专题12 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12三角形中的倒角模型之双角平分线和高线 模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： ∠P=90°+ -ZA ∠PBC=∠ABC∠PCB=∠ACB 证明：，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,, .∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)-180.1(∠ABC+∠4CB)=180°.1(180.∠A)=90+1∠A。 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D。 ∠DCB 证明：：BP、CP平分∠ABC、∠DCB,∴. ∠PBC=ABC,∠PCB- 2 1/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)=180°-1（∠ABC+∠DCB)=180°.1(360-∠4-∠D)=1(∠A+∠D) 即：2∠P=∠A+∠D。 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 PCD-LBCD ZPDC-)∠CD5 证明：，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴. ：∠P=180°.（∠PCD+∠PDC)=180.1(∠BCD+∠CDE)=180°.1(540-∠4-∠D-∠E)=∠A+∠D +∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1.(25-26八年级上甘肃临夏期中)如图，在ABC中，∠C=80°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于 点0，则∠0的度数为() 4 B A.120° B.125 C.130° D.135 【变式1-1】(25-26八年级上·安徽六安期中)在ABC中BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A、B 重合)，CD、BE交于点O. B (I)若CD是中线，BC=3,AC=2,则△BCD与△ACD的周长差为_； (2)若LABC=62°，CD是高，求∠BOC的度数； (3)若∠A=78°，CD是角平分线，求∠B0C的度数. 【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的 两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动. 如图①，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线. 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A A D B C B 图① 图② 解决问题：(I)若LABC=40°，LACB=80°，则∠BPC=;(直接写出答案) (2)若∠BAC=100°，求出∠BPC的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出 ∠BPC与∠A+∠D的数量关系. 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 o 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图I,在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P;结论： P-328 ∠PBC-)∠ABC∠PCD= 证明：BP、CP平分∠ABC、∠ACD, ∠ACD 1 .∴∠P=∠PCD-∠PBC=2（∠ACD-∠ABC)=2∠A. 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，LA=a,∠ABC、∠ACD的平分线相交于点P,∠PBC,∠PCD的平分线相交于点B, ∠BBC,∠BCD的平分线相交于点B.…以此类推；结论：∠P的度数是2 ∠PBC= 1 ∠ACD 证明：BPI、CP1平分∠ABC、∠ACD,∴. 2ABC∠PCD= 2 3/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=1 (24.∠Bc)A0.同理：2R∠n70,2R号 例2.(25-26七年级上山东威海月考)如图，已知在ABC中，∠A=70°，∠ACB=36°，D为边BC延长 线上一点，BM平分∠ABC,E为射线BM上一点，连接CE. M B C D (I)若CE∥AB,求∠BEC的度数 (2)若CE平分∠ACD,求∠BEC的度数. 【变式2-1】(25-26八年级上·安徽滁州期中)如图，在ABC中，BO,CO分别平分LABC,LACB,CE为外 角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E. B D (1)求证：∠A=2∠E; (2)试探究∠BOC与∠E之间的数量关系，并说明理由. 【变式2-2】(25-26八年级上浙江金华·月考)如图，在ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交 AC于点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,∠ACF的平分线CQ与 DP的延长线相交于点Q, B C (1)若∠A=40°，∠B=60°，求∠DPC与∠Q: (2)若∠A=x°时，则∠DPC= ,∠Q= 4/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 C D B A 图1 图2 图3 1)两外角平分线的夹角模型 ∠0=90°-1∠A 条件：如图1，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结论： 2 ∠OBC=∠EBC∠OCB=L∠BCF 证明：BO、CO平分∠CBE、∠BCF,∴. 2 2 ∠O=180.(∠OBC+∠OCB)=180.1(∠EBC+∠BCF)=180.1(∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) 2 2 =180°.1(180°+∠A)-90°+1∠A。 2 2)旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D;结论：AD平分∠CAD 。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC, ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角， ∴.DH=DM,DH=DN,.DM=DN,AD平分∠CAD。, 例3.(25-26八年级上·安徽滁州·月考)如图，在ABC中，∠ABC的平分线与外角∠BCN的平分线的反向 延长线相交于点E. (1)若∠A=70°，则∠E= 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若外角∠CBM的平分线与∠BCN的平分线相交于点F,且∠F=3∠E,则∠A= 【变式3-1】(25-26八年级上，安微六安期中)如图，四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角 ∠MBC和∠NDC,若∠BAD=a,LBCD=B. M 图1 图2 (I)如图1，若a+B=105°，求∠MBC+∠NDC的度数； (2)如图1，若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°，请直接写出a,B所满足的数量关系式； (3)如图2，若Q=B,判断BE,DF的位置关系，并说明理由. 【变式3-2】(25-26八年级上·安微淮南期中)【初步认识】 (1)如图1，在ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若LA=80°，则∠P=; 如图2，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是 图1 图4 【继续探索】 (2)如图3，BN平分外角∠CBE,CN平分外角LBCF,求证：∠N=90°-∠A: 【拓展应用】 (3)如图4，点P是ABC两内角平分线的交点，点N是ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于 点M,在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数. 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1)条件：如图1，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论： DAE-(ZC-/B) 2)条件：如图2，F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,结论： ∠DFA=。(LC-LB) 2 6/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D E ED 图1 图2 1)证明：：AE平分∠BAC, EC-B4C、 ∠BAc=180-∠B-1c,∠E4c-80-∠B-20=90-8-<c ∠EAD-∠EHc-ZD4c=0-B-c-(90-u0=<C-∠到 2)证明：如图，过A作AG⊥BC于G,由(2)可知： ∠EAG=2<C-∠B) :AG⊥BC,LAGB=90°，：FD⊥BC,·LFDC=90°，∠AGD=LFDC,FD∥AG, .∠AFD=∠EAG, ∠AD-C-∠®) 例4.(25-26八年级上陕西安康期中)如图，在ABC中，∠B>∠C,AD平分∠BAC交BC于点D,P 是AD上一点（不与点D重合），过点P作PE⊥BC于点E. A(P) B ED B FE D 图1 图2 (I)如图1，当∠B=2∠C=60°，且点P与点A重合时，求∠EPD的度数； (2)如图2，当ABC是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作AF⊥BC于点F,若∠EPD=20°， 求∠B-∠C的度数. 【变式4-1】(25-26八年级上·安徽蚌埠·期中)在ABC中，CD,CE分别是它的高和角平分线，设 ∠BAC=a,LB=B(a>B. 7/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DA E 图1 图2 (I)如图1，求证：∠DCE=-E 2 (②)如图2，CE是ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E,且a-B=30°，求∠DCE的度数. 【变式4-2】(25-26八年级上安微蚌埠期中)【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC,垂足为点E.若∠B=38°，∠C=70°，求 ∠DAE的度数. 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧， 【问题变式】 如图1，将原第9题中“AE⊥BC”改为“在AD上任取一点F,作FE⊥BC”,垂足为点E,其他条件不变，直 接写出∠DFE的度数 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在AD上任取一点F改为“在DA的延长线上任取一点F',其他条件不变，判断 ∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在ABC中，∠B=a,∠C=B(B>Q),AD是∠BAC的平分线，在AD上任取一点F,过点F作 EF⊥AD,与BC的延长线交于点E,请直接写出∠DEF与Ca,B之间的数量关系， B D 图1 图2 图3 8/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9w 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级下·江西吉安期中)如图，P为ABC内一点，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,且 ∠A=100°，则∠BPC的度数是() B A.100° B.110° C.140° D.130° 2.(2026陕西榆林一模)如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,若 ∠DAE=12°，∠B=45°，则∠C的度数为() B ED A.66 B.67° C.68° D.69 3.(25-26七年级下·重庆·月考)如图，AB∥CD,点P在平行线AB,CD之间.连接PA并延长，与直线BD 交于点E;连接PC并延长，与直线BD交于点F,∠PCD与∠ABD的角平分线交于点Q,且BQ∥PE.若 ∠Q-∠P=a,∠PEF=B,则∠PFE一定等于() A D A. 180°-0u-B B.90°+B-a C.a+B D.2a-2B 2 4.(23-24七年级下，广西桂林·期末)在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,∠ACB的外角平 分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D,与∠ABC的外角平分线相交于点E,则下列结论正确的是() 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①∠BOC=90°+ 乙A:②LDA:③LE=ZA:④LE+ZDCF=90+LABD0 F A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④ 5.(25-26八年级上·四川达州·期末)如图，D是ABC的边AC上点，连接BD,CM平分∠ACB交BD于 点H,交AB于点M.ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G.当∠CBD=∠A 时，有下列四个结论：①LCHD与∠G互余；②LCBD=∠BCG;③LMHD-∠G=90°；④ ∠MHD=90°+∠A.其中正确的结论是() E C D M B G A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 二、填空题 6.(2026广东珠海一模)如图，已知ABC,∠A=60°，∠B的角平分线与∠C的外角角平分线交于点D ,则LD=度 D 7.(25-26七年级下·重庆·月考)如图，在ABC中，E为ABC角平分线AM的延长线上一点，过点E作 ED⊥BC于点D,若∠B=45°，∠CAE=2∠E,则∠C的度数为 10/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M E 8.(25-26七年级下，吉林长春·月考)如图，在△ACB中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平 分线，CF交AD于点G,交BE于点H,下面说法中正确的序号 ①AABE的面积等于△BCE的面积；②∠FAG=2∠ACF;③∠DGC=∠ABC+∠ACF;④BH=CH. 9.(25-26七年级下·重庆月考)如图，直线AB∥CD,E、F分别为直线AB、CD上的点，P为直线AB 上方一点.若∠BEP的角平分线与∠DFP的角平分线交于点H,∠EPF的角平分线与LPFC的角平分线交 于点G,PG交EH于点M,LEHF=15°，LPMH=35°，则LPGF=· E A B C F D 10.(24-25七年级下·贵州遵义·月考)如图，a∥b,直线a,b被直线c所截，AC,BC分别平分 ∠EAB,∠FBA,AC2,BC2分别平分∠EAC,∠FBC,AC,BC,分别平分∠EAC2,∠FBC2交于点C.依此规律，得 角∠Cn,则∠C3= 度，∠Cn= 度 60 C C B 三、解答题 11.(25-26七年级下·上海杨浦·月考)己知，如图，CE是ABC的外角平分线，BE平分∠ABC,且BE、 11/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CE交于E点. D 图1 图2 图3 ()求证：∠E= 2<A (②)请探究，在ABC中，∠B、∠C内角平分线形成的∠D与∠A的关系？∠B、∠C外角平分线形成的 ∠D与∠A的关系？（直接写出结果） 12.(25-26八年级上浙江台州月考)在三角形ABC中，AD是角平分线，∠B<∠C. B B DE C B E 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数； (2)如图(2)，点E在AD上，EF⊥BC于F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系，并说明理由： (3)如图(3)，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于F,则∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直接 写出结论，不需说明理由). 13.(24-25七年级下山东淄博期中)综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用.问题情境：学习 了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论： 1 己知ABC,如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+二∠A. 2 图1 图2 图3 证明如下：BP,CP是∠ABC和∠ACB的角平分线， 12/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, 1 2 ∠A=180°-2∠PBC+∠PCB), :∠PBC+∠PCB=90°-∠A :.∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- 0-490+5a 拓展创新： (I)如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗？若成立，给出证明： 若不成立，写出正确的结论并证明 应用计算： (2)如图3，已知∠X0Y=90°，点A,B分别在射线0X,OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延 长线与∠OAB的平分线相交于点C,试问∠ACB的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A,B的 移动发生变化，请求出变化范围。 14.(25-26七年级下·全国·期末)如图，∠M0N=90°，点A,B分别在0M,ON上运动（不与点0重合）. IN B N B B E、 D A O M E G AM A M 图① 图② 图③ (I)如图①，若AE,BE分别是LBA0和∠ABO的平分线，则∠AEB的度数是 (②)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D, ①若∠BA0=60°，则∠D的度数是 ②随着点A,B的运动，∠D的大小会变吗？请说明理由. ③如图③，延长M0至点Q,延长BA至点G,己知LBA0,∠OAG的平分线与LBOQ的平分线及其反向 延长线相交于点E,F,在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数 15.（重庆市杨家坪中学“教共体”2025-2026学年七年级下学期半期学情监测数学试卷)在ABC中， DE‖BC,点D、E分别在直线AB、AC上， 13/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M D D C B H 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DEA的平分线EF的反向延长线交BC的延长线于点G,∠G=30°，∠A=70°，求∠B的度数； (2)如图2，∠DEA的平分线EF的反向延长线交BC的延长线于点G,BC平分∠ABH,CH⊥BH;若 ∠BFG+3∠G=180°，求证AC⊥CH; (3)如图3，在ADE内部有一点P,连接PE、PC,延长BC到点Q,作∠QCP的平分线CN交∠DEP的平 分线EM的反向延长线于点N,试探索LEPC与LENC的数量关系，并说明理由. 14/14 专题12 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，、的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先求出的度数，根据平分线的定义得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解∶∵， ∵、的平分线相交于点， ∴ ， ． 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中是角平分线，点D在边上（不与点A、B重合），、交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据中线定义得，根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：是中线， ． ，， 的周长，的周长为． ． 故答案为：1． （2）解：是的高， ． ，是的角平分线， ． ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． （3）解：， ． ，是的角平分线， ，． ． ． 【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例2．（25-26七年级上·山东威海·月考）如图，已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）先由三角形内角和定理得，又平分，则，然后通过平行线的性质即可求解； （）由平分，平分，则，，又，则有，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， 即，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，分别平分为外角的平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形内角和： （1）利用角平分线的定义得到，，再利用三角形外角的性质推导出角的数量关系，再对数量关系化简即可； （2）根据角平分线的定义得到，再结合（1）的结论，在，中用三角形内角和定理推导即可． 【详解】（1）平分为外角的平分线， ，， 是的外角，是的外角 ，， ， 即， 化简得：． （2）． 理由如下：平分， ， 在中，， 即：， 在中，， ， 即， 由（1）可知，， ． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质以及角平分线的性质，通过这些性质逐步推导角度关系． （1）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和； （2）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ；； （2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例3．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则 ． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则 ． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1）平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2）平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例4．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，三角形外角的定义以及直角三角形的两个锐角互余等知识． （1）由已知条件得出，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义和性质得出，再由直角三角形的两个锐角互余即可得出． （2）根据题意可知，进而可得出，，，根据三角形外角的定义可知，平行线的性质可得，根据角平分线的定义得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， AD平分， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ，，， ∴，， ∵平分， ， ∴， ． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得出，然后根据高线的定义即可求出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出，根据高线和三角形内角和定理得出，然后根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线， ∴， ∵是高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【分析】问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：的度数不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 2．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 3．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，，点在平行线之间．连接并延长，与直线交于点；连接并延长，与直线交于点，与的角平分线交于点，且．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作，设，根据平行线的性质及角平分线得到，，，再根据，得到，由三角形内角和即可求得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 设， ， ，． 与的角平分线交于点， ，． ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ． ， ． ． ． ． 4．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴与互余，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 二、填空题 6．（2026·广东珠海·一模）如图，已知，，的角平分线与的外角角平分线交于点D，则______度． 【答案】30 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得到，计算即可． 【详解】解：如图， 是的平分线， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， 是的外角， ． 7．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在中，为角平分线的延长线上一点，过点作于点，若，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】设，则，根据角平分线的定义得到，，进而得到，根据对顶角相等得到，根据垂线的定义得到，根据三角形内角和求出，进而可求的度数． 【详解】解：设， ∴， ∵为角平分线的延长线上一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号 __________ ． ①的面积等于的面积；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】由条件可得，即可判断①正确；由同角的余角相等可得，由角平分线的定义得出，从而可得，即可判断②正确；由条件可得，再结合同角的余角相等得出，即可判断③正确；由即可判断④错误． 【详解】解：由条件可得， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 由条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 9．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，，则______． 【答案】 【分析】过作，设，，根据角平分线的定义可得，，利用平行线的性质和三角形外角的性质可得，在中，利用外角性质可得，根据点位置（由在右侧推断在，右侧），可得，从而求出和，的值，最后利用角平分线和三角形内角和定理求． 【详解】解：如图，过作， 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 设，则， ∵， ∴同理可得：， ∴，即， 在中，是外角， ∴，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，． 10．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）如图，，直线被直线所截，分别平分分别平分分别平分交于点依此规律，得角，则__________度，__________度． 【答案】 【分析】根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ∴， ∵分别平分， ∴设，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 即， 同理， ， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图2结论：；图3结论： 【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，结合角平分线的定义即可得证； （2）在图2中，、的角平分线交于点，，在中，，即可得出；在图3中，根据三角形的外角的性质可得，在中，，进而在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 12．（25-26八年级上·浙江台州·月考）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 13．（24-25七年级下·山东淄博·期中）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 【答案】(1)前进小组的结论不成立，理由见解析 (2)的大小不发生变化且始终为． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的外角性质可得，根据角的平分线定义可得，；推得；根据三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：前进小组的结论不成立，理由如下， ∵点P是两外角平分线的交点， ∴ ， 在中，； （2）解：的大小保持不变．理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 即， 又∵， ∴， 故的大小不发生变化且始终为． 14．（25-26七年级下·全国·期末）如图，，点，分别在，上运动（不与点重合）． (1)如图①，若，分别是和的平分线，则的度数是____________； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则的度数是____________； ②随着点，的运动，的大小会变吗？请说明理由． ③如图③，延长至点，延长至点，已知，的平分线与的平分线及其反向延长线相交于点，．在中，如果有一个角是另一个角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②的大小不会随着点，的运动而发生变化，见解析；③的度数为或 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论，③分四种情况分类讨论：当时，当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线与直线垂直相交于O， ， 分别是和角的平分线， ， ， ； 故答案为： （2）①解：如图所示，设与交于点． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 故答案为： ②解：的大小不会随着点，的运动而发生变化． 理由如下： 设． 平分， ． ， ． 平分， ． 又， ． ③解：是的平分线，， ， ． ，分别是和的平分线， ． 在中，若有一个角是另一个角的3倍，则分4种情况讨论： 当时，，此时； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时； 当时，，此时，舍去． 综上所述，的度数为或． 15．（重庆市杨家坪中学“教共体”2025-2026学年七年级下学期半期学情监测数学试卷）在中，，点分别在直线上， (1)如图，若的平分线的反向延长线交的延长线于点，，，求的度数； (2)如图，的平分线的反向延长线交的延长线于点，平分，；若，求证； (3)如图，在内部有一点，连接，延长到点，作的平分线交的平分线的反向延长线于点，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）先利用平行线和角平分线求出的度数，再通过三角形内角和算出，最后由平行线的同位角相等得到的度数； （）先根据三角形内角和与已知条件推出和的关系，再结合平行线、角平分线得到，证出，最后由推出； （）通过作平行线，结合角平分线定义和平行线性质，设未知数表示相关角，再用三角形内角和定理推导，得出与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ∵平分， ， ∵在中 又， ， ． （2）证明：， 又∵在中， ， 设，则， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由如下： 过点作，延长至点， ∵平分， ∴设，则， ， ∵平分， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $