专题10 二次函数中的存在性问题8大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 二次函数中的存在性问题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01  等腰三角形存在性 题型02 直角三角形存在性 题型03 平行四边形存在性 题型04 矩形、菱形、正方形存在性 题型05 相似三角形存在性 题型06 角度存在性 题型07 其他存在性问题 题型08 定点、定值问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 等腰三角形存在性 典例引领 【典例01】（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， 解得或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 【答案】(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． 【典例02】．（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或。 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的经典设问，多为解答题第2-3问，是分类讨论思想的典型应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成等腰三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下等腰三角形的存在情况。 3.综合变形：结合将军饮马、对称等几何变换，增加题目的复杂度。 方法技能 1.解题通用步骤： · 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 · 分三种情况讨论： PA=PB：P在AB的垂直平分线上，利用中点坐标和斜率关系列方程； PA=AB：以A为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P； PB=AB：以B为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P。 · 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2.关键技巧：利用两点间距离公式列方程，优先化简再求解，避免复杂计算；画草图辅助分析，防止漏解或重复。 变式演练 【变式01】（2026·四川达州·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)． (2)； (3)或或或． 【分析】（1）将点和点代入即可； （2）如图1，连接，，求出，设点，得到，利用勾股定理解得，即可得到答案； （3）当点P与点C重合时，或；当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J，分当点P在x轴上方和当点P在x轴下方时分类讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点， ； （2）解：如图1，连接，， 点D和点F关于直线对称， ， ，轴， ∵二次函数的对称轴为： ， ， ， 设点， ， 在中，， 解得， ； （3）解：当点P与点C重合时，或； 当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 当点P在x轴下方时，如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交PK于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 综上，符合条件的点E的坐标为：或或或． 【变式02】（2025·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式03】（2025·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型02 直角三角形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． (1)求点C的坐标及线段的长； (2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为； (2)E的坐标为或 (3)存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求得点的坐标，令，解出点的坐标即可求解的长； （2）过点作轴，垂足为点，由此可知，当时，，由（1）可知，再分为①，②，两种情况分别讨论，利用相似比分别求解出的长，即可求解出点E的坐标； （3）设点P为，由于点P在第四象限，则，，即，由中点坐标公式可得点Q的坐标为，设直线的表达式为，将点C和点Q坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，设直线的表达式为，将点和点的坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，由，可解得，即可分别得出点的坐标，由题意可知的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反，则设的表达式为，将点A，P的坐标代入可得的表达式为，由此可求解出点的坐标，再求解出的长利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为x， 点C的坐标为， 当y时， ， 解得：，， 即点A坐标为，点B坐标为， ； （2）如图，过点作轴，垂足为点， ， 当时，， 由（1）可知， 由于点E将线段分成两部分，则 ①当时， ， ， 则点的横坐标为3， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； ②当时， 同理可得：， ， 此时，点的横坐标为， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或； （3）存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 由题意知设点P为 由于点P在第四象限，则，， 即， ， 则的中点Q的坐标为， 由（1）可知，点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将点C和点Q坐标代入得： ， ， 化简得：， ， 则直线的表达式为， ∴点坐标为， 则，， 设直线的表达式为， 将点和点的坐标代入得： ， 解得：，， 则直线的表达式为， 令,则， ∴点的坐标为， 则， 由，可得：， 解得：， ， ， ， 抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线， 则的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反， 所以设的表达式为， 因为点A，P都落在抛物线上， 则， 解得：，， 则的表达式为， 令，则， ∴点G的坐标为， 因为是以为斜边的直角三角形， 由勾股定理可得：， 而， ， ， 代入可得：， 化简得：， ， ， 综上，存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，旋转的性质，中点坐标公式，待定系数法求函数表达式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、抛物线对称轴公式等，熟练掌握相关知识，灵活运用抛物线与旋转的性质是解题的关键． 【典例02】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解． 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的高频设问，多为解答题第2-3问，是勾股定理与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成直角三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下直角三角形的存在情况。 3.综合变形：结合相似三角形、斜率垂直等性质，增加题目的难度。 方法技能 1.解题通用步骤： · 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 · 分三种情况讨论： ∠A=90∘：AB⊥AC，利用勾股定理AB2+AC2=BC2或斜率乘积为−1列方程； ∠B=90∘：BA⊥BC，同理列方程； ∠C=90∘：CA⊥CB，同理列方程。 · 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2关键技巧：优先用勾股定理列方程，避免斜率计算时的无意义情况（垂直于x轴的直线无斜率）；注意直角顶点的所有可能性，防止漏解。 变式演练 【变式01】（2025·四川资阳·三模）如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【分析】（1）把点、代入抛物线求出b和c的值即可； （2）求出，得出，证出，即可得出四边为平行四边形； （3）求出，分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明，求出，即可得出P的坐标；②当点F为直角顶点时，同理可求出，，即可得出P的坐标；③当点P为直角顶点时，由勾股定理得，由直角三角形斜边上的中线性质得出的长，若点P在上方，得到；若点P在下方时，则；即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：四边形为平行四边形． ∵此抛物线与y轴交于点C， ∴， 又∵， ∴， 又∵抛物线的对称轴为：， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴， ①当点O为直角顶点时，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ②当点F为直角顶点时，如图2所示： 同理可得， ∴， ∴， ∴； ③当点P为直角顶点时，由勾股定理得， 又∵是斜边上的中线， ∴， 若点P在上方，如图3所示： 则， ∴； 若点P在下方时，如图4所示： 则， ∴； 综上所述，抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． 【变式02】（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 【变式03】（2025·四川南充·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据图象顶点为点，设抛物线解析式为，再代入求出即可解答； （2）将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，则，求出，，证明，求出，求出的直线解析式，联立即可求解． （3）分为①当时，②当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点， 故设抛物线解析式为， ∵抛物线图象经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且， ， 令，解得：， ， 当时，， ， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ， 设的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理的， 解得：， 当时，， ∴； （3）解：①当时， 设的直线方程为， 设的直线方程为， ∴， 整理得， ∴， ∴， ， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ， ∴直线与轴夹角的正切值直线与轴夹角的正切值的倒数， ∴，即， ， ∴， 即， ∵， 设的直线解析式为， ， 整理得：， ， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理得， 解得：， ∵当在的左侧时， ， ， ， ∵当在的右侧时， ， ； ②由（1）知，顶点， ， ， ， ， ∴此时为直角三角形，即， 若，此时与重合，与题意不合，应舍去． 