题号猜押11 四川成都中考数学26题 几何图形综合压轴（解答题）（四川成都专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押11 四川成都中考数学26题（解答题） 考点1 几何与图形综合压轴（三角形为背景） 1．（25-26九年级下·成都·联考）在中，，，点D为边上一个动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，线段的长度恰好为线段的2倍，与交于点G，若，求的长度；(2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 2．（25-26九年级下·成都·联考）如图，在中，，点D是平面内一点，满足．(1)延长交直线于点E，过点A作交直线于点F．①如图1，若，且，求的长；②如图2，延长交直线于点G，连接，若，求证：； (2)如图3，将绕着点B沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 3．（2026·成都·校考一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】(1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由；(4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 4．（2026·四川成都·一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明：（1）如图1，若，求证：． 拓展延伸：（2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长．（3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 5．（25-26九年级上·成都·期末）在中，，点为直线上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，连接．(1)如图1，，点在线段上，且点、、共线时，若，请用含的式子表示；(2)如图2，当，点为中点，点为中点，连接，若，求证：；(3)如图3，当，，当最小时，线段与直线相交于点，请直接写出的面积． 考点2 几何与图形综合压轴（四边形为背景） 1．（2026·成都·校考二模）已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点．(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，且，求的正切值；(3)以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长． 2．（2026·成都·模拟预测）探究矩形、平行四边形中线段的关系，并完成以下问题 【问题提出】(1)如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，若，求证：． 【迁移应用】(2)如图2，在中，，，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，且，求的值． 【拓展提高】(3)如图3，在中，点E，F，G是边，，上的一点，连接与交于点H，，，，若，求的值． 3．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点分别为上的两点． (1)如图1，若，且，求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含的代数式表示）． 4．（2025·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． (1)当点N在射线上时．①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 5．（2026·成都·模拟预测）在矩形中，是对角线的交点，，将绕点旋转，分别与边相交于，连接（k为常数）． (1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，，．①若，求的长；②若，请直接写出的长． 6．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到． (1)如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：； (2)如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值； (3)如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由． 1．（25-26九年级下·成都·联考）在四边形D中，M是边上一点，连接交对角线于点E，点N在边，上运动，连接交于点F． (1)如图1，若四边形是正方形，点N在边上， ，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，，，求的长． (3)如图3，，点N在边上， ，，，，求的长． 2．（2026·成都·一模）在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：；(2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由；(3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 3．（2026·成都·一模）在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． (1)如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； (2)如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； (3)如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 4．（25-26九年级下·成都·联考）中，点分别在边上，交于点． (1)若．①如图1，当是正方形时，求证：；②如图2，中，，求的值；(2)如图3，当是菱形时，为的中点，，若，直接写出的值=___________． 5．（25-26九年级上·成都·校考期末）综合与实践 在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接． 问题初探（1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则 ． 探究迁移（2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：． 拓展应用（3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 6．（25-26九年级上·成都·校考期末）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对直角三角形的旋转变换进行研究．如图1，，，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转（）． 【观察猜想】（1）小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当、、三点共线时；①_____．②_____． 【类比探究】（2）如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，的值是否发生变化，若不变，求出的值，若变化，请说明理由． 【拓展延伸】（3）若将旋转至，，三点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 7．（25-26九年级上·成都·期末）已知为正方形内任意一点． (1)如图1，连接，以为对角线作正方形，连接，求证：． (2)如图2，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：．． (3)如图3，若，连接，求的最小值． 8．（2026·四川成都·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中， ，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】(1)下列四边形一定是直菱四边形的是________（填序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，在等边中，点D为过点A的中线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形， ，以点A为顶点的，与边分别交于E，F两点．试探究之间的数量关系？并说明理由；(4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形， ，，连接，若作，且，连接并延长交于点F，交于点M，求的长． 9．（2026·成都·一模）如图1，已知，，，可绕点旋转，连接、． (1)求证：；(2)如图2，若，，，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长；(3)如图3，若，延长交于点，，求的度数． 10．（2026·成都·模拟预测）中，，，，为中点，连接． (1)如图，当点在的延长线上时，求证：，； (2)如图，绕点旋转到图中位置，求证：，； (3)若，（A、D、E顺时针排列）绕点旋转，当时，直接写出的面积． 11．（2026·成都·一模）在平行四边形中，分别为边上两点． (1)当是边中点时，①如图（1），连接，如果，求证：；②如图（2），如果，连接交边于点，求的值；(2)如图（3）所示，连接，如果，，，．求的长． 12．（2025·四川成都·三模）已知等腰中，．中，，． (1)当线段与线段重合，如图1所示，线段、交于点H，求此时面积． (2)将绕着点A顺时针旋转．交所在直线于点N，交所在直线于点M，如图2所示．当时，过点N作交于点G，求点G到直线的距离． (3)若点E为线段的中点，将旋转，在旋转过程中始终使过点E，过点C，如图3所示．则是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由． 13．（2025·四川成都·三模）从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片中，点P为射线上一点，将沿折叠得到，点A的对应点为M，延长，交直线于点Q，N． 【尝试初探】已知，，（1）如图1，若点B与点N重合，求线段的长度； （2）如图2，若点B与点N不重合，当时，求线段的长． 【拓展延伸】若，连接，当为直角三角形时，直接写出的值．（用k的代数式表示）． 14．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，P是边上的一动点（不与点A，B重合），Q是边上的一动点（不与点A重合），连接，过点B作交延长线于点D，连接，过点A作交于点． (1)求证：；(2)若，当Q是的中点时，求的值； (3)连接BE，若，当线段取得最小值时，求的值（用含n的代数式表示）． 15．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，在中，，点和点分别为边、边上一点，连接，以为直角边，在右侧构造，，连接，使得． (1)如图2，若点与点重合，①当时，线段与的数量关系是________，位置关系是________；②当时，猜想、、之间的数量关系（用表示），并证明猜想． (2)若点为中点，点为边上的动点，，，如果为等腰三角形，求的长． 16．（2025·四川成都·三模）数学活动课上，同学门将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】（1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），直线与交于点F；①求证：；②当时，求的长； 【拓展延伸】（3）在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押11 四川成都中考数学26题（解答题） 考点1 几何与图形综合压轴（三角形为背景） 1．（25-26九年级下·成都·联考）在中，，，点D为边上一个动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，线段的长度恰好为线段的2倍，与交于点G，若，求的长度；(2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，，， ，，， ∵线段的长度恰好为线段的2倍，∴， ，， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ，，． （2）解：如图2，过点D作交于点H， ，，，， ，，， ，，， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到，，， ∴，∴， ，，， 又，，∴， ，，． （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵平分，， 又，∴，∴，， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，如图4： ，，，由折叠的性质得，， ，，， ，，∴， 又∵，∴点B，点Q，点D三点共线，由折叠的性质得，， ，，， ，，， ，． 2．（25-26九年级下·成都·联考）如图，在中，，点D是平面内一点，满足．(1)延长交直线于点E，过点A作交直线于点F．①如图1，若，且，求的长；②如图2，延长交直线于点G，连接，若，求证：； (2)如图3，将绕着点B沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)①；②见解析(2)的面积为 【详解】（1）①解：∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； ②证明：如图2中，过点A作于点H，交于点T． ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的面积为．理由如下： 如图中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接． ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点M在线段的垂直平分线上， 设垂足为Q，当时，的值最小，如图，设交于点J， ∵，∴， ∵，∵，， ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，在直角三角形中，， ∴ ． 3．（2026·成都·校考一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】(1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)④(2)见解析(3)．理由见解析(4) 【详解】（1）解：①∵平行四边形的邻边不一定相等，∴该选项不符合直菱四边形的定义； ②∵矩形的邻边不一定相等，∴该选项不符合直菱四边形的定义； ③∵菱形的四边相等，但内角不一定为直角，∴该选项不符合直菱四边形的定义； ④∵正方形的四边相等，四个内角都为直角，∴正方形一定是直菱四边形，该选项符合题意， （2）证明：∵是等边三角形，∴，， ∵点D为中线上一点，∴平分，∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，∴，， ∴为等边三角形，∴，，∴． 在和中，∴，∴， ∴，∴四边形是直菱四边形； （3）解：．理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，，∴． 如图3，将绕点A顺时针旋转得到， ∴，∴，，，， ∵，∴，∴M，B，E三点共线， ∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； （4）解：如图4，连接，作于点G， ∵，，∴， ∴，，∴． ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴，解得：， ∵，∴点D，M，B，C共圆，∴，， ∴，，∴， ∴，∴． 4．（2026·四川成都·一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明：（1）如图1，若，求证：． 拓展延伸：（2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长．（3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）平移的距离为6或10 【详解】解：（1）证明：由等边知，，． ，，． ，． （2）如图，过点作于点，在上取一点，使得． 旋转，，，． 为的中点，，，，， ，，． ，，． 设，则，， ，解得，． （3）平移的距离为6或10．由题意可知，是等边三角形． 由平移的性质可得，如图，当时，． ，，． 是的中点，，； 如图，当时，令与的交点为． ，， ，，． 综上所述，平移的距离为6或10． 5．（25-26九年级上·成都·期末）在中，，点为直线上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，连接．(1)如图1，，点在线段上，且点、、共线时，若，请用含的式子表示；(2)如图2，当，点为中点，点为中点，连接，若，求证：；(3)如图3，当，，当最小时，线段与直线相交于点，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵旋转，∴，，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴； （2）证明：连接，，延长交于M， ∵，点为中点，，点为中点，∴，，∴， ∵，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∴， ∵，，∴，∴、、、四点共圆，∴，， ∵，，∴，∴，∴， 又，∴，∴，∴， ∴； （3）解：过A作于O，过作于H，在的延长线上截取点F，使，作直线，过C作直线的对称点，连接， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，由（2）同理可得， 又，，∴， ∴，，∴，∴， ∴点E在过点F，且与的夹角为的直线上运动（如上图）， ∵点和C直线的对称，∴，， ∴，∴当B、E、三点共线时，最小， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得，∴， ∵，，∴，∴，∴，即， 又，∴，∴． 考点2 几何与图形综合压轴（四边形为背景） 1．（2026·成都·校考二模）已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点．(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，且，求的正切值；(3)以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， ∵∴∴；∴；∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （2）解：连接，设正方形的边长为，，由题意得， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 整理得，，解得，（舍去），∴； （3）解：如图，设以为直径的圆记为，连接交于点，过点作于点， 由题意得可设，则，∴， ∵正方形，∴，，∴ ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴ ∴，∴，， ∴，∴ ∵与相交于点∴，， ∵，∴，解得或（舍），∴． 2．（2026·成都·模拟预测）探究矩形、平行四边形中线段的关系，并完成以下问题 【问题提出】(1)如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，若，求证：． 【迁移应用】(2)如图2，在中，，，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，且，求的值． 【拓展提高】(3)如图3，在中，点E，F，G是边，，上的一点，连接与交于点H，，，，若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，，， ，，，， ，，； （2）解：如图，在上找一点K，使，则， ∵四边形是平行四边形，，，， ，， ，， ，， ，， ，； （3）解：如图，在上取一点M，使得， ∵，∴， ∴，∴四边形是等腰梯形，则， 由（2）可得，， ，，且， ，，又，， ∵在中，； 在中，， 又∵，，， 又，，， ，设，，， 解得：，即，， ，，，． 3．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点分别为上的两点． (1)如图1，若，且，求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)． 【详解】（1）证明：∵，，，∴， ∵，四边形是平行四边形，∴四边形是矩形， ∴，∴； （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形，∴，∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴； （3）解：延长至N，使，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴． 4．（2025·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． (1)当点N在射线上时．①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）①连接，如图，由题意得：，， 四边形为矩形，，， 设，则，， ，，； ②连接，如图，由题意得：，，， 四边形为矩形，，，， ，，， 点B与点N关于对称，，， 设，则，， ，，，， ∽，，，， ； （2）作点D关于的对称点，连接，，，，，， 作点D关于的对称点，连接，如图， 将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N，≌， 点D关于的对称点为，点D关于的对称点，垂直平分，AF垂直平分， ，， 在以F为圆心，为半径的劣弧上运动． 当点在边上时，的面积取得最小值，当点与点D重合时，的面积取得最大值， 的面积的最小值， 的面积的最大值，面积的最大值与最小值之和 5．（2026·成都·模拟预测）在矩形中，是对角线的交点，，将绕点旋转，分别与边相交于，连接（k为常数）． (1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，，．①若，求的长；②若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析；(3)①；② 【详解】（1）解：若，则，即四边形为正方形， ∴，，，，，，，∴，， ∵，， ∴，∴，∴； （2）解：．理由：过作于，作于， ∵，∴四边形是矩形．∴，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 在矩形中，，∵，∴， ∴，，∴，∴，∴； （3）解：①过点作于点，则 ∵，．∴，∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，设，则， 在中，，则，解得，∴， ∵，∴； ②如图，过作于，作于， ∵，．∴，∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵，∴四边形是矩形． ∴，，∴， ∴，∴是中位线，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 设，则，设，则， ∴，∴，∴， ∵，∴， 在中，，则， 又由得到，解得， ∵，∴不合题意，舍去，∴， ∵，∴，∴． 6．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到． (1)如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：； (2)如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值； (3)如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)能，或或或 【详解】（1）证明：记与的交点为点， 翻折得到，，，， ∴点，在的垂直平分线上，，， ，，， ，，，； （2）解：过点F作交于点M，在平行四边形中，， ∴四边形是矩形，， ，∴设，则， 由勾股定理得：，，由翻折得：， ，，， ，，，， ，，，， ，； （3）解：①当，点在上方时， 如图，延长交于点，过点作于点，，， ，，，，，由翻折，得， ，，，， 设，则，，，， 解得，； ②当，点在下方时，如图，交于点，过点作延长线于点， ，，，， ，，，由翻折，得， ，，，， 设，则，，，， 解得，； ③当，点在上方时，如图，延长交的延长线于点，过点作于点， ，，，，， ，，由翻折，得，，， ，，，设，则，，， ，解得，； ④当，点在下方时，如图，交的延长线于点，过点作直线于点， ，，，，，，， 由翻折，得，，，，， 设，则，，，， 解得，； ⑤不存在的情况； 综上所述，或或或． 1．（25-26九年级下·成都·联考）在四边形D中，M是边上一点，连接交对角线于点E，点N在边，上运动，连接交于点F． (1)如图1，若四边形是正方形，点N在边上， ，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，，，求的长． (3)如图3，，点N在边上， ，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)8(3)16 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，． 在和中， ，∴．∴． （2）解：设．∵，∴． 由（1），知，∴，，， ∵，∴，∴，即， ∴，解得：（舍去），，∴，∴． （3）解：如图，过点F作于点G，过点C作于点H． ，，， 设．∵，∴．     ，，， ，，∴． 在和中， ，∴．∴，． ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，解得：， ∴，∴． 2．（2026·成都·一模）在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：；(2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由；(3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 【答案】(1)见解析(2)或(3) 【详解】（1）证明：E为中点，，由翻折性质得：、， ，，在中，， ，，； （2）解：由翻折性质得：、、， 四边形是矩形，、， ①当时：，，点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点，、， 在中，由勾股定理得：， 、，、，， 设，则，在中，， 由勾股定理得：，解得， ； ②当时：点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点、于点， 、，、， 在中，由勾股定理：， 设，则，在中，由勾股定理：， 解得，，综上所述，的长为或； （3）解：由翻折可知：，且的中点在上，过点作于点， 、 、 ，即 作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，、、， 由勾股定理得：，的最小值为：； ，，，， ，，， ，，即，解得， ，、，， ，，，即，． 3．（2026·成都·一模）在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． (1)如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； (2)如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； (3)如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形，∴，同理，是等腰直角三角形，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵、、三点共线，∴， ∴，∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由（1）可得是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， ∵是的外角，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，， 在直角中，，∵点为的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接，设与交于点， ∵，∴为圆的直径，即点为的中点， ∵，∴，在直角中，， 由折叠的性质可知，，，∴，∴， ∵，∴，∴点在圆上，∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，，由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∵，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴， 在直角中，， ∴，即点为定点，∴点在定直线上， ∵，即，又∵垂线段最短，∴当时，取得最小值， 当时，如图，作于点，连接， ∵，，∴，在直角中，，， ∴，∴， ∵，点为中点，∴，∴， ∵，∴， 在直角中，，，∴， ∴． 4．（25-26九年级下·成都·联考）中，点分别在边上，交于点． (1)若．①如图1，当是正方形时，求证：；②如图2，中，，求的值；(2)如图3，当是菱形时，为的中点，，若，直接写出的值=___________． 【答案】(1)①见解析；②；(2) 【详解】（1）①证明：四边形是正方形，， ，，又，， 在与中，，，； ②解：，，，即， 在与中，， 在中，，， 又，，即， ∵四边形是平行四边形，；∴， ； （2）如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， 在菱形中，， ，设，则， ，；，；∵为的中点，∴， 在与中，，， ，；， ，，， 设，则，， ，， ，， 又，，即， ，(舍)，，设， 当点在点的左侧时，， 在中，， 在中，， ，即，不符合题意，舍去； 当点在点的右侧时，， 在中，， 在中，，，即， ∴∴， ∵，∴ ∴四边形是矩形，∴；∵；∴ ∴；在中， ∴； ，∴． 5．（25-26九年级上·成都·校考期末）综合与实践 在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接． 问题初探（1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则 ． 探究迁移（2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：． 拓展应用（3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：∵，∴． ∵，∴． ∵D恰好为的中点，∴，∴． ∵将绕点D按逆时针方向旋转得到， ∴，∴．故答案为：； （2）证明：如图2，过点D作交于点H． ∵∴． ∵，∴，∴，∴． ∵将绕点D按逆时针方向旋转得到，∴， ∴，∴，∴，∴． 又∵，∴，∴，∴，∴． （3）解：．理由如下：如图，在上截取，连接． ∵平分，∴． 又∵，∴，∴，∴， ∴当M，，D三点共线，且时，有最小值，如图． ∵，∴．由题可知，． ∵，∴．∵， ∴∴，∴． 又∵，∴B，Q，D三点共线，∴． ∵，∴， ∴，∴，∴ ∴,∴． 6．（25-26九年级上·成都·校考期末）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对直角三角形的旋转变换进行研究．如图1，，，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转（）． 【观察猜想】（1）小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当、、三点共线时；①_____．②_____． 【类比探究】（2）如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，，的值是否发生变化，若不变，求出的值，若变化，请说明理由． 【拓展延伸】（3）若将旋转至，，三点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①如图1，，，， 即，将绕点顺时针旋转到图位置， ，， ∵，，， ∵、、三点共线，，∴，故答案为：； ②∵，，∴， 由①知，∴，故答案为：； （2）的值不变，，同理（1）①得，∴； （3），，， ，，，， 由（2）知，，，，， 如图，当点在上时，，， 在中，，由勾股定理得，， ，， 如图，当点在的延长线上时，在中，， 由勾股定理得，， ，， 综上所述：线段的长为或． 7．（25-26九年级上·成都·期末）已知为正方形内任意一点． (1)如图1，连接，以为对角线作正方形，连接，求证：． (2)如图2，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：．． (3)如图3，若，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：如图1，连接．四边形为正方形， ， ，． ，， ，； （2）证明：四边形为正方形． 旋转得到，， ，即，（SAS）， ，， 四边形为正方形，． ，， ，，. ，，． 在中，，，． ，，； （3）解：如图，过点C作，且满足，连接，再延长至点，使得， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，如图，当点，，，四点共线时，，即的最小值为线段， ∴在中，，∴的最小值为． 8．（2026·四川成都·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中， ，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】(1)下列四边形一定是直菱四边形的是________（填序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，在等边中，点D为过点A的中线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形， ，以点A为顶点的，与边分别交于E，F两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形， ，，连接，若作，且，连接并延长交于点F，交于点M，求的长． 【答案】(1)④(2)见解析(3)，理由见解析(4) 【详解】（1）解：①平行四边形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； ②矩形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； ③菱形的四边相等，但内角不一定为直角，不符合直菱四边形的定义； ④正方形的四边相等，四个内角都为直角，根据新定义可得：正方形一定是直菱四边形． （2）证明：∵是等边三角形，∴． ∵点D为中线上一点，∴平分，∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，∴，∴为等边三角形， ∴，∴． 在和中∴，∴， ∴，∴四边形是直菱四边形． （3）解：结论：． 理由如下：∵四边形是对角互补的直菱四边形，，∴． 如图1，将绕点A顺时针旋转得到， ∴，∴， ∵，∴，∴M，B，E三点共线， ∴，∴， ∵∴，∴，∴． （4）解：如图2，连接，作于点G， ∵，∴， ∴， ，∴． ∵，∴， ，∴， ∵，∴，∴ ， ， 即，∴．∵，∴点D，M，B，C共圆， ∴，， ∴，，∴， ∴，∴． 9．（2026·成都·一模）如图1，已知，，，可绕点旋转，连接、． (1)求证：；(2)如图2，若，，，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长；(3)如图3，若，延长交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：，，， ，，即， ，，； （2）解：，，，即，， 在中，，，， ，， ，， 在中，，， 、、三点在一条直线上时，，， 在中，，由（1）可知，， ，即，解得； （3）解：如图3，连接， ∵，．，即，，， ∴，．∵，∴，， ∴，∴点A，C，B，F共圆，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴． 10．（2026·成都·模拟预测）中，，，，为中点，连接． (1)如图，当点在的延长线上时，求证：，； (2)如图，绕点旋转到图中位置，求证：，； (3)若，（A、D、E顺时针排列）绕点旋转，当时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或 【详解】（1）证明：如图所示，设交于点，交于点G， ∵，∴，， ∴，∴四边形是平行四边形，∴，，， 又∵，∴，∴四边形是菱形， 又∵，∴菱形是正方形，∴， ∵为中点，∴，∴， ∴，∴，∴； ∵，∴，∴，∴； （2）证明：如图所示，延长到点T，使得，连接， ∵为中点，，∴是的中位线，∴，； ∵，∴，∴； ∵，∴，∴都是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，是等腰直角三角形 ∴，，∴， ∴，，∴；如图所示，延长交于点Q， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：如图3-1所示，延长到点T，使得，连接， 由（2）可得， ∵，∴，∴，即B、C、T三点共线； 在中，，∴， ∵，∴； 如图3-1所示，过点A作于点M，则， ∴，∴， ∴； ∵，∴，∴，∴； 如图3-2所示，延长到点T，使得，连接， ∵为中点，，∴是的中位线，∴，； ∵，∴，∴； ∵，∴，∴都是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，，∴，∴，， 设直线交于点Q，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，即B、C、T三点共线，∴点B与点Q重合； 如图3-2所示，过点A作于点M，则， 同理可得，∴，∴， ∴； ∵，∴，∴，∴； 综上所述，的面积为或． 11．（2026·成都·一模）在平行四边形中，分别为边上两点． (1)当是边中点时，①如图（1），连接，如果，求证：；②如图（2），如果，连接交边于点，求的值；(2)如图（3）所示，连接，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①见解析；②(2)． 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵是边中点，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，， ∴，，∴， ∵是边中点，∴，设，则， ∴，∴， ∵，∴；∴，， 设，则，∴，∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵，， ∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，，∵，∴， ∵，∴，又∵，∴； 设，，∵， ∴，即，∴，，∴； ∵，∴，即，∴． 12．（2025·四川成都·三模）已知等腰中，．中，，． (1)当线段与线段重合，如图1所示，线段、交于点H，求此时面积． (2)将绕着点A顺时针旋转．交所在直线于点N，交所在直线于点M，如图2所示．当时，过点N作交于点G，求点G到直线的距离． (3)若点E为线段的中点，将旋转，在旋转过程中始终使过点E，过点C，如图3所示．则是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点H作， ∵等腰中，，∴， ∴，∴，∴，设， ∵中，，∴， ∴，解得：，∴； （2）解：过点N作，过点G作交延长线于点K，则， 由题意得，∴，设， ∵∴， ∵，∴， ∴在中有：，解得：， 同（1）可求，∴， ∵在等腰中，，∴， ∴，∵，， ∴，而，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，即， 解得：，∴求点G到直线的距离为； （3）解：过点E作，延长至点P，使得， ∵，∴， ∴，∴的最大值转化为的最大值， 设，则，则 ∴在中，由勾股定理得：，∴， 作的外接圆，连接，则点P的轨迹为， ∵，∴当点O、C、P三点共线时，即为直径时，最大，如图：∴此时， ∵E是中点，∴，∴中，， ∴，∴的最大值为． 13．（2025·四川成都·三模）从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片中，点P为射线上一点，将沿折叠得到，点A的对应点为M，延长，交直线于点Q，N． 【尝试初探】已知，，（1）如图1，若点B与点N重合，求线段的长度； （2）如图2，若点B与点N不重合，当时，求线段的长． 【拓展延伸】若，连接，当为直角三角形时，直接写出的值．（用k的代数式表示）． 【答案】【尝试初探】（1）3；（2）或；【拓展延伸】或 【详解】解：（1），，， 沿折叠得，，，， ，在中，，即，解得； （2）情况一：如图，点在线段上， ，，，， ，，，， ，，由折叠得， ，点在上，与重合，； 情况二：如图，点在线段的延长线上， ，，，， ，，∵，，， ，，作于点，则， ，，， ，，综上所述，的长为或． （3）拓展延伸：或； 当点在线段上，且时，如图，此时和重合，令，则， ，由得，， ，； 当点在线段上，且时，如图，由得，， ，，，，， ，，令，则，， ，； 当点在延长线上，，且， 是钝角三角形，不可能为直角三角形，故此情况不存在． 综上，或．故答案为或． 14．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，P是边上的一动点（不与点A，B重合），Q是边上的一动点（不与点A重合），连接，过点B作交延长线于点D，连接，过点A作交于点． (1)求证：；(2)若，当Q是的中点时，求的值； (3)连接BE，若，当线段取得最小值时，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：，，， ，，，， ，，． （2）解：如图1，过点Q作，垂足为H，则， 在中，，，， ，∴是等腰直角三角形，， 设，则，，， ，，， ，，， ，，又，，， ，，， ，且， ，即，，， ，，，． （3）解：如图2，取的中点O，连接，则， ，，，， 点B、D、A、Q在以点O为圆心、为直径的圆上， 过点B、D、A三点作，连接，，，， ∵在中，弧弧BD，，在中，同理可得， 由（1）知，，， ，，， 在中，，，，即， ，，，， ，当n一定时，点Q固定，点也固定， 对于每个不同的n，线段都存在一个最小值， 当B、E、三点共线时，BE取最小值，如图3所示， ，，垂直平分， ，即，，， ，，设，则，， 在中，由勾股定理，得，， ，即． 15．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，在中，，点和点分别为边、边上一点，连接，以为直角边，在右侧构造，，连接，使得． (1)如图2，若点与点重合，①当时，线段与的数量关系是________，位置关系是________；②当时，猜想、、之间的数量关系（用表示），并证明猜想． (2)若点为中点，点为边上的动点，，，如果为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①；②，证明见解析(2)的长为或或或 【详解】（1）解：①当时，则，为等腰直角三角形，∴ ∵∴∵∴∴， ∵∴，即故答案为：． ②，证明如下，当时， ∵，∴ ∴∴又∵∴∴ ∵∴∴，即 在中，∴ ∴∴即； （2）解：如图，取的中点，连接， ∵在中，，∴∴， ∵分别为的中点，∴，，\ ∴∴∴ ∵∵，∴ ∴∴∴∴ ∵为等腰三角形，①当时，当在店的左侧时，如图，∴， 当在点的右侧时，， ②当时，如图，∵∴， ∴， ∴垂直平分，∴∴ ∴∴∴∴， ③当时，∴， 综上所述，的长为或或或 16．（2025·四川成都·三模）数学活动课上，同学门将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】（1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），直线与交于点F；①求证：；②当时，求的长； 【拓展延伸】（3）在纸片绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）①见解析；② （3）C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或 或 【详解】解：（1）∵，． 在和中，，， ∴．∴； （2）①证明：连接．∵∴． 在四边形中，． ∴A、D、F、E四点共圆．∴， ∵是等腰三角形，∴． ②如图，作交于点F．由于，则．由可得， 又∵，∴，∴， 由①知点F为中点，∴为梯形的中位线， ∴，．在中，． （3）∵∴， ∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动，点E在以点A为圆心，为半径的圆上运动， 由（2）①知：，∵，∴，∴， ∴点F在以为直径的圆上运动，在旋转角不大于时，分三种情况： ①时，连接，过点D作于N，过点E作交延长线于M，如图， ∵∴∴A、B、C、F四点共圆，∴ ∵∴∴即， 设，则，，∵，，∴， 由（2）①知：，∴， ∵，∴；∵∴ ∴，即；∴，， ∴，在中，由勾股定理，得 ∴∴∴； ②时，如图，连接， 则由（2）①知：，∴∴ ∵，∴ ∵∴∴A、D、C三点共线， ∴∴∴； ③当时，过点C作于P，过点E作交延长线于Q如图， ∵，，∴ ∴，即，设，则，， ∵，，∴ ∴，，∴在中，由勾股定理，得 ∴∴∴； 综上，C，D，F三点能构成等腰三角形，的长为或 或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $