导数与不等式-第3课时 放缩法证明不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

第19讲 导数与不等式 / 第3课时 放缩法证明不等式 / 1 放缩法证明不等式，即把要证的不等式一边适当地放大 （或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小 的传递性，从而使不等式得到证明的方法. 常用的放缩方式有三类：一是利用不等式放缩.根据函数结构， 选择不同的不等式，如指数不等式、对数不等式、三角不等式、基 本不等式等进行放缩，使函数简单化，从而降低难度.从图象角度看， 是以直代曲的思路.二是利用已证结论放缩.解答题的上一问中证明的 不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩依 据，即利用已证结论进行放缩，化繁为简.三是利用参数范围放缩.函 2 数解析式中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从 参数的范围入手，在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第 一步放缩，达到减少变量，使函数结构简单的目的. 提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:（1）舍 去一些正项（或负项）;（2）在和或积中换大（或换小）某些项;（3） 扩大（或缩小）分式的分子（或分母）;（4）构造基本不等式 （通常结合代换法,注意对指数的变换）.#1.2 探究点一 指对放缩证明一元不等式 例1 已知函数，当时，求证： . ［思路点拨］先证明不等式 ，再证明不等式 ，进而可证 . 证明：设 ， 则 ，当时，， 当时，，所以 在上单调递减， 在 上单调递增，所以， 所以（当且仅当 时取等号）. 课 堂 考 点 探 究 4 设，则 ， 当时，，当时，， 故 在上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以（当且仅当 时取等号）. 因为与 的等号不能同时取到， 所以当时， . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 利用导数证明不等式时，经常会遇到和 与其他代数式结合的问 题，对于这类问题，可以考虑先对和 进行放缩，使问题简化， 简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下： （1），当且仅当 时取等号； （2），当且仅当 时取等号. 课 堂 考 点 探 究 6 变式题 已知函数，证明：当 时， ． 证明：构造函数，则， 令 ，得，令，得 ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以（当且仅当 时取等号）. 构造函数，，则， ， 令，得，令，得 ， 课 堂 考 点 探 究 7 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以（当且仅当 时取等号）. 因为，所以 ， 又，所以，当且仅当 ， 时等号成立，所以当时， . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 指对放缩证明数列不等式 例2 已知函数 . （1）求 的最大值； ［思路点拨］利用导数研究函数 的单调性，进而可求得最大值； 课 堂 考 点 探 究 9 解：的定义域为， . 令， ，则， 在 上单调递减，， 当时，，， 单调递增， 当时，，， 单调递减， . 课 堂 考 点 探 究 10 （2）求证：， . ［思路点拨］由（1）得到，令 ,得到 ，进而证明. 课 堂 考 点 探 究 11 证明：由（1）知， 即 ，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当 时等号成立. 令，， ，即 ， ， 即， . 课 堂 考 点 探 究 12 [总结反思] 用导数方法来证明形如 (或 的数列型不等式,对于多数同学来说构造是难 点,即构造一个不等式,它的一般解题思路为:①令 (注：有时需要简单放缩或变形，若证 ，则令，其中 ); ②证明,而这一步基本上用导数法来完成（即把 作为自变量 ,构造函数,然后用导数法证明）;③自累加 (若 ,则采用累乘法),得证. 课 堂 考 点 探 究 13 变式题 已知为自然对数的底数，函数满足 ， ，函数 ， （1）求函数 的极值点和极值； 解：因为，所以 ， 当时，，当时， ， 所以函数在上单调递减，在 上单调递增， 所以函数有一个极小值点0，极小值为 ， 无极大值点和极大值. 课 堂 考 点 探 究 14 （2）若在上单调递增，求实数 的最大值； 解：设,则 ， 因为在上单调递增，所以 ， 即对 恒成立， 所以，所以实数的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 15 （3）求证：， . 证明：当时, ,则 ,又 ，所以,故 . 由（2）知,当,时, ， 所以在上单调递增,所以 ,即 ,所以 ,即 . 课 堂 考 点 探 究 16 在①式中分别令,, , ，累加得 , 所以， . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 三角放缩证明不等式 例3 已知函数， .求证： （1）直线是曲线 的一条切线； ［思路点拨］对函数 求导，根据切线斜率为2，求出切点坐标， 进而得到切线方程，即可证明； 课 堂 考 点 探 究 18 证明：由，得 . 设切点坐标为，由，得 ， 所以 ，则切点坐标为， 则曲线在点 处的切线方程为， 即，所以直线 是曲线 的一条切线. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）当时， . ［思路点拨］先证明 ，再利用放缩法证明 ,然后再利用 放缩证明 即可. 证明：令 ， 则，当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 所以，即 . 课 堂 考 点 探 究 20 当时，要证， 只需证 ，即证 . 令，则在 上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当 时，，即， 所以当 时，， 故只需证当时， . 课 堂 考 点 探 究 令 ， 则， 所以在 上单调递减，所以当 时， ，即 . 综上，当时， . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 对于含有三角函数的不等式的证明，其三角函数部分可以采用有界 性或常见的三角不等式进行放缩处理，为整个不等式的证明创造条 件.常见的三角放缩不等式有: （1），；（2）, ； （3）,；（4）, ；（5） , . 课 堂 考 点 探 究 23 变式题 已知函数 . （1）证明：当时， ； 证明：令，则 ， 令，则对任意 恒成立， 故在 上单调递增， 所以当时，，故在 上单调递增， 所以当时，，即当时， . 课 堂 考 点 探 究 24 （2）当时，证明：不等式 对任意 恒成立. 证明：当时，由（1）得，且 . 当,且时，要证 ， 只需证 ,即证 . 当时，显然成立；当时，即证 . 令，，则 . 课 堂 考 点 探 究 25 令，，则， 当时， ，所以在上单调递增， 所以当时， ，所以在上单调递增， 所以 ，即 . 综上，当时，不等式对任意 恒 成立. 课 堂 考 点 探 究 【备选理由】例1既用到了切线放缩，又用到三角函数的简单放缩； 例1 ［配例1使用］已知函数，其中 . （1）若在上恒成立，求 的取值范围； 解：令，，则 . 当时，， 则在 上单调递增，所以； 当时，令 ，则， 所以对任意 恒成立,则在上单调递增， 教 师 备 用 习 题 27 又因为， ， 所以由函数零点存在定理可知，存在，使得 ， 所以当时，，单调递减， ，与题意矛盾.综上所述， . 教 师 备 用 习 题 28 （2）证明：对任意， 恒 成立. 证明：由（1）知，当时，，其中 . 先证,,令, ， 则，所以在 上单调递增， 所以，即. 所以当 时，， 可得 . 教 师 备 用 习 题 29 要证，只需证 . 令， ， 则， 所以在 上单调递减,所以,即 . 综上可得，对任意, 恒成立. 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例2使用］[2026·辽宁鞍山模拟] 已知函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； 解：函数的定义域为， ， ①当时，，所以在 上单调递增. ②当时，令，可得 . 【备选理由】例2的切线放缩结果可以证明数列不等式. 教 师 备 用 习 题 31 当时，，则， 所以 在 上单调递减； 当时，，则， 所以在 上单调递增. 综上，当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在 上单调递增. 教 师 备 用 习 题 （2）当时，证明： ； 证明：当时，，要证 ， 即证，即证 . 设，则，令，得 . 当时，，当时， ， 所以为 的极大值点，也为最大值点， 所以，即.故 . 教 师 备 用 习 题 33 （3）求证：对任意的且 ，都有 … . 证明：由（2）知（当且仅当 时等号成立），令 ，则 ，所以 ， 即 ， 所以… . 教 师 备 用 习 题 34 例3 ［配例2、例3使用］设函数 . （1）当时，证明： ； 证明：由题意知,函数的定义域为,且 为偶函数,当时, ,因为,所以 , 令,,则,所以 在 上单调递增,所以,所以当时, ,所以在 上单调递增,所以 . 又为偶函数,所以当时, 也成立,所以 . 【备选理由】例3的切线放缩结果可以证明数列不等式. 教 师 备 用 习 题 35 （2）证明： . 证明： 由（1）可知，当时， ， 即，当且仅当 时，等号成立， 令，且，可得 ， 即 ， 由（1）可得，当时， ， 教 师 备 用 习 题 36 又且，所以 ， 可得，即 ，即 ， 所以 ， 即 . 教 师 备 用 习 题 作业手册 38 ◆ 基础热身 ◆ 1.[2025·河南南阳模拟] 已知函数 . （1）求曲线在点 处的切线方程； 解：由，得，则 ， 又，所以曲线在点处的切线方程为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 39 （2）证明：， 恒成立. 证明：设,，则 ， 所以函数在上单调递减，所以 ， 即，所以当时， . 设,，则， 所以函数 在 上单调递增，所以， 即 ，即， 所以 ，即 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 40 2.已知函数,其中为正实数.证明:当 时, . 证明：令,其定义域为 , 则 . 当时,,当时,, 在 上单调递增,在 上单调递减, , ,即,当且仅当时取等号. 当时, , 又, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 41 要证 , 即证 , 只需证,即证 . 令, ,则 . , 恒成立,在 上单调递增, , 当时, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.证明：当时， . 证明：当时，由,得, 当且仅当 时取到等号. ,,当且仅当 时取到等号. 所以直线为曲线和曲线 的公切线， 但切点不同，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 43 ◆ 综合提升 ◆ 4.[2025·锦州二模] 已知 . （1）若在上单调递增，求 的取值范围； 解：若在 上单调递增， 则对 恒成立， 设， ，则， 所以在 上单调递减，所以只需，即， 所以的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 44 （2）若的图象在点处的切线方程为，求与 的 值，并证明当时， . 解：因为， ， 所以的图象在点处的切线方程为 ， 根据题意，该切线方程为，所以解得 所以，因为，所以 ， 下面证明： . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 45 方法一：先证，即 ，令 ，则，所以 在 上单调递增，所以，即 . 再证，即 ， 令，则 ， 当时，，当时，， 所以 在上单调递减，在 上单调递增， 所以，即，所以 . 由①②得 ，所以当时， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 46 方法二：设，则 ， 因为与在 上均单调递增， 所以在 上单调递增. 因为，，所以存在 ， 使得，所以，即 . 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 47 所以，当且仅当 时等号成立， 因为，所以，即，所以当 时， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.已知函数， . （1）当时，恒成立，求实数 的取值范围； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 49 解：令，则 . 当时，，则函数在 上单调递增； 当时，，则函数在 上单调递减. 所以,所以,当且仅当 时等号成 立，所以当时，，即 ； 当时，取，因为 ， 且，所以 ， 故，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 50 （2）若，证明： . 证明：由（1）可得，当时，， 当且仅当 时等号成立，则当时，， 可得 ，即，即， 当且仅当 时等号成立，故当时， . 令，,则，所以 ， 即 ，所以 ， ,,2, ,. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 51 令 ,则,且不恒为零， 所以函数在 上单调递增，所以 ， 则 ，所以， ,,2, , ， 所以当 时， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 课堂考点探究 例1 略 变式题 略 例2（1） </m>（2）略 变式题（1） 函数<m></m>有一个极小值点0， 极小值为<m></m>，无极大值点和极大值.（2）<m></m>（3）略 例3（1）略（2）略 变式题（1）略（2）略 答 案 核 查 53 基础热身 1.（1）<m>/m>（2）略 2.略 3.略 综合提升 4.（1）> （2）<m>证明略 5.（1） ></m>（2）略 答 案 核 查 54 $