综上，或时，以为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是运用分类讨论思想解决问题． 题型03 平行四边形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【典例02】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； （3）解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—特殊的四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的必考设问，多为解答题第3问，是坐标几何的核心应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找另外两点，使四点构成平行四边形。 2.动点背景：两个点在抛物线上或直线上运动，探究平行四边形的存在情况。 3.综合变形：结合菱形、矩形等特殊平行四边形的性质，考查更复杂的存在性问题。 方法技能 1.解题核心方法（中点坐标法）： 设点坐标：设四个点为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，其中两个点为已知点，另外两个为动点。 2.分三种情况讨论对角线： AB为对角线：中点重合，即，； AC为对角线：同理，中点重合； AD为对角线：同理，中点重合。 解方程，求出动点坐标，检验是否在题目给定的运动范围内。 3关键技巧：中点坐标法是最通用、最不易漏解的方法，优先使用；若已知两个定点，可分 “两点为邻边/两点为对角线” 两种情况讨论。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而表示出，，再通过证明，推出，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，得出点的坐标，再检验是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点是定点， ∴，，， 解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求解析式、平行四边形的性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，同时涉及的运算量较大，适合有能力解决压轴题的学生． 【变式02】（2025·四川广元·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）过作轴，交于点，求出直线的函数解析式为，则设点，则，则，然后由，再根据二次函数的性质即可求解； （）求出平移后，设点，然后分以为对角线时，，，以为对角线时，，，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， 和得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴平移后， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 【变式03】（2025·四川泸州·二模）在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①②，或 (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数和平行四边形的综合，二次函数和不等式综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和不等式的求解． （1）①当函数值为0时，转化成一元二次方程进行求解即可； ②根据题意，结合平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，分类进行讨论求解即可； （2）根据点的纵坐标相等判断出是对称点，得出，得到表示出，利用列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时， 解得， ； ②存在，理由如下： 由得 当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即， 解得 ∴； 当线段为边时，此时，，,假设， 解得，或， ∴或； 综上，，或； （2）解：∵， ∴两点是对称点， 解得， ， ， ∵， 整理得 解得或． 题型04 矩形、菱形、正方形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【典例02】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，特殊四边形、特殊角的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，与交于点，过点 作，先证明是等腰直角三角形，进而可得，设，可得，再根据中点坐标公式求出，代入解析式即可求出点，即可得出，，根据两点距离公式求出对角线，结合菱形面积公式可得. （3）先构造，根据，求出,由三角形是等腰直角三角形，所以，求出，进而可得直线解析式是，联立抛物线与直线解析式即可求出. 【详解】（1）解：已知点，代入抛物线解析式为 解得 ∴抛物线解析式为 （2）连接，与交于点，过点 作， 由抛物线解析式为可得， 又∵， ∴直线解析式为，， 若四边形为菱形，则，且 ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得： 解得（舍），， ∴，，， ∴ 所以菱形的面积 （3）延长至，过点作，与直线交于点，作轴，与x轴交于点H， 因为，即 ∴， 因为，，所以 又， ∴， 又∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形，所以 又∵，所以， 又，所以直线解析式是 联立抛物线与直线解析式得 解得（舍）， 所以． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的拔高设问，多为解答题第3-4问，是平行四边形性质的延伸应用： 1.矩形存在性：在平行四边形的基础上，探究对角线相等或有一个角为直角的情况。 2.菱形存在性：在平行四边形的基础上，探究邻边相等或对角线互相垂直的情况。 3.正方形存在性：同时满足矩形和菱形的条件，难度更高。 方法技能 1.矩形存在性解题技巧： · 先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； · 再根据 “对角线相等” 或 “有一个角为直角” 的条件，筛选出符合矩形的点； · 利用勾股定理或斜率垂直列方程，求解并检验。 2.菱形存在性解题技巧： · 先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； · 再根据 “邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 的条件，筛选出符合菱形的点； · 利用两点间距离公式或斜率垂直列方程，求解并检验。 3.关键技巧：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，解题时先利用平行四边形的中点坐标法，再叠加特殊条件，避免直接讨论的复杂性。 变式演练 【变式01】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，二次函数图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是ⅹ轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A，点B不重合），若，求出点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)N点的坐标可以为：或． (3)存在E点坐标为或或或或 【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可； （2）分M在N点上方，M在N下方，两种情况计算即可； （3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）有两种情况： ①当M在N上方时，如图，连接，过B点作，交于H， ∵二次函数解析式为：， ∴点坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴ ②当M在N下方时，如图，连接，过点作与x轴交于点，过点作垂足为， 由①已知，，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴综上N点的坐标可以为：或． （3）解：存在． ∵， ∴， 设， ①当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； ②当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式02】（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式03】（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 题型05 相似三角形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，N的坐标为或． 【分析】（1）由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得解得，即可得抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，设，求出，直线BC解析式为，可得，，由，可得，即，故，，再求出，可得，根据二次函数性质可得答案； （3）由，得直线CD解析式为，可得，即知，要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或，设，求出，，，分两种情况列方程可解得答案． 本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形等知识，能分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设， 在中，令得， ， 由，得直线BC解析式为， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ，抛物线对称轴为直线，轴， ， ， ， 当时，的最大值为， 此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； （3）存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图： 由，得直线CD解析式为， 令得， ， ， 直线OC是线段BM的垂直平分线， ， ， 要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或， 设， ，，，， ，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，N的坐标为或． 【典例02】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2) (3) 或 ． 【分析】（）根据，两点，利用待定系数法求解即可得； （）先由抛物线解析式求出与轴交点的坐标，再在中用勾股定理求出的长度；根据角平分线定理得到与的比例关系，结合的长度求出，从而确定的坐标；接着求出直线的解析式，联立直线与抛物线的方程，舍去点对应的解，得到点的坐标； （）先求出直线的解析式，再利用角平分线的性质得到点到直线的距离等于的长度；结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出与的长度；设出点的坐标，由的长度列方程求解得到的坐标，再根据的长度和直线的斜率求出对应点的坐标，最终得到两组符合条件的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴代入两点坐标得方程组：， 解得 ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式； 令，得， 即：抛物线与轴交点， 在中，，， 由勾股定理得， ∵平分， 根据角平分线定理：，且， 即： 解得：，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 联立直线与抛物线方程：， 整理得：， 解得：（对应点，舍去），，代入直线得 ， ∴点坐标为：； （3）解：设直线的解析式为， 代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作，垂足为， ∵平分，， ∴ ∵点在直线上， ∴在直线上，点到直线的距离为定值：， 即：中，边上的高为， 在中，在轴上，边上的高为， ∵， ∴，，即 由，，得，， 设，由得：， 整理解得或， ① 当时，， ，，，计算得； ② 当时，， ，，，计算得； 因此坐标为： 或 ． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的高频拔高设问，多为解答题第3问，是相似三角形与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知一个定三角形，在抛物线上找一点，使新构成的三角形与定三角形相似。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究与已知三角形相似的情况。 3.综合变形：常与直角三角形、等腰三角形结合，增加题目的复杂度，如 “等腰直角三角形相似”。 方法技能 1.解题通用步骤： · 先分析已知定三角形的形状（如直角三角形、等腰三角形），确定其边的比例和角的特征。 · 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 · 分对应顶点的不同情况讨论： · 定三角形的顶点A对应新三角形的顶点P； · 定三角形的顶点B对应新三角形的顶点P； · 定三角形的顶点C对应新三角形的顶点P。 · 利用相似三角形的对应边成比例列方程，求解并检验。 2.关键技巧：优先利用直角或特殊角确定对应关系，减少讨论情况；若有直角，优先用 “直角对直角” 的情况，简化比例计算。 变式演练 【变式01】（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点是线段上的一个动点（不与端点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的长； (3)若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】　　（1）将、代入中，再建立方程组求解即可； （2）求解，直线为，设，则，可得，，结合，再建立方程求解即可； （3）由，，可得当时，，如图，此时，可得关于抛物线对称轴对称，从而可得答案，当时，则，如图，过作轴于，证明，设，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：将、代入中， 可得：， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：∵， 当时，， ∴，而， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴. （3）解：∵，， ∴当时，，如图， ∴， ∴关于抛物线对称轴对称， ∵的对称轴为直线，， ∴，， 当时，则，如图，过作轴于， ∴， ∴， ∴，设， ∴， ∴， 解得：，，（都不符合题意，舍去） 综上：. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段问题，二次函数与相似三角形问题，清晰的分类讨论是解本题的关键. 【变式02】（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标； (3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法可得直线的解析式为，如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，进而得到，再证明可得，即当PQ最大时，的周长最大，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，进而得到，再根据二次函数的性质求解即可； （3）如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，再证明可得，由，则要使与相似，即或2；设点，、，进而得到或，即，最后求点E的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过点、点、点， 设抛物线的解析式为：， ，解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴ 直线的解析式为：， 如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M， 点M的坐标为， ，，， ， ， ， 又， ， ． 当PQ最大时，的周长最大， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ， ， ∴当时，， 点P的坐标为． （3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N， ， ，， ， ， ， ，要使与相似， ∴或2， 设点， ，， 或， ，，点不合题意，应舍去， 把点代入抛物线的解析式为：， 解得：，（舍去）， 点E的坐标为． 【变式02】（2025·四川绵阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式； (3)如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数综合题，平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）证明是等腰直角三角形，得到．设直线的解析式为，则，则直线的解析式为．证明，则，，得到．利用待定系数法即可求出答案； （3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．求出，得到，则，根据得到，整理可得，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ． 将代入， 得， 抛物线的解析式为． （2）如图③，过点作，垂足为． 由（1）可得抛物线的解析式为， ， 是等腰直角三角形， ． 设直线的解析式为，则， 直线的解析式为． 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ． 点在直线上，把代入中， 得，解得， 直线的解析式为 （3）如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K． ∵， ∴， ∴， ∴，则． ，则， 由直线EF的解析式为，得． ∵，， ∴直线BN的解析式为， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， 整理可得， 解得． ∵点D在第一象限内， ∴， ∴， 即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为． 题型06 角度存在性 典例引领 【典例01】 （2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【典例02】 （2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点T的坐标为或 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为； （3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∵， 则 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点， ∴当线段长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点， ∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； （3）解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 联立直线和抛物线解析式可得 解得：， 当时，， ∴ ∴轴， 又∵ ∴ ∴ 作关于直线的对称点，连接交于点 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的特色设问，多为解答题第3问，考查角度与坐标的转化能力： 1.基础模型：在抛物线上找一点，使某条线段与已知线段的夹角为特殊角（如45°、30°、60°）。 2.倍角/半角问题：探究是否存在点，使某个角是已知角的两倍或一半。 3.角的和差问题：探究是否存在点，使两个角的和或差为定值。 方法技能 1.解题核心技巧： · 构造直角三角形：过点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用三角函数（如tan值）列方程。 · 构造等腰直角三角形：遇到45°角，优先构造等腰直角三角形，利用全等或相似转化线段。 · 构造辅助圆：利用圆周角定理，将定角转化为圆上的圆周角，通过找圆的交点确定动点。 · 斜率法：利用直线的斜率与夹角的关系，列方程求解。 2.解题步骤： · 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据角度条件，构造直角三角形或辅助圆，列方程； · 解方程并检验解是否符合动点的运动范围。 变式演练 【变式01】（2025·四川宜宾·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为 【分析】（1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值，利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，，然后得出平移方式，进而得到平移后的表达式，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴右边时和当点在轴左边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得， ∴； （2）∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时，， 如图，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值， ∵， ∴， ∴的周长的最小值为； （3）∵， ∴，， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得，， 解得， 当点Q在y轴左边时，不存在，符合题意的点； 综上所述，点的横坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式02】（2025·四川达州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是负半轴上一点，已知，点为射线下方抛物线上一动点，过点作轴，交射线于点，点为射线上一点，且满足，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线绕原点旋转后再沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，其顶点为．为轴上上方一点，为新抛物线上一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，； (3)点的坐标或． 【分析】（1）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点Q作轴交于点H，则，根据题意得出，，进而根据等腰三角形的性质得出，则，则，则，进而设，则，得出关于p 二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据旋转以及平移变换得出；进而分类讨论，作G关于y轴的对称点，连接，则，过点作交于点Q，则，求得直线解析式联立抛物线即可求解；作Q关于的对称点M，连接交于点，则，同法可求点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴； （2）解：如图1所示，过点Q作轴交于点H，则， ∵， ∴，，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， ，即； （3）解：或；理由如下： ∵顶点坐标为， 当时，则， 将原抛物线绕原点旋转后，顶点坐标为， ∴， ∵，，， ∵沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴向上平移3个单位向右平移1个单位得到， ∴； ∴， 如图2所示，作G关于y轴的对称点，连接，则，过点作交于点Q，则， ∵，， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：，∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴； 如图3所示，作Q关于的对称点M，连接交于点，则， ∵，， 设的解析式为， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为，代入， ∴， 解得， ∴的解析式为； 设， ∴的中点坐标为， ∴， ∴①， 又∵， ∴②， 联立①②解得：或， 又∵M，，Q不共线，而，即点在上，故舍去， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，二次函数图象的几何变换，角度问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式03】（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的坐标或或或 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意得出，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设，待定系数法求出直线所在的直线表达式为：，推得点，将点坐标代入抛物线，即可求出点的坐标； （3）当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据待定系数法求求出直线的解析式；联立方程组，求出的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出，结合一次函数的平移得出直线解析式，结合勾股定理即可求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出的坐标；当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出，结合勾股定理即可求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标，结合一次函数的平移得出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 把、坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得，， 解得：， ∴所在的直线表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 设直线的函数表达式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得：或， 则点的坐标为或； （3）解：①当， 若点在轴上方，此时点，直线交轴于点， 若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， 即， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：， (舍去)， 则点； ②当时， 若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点， 若点在轴下方，此时点，如图： ∵，， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的解析式为， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵，， ∴， ∴， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 题型07 其他存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)的取值范围为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算． （1）由待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出的表达式，当最大时，最大，求解即可 （3）根据点在抛物线上，可先得出抛物线的表达式为，先对或进行分类讨论，其中发现时，抛物线与线段无交点；时，对点与点重合、抛物线过点、抛物线与线段相切三种情况进行分类讨论，根据图像进行求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， 点的坐标为． 将点代入，得． 直线的函数表达式为， 令，则，解得， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）如图1，过点作轴交于点． 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8， 此时点的坐标为． （3）由（2）知，点坐标为， 又∵， 直线的函数表达式为， 抛物线过点， 可设抛物线的函数表达式为， 在抛物线上， ， 抛物线的函数表达式为， ①当时， ， 抛物线开口向上。 又， ， 抛物线与线段无交点． ②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示， 此时． 抛物线与线段只有一个交点， ． ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示． 将代入，得． 抛物线与线段只有一个交点， ． ③当抛物线与线段相切时， 联立， 整理，得， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 综上所述，的取值范围为或． 【典例02】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，交轴于点(0，-3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点是第四象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连接，若为的平分线，求点的坐标； (3)在(2)的条件下，过点的直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)面积的最小值为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设直线交轴于点，过点作于点，设，由，得，求得，利用面积法可求得，再运用勾股定理建立方程可求得，则，利用待定系数法可得直线的解析式为，再联立方程组即可求得点的坐标； （3）由题意得直线的解析式为，与抛物线解析式联立得：，由根与系数关系得：，，由三角形面积公式可得运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交，两点， 设， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为； （2）如图1，设直线交轴于点，过点作于点， 设， ， ， ，即， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ，， 设直线的解析式为则， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：，， 点在第四象限， ； （3）由（2）知：， 如图2， 直线经过点， 直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 整理得：， ，， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，角平分线的性质，三角形面积，勾股定理，根与系数关系，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 方法透视 考向解读 1.解题核心技巧： · 构造直角三角形：过点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用三角函数（如tan值）列方程。 · 构造等腰直角三角形：遇到45°角，优先构造等腰直角三角形，利用全等或相似转化线段。 · 构造辅助圆：利用圆周角定理，将定角转化为圆上的圆周角，通过找圆的交点确定动点。 · 斜率法：利用直线的斜率与夹角的关系，列方程求解。 2.解题步骤： · 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据角度条件，构造直角三角形或辅助圆，列方程； · 解方程并检验解是否符合动点的运动范围。 方法技能 1.角平分线存在性解题技巧： · 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； · 设动点坐标，用点到直线的距离公式列方程求解； · 或利用角平分线的斜率关系，构造等腰三角形列方程。 2.垂直平分线存在性解题技巧： · 利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； · 设动点坐标，用两点间距离公式列方程求解； 或先求线段的中点和垂直平分线的解析式，再联立抛物线解析式求交点。 3.关键思想：这类问题的核心都是将几何条件转化为代数方程，再通过解方程求点的坐标，本质还是 “几何条件代数化” 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴当，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时， 此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）结论：存在； 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点， ∴， 联立， 同理可得：， 假设存在点，使得总是平分，如图，作， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 设，则：， 解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【变式02】（2025·四川南充·三模）如图，对称轴为的抛物线经过，，与轴正半轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)是否为轴上方抛物线上使以为底边的三角形面积最大的点？请说明理由． (3)在对称轴上求出点，使线段绕点旋转后，点的对应点恰在抛物线上． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点，再求出直线为，设与平行，与抛物线只有一个公共点的直线l为，求出直线l的解析式为，根据此直线经过点，即可得出答案； （3）分三种情况：①利用对称和斜中线构图；②利用互余和全等构图；③利用一线三等角构图；分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由对称轴可设抛物线为．则： ， 解得， 抛物线的解析式为． 即． （2）解：B是使以为底边的三角形面积最大的点； 由，得， 或． ， 设直线为， 则， 解得，， 直线为， 设与平行，与抛物线只有一个公共点的直线l为， 由， 得， 由， 解得， 直线l的解析式为，经过点． 是使以为底边的三角形面积最大的点． （3）解：①利用对称和斜边上的中线构图． 如图1，当时，，． 此时符合； 显然，符合． ②利用互余和全等构图． 如图2，当时， ，，， 设，则， ， ， 代入解析式，得， 整理，得． 解得或， ； ③利用一线三等角构图． 如图2，当时， ，，， 设，则， ， 代入解析式，得， 整理，得， 解得或， ； 综上，点的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【变式03】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标； (3)点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当时，抛物线与线段有交点 【分析】（1）先令抛物线解析式中，因式分解求出、两点坐标，再结合的面积求出的长度，确定点坐标，代入解析式求出的值，从而得到抛物线的表达式； （2）先求出直线的解析式，过点、分别作轴的平行线交直线于点、，利用相似三角形将​转化为，设出点的坐标表示出的长度，将表示为关于的二次函数，求出其最大值对应的值，进而得到点的坐标； （3）先分别代入、两点坐标求出对应的值，再求出线段的解析式，联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，再根据判别式等于求出抛物线与线段相切时的值，验证切点横坐标在线段范围内后，综合得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于，两点， ∴令，则， ， 解得，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 把点的坐标代入，得 ， 解得， 把代入解析式，得 ； （2）解：如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过，， ∴设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴， 当时，， ∴点， 设点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为， 此时， ∴当最大时，点的坐标为； （3）解：若过点， ∴， 即， 若过点， ∴， 即， ∵，， ∴设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴， 若抛物线与线段有交点， ∴， ∴， 当线段与抛物线仅有一个交点时， ， 解得：，（舍去）， 综上，当时，抛物线与线段有交点． 题型08 定点、定值问题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过定点 【分析】（1）令，则，从而可得，求解得出、的坐标，即可得解； （2）求出，连接、、、，作轴于，轴交于，设点的坐标为，则，求出，表示出，求出直线的解析式为，从而可得，求出，表示出，结合题意得出，解方程即可得解； （3）求出，，作轴于，设，则，求出，，由等腰三角形的性质可得，得出，从而可得，求出直线的解析式为，进而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：当时，， ∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， ， 设点的坐标为，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的两倍， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴，此时， ∴； （3）解：∵， ∴， 在中，当时，，故， 如图：作轴于， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线恒过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【典例02】（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第四象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积是定值，这个定值为15 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，运用待定系数法求函数拭，正确求出函数关系式是解答本题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，再把和代入解析式，解出关于的方程组即可； （2）求出抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，得到平移方式，设，则，运用待定系数法求出和的解析式，根据可得，求出的值即可解答； （3）连接，，，证明，，求出，可得结论． 【详解】（1）解：抛物线平移得到新抛物线， 设新抛物线的表达式为， 把和代入可得：， 解得， 新抛物线的表达式为； （2）解：新抛物线的表达式为， 抛物线的顶点平移到抛物线的顶点， 抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位， 设，则， 设的解析式为，它过和， 则， 解得， 设解析式为，它过和， 则， 解得， ， ， ， 经检验：是原方程的根， 当时，，， ； （3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E， 设的解析式为，它过， 则， 解得， ∴的解析式为； 设的解析式为，它过和， 则， 解得， ∴设的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴, ∴，，， ∵， 是直角三角形， ， 平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为， ，， ， 四边形的面积是定值，这个定值为15． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的特色拔高设问，考查代数恒等变形和几何探究能力： 1.定点问题：含参数的直线或抛物线，无论参数如何变化，恒经过某一个定点，求该定点坐标。 2.定值问题：含参数的线段长度、角度、面积或比例，无论参数如何变化，其值恒为定值，求该定值。 3.综合应用：常与直线与抛物线的交点、切线等问题结合，探究不变的几何关系。 方法技能 1.定点问题解题技巧： · 含参数的直线/抛物线解析式，整理为关于参数的方程形式； · 令参数的系数为0，解方程组求出定点坐标； · 或取两个不同的参数值，求出对应的两条直线/抛物线的交点，验证该交点是否恒在图像上。 2.定值问题解题技巧： · 设参数，用含参数的代数式表示所求的量； · 通过代数恒等变形，消去参数，得到一个常数； · 或取特殊的参数值，求出该量的值，再证明该值恒为定值。 变式演练 【变式01】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大为 (3)是， 【分析】（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果； （2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，结合点H在上列出方程，利用韦达定理解得m和n的关系，再把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形的面积 ； （2）∵在中，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形的面积最大时，的面积最大， 过点作，过点作，则：， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积最大， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最大为； （3）直线是过定点： 由（2）知：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴为的中点， ∵过点的直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵直线交该图象于点， ∴， 则， ∴，， ∴， 那么，， 解得：， ∴直线：， 即：， ， ∴当，即：时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键． 【变式02】（2025·四川成都·二模）如图1，抛物线与x轴的交点为、B两点，与y轴交于C点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为抛物线第四象限内的一点，交于点Q，若，求点P的坐标； (3)如图2，若点D为y轴上C点下方一动点，、分别与抛物线交于唯一公共点M、N（M在N的左侧），连接交y轴于E，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，进而求出点B的坐标，进而即可求出函数解析式； （2）设直线的表达式为，将点B、C的坐标代入求出解析式，设点，根据题意可得，则，求解得出点的坐标，设直线的表达式为，将点A、Q的坐标代入求出解析式，联立直线的表达式为和抛物线的表达式即可求出点P的坐标； （3）设过点D的直线为，，，联立抛物线和直线的表达式得，进而可得，代入根的判别式可得，则，，过M，N分别作y轴的垂线，垂足分别为R，S，设，，，，，证明，可得，求出，进而即可求出． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，点， ∴， ∵， ∴， 又∵点A为， ∴点B为， ∴抛物线的表达式为： ， ∴ 解得， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的表达式为：， 将点B、C的坐标代入， 得， ∴直线的表达式为：， 由题意得，设点， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或，即点， 设直线的表达式为：， 将点A、Q的坐标代入， 得， ∴直线的表达式为：， 联立直线的表达式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或，即点； （3）解：设过点D的直线为：，，， 联立抛物线和直线的表达式得， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴ ， ∴， ∴此时， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， 如图，过M，N分别作y轴的垂线，垂足分别为R，S，设， 则，，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴点，点， ∵点C为， 故点C是ED的中点，故． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、一元二次方程根的判别式、二次函数和一次函数的交点问题和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是定值，定值为 【分析】（1）先求解，将点代入，可得，再进一步求解即可； （2）如解图①过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为．由，可得在抛物线对称轴的右侧，证明，可得．过点作交CD于点，过点作于点．证明，可得点与点重合，，再进一步求解即可； （3）设，求解直线的表达式为，如解图②，过点分别作轴的垂线，垂足分别为．证明，可得，可得：．求解直线的表达式为，可得，，把代入上式得，可得，即点为一个定点，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 将点代入，得， 拋物线的函数表达式为， 对称轴为直线； （2）解：如解图①过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为． ， ∴在抛物线对称轴的右侧， ． 根据翻折的性质可知，， ， ， ， ， ． 过点作交于点，过点作于点． 在与中，， ， ， 又， ， ， 点与点重合， ， 将点代入中，得， 解得； （3）解：是定值．理由如下： 设， 设直线MN的表达式为， ， 得：， ∵， 解得， 把代入①得： ， 直线的表达式为， 如解图②，过点分别作轴的垂线，垂足分别为． ∴， 同理可得：， ∴， ， 即， 整理得：． 由直线过点，得， 直线的表达式为， 联立， 整理得，， 把代入上式得， ． ， ，即点为一个定点， ． ， 轴， ∴， ， ， 为定值，定值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数，一次函数的解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题●型●训●练 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）先求得直线的解析式，当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，进而求得的长，根据三角形的面积公式建立方程，即可求解；当在上方时，过点作的平行线交抛物线与点，得出直线的解析式为，进而联立抛物线，即可求解； （3）根据题意先求得，根据直角三角形的外心在斜边的中点上得出，设，的中点为，过点作轴交于点，进而得出是等腰直角三角形，则，根据中点坐标求得，代入得出，根据，得出，联立求得，进而将代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得 ∴即 （2）解：∵ ∴ ∴抛物线解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得 解得： ∴ 当在的下方时，如图，过点作轴，交于点， 设，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴，则 ∴，且轴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴到的距离为 如图，延长交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形，且 ∴到的距离为， ∵ ∴当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点, 设直线的解析式为 代入 ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或 （3）抛物线方程为，由（1）知， 当时，，则 故抛物线为： 设， 当时， ∵ ∴ ∴ 即，解得 ∴ ∵是直角三角形， ∴的外接圆的圆心在上，且为的中点， ∵， ∴的外接圆的圆心坐标为： 因为直线的解析式为 如图，设，的中点为，过点作轴交于点 ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵在上， ∴     ∴即① ∵ ∴ ∴② 联立①②得， ∴ ∵在抛物线上，代入抛物线方程： 解得：或 ∵ ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，三角形的外心的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2025·四川达州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是负半轴上一点，已知，点为射线下方抛物线上一动点，过点作轴，交射线于点，点为射线上一点，且满足，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线绕原点旋转后再沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，其顶点为．为轴上上方一点，为新抛物线上一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，； (3)点的坐标或． 【分析】（1）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点Q作轴交于点H，则，根据题意得出，，进而根据等腰三角形的性质得出，则，则，则，进而设，则，得出关于p 二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据旋转以及平移变换得出；进而分类讨论，作G关于y轴的对称点，连接，则，过点作交于点Q，则，求得直线解析式联立抛物线即可求解；作Q关于的对称点M，连接交于点，则，同法可求点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴； （2）解：如图1所示，过点Q作轴交于点H，则， ∵， ∴，，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， ，即； （3）解：或；理由如下： ∵顶点坐标为， 当时，则， 将原抛物线绕原点旋转后，顶点坐标为， ∴， ∵，，， ∵沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴向上平移3个单位向右平移1个单位得到， ∴； ∴， 如图2所示，作G关于y轴的对称点，连接，则，过点作交于点Q，则， ∵，， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：，∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴； 如图3所示，作Q关于的对称点M，连接交于点，则， ∵，， 设的解析式为， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为，代入， ∴， 解得， ∴的解析式为； 设， ∴的中点坐标为， ∴， ∴①， 又∵， ∴②， 联立①②解得：或， 又∵M，，Q不共线，而，即点在上，故舍去， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，二次函数图象的几何变换，角度问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的坐标或或或 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意得出，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设，待定系数法求出直线所在的直线表达式为：，推得点，将点坐标代入抛物线，即可求出点的坐标； （3）当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据待定系数法求求出直线的解析式；联立方程组，求出的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出，结合一次函数的平移得出直线解析式，结合勾股定理即可求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出的坐标；当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出，结合勾股定理即可求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标，结合一次函数的平移得出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 把、坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得，， 解得：， ∴所在的直线表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 设直线的函数表达式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得：或， 则点的坐标为或； （3）解：①当， 若点在轴上方，此时点，直线交轴于点， 若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， 即， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：， (舍去)， 则点； ②当时， 若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点， 若点在轴下方，此时点，如图： ∵，， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的解析式为， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵，， ∴， ∴， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图1， 已知抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点． (1)用含的代数式表示点，的横坐标； (2)若，，是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求点的坐标； (3)如图2，当时，点在轴负半轴上（点在点下方），直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)点的横坐标为，点的横坐标为 (2) (3)为定值，是 【分析】（1）令可求出，然后可得到点A和点B的横坐标； （2）将代入得，然后再求得点C和点B的坐标，从而可知 ，故得，过点A作，取，作射线交抛物线于点P，过点D作轴，垂足为E．接下来证明，于是可得到点D的坐标为，然后再求得的解析式，最后将与联立可求得点P的坐标； （3）过点D作，垂足为H，然后证明，依据相似三角形的性质可得到点H的坐标为，然后再求得点D和点N的坐标（用含a、m的式子表示），接下来，再利用待定系数法求得直线的解析式，将的解析式与抛物线的解析式联立可求得点E的横坐标，再证明，最后依据求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， 点的横坐标为，点的横坐标为； （2）解：当，时，， 当时，， 解得，， 点，点， 当时，， 点， ， 连接，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 过点作，使得，延长线段交抛物线于点，过点作轴于点，则， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点， 设直线的解析式为，把点和点代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点； （3）解：由（1）得，点，点， 过点D作，垂足为H．如图所示： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴点H的坐标为． 将代入抛物线的解析式得：， ∴点D的坐标为，则． 设直线的解析式为， 将点N和点A的坐标代入得：， 解得，. ∴直线的解析式为． ∵， ∴直线的解析式为， 将与联立， 解得（点A的横坐标），． ∴点E的横坐标为． ∵， ∴． ∴，即． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了因式分解法解方程，等腰直角三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，构造等腰直角三角形，并求得点D的坐标是解答问题（2）的关键；求得点E的横坐标是解答问题（3）的关键． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标； (3)若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点． ①求直线l解析式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，P点横坐标为 (3)①直线l的表达式为；②直线是过定点，该定点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合运用，涉及到根和系数关系的运用、待定系数法求函数表达式、图形的平移等，强大的运算能力是解题的关键． （1）依据题意，由待定系数法即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式为，过作轴交于，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①依据题意，直线与抛物线有且只有一个公共点，则，即可求解； ②依据题意，求出点的坐标为：，得到，设直线的表达式为：，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：如图，∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方， ， 解得：， ∴存在，点横坐标为； （3）解：①由题意，当时，，即点， 将点代入得，即， 则直线的表达式为：， ∵直线与抛物线有且只有一个公共点， 则联立上述两个函数表达式得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：； ②由题意，直线过定点， 理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：， ∵点在直线上， 则， 整理得：， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ， 则直线的表达式， ∴当时，， 即直线过定点． 6．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)是定值，，见解析 【分析】（1）将对称轴，点的坐标代入关系式，即可求出答案； （2）先根据待定系数法求出直线，再表示出点，，进而求出，再根据点，关于对称轴对称，表示，然后根据，列出方程，再分当和当时，分别求出的值，进而得出答案； （3）先求出平移后的解析式为，再设直线的关系式，即可表示出，，进而得出，然后联立，求出，，再连接，，过作轴，作，作，可得是等腰直角三角形，再根据，可得，再根据坐标和线段之间的关系得，可得，的关系式，进而得出答案． 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点， ， 解得：， 解析式为：； （2）解：设直线，代入，，得， 解得：，， 直线． 点在抛物线上，点在上， 设，． 在直线上方， ， 轴， ，关于对称轴对称， ， ， ，即． ①当时，， 解得：，， 在上方， ， ， ； ②当时，， 解得：（舍），， ； 综上：P点坐标为或． （3）解：平移后的解析式为：， 设， ，，，， ， 联立，得， ，， 连接，，过作轴，作于，作于， 根据垂直平分线可得，，， ∵， ∴， 、都是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， 整理，得， ，， ， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键． 7．（2025·四川南充·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 8．（2025·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线解析式为，过N作轴于D，设，则，故，判定是等腰直角三角形，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：令，解得，， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 过N作轴于D， ， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）解：存在．理由如下： 原抛物线，对称轴为直线， ∴F的横坐标为， ∵点，点， ∴，， ∴． ∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y， ∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y， ∴抛物线的解析式为． 设点． ①当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． ②当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为； ③当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． 综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 9．（24-25九年级上·广东湛江·月考）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可； （2）先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在． ∵， ∴， 设， ①当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； ②当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数中的存在性问题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01  等腰三角形存在性 题型02 直角三角形存在性 题型03 平行四边形存在性 题型04 矩形、菱形、正方形存在性 题型05 相似三角形存在性 题型06 角度存在性 题型07 其他存在性问题 题型08 定点、定值问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 等腰三角形存在性 典例引领 【典例01】（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； 【典例02】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的经典设问，多为解答题第2-3问，是分类讨论思想的典型应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成等腰三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下等腰三角形的存在情况。 3.综合变形：结合将军饮马、对称等几何变换，增加题目的复杂度。 方法技能 1.解题通用步骤： · 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 · 分三种情况讨论： PA=PB：P在AB的垂直平分线上，利用中点坐标和斜率关系列方程； PA=AB：以A为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P； PB=AB：以B为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P。 · 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2.关键技巧：利用两点间距离公式列方程，优先化简再求解，避免复杂计算；画草图辅助分析，防止漏解或重复。 变式演练 【变式01】（2026·四川达州·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 【变式02】（2025·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式03】（2025·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 直角三角形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． (1)求点C的坐标及线段的长； (2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【典例02】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的高频设问，多为解答题第2-3问，是勾股定理与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成直角三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下直角三角形的存在情况。 3.综合变形：结合相似三角形、斜率垂直等性质，增加题目的难度。 方法技能 1.解题通用步骤： · 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 · 分三种情况讨论： ∠A=90∘：AB⊥AC，利用勾股定理AB2+AC2=BC2或斜率乘积为−1列方程； ∠B=90∘：BA⊥BC，同理列方程； ∠C=90∘：CA⊥CB，同理列方程。 · 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2关键技巧：优先用勾股定理列方程，避免斜率计算时的无意义情况（垂直于x轴的直线无斜率）；注意直角顶点的所有可能性，防止漏解。 变式演练 【变式01】（2025·四川资阳·三模）如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式03】（2025·四川南充·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 题型03 平行四边形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例02】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的必考设问，多为解答题第3问，是坐标几何的核心应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找另外两点，使四点构成平行四边形。 2.动点背景：两个点在抛物线上或直线上运动，探究平行四边形的存在情况。 3.综合变形：结合菱形、矩形等特殊平行四边形的性质，考查更复杂的存在性问题。 方法技能 1.解题核心方法（中点坐标法）： 设点坐标：设四个点为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，其中两个点为已知点，另外两个为动点。 2.分三种情况讨论对角线： AB为对角线：中点重合，即，； AC为对角线：同理，中点重合； AD为对角线：同理，中点重合。 解方程，求出动点坐标，检验是否在题目给定的运动范围内。 3关键技巧：中点坐标法是最通用、最不易漏解的方法，优先使用；若已知两个定点，可分 “两点为邻边/两点为对角线” 两种情况讨论。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式02】（2025·四川广元·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 【变式03】（2025·四川泸州·二模）在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 题型04 矩形、菱形、正方形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【典例02】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的拔高设问，多为解答题第3-4问，是平行四边形性质的延伸应用： 1.矩形存在性：在平行四边形的基础上，探究对角线相等或有一个角为直角的情况。 2.菱形存在性：在平行四边形的基础上，探究邻边相等或对角线互相垂直的情况。 3.正方形存在性：同时满足矩形和菱形的条件，难度更高。 方法技能 1.矩形存在性解题技巧： · 先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； · 再根据 “对角线相等” 或 “有一个角为直角” 的条件，筛选出符合矩形的点； · 利用勾股定理或斜率垂直列方程，求解并检验。 2.菱形存在性解题技巧： · 先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； · 再根据 “邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 的条件，筛选出符合菱形的点； · 利用两点间距离公式或斜率垂直列方程，求解并检验。 3.关键技巧：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，解题时先利用平行四边形的中点坐标法，再叠加特殊条件，避免直接讨论的复杂性。 变式演练 【变式01】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，二次函数图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是ⅹ轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A，点B不重合），若，求出点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式02】（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【变式03】（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05 相似三角形存在性 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例02】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的高频拔高设问，多为解答题第3问，是相似三角形与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知一个定三角形，在抛物线上找一点，使新构成的三角形与定三角形相似。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究与已知三角形相似的情况。 3.综合变形：常与直角三角形、等腰三角形结合，增加题目的复杂度，如 “等腰直角三角形相似”。 方法技能 1.解题通用步骤： · 先分析已知定三角形的形状（如直角三角形、等腰三角形），确定其边的比例和角的特征。 · 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 · 分对应顶点的不同情况讨论： · 定三角形的顶点A对应新三角形的顶点P； · 定三角形的顶点B对应新三角形的顶点P； · 定三角形的顶点C对应新三角形的顶点P。 · 利用相似三角形的对应边成比例列方程，求解并检验。 2.关键技巧：优先利用直角或特殊角确定对应关系，减少讨论情况；若有直角，优先用 “直角对直角” 的情况，简化比例计算。 变式演练 【变式01】（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点是线段上的一个动点（不与端点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的长； (3)若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【变式02】（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标； (3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标． 【变式02】（2025·四川绵阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式； (3)如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标． 题型06 角度存在性 典例引领 【典例01】 （2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【典例02】 （2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的特色设问，多为解答题第3问，考查角度与坐标的转化能力： 1.基础模型：在抛物线上找一点，使某条线段与已知线段的夹角为特殊角（如45°、30°、60°）。 2.倍角/半角问题：探究是否存在点，使某个角是已知角的两倍或一半。 3.角的和差问题：探究是否存在点，使两个角的和或差为定值。 方法技能 1.解题核心技巧： · 构造直角三角形：过点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用三角函数（如tan值）列方程。 · 构造等腰直角三角形：遇到45°角，优先构造等腰直角三角形，利用全等或相似转化线段。 · 构造辅助圆：利用圆周角定理，将定角转化为圆上的圆周角，通过找圆的交点确定动点。 · 斜率法：利用直线的斜率与夹角的关系，列方程求解。 2.解题步骤： · 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据角度条件，构造直角三角形或辅助圆，列方程； · 解方程并检验解是否符合动点的运动范围。 变式演练 【变式01】（2025·四川宜宾·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【变式02】（2025·四川达州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是负半轴上一点，已知，点为射线下方抛物线上一动点，过点作轴，交射线于点，点为射线上一点，且满足，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线绕原点旋转后再沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，其顶点为．为轴上上方一点，为新抛物线上一点，使得，请直接写出点的坐标． 【变式03】（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型07 其他存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【典例02】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，交轴于点(0，-3)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点是第四象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连接，若为的平分线，求点的坐标； (3)在(2)的条件下，过点的直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 方法透视 考向解读 1.解题核心技巧： · 构造直角三角形：过点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用三角函数（如tan值）列方程。 · 构造等腰直角三角形：遇到45°角，优先构造等腰直角三角形，利用全等或相似转化线段。 · 构造辅助圆：利用圆周角定理，将定角转化为圆上的圆周角，通过找圆的交点确定动点。 · 斜率法：利用直线的斜率与夹角的关系，列方程求解。 2.解题步骤： · 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据角度条件，构造直角三角形或辅助圆，列方程； · 解方程并检验解是否符合动点的运动范围。 方法技能 1.角平分线存在性解题技巧： · 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； · 设动点坐标，用点到直线的距离公式列方程求解； · 或利用角平分线的斜率关系，构造等腰三角形列方程。 2.垂直平分线存在性解题技巧： · 利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； · 设动点坐标，用两点间距离公式列方程求解； 或先求线段的中点和垂直平分线的解析式，再联立抛物线解析式求交点。 3.关键思想：这类问题的核心都是将几何条件转化为代数方程，再通过解方程求点的坐标，本质还是 “几何条件代数化” 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2025·四川南充·三模）如图，对称轴为的抛物线经过，，与轴正半轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)是否为轴上方抛物线上使以为底边的三角形面积最大的点？请说明理由． (3)在对称轴上求出点，使线段绕点旋转后，点的对应点恰在抛物线上． 【变式03】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标； (3)点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围． 题型08 定点、定值问题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【典例02】（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第四象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 方法透视 考向解读 四川中考二次函数压轴题的特色拔高设问，考查代数恒等变形和几何探究能力： 1.定点问题：含参数的直线或抛物线，无论参数如何变化，恒经过某一个定点，求该定点坐标。 2.定值问题：含参数的线段长度、角度、面积或比例，无论参数如何变化，其值恒为定值，求该定值。 3.综合应用：常与直线与抛物线的交点、切线等问题结合，探究不变的几何关系。 方法技能 1.定点问题解题技巧： · 含参数的直线/抛物线解析式，整理为关于参数的方程形式； · 令参数的系数为0，解方程组求出定点坐标； · 或取两个不同的参数值，求出对应的两条直线/抛物线的交点，验证该交点是否恒在图像上。 2.定值问题解题技巧： · 设参数，用含参数的代数式表示所求的量； · 通过代数恒等变形，消去参数，得到一个常数； · 或取特殊的参数值，求出该量的值，再证明该值恒为定值。 变式演练 【变式01】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式02】（2025·四川成都·二模）如图1，抛物线与x轴的交点为、B两点，与y轴交于C点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为抛物线第四象限内的一点，交于点Q，若，求点P的坐标； (3)如图2，若点D为y轴上C点下方一动点，、分别与抛物线交于唯一公共点M、N（M在N的左侧），连接交y轴于E，求的值． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题●型●训●练 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 2．（2025·四川达州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是负半轴上一点，已知，点为射线下方抛物线上一动点，过点作轴，交射线于点，点为射线上一点，且满足，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线绕原点旋转后再沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，其顶点为．为轴上上方一点，为新抛物线上一点，使得，请直接写出点的坐标． 3．（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图1， 已知抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点． (1)用含的代数式表示点，的横坐标； (2)若，，是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求点的坐标； (3)如图2，当时，点在轴负半轴上（点在点下方），直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标； (3)若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点． ①求直线l解析式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 6．（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 7．（2025·四川南充·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·广东湛江·月考）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 10．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $