专题11 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾 模型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴专练 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC,形状类似于英文字母A,故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在△4BC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①：∠1=∠A+∠ACB∴.∠1=∠A+180°-∠2.∠1+∠2=∠A+180°。 ②在△ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在△4DE中，∠A+∠D+∠E=180°∴.∠3+∠4=∠D+∠E。 例1.(25-26八年级上·全国假期作业)如图，在ABC中，点D,E分别是AB,AC上两点，将ABC沿 DE折叠，使点A落在点F处，若∠A=a,∠FDB=B,则∠FEC的度数是() D 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0+B B.+2B C.2a+B D.90°+a+B 2 【变式1-1】(25-26八年级上·云南红河·期中)【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，∠1与∠2分别为ABC的两个外角，求证：∠1+∠2=180°+∠A. 【推理证明】 A B 4 2 图① 图② 图③ (1)补全证明过程. 证明：：∠1与∠2分别为ABC的两个外角， ∠1=∠A+,∠2=LA+ ∠1+∠2= :∠3+∠4+∠A=180°， .∠1+∠2=180°+∠A. (②)如图②，在ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE.若∠1=130°，则∠2-∠A的大小为度. (3)如图③，在ABC中，BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，写出∠P与∠A之间的数量关系， 并说明理由， 【变式1-2】(2025八年级上全国.专题练习)探索归纳： A B B 图1 图2 图3 (I)如图1，已知ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，己知ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2= (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明； 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并说明理由. 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1)8字模型（基础型） 条件：如图I,AD、BC相交于点O,连接AB、CD;结论：①∠A+∠B=∠C+∠D;② AB+CD<AD+BC。 证明：在△4BO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； .∠AOB=∠COD.∴∠A+∠B=∠C+∠D; 在△ABO中，AB<AO+BO;在△COD中，CD<CO+DO; ∴.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC;∴.AB+CD<AD+BC。 2)8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD:结论：2∠P=∠B+∠D 证明：线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD ,'∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PADH∠P=∠PCD+∠D② ①②得2∠P=∠B+∠D,则LP=∠B+∠D),即2∠P∠B+∠D 例2.(25-26八年级上·云南昭通期中)如图，线段AC与BD相交于点0，连接AB,CD 图1 图2 (1)如图1，求证：∠A+∠B=∠C+∠D: 3/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,BE,CE相交于点E,若∠A=20°，∠D=40°，求∠E的度 数 【变式2-1】(25-26八年级上安微池州月考)如图①，AD与BC相交于点0，得到一个“8字”ABCD. 图① 图② (I)求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)如图②，其中共有几个“8字”？ (3)如图②，若BE,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线，利用(1)中的结论，求证：∠E=)∠A+LC 【变式2-2】(25-26八年级上河北廊坊期中)【问题背景】 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D; 【简单应用】 (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=44°，∠ADC=18°，求∠P的度数： 【问题探究】 (3)如图3，直线AP平分△BAD的外角∠FAD,CP平分△BCD的外角∠BCE,若∠ABC=46°，∠ADC=26° ，请猜想∠P的度数，并说明理由 【拓展延伸】 (4)在图4中，若设LABC=a,LADC=B,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与 ∠ABC、∠ADC的关系，直接写出结论（用O、B表示∠P). E C 图1 图2 图3 图4 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD;结论：①LBCD=LA+∠B+LD:②AB+AD>BC+CD 证明：连接AC并延长至点P;在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B;在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D; 又，∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠BCD=∠BCP+∠DCP;.∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P;在△ABQ中，B+AO>BC+CO;在△CDQ中，CO+OD>CD 即：AB+A0+CQ+OD>BC+CQ+CD,故AB+AD>BC+CD。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;结论：∠O=2(∠A+∠C)。 1 证明：BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;.∠ABO=2∠ABC;∠ADO=2∠ADC: 1 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=2∠ABC+2∠ADC+∠A;∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A; 1 ∴，2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A;即∠O=2(∠A+∠C)。 例3.（25-26八年级上·安微淮南期中)如图1，在四边形ABDC中，∠A=86°，∠B=34°，∠C=24°. (1)∠BDC=°； (2)如图2，∠ABD和LACD的角平分线BE与CF交于点G,BE,CF分别与AC,AB交于点E和点F, 则LBGC=° D D 图1 图2 【变式3-1】(25-26八年级上广西柳州期中)如图，已知∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，则∠A的度 数为一 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】(23-24七年级下·江苏南京·月考)凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知 识解决下列问题： 图① 图② (I)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD; (2)在图①中，若BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,BE与CE交于E点，运用(1)的结论写出∠BDC、 ∠BEC和∠BAC之间的关系，并说明理由； 若=，ABD,23ACD,试深索LBDC,LBEC和∠BAC三个角 (直接写出结果即可). 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级下·吉林长春·月考)如图，点E、D分别在AB、AC上.若LB=30°，∠C=50°，则 ∠1+∠2的度数为() B A.100° B.80° C.120° D.40° 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026吉林长春模拟预测)如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时， ∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是() 子 A A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3LA=2∠1+∠2 D.4∠A=3∠1+∠2) 3.(2026广西南宁.二模)如图，在ABC中，∠BAC=80°，把ABC沿着AD对折，使得点C落在AB边 上的点C处，再把△BDC'沿着C'D翻折得到△B'DC',若B'C'∥AD,则∠B的度数是() B B------ A.60° B.45 C.40° D.30° 4.(25-26八年级下·江西新余·月考)如图，把一张三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠(3个顶点不重合)， 则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为() D 4入N B M A.180 B.270° C.360° D.450° 5.(2026广西桂林一模)如图为某种可调节式露营椅的示意图.AE,AF分别与CD相交于点O,F,当 各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若∠A=35°，∠D=53°， ∠E=49°，则∠AFC的度数是() 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A、 B E A.110° B.111° C.112 D.113° 二、填空题 6.(24-25八年级上·江西吉安·期中)如图，在ABC中，沿虚线剪去∠C,若∠1+∠2=250°，则∠C的度数 为 B 7.(25-26八年级上·河北邢台·期末)拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1=20°， ∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为 8.(24-25七年级下·江苏淮安·月考)如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上一点，将△ABC沿 DE折叠，使点A的对称点A落在边BC上，若LA=50°，则1+L2+L3+L4= A D 1 E 24 B A 9.(25-26八年级上河北邢台·月考)如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点A及部分边截掉，∠1 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、∠2的外角平分线交于点0， B (1)若∠1=50°，∠2=60°，则截掉的∠A= (2)若∠1+∠2=110°，则∠0= 10.(24-25八年级上·安徽安庆期中)(1)生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称 之为和谐8字形”，则∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系 (2)在图2中∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若∠D=42°， ∠B=38°，那么∠P的度数是 4 图1 图2 三、解答题 11.(25-26八年级下·江西吉安·月考)【课本再现】 (I)已知：如图，点D在∠BAC的内部.求证：∠BDC=∠B+∠C+LA; B 【联系拓展】 (2)在(1)中∠BAC的情况下，若点D在线段AC所在直线的下方，此时∠BDC,∠A,∠B,∠C之间有 怎样的数量关系，给出结论并证明 12.（25-26八年级上，安徽安庆·月考)已知AB,CD相交于点O,∠A=50°，∠D=40°. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)如图1，若BE平分∠ABD交CD于点F,CE平分LACD交AB于点G,求∠BEC的度数： (②)如图2，延长AC至点H,若直线BF平分∠ABD交CD于点F,CM平分∠DCH交直线BF于点M,求 ∠BMC的度数. 13.(24-25七年级下·河南南阳月考)综合探究 图1 图2 图3 ()问题提出 如图1，LACD是ABC的一个外角，则LACD,∠A,∠B之间的数量关系为· (2)尝试探究 如图2，线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“8字型”.请仔细观察该 图形，求∠A,LB,∠C,∠D之间的数量关系. (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形.试探究LA,∠B,LC,LD,∠E,∠F之间的数量关系. 14.(24-25七年级下·吉林长春期中)阅读下列材料，回答问题. 如图①所示的图形，像我们生活中的物品-回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简 单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： 图① 图② 图③ 10/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图①，试猜想∠A、∠B、∠C、∠BDC之间的数量关系，并说明理由； (②)如图②，把一块三角尺DOE放置在ABC上，使三角尺的两条直角边0D、OE恰好经过点B、C,若 ∠A=56°，则∠AB0+∠AC0= (3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的角平分线交于点E,若∠BCD=124°，∠BED=90°， 则∠A= 15.（24-25七年级下·山西长治·期末)综合与探究. 问题背景：己知如图1，凹四边形ABDC. 图(1) 图(2) 图(3) 初探： (I)试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的数量关系，并说明理由： 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题. 如图2，把一块三角尺EFG放置在ABC上，使三角尺的两条直角边EG,FG恰好经过点B,C,若 ∠A=38°，则LABG+∠ACG=: 拓展 (3)如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=70°，∠DBE=120°，求∠DCE的度数， 16.(25-26八年级下·福建泉州开学考试)【感知】如图①，在△MPN中，∠MPN=90°，点B、C分别在 △MPN的边PM、PN上，以BC为边作ABC,使点P在ABC内，则∠PBC+∠PCB= A B B M ① ② 【特例探究】在【感知】的条件下，若∠A=50°，则∠ABP+∠ACP= 11/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【类比探究】在【感知】的条件下，∠ABP、∠ACP、∠A之间的数量关系是 请给予证明， 【变式探究】如图②，在△MPN中，∠MPN=90°，点B、C分别在△MPN的边PM、PN上，以BC为边 作ABC,使点P在ABC外，且点P与点C位于AB异侧，则LABP、∠ACP、∠A之间的数量关系是 12/12 专题11 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，翻折的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，然后利用周角、平角以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳： (1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________； (2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________； (3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明； (4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．证明见解析 (4)．理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． ()利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； ()利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； ()根据()、()中思路即可求解； ()根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示： 在中，由外角性质可知： ； ∵ ∴ 故答案为： （3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知： ，； ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：； （4）． 理由：连接． ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系为：． 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与相交于点，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，，根据可得； （2）由（1）知，，即，根据平分，平分得到，，则，同（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：由（1）知，． ，， ， 则． 平分，平分， ，， ， 则． 同（1）可得， ， 即． ． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽池州·月考）如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 【变式2-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）在中，． 在中，． （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ． （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ， （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴ 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例3．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1） ； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则 ． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，，则的度数为 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏南京·月考）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，点、分别在、上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再在中利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ． 在中， ， ． 故选：B． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 3．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江西新余·月考）如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，运用三角形的外角性质得，故，，又因为，故． 【详解】解：连接，如图所示： ∵折叠 ∴ 依题意，， ∵， ∴， 同理得， 同理得， ∵， ∴． 5．（2026·广西桂林·一模）如图为某种可调节式露营椅的示意图．，分别与相交于点，，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依图得， 中，， 中，， ，，， ， 点在上， ，选项符合题意． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·河北邢台·期末）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定，比大，则的度数应该为____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题关键．根据三角形内角和定理及对顶角相等得出，根据，比大即可得出，进而求出的度数即可． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵，比大， ∴， ∴． 故答案为： 8．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【答案】 70 55 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据邻补角定义可知，，根据角平分线定义可知，因为，即可得到，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：（1）在中，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江西吉安·月考）【课本再现】 (1)已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】 (2)在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 【答案】(1)见解析 (2)或，证明见解析 【分析】（1）连接并延长至点，利用三角形外角的性质可得，，再利用即可证明； （2）分当点在点右侧时和当点在点左侧时两种情况分别讨论，利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点在点右侧时，设与交于点， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在点左侧时， 连接并延长至点， ∴，， ∴， ∴； 综上，或； 12．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． （2）解：，平分交直线于， ， ，， ． 13．（24-25七年级下·河南南阳·月考）综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角， ∴； （2）解：在图2中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 14．（24-25七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 【答案】(1)，理由见详解； (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质：（1）连接并延长至E，根据三角形内角和定理得到，，再结合即可得到答案；（2）根据三角板得到，由（1）的结论同理即可得到答案；（3）根据（1）的结论先求出，再结合角平分线，即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， 连接并延长至E，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵三角尺的两条直角边、恰好经过点、， ∴， 由（1）得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ，， ∵，， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·福建泉州·开学考试）【感知】如图①，在中，，点B、C分别在的边、上，以为边作，使点P在内，则_________． 【特例探究】在【感知】的条件下，若，则_________ 【类比探究】在【感知】的条件下，之间的数量关系是_________． 请给予证明． 【变式探究】如图②，在中，，点B、C分别在的边、上，以为边作，使点P在外，且点P与点C位于异侧，则之间的数量关系是_________． 【答案】；；，证明见解析； 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余以及角的和差，熟练掌握角的和差是解题的关键． （感知）根据直角三角形两锐角互余即可得到答案； （特例探究）由三角形内角和定理得到，将进行拆分，得到，即可得到答案； （类比探究）根据题意得到，证明，即可得到答案； （变式探究）根据题意得到，，即可得到结论． 【详解】解：（感知）在中，， ， 故答案为：； （特例探究）在中，， ， ， ， ， 故答案为：40； （类比探究）， 证明：， ， ， ， ， 故答案为：； （变式探究）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $