妖怪等等，其中哪吒之魔童闹海累计票房达154.5亿元，创造了新的票房纪录．其中数据154.5亿用科学记数法表示为（　　） A．1.545×108 B．1.545×109 C．1.545×1010 D．15.45×109 3．（2025•南京市建邺区一模）人眼可见的蓝光波长约为0.00000045m．用科学记数法表示0.00000045是（　　） A．0.45×10﹣7 B．0.45×10﹣8 C．4.5×10﹣7 D．4.5×10﹣8 4．（2025•苏州市工业园区一模）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　） A．0.7×10﹣9 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣9 D．7×10﹣8 5．（2025春•盐城市盐湖区）北宋词人晏殊笔下《破阵子•春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为0.0000084m，则数据0.0000084用科学记数法可表示为（　　） A．0.84×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．8.4×10﹣7 D．8.4×106 6．（2025春•南通市）已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（　　） A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m 7．（2025•扬州市姑苏区校级二模）在人体血液中，红细胞的直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为（　　） A．7.7×104 B．7.7×10﹣3 C．7.7×10﹣4 D．0.77×10﹣5 8．（2025秋•泰州市期末）若每人每天浪费水0.32升，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（　　） A．3.2×107升 B．3.2×106升 C．3.2×105升 D．3.2×104升 9．（2025春•扬州市姑苏区期末）DeepSeek是一款由国内人工智能公司研发的大型语言模型，可以辅助人们解决复杂的问题．提供高性能、低成本的AI服务．DeepSeek某次推理消耗约0.000005千瓦时的电量．数据0.000005用科学记数法可表示为（　　） A．0.5×10﹣6 B．5×10﹣6 C．5×10﹣7 D．0.5×10﹣7 10．（2025春•扬州市期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为　 　 ． 押题猜想二 幂的运算和整式乘法 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【原创题】计算：（－2a3)²·a－4－(a＋2)(a－2) ＝__________________. 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，幂的运算每年必考（2021第2题、2022第2、12题、2023第11题），整式乘法结合乘法公式因式分解（2024第2题、2025第20题）。幂的运算和乘法公式是代数基础，常以简单计算或整体代入形式出现，难度不大但易错，需要熟练掌握幂的运算法则及整式乘法公式以及推导过程。 终极猜想·精练通关 1．（2026•无锡市江阴市一模）下列计算正确的是（　　） A．（a5）2＝a10 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a2+a2＝a4 2．（2026春•盐城市月考）下列各式中，计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a6 B．a3•a2＝2a3 C．a2+a4＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 3．（2026春•苏州市工业园区）若xm＝6，xn＝2，则xm+n的值是（　　） A．8 B．10 C．12 D．36 4．（2026春•苏州市工业园区）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝b8 B．a+3＝8b C．3a﹣8＝b D．3a＝8b 5．（2026春•苏州市）计算：（a•a3）2＝a2•（a3）2＝a2•a6＝a8，其中，第一步运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 6．（2026春•盐城市）计算：a（3b﹣1）＝　 　 ． 7．（2026春•南京市鼓楼区）计算3a•（5a2b﹣2）的结果是　 　 ． 8．（2026春•南京市建邺区）若（x+a）（x﹣2）的展开式中不含x的一次项，则a的值为　 　 ． 9．（2026春•南京市建邺区）已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　 　 ． 10．（2026春•南京市鼓楼区）计算2a•（4a2b﹣1）的结果是　 　 ． 押题猜想三 分式计算及分式方程 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】为实现“碳中和”目标，某工厂计划安装一批智能光伏发电板。甲工程队单独完成需要 a 天，乙工程队单独完成比甲多12 天。 （1）求甲、乙两队合作完成该工程所需的天数（用含 a的代数式表示），并化简； （2）已知甲、乙两队合作完成该工程所需的天数，比甲队单独完成所需天数的一半多2天，求 a 的值。 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，分式计算及分式方程每年必考（2021第18题、2022第17题、2023第17题，2024第11题、2025第10题）。分式计算是初中阶段重要的代数基础，区别于整式乘法，而解分式方程需转化为整式方程，是必考题，分式方程去分母时注意每一项都要乘最简公分母，同时需要检验。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）计算：． 2．（2025•鼓楼区一模）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 3．（2025•南京一模）先化简，再求值，其中a＝﹣2． 4．（2025•南京一模）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 5．（2025•秦淮区一模）计算：． 6．（2025•玄武区一模）先化简，再求值：，其中． 7．（2024•鼓楼区一模）计算． 8．（2024•鼓楼区二模）计算． 9．（2023•鼓楼区一模）某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？ 10．（2025•南京模拟）计算：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/17 16:23:02；用户：房子；邮箱：njshj20@xyh.com；学号：37262488 押题猜想四 一次函数与反比例函数综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图1，已知双曲线与直线交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点A的坐标为（1，3），则点B的坐标为 ； （2）当x满足： 时，； （3）若作一条直线与直线y2平行，交双曲线于P，Q两点，如图2所示，且点A的坐标为（1，3），点P的横坐标为3，试求 ①k1、k3和b的值； ②四边形APQB的面积. 图1 图2 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，反比例函数与一次函数综合是南京中考常见题型（2021第13题、2022第4题、2023第14题、2025第14题），常结合面积、不等式。常用方法：待定系数法、面积用割补法或铅垂高法、不等式解集图像法，数形结合是核心，求交点、面积、解不等式是高频考点。 终极猜想·精练通关 1．（2025•建邺区一模）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（0，﹣1），点B的坐标是（2，0），点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则k＝ 　 　 ． 2．（2025•玄武区一模）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴上，E是CD的中点，反比例函数的图象经过点A，E，若AB＝4，则k的值为　 　 ． 3．（2024•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为 　 　 ． 4．（2023•鼓楼区一模）要使反比例函数y的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 　 　 （只填序号）． ①向上平移3个单位长度； ②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③沿直线y＝3轴对称； ④先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度． 5．（2025•鼓楼区一模）一次函数y＝﹣2x+4的图象上有一个动点（m，n），则m2+n2的最小值是 　 　 ． 6．（2025•南京一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．若该机器狗载重后总质量m＝20kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝16kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　 m/s． 7．（2025•秦淮区一模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：m2）是反比例函数关系，其函数图象如图所示．当S＝0.2m2时，P＝　 　 Pa． 8．（2022•鼓楼区一模）在同一平面直角坐标系中，若正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象有公共点，则对于反比例函数，当x＞0时，y随x增大而 　 　 ．（填“增大”或“减小”） 9．（2021•鼓楼二模）如图1，已知双曲线与直线y2＝k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为　　 ；当x满足： 　 时，y1＞y2； （2）过原点O作另一条直线l，交双曲线于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示． ①四边形APBQ一定是　 　 ； ②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积． 10．（2024•鼓楼区一模）函数y＝x+m与的图象相交于A（2，1）、B两点． （1）求m及k的值； （2）结合函数图象，直接写出的解集． 押题猜想五 统计与概率综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）如火如荼进行中。南京队作为十三支参赛队伍之一，在本赛季备受关注。请你根据以下材料，解答问题： 材料一：2026赛季苏超首轮比赛中，常州队3:0南通队，苏州队1:0扬州队，无锡队3:1镇江队，盐城队2:0连云港队，宿迁队2:0南京队，徐州队3:0泰州队，淮安队1:1扬州队。 材料二：2026赛季南京队共有教练员4名、工作人员7名、球员50名，平均年龄仅22.26岁。其中，70%为U22球员（22岁以下），参加上赛季苏超的老队员13名。 材料三：本届苏超南京队球员的来源构成：南京青训体系占40%，校园足球占20%，驻宁高校占15%，职业俱乐部占10%，宁超联赛等社会渠道占15%。 材料四：2025赛季苏超常规赛期间，南京奥体中心连续七场比赛现场观赛人数突破6万人。七场的具体上座人数分别为：61106人、61238人、61459人、61722人、62015人、62329人、62987人。 （1） 根据材料一，求首轮7场比赛的平均每场进球数（精确到0.01）。 （2）根据材料二： ① 南京队有多少名U22球员？ ② 南京队新球员（未参加上赛季）有多少名？ （3）根据材料三，绘制南京队球员来源构成的扇形统计图（不要求作图，只需填写各部分的圆心角度数），并指出所占比例最大的球员来源是哪一类。 （4）根据材料四，求这七场观众人数数据的平均数、中位数和极差，并判断这七场人数呈什么变化趋势。 （5）小华同学说：“今年首轮南京队输了，这说明南京队夺冠的概率为0。”你同意他的说法吗？请结合所学概率知识简要说明理由。 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，每年统计（2021第21题、2022第20题、2023第12、20题、2024第22题、2025第7、22题）和概率（2021第22题、2022第21题、2023第21题、2024第21题、2025第21题）各有一道解答题。统计图表补全、用样本估计总体、概率计算（树状图或列表）是每年必考，贴近生活。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占10%，动作技巧占40%，感染力占50%．九年级1班和2班的成绩如表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分x应超过 　 　 ． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 x 2．（2025•建邺区一模）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则 　　 （填“＞”“＜”或“＝”号）． 3．（2025•鼓楼区一模）甲口袋中有2个红球、1个白球，乙口袋中有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球，设摸出的2个球都是红球的概率为P． （1）求P的值； （2）在乙口袋中再放入a个红球，若P的值为，则a的值为 　 　 ． 4．（2025•建邺区一模）我国2015﹣2023年博士生招生增长率折线统计图如下． （1）下列说法中，所有正确结论的序号是 　 　 ． ①博士生招生增长率的中位数是10.16%； ②博士生招生增长率的平均数不超过10%； ③2018年博士生招生增长的人数最多； ④2023年博士生招生人数最多． （2）根据折线统计图，从两个不同的角度描述我国2015﹣2023年博士生招生变化情况． 5．（2025•鼓楼区一模）南京市3月份每天的最高温度、最低温度的变化情况统计如下． （1）以下说法正确的是 　 　 ．（填写所有正确说法的序号） ①最高温度的方差比最低温度的方差更大； ②日温差最大的一天是3月26日； ③日温差最小的一天是3月4日和3月15日； ④在3月2日到3月11日之间，最高温度呈上升趋势． （2）完成3月1日～3月10日的日温差的条形统计图． （3）在3月，哪天最高温度相比前一天的降幅最大？借助数据进行说明． 6．（2025•南京一模）小李开车到公司上班有A，B两条路线可选择，路线A经城市高架，路线B经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线A，接着连续10个工作日选择路线B，记录用时（单位：min）数据如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线A用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 （1）路线A连续10天用时的中位数是　　 min，路线B连续10天用时的众数是　　 min； （2）求路线A连续10天用时的平均数和方差； （3）经计算，路线B连续10天用时的平均数是15.6min，方差是18.04min2.结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 7．（2025•南京一模）某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． （1）若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是　　 ； （2）若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 8．（2025•秦淮区一模）今年的3月21日是首个“世界冰川日”，中国科学院在当天发布了我国第三次冰川编目数据集（前两次分别于2002年和2014年发布）．图（1）（2）分别是我国三次冰川编目数据集中冰川条数和面积的折线统计图． （1）根据第三次冰川编目数据，我国每条冰川的平均面积是多少平方千米？（结果保留1位小数） （2）从图（2）中可以看出，我国冰川进入　 　 （填“扩张”或“退缩”）阶段． （3）冰川对地球的生态系统非常重要，请尝试提出保护冰川的一条建议． 9．（2025•秦淮区一模）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． （1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率． （2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 10．（2025•玄武区一模）《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为　 　 亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是　 　 ．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】2026年3月15日，南京半程马拉松在江心洲生态科技岛鸣枪开跑，本届赛事恢复了备受好评的“环岛跑”路线。该赛道的经典环线串联起A青奥森林公园、B环岛东路、C南京眼步行桥、D江堤路灯塔等网红打卡地，被誉为“世界最美赛道””。 小南和小京作为南京半马的参赛选手，计划赛后在江心洲徒步打卡四大热门景点，感受长江生态岛的魅力。如图，A、B、C、D是四个必打卡的景点，江心洲徒步旅游路线分为北环岛线：A→B→D→A和南环岛线：A→C→B→A。其中B在A的正东方向6km处，C在A的南偏东60°方向，D在A的北偏东15°方向，D也在B的北偏西30°方向。（参考数据：） (1) 求北环岛线的长度（结果保留小数点后一位）； (2) 小南选择走北环岛线，小京选择走南环岛线，两人同时从景点A出发。小南在A→B途中发现小京的号码布落在自己背包里了，于是小南决定到B之后前往C与小京汇合。已知小南的步行速度与小京的步行速度之比为8：7，结果两人同时到达景点C（忽略途中停留打卡时间），求南环岛线的长度（结果保留小数点后一位）。 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，锐角三角函数的实际应用是每年必考解答题（2021第23题、2022第23题、2023第23题、2024第23题、2025第25题），方向角、仰角俯角、坡度是主流而测量高度、距离是南京中考特色，常利用三角函数建立方程，结合方程思想，构造直角三角形；值得注意的是单位换算和近似计算。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为50m/s．小明在B处通过窗口看到远处两棵树（记为C和D），此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向．7s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD．（参考数据：tan63.4°≈2，tan53.1°．） 2．（2025•建邺区一模）如图，大坝的横截面是Rt△ABC，坝高AC为16m．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面AB改造成长为36m的折线形坝面AD﹣DE，坝面AD的倾斜角α为36.87°，坝面DE的倾斜角β为22.62°． （参考数据：，．） （1）求坝面DE的长度； （2）求坡脚向前推进的距离BE的长度． 3．（2025•南京一模）如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的C处，此时在将绳子拉直的A处测得定滑轮点P的仰角为45°，继续向后水平移动1m到B处测得定滑轮点P的仰角为37°，此时物体上升到D处．已知AM，BN均垂直于地面，AM＝BN＝1.6m，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离PD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，， 4．（2025•秦淮区一模）如图，港口A在港口B的南偏西53°方向20km处，一艘渔船从港口A出发，以10km/h的速度沿着北偏东23.5°的方向前进，15min后，一艘快艇从B出发，以40km/h的速度沿着北偏西53°的方向前进．设快艇出发xh． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程　 　 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92） 5．（2025•玄武区一模）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面AE的垂线AC，垂足为A，过点B作AC的垂线，垂足为C，斜塔AB与AC的夹角∠CAB＝5.7°，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为33.7°，塔底A的俯角为4.2°，DE＝1.6m，求塔顶B到地面AE的距离． （参考数据：，， 6．（2024•鼓楼区一模）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表： 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角α α＝37° 从E处测得灯杆支架C处仰角β β＝63°26'； 两次测量之间的水平距离 DE＝5.1m 灯杆的高度 AB＝8.1m 求灯管支架BC的长度． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan63°26′≈2.00） 7．（2024•鼓楼区二模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为31°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶B的仰角为71.57°，求山的高度BC．（参考数据：tan31°≈0.60，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan71.57°≈3.00．） 8．（2023•鼓楼区一模）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度． （参考数据：tan37°，tan22°，tan58°） 9．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 10．（2023•鼓楼区二模）如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离． （参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．） 押题猜想七 四边形与几何变换 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相交于点E，且BE＝EF，AF∥BC． （1）求证：四边形ADCF为平行四边形； （2）若DA＝DC＝5，AC＝6，求△ABC的面积． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，四边形（矩形、菱形、正方形）与折叠、旋转结合是南京中考几何压轴题（2021第16题旋转、2022第22题菱形、2023第16题菱形折叠、2024第24题中心对称、2025第6题点线面变换）。折叠产生的轴对称，对应的相等关系，常结合勾股定理建立方程模型求解；旋转产生的全等变换、中心对称性等是几何探究的热点。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接EO，过点E，O作BC的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求四边形OEFG的面积． 2．（2025•建邺区一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）当 　 　 时，四边形AECF是正方形． 3．（2025•南京一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝CD，连接CA，CA平分∠BCD． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CG⊥AD，分别交AD，AE于点F，G．若DF＝4，DG＝5，则菱形ABCD的边长为　 　 ． 4．（2025•秦淮区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．求证：AC＝BD． 5．（2025•玄武区一模）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，△EFD和△ABC关于点O成中心对称，连接BD，BE，AF，CF． （1）求证：四边形ABEF是平行四边形． （2）若AB＝AC，∠BAC＝∠DBC，求证：▱ABEF是菱形． 6．（2024•鼓楼区一模）在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD． （1）如图，若AB＝CB，求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝CD，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举反例． 7．（2023•鼓楼区一模）如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AB＝6，BC＝12，求菱形AFCE的面积． 8．（2022•鼓楼区一模）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD． （1）求证∠CAB＝∠DAB； （2）若将△ADB沿AB的垂直平分线翻转，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 　 　 （写出图形的形状）； （3）若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程． 9．（2022•鼓楼区二模）尺规作图：如图，在▱ABCD的边AD上求作点P，使P分别满足以下要求： （1）BP＝CP； （2）BP＝AP+BC． 10．（2023•鼓楼区二模）如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，D、D′分别是BC、B′C′的中点，且AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A'B'C'． 押题猜想八 二次函数含参综合 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上． ①a＝　 　 ； ②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，二次函数含参问题是南京中考的函数压轴大题（2021第26题、2022第26题、2023第25题、2024第25题、2025第26题），分值10分左右。主要考查二次函数图象性质（开口、对称轴、顶点、最值）、判别式、韦达定理、不等式综合，能力要求高，前两问较简单易得分，第三问往往具有一定拔升。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1的图象为C． （1）用m表示图象C的顶点坐标； （2）证明：当m＜﹣1时，图象C与x轴有两个交点； （3）记一次函数y＝mx+m（m是常数，m≠0，﹣1≤x≤4）的图象为线段AB，若图象C与线段AB恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 2．（2025•建邺区一模）已知二次函数y＝ax2﹣a2x（a为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）该函数图象的对称轴是直线x＝ 　 　 （用含a的代数式表示）． （3）点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上．对于2≤x1≤3，2a≤x2≤2a+1，都有y1＜y2，直接写出a的取值范围． 3．（2025•秦淮区一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5）． （1）求m的值； （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围； （3）将该函数的图象沿着x轴向右平移得到一个新函数的图象，当2≤x≤6时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 4．（2025•玄武区一模）A，B是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是该函数图象的顶点，顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h． （1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为　 　 ； （2）当2≤h≤4时，求证：； （3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为﹣1，则a的值是　 　 ． 5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）． ①若函数图象恰好经过点M，求a的值； ②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 6．（2024•鼓楼区二模）已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）． （1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知A（m，2），B（5，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 7．（2023•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 　 　 ； （3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，直接写出m的取值范围． 8．（2023•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3． （1）该抛物线经过一个定点：　 　 （写出坐标）； （2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N． ①若N＝3，求k的值； ②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围． 9．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）． （1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　 　 ； ②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　 　 ； ③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　 　 ． （2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值． 10．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 押题猜想九 代数推理 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】已知a＞b，比较与的大小． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，代数推理是近几年对学生核心素养提升的最新要求（2021第5题、2022第5题、第27题新定义变换、2023第27题新定义几何变换中的代数推理、2024第2、15题、2025第20题）。代数推理渗透范围广，以各种形式渗透在试卷中——选择题的选项辨析、填空题的代数表达式推导、解答题中函数与几何的综合应用，含参二次函数、实际情境建模、新定义理解是代数推理题的三大核心题型，体现了注重概念理解和即时学习能力的命题导向。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）计算结果为23a的式子是（　　） A．2a+2a+2a B．2a×2a×2a C．2a×2a+2a D．2a×（2a+2a） 2．（2025•秦淮区一模）若代数式M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，则M和N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 3．（2024•鼓楼区一模）若a8（a为大于1的整数），则n的值是 　　 ． 4．（2023•鼓楼区一模）要使反比例函数y的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 　 　 （只填序号）． ①向上平移3个单位长度； ②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③沿直线y＝3轴对称； ④先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度． 5．（2023•鼓楼区二模）已知整式M＝a2﹣2a，下列关于整式M的值的结论： ①M的值可能为4； ②当a为小于0的实数时，M的值大于0； ③不存在这样的实数a，使得M的值小于﹣1． 其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 6．（2025•建邺区一模）求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数． 7．（2025•南京一模）代数式A＝mx+2，代数式B＝2m+1． （1）当m＝3时，若A＜B，则x的取值范围是　 　 ； （2）若m＜0，x＜2，判断代数式A与B的大小，并说明理由； （3）将“A与B的差”记为C，即C＝A﹣B．当﹣3≤x≤3时，要使C的值满足﹣3≤C≤3，直接写出m的取值范围． 8．（2024•鼓楼区二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：4.9，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． （1）按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； （2）结合图中思路，解释该方法的合理性． 9．（2023•鼓楼区一模）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． （1）用“＞、＝、＜”号填空：k　　 0，b　　 0； （2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹） ①y＝kx﹣b； ②y＝2kx+2b； ③y＝﹣kx+2b． 10．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由． 押题猜想十 圆的综合证明 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形—如图（2），将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点P、线段AB，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线l、点O、点F1和F2．已知l垂直平分AB，垂足为O，OF1＝OF2＝10cm．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线PC，其折射光线CD经过点F2；经过光心的入射光线PO，其传播方向不变（即OE与PO在同一条直线上）．CD与OE的交点Q即为点P的像． （1）若点P到直线l的距离为5cm，到AB的距离为15cm，求其像Q到AB的距离． （2）点M在OF1的延长线上，MF1＝5cm，点P在半径为5cm的⊙M上移动（⊙M与AB在同一平面内，点P不与点F1重合）． ①如图（3），光屏GH∥AB，用直尺和圆规作一个点P，使其像Q恰在GH上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点P的像Q到直线l、AB的距离分别为xcm，ycm，直接写出y与x之间的函数表达式． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，圆的综合题每年必考（2021第12、27题，2022第24题，2023第26题，2024第20题，2025第23题），涉及切线、垂径定理、圆周角、弧长、扇形面积等。圆是几何综合的载体，常与相似三角形、勾股定理结合，是中考中等难度解答题。值得注意的是辅助线作法及几何模型的构建，遇到中点弧，想到垂径定理；切线垂直半径；直径所对圆周角90°；求阴影面积常用割补法或和差法。 终极猜想·精练通关 1．（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，在CA的延长线上取点F，使BA平分∠FBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝5，求AB的长． 2．（2025•玄武区一模）光的折射． 物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即n＝ ． 【概念理解】 （1）如图①，若入射角α的度数为60°，折射率，求折射角β的度数． （2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率n＝2，PA是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线AQ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板AB，且M是AB的中点；在直线l下方有一个圆形区域⊙O，且⊙O与AB相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板AB的遮挡，使得折射光线不能进入⊙O的内部，已知⊙O的半径为，AB＝2．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射） ①点光源P到直线l的距离的最大值是　 　 ； ②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而　 　 ．（填“变大”或“变小”） 3．（2025•玄武区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC，且与BO的延长线交于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）连接AO并延长与交于点M，连接BM并延长与AC的延长线交于点N． ①求证：∠D＝∠N； ②若⊙O的半径为5，，则CN的长为　 　 ． 4．（2025•南京一模）如图，⊙O的半径为r，点P在⊙O外．按下列要求分别求作一条直线l，使l过点P，并交⊙O于点A，B． （1）PB﹣PA＝r； （2）PB+PA＝2r． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 5．（2025•南京一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的切线，且AD∥BC，作射线DB交⊙O于点E，连接EA交BC于点G，连接EC． （1）求证AB＝AC； （2）作CF平分∠BCE，交AE于点F，． ①判断AF与AC的数量关系，并求的值； ②若CF∥AB，CF＝3，则⊙O的半径为　 　 ． 6．（2025•秦淮区一模）已知在菱形ABCD中，AB＝3，过点A，B，D作⊙O． （1）如图（1），当∠A＝60°时，求证：CD，CB都与⊙O相切； （2）如图（2），当60°＜∠DAB＜90°时，BC与⊙O交于点E，连接AE． ①随着∠DAB度数的增大，下列说法正确的是A ． A．⊙O的半径与AE的长都增大 B．⊙O的半径增大，AE的长先增大后减小 C．⊙O的半径先增大后减小，AE的长增大 D．⊙O的半径与AE的长都先增大后减小 ②当AE＝4时，求⊙O的半径． 7．（2025•秦淮区一模）身高1.6m的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯MN，其光源N到地面的距离为4.8m． （1）如图（1），步道为直线型（记为直线PQ）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线NB与地面的夹角（∠MBN）以及影子和步道的夹角（∠BAP）均为30°，则影子顶端（点B）到步道的距离（BC）为　　 m； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． （2）如图（2），步道为圆型（记为⊙O），其半径为4m．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 8．（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC交于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若BD＝3，AE＝8，求⊙O的半径． 9．（2025•鼓楼区二模）【提出问题】 过平面内一点P画直线l平分已知△ABC的面积． 【发现问题】 根据点P与△ABC的位置不同，可以分成点P在△ABC边上、在△ABC内部、在△ABC外部三种情况． （1）当点P在△ABC边上 ①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法； ②若点P在△ABC的边AB上，如图②，小明取BC的中点D，连接PD，… 请根据小明的思路画出直线l，并简述画法． 【分析问题】 （2）当点P在△ABC的内部， 如图③，如何画出直线l呢？ 小红的画法： 第一步取BC的中点D； 第二步画△ABH∽△PBD； 第三步过点P画PI∥BC，交BH于点I； 第四步过P、I、H三点的圆交AB于点J； 第五步过点P画直线JP，交BC于点K． 则JK就是所求的直线l． 请说明小红画图的正确性． 【解决问题】 （3）当点P在△ABC的外部如图④，画出直线l，并简述画法． 10．（2025•玄武区二模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，⊙O与AD、BC分别相切于点A、C，与BD交于点E、F． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）连接AF并延长与CD交于点M，若BE＝AC，AM＝6，求⊙O的半径． 28 / 87 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $