第3课时 画一画-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

要点4练习 略 四 正比例与反比例 第1课时变化的量 举一反三 明明X 丽丽√ ②提素养 (1)10-4 (2)4时到12时、14时到16时气温在升高；0时 到4时、16时到24时气温在降低。 (3)10时的气温与22时的气温相同，20时的气温 与12时到14时的气温相同。 第2课时正比例 举一反三 B Q提素养 (1)变化的量是生产时间和生产总量。生产总量随 着生产时间的变化而变化，生产时间增加，生 产总量随着增加。 (2)对应生产总量与生产时间的比值都是15，生 产总量与生产时间的比值表示生产速度。 (3)生产总量与生产时间成正比例。因为生产总 量÷生产时间=15，比值一定，所以这两个 量成正比例。 第3课时画一画 举一反三 「销售金额/元 80 64 48 32 16 0 1 2345销售数量1张 Q提素养 (1)甲车：成正比例。 乙车：成正比例。 1(2)(90+60)×5=750(千米) 答：A、B两地相距750千米。 第4课时反比例 举一反三 (1)V(2)×(3)X Q提素养 11.(1)正(2)反(3)不成(4)正(5)反 12.(1)成反比例。 (2)15×40÷50=12(本) 答：共可装订练习本12本。 第四单元要点总结 要点1练习 (1)反 (2)不成(3)正 (4)反 (5)不成(6)反 要点2练习 (1)606(2)2.5(3)50 (4)1÷10=0.1(千米/分)》 答：张大爷晨练时走路的速度是0.1千米/分。 10第③课时 画一画 课前·预习笔记 任务 笔记 重点© 知识点 认识正比例图象（教材第44页例题） (1)从表中数据可以看出：每增加1人，票费就增加2元。所付票费随着 看电影的人数的变化而变化，它们是两个相关联的量。且2=4=6=8 1=23 =4 =…=2 即、 所付票费 看电影的人数 =每张票的价格（一定），所以看电影的人数与所付票费（成 正比例)。 (2)图中的横轴表示（看电影的人数），纵轴表示（所付票费)。在横轴 上找到表示人数为2的点，在纵轴上找到表示票费为4元的点，过两点分别作横、 纵轴的垂线，两条垂线的交点就是所要找的点，即点(2,4)，表示有2人看 电影时需要付4元票费。同理，在横轴上找到表示人数为8的点，在纵轴上找 学 到表示票费为16元的点，过两点分别作横、纵轴的垂线，两条垂线的交点就 新 是所要找的点，即点（8,16)，表示有8人看电影时需要付16元票费。 知 (3)顺次连接图上各点，所描的点都在同一条（直线）上，且经过（原点）， 说明正比例图象是一条经过（原点)的（直线）。 (4)从图中可以直观看出，点A对应横轴上的人数5，纵轴上的票费10元， 表示5人的票费是10元，这个点用数对表示为(5,10)。 因为点（100,200)表示100人的票费是200元，可得 所付票费 看电影的人数 200=2,与每张票的价格相符，所以小明说得（对），点(100,200)也在这 100 条直线上。 总结：(1)成正比例的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，且 经过原点，即正比例图象是一条经过原点的直线。 (2)从正比例图象中可以直观地看到两种量的变化情况，也可以看出任意 点所表示的意义，还可以由已知的一个量的对应值，找到另一个量的对应值。 思路 正比例图象 认识正比例图象 84 课堂·听课笔记 精批注 画一画 全班同学去看电影，看电影的人数与所付票费如下表。每增加1人，票费就增加2元。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 票费/元 0 2 4 6 10 12 14 16 把上表填写完整，并判断看电影的人数与所付票费是否成正比例。 人数扩大2倍，票 票费与人数的比 费也扩大2倍 人数和票费是相 2 468 关联的两个量。 4 所付票费 即看电影的人最=每张票的价格（一定），所 以看电影的人裁与所付票费成正比例。 根据上表，可以描出下图中的点，说说 ○连接图上各点，你发现了什么？ (2,4)是如何得到的，（8,16)呢？ 发现：正比例图象是一条直线。 在横轴上我到表示人裁为2的点，在纵轴上我到 所描的点都在同 表示票费为4元的点，过两点分别作横轴、纵轴 一条直线上。 的垂线，两条垂线的交点就是(24)。 在横轴上我到表示人裁为8的点，在纵轴上我到 表示票费为16元的点，过两点分别作横轴、纵 轴的垂线，两条垂线的交点就是(8,16)。 注意：图象成一条直线的两个量不一定 成正比例，但是成正比例的两个量的图 票费/元 象一定是一条直线。 16 ○点A是直线上一点，这一点表示什么含 8 15 16 义？小明说点(100,200)也在这条 14 直线上，你认为他说得对吗？ 13 运用图象来12 (6,12 ,点A表示的是有5人 反映所付票 11 看电影时需要….，付1O元票费。 10 费与看电 9 影的人戴之 8 200 间的变化情 4.8) =2, 7 100 况，运用了 6 函裁思想。 (3,6) 5 与每张票的价格相等，所 4 以他说得对，点(1O0 24) 3 200)也在这条直线上。 (12) 1 提示：在这条直线上的所有点对应的数对都 0. 0.0) 具备“纵轴上的数是横轴上的裁的2倍” 123456789人数 即“所付票贵与看电影的人裁的比值是2”。 85 '练一练 提示：根据表中已知悬据可知，1人船费是5元，把表格 1.乘船的人数与所付船费如下表。 补充完整。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 船费/元 0 10 15 20 25 30 35 正比例图象的画法：①以两个变量的每一组对应值为一个数对（横轴数值在前， 纵轴裁值在后)；②在图中描出各数对所表示的点：③顺次连接各点。 船费/元 (1)把上表填写完整。 40 (2)所付船费与乘船人数成正比例吗？ 30 成正比例。 (3)先根据上表描点，再顺次连接各点，你 20 发现了什么？ 15 发现：这些点的连线是一条直线。 10 (4)点（8,40)在这条直线上吗？这一点表 示什么含义？ 0 点(8,40)在这条直线上，它表示当 1 2345678人数 乘船人数为8时，所付船贵是40元。 2.在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下表。判断弹簧伸长的长度与所 挂物体的质量是否成正比例，并说明理由。 提示·要判断弹簧伸长的长度与所挂物体的 质量是否成正比例，只需要看它们的比值是 否一定。 物体质量/kg 2 3 5 6 弹簧伸长的长度/cm 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。弹簧伸长的长度随着物体质量 的增加而增加，它们是两个相关联的量，并且它们的比值一定。 3.回答下列问题 周长/cm (1)圆的周长与直径成正比例吗？为什么？ 50 成正比例。因为圆的周长随着直径的变化而变 45 化，并且周长与直径的比值（π）一定，所以 40 圆的周长与直径成正比例。 35 (2)根据右图，先估计圆的周长，再实际计算。（π 30 取3.14)（估算答案不唯一） 25 ①直径为5cm的圆的周长约15.6cm,计算结果 20 为15.7cm。 15 10 ②直径为15cm的圆的周长约47cm,计算结 5 果为47.1cm。 提示·估算时，在图象上根据直径的长我出圆的大致周长 0:-5105直径/cm 实际计算时，根据“C=Td”直接计算。 -86 学方法 ○通过观察和分析正比例图象解决问题读懂图中每一条线段的含义是解题的关健。 子轩从家跑步到公园晨练，他离家的距离与时间的变化情况如下图。 距离/千米 根据变量图象解答问题的步 聚：要先弄清图象横轴、纵轴 分别表示哪个量：然后弄清横 轴、纵轴每个单位长度表示多 少：最后根据图象回答问题。 2 0 5101520253035404550556065707580 (1)子轩从家到公园每分跑()千米。这段时间内他跑的路程和时间成正比例吗？请 说明理由。 （2)从公园返回家时，子轩用了()分。这段时间内他跑的路程和时间成正比例吗？ 请说明理由。 (3)子轩在公园停留了多少分？子轩从家到公园往返的平均速度是多少？ 思路分析：（1)观察图象可知，最远距离为5千米，也就是说子轩家到公园的距离是5千米。 距离为5千米对应的第一个时间是25分，所以子轩从家到公园每分跑5÷25= 0.2(千米)。因为路程÷时间=速度（一定)，所以这段时间内子轩跑的路 程和时间成正比例。 （2)观察图象可知，55分时，距离开始减小，说明此时子轩返回，75分时到家， 所用时间为75-55=20（分)。因为路程÷时间=速度（一定)，所以这段 时间内子轩跑的路程和时间成正比例。 (3)子轩离家距离为5千米时所对应的时间是25分至55分，由此可知子轩在 公园停留了55-25=30（分），往返时间为75-30=45（分)。求子轩往返的 平均速度，要用往返的总略程除以往返所月的时间，即5×2÷45=号（千米/分）。 正确解答：(1)0.2成正比例。因为路程÷时间=速度（一定），所以这段时间内子轩 跑的路程和时间成正比例。 (2)20成正比例。因为路程÷时间=速度（一定），所以这段时间内子轩 跑的路程和时间成正比例。 (3)55-25=30(分)75-30=45（分）5×2÷45=号（千米/分） 答：子轩在公园停留了30分；子轩从家到公园往返的平均速度是号千米/分。 87 课后·提升笔记 巧总结 ⊙易错点：未理解正比例图象的意义提示：正比例图象是一条经过原点的直线。 判断：图象是一条直线的两个量成正比例。 () 易错解读：本题易错在没有弄清正比例图象的意义，误认为只要两个量的关系图象是一条 直线，这两个量一定成正比例。正比例图象是一条直线，但图象是一条直线的两个量不一 定成正比例。正比例图象一定经过原点，也就是（0,0)这个点。所以本题的正确答案为X。 举一反三： 下面是电影院门票销售数量与销售金额的统计表。 销售数量/张 0 2 3 4 5 销售金额/元 16 32 48 64 80 请你把这两个量的变化情况画在下图中。 提示：销售金额随着销售数量的增加而增加 图象应该向右上方无限延长。 销售金额/元 80 64 48 32 16 0 12345销售数量/张 提素养 提示：速度一定时，路程和时间成正比例。先根据 图象确定甲、乙两车分别行驶的路程、时间，再根 甲、乙两车行驶的路程和时间关系如下图。据“路程÷时间”求出它们各自的速度。 (1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成 路程/千米 什么比例？乙车呢？ 300 中在 210 180 150 乙车 (2)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行， 8 经过5时相遇，A、B两地相距多少千米？ 2 3 时间/时 88