题号猜押10 四川成都中考数学25题 二次函数综合压轴（解答题）（四川成都专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押10 四川成都中考数学25题（解答题） 考点1 二次函数与代数综合问题（韦达定理） 1.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长；(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；(3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 2．（25-26九年级下·四川成都·联考）抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求、的值；(2)如图1，直线交抛物线于，两点，连接，，，若恰好平分，求的值；(3)将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，直线交抛物线于E、F两点，分别过E、F且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 3．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线．①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 4．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值；(2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 5．（25-26九年级下·四川成都·期中）如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式；(2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标．(3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 考点2 二次函数与几何图形综合问题 1．（2026·成都·校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值；(3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 2.（2025·四川成都·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求二次函数的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5.（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标；(2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标；定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 1．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为．(1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标；(3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点．(1)求抛物线的函数表达式：(2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 3．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；(3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 4.（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标；(3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·成都·校考期中）综合与探究：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式；(2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题：①求出点P的坐标；②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6.（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标；(3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7.（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线关系式；(2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·成都·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式；(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 9．（2026·成都·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．(1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 10．（2026·成都·一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，． (1)求二次函数的解析式；(2)如图2，点为中点，点在第四象限的抛物线上，连接，，，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，．过作轴于点，交于点，连接交抛物线于点，若，求点的坐标． 11.（2025·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 12．（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹．(1)求曲线的方程；(2)设直线与交于点为轴上一动点，将点绕点旋转后刚好落在曲线上，请直接写出所有满足条件的点的坐标；(3)已知轴上一定点，设曲线与轴交于点，(点在点的左侧)，过点作直线与交于点(不与点重合)．设直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上运动． 13．（25-26九年级下·四川南充·月考）如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线的对称轴与交于点D，在抛物线上是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，若抛物线：与抛物线交于点F，过点F作直线，分别交抛物线和于点P、Q（P、Q均不与点F重合），设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 14.（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 15.（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 16．（25-26九年级上·成都·校考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且，则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是 ． (2)已知点，点A在函数的图象上，若点A，B是一对“2阶差值点”，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上．点M的纵坐标为t，且．①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值；②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押10 四川成都中考数学25题（解答题） 考点1 二次函数与代数综合问题（韦达定理） 1.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长；(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；(3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)直线恒过定点 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴，解得：，，∴，，∴； （2）解：当时，，∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， 设点的坐标为，则，∴， ∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，∴， ∴，∴， ∵的面积是面积的两倍，∴， 整理得：，解得：或， ∵，∴，此时，∴； （3）解：∵，∴， 在中，当时，，故，如图：作轴于， 设，则，∴，， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，将，， 代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为，令，则， 解得：，∴，∴，解得：或， ∵，∴，∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为，当时，，解得：，∴直线恒过定点． 2．（25-26九年级下·四川成都·联考）抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求、的值；(2)如图1，直线交抛物线于，两点，连接，，，若恰好平分，求的值；(3)将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，直线交抛物线于E、F两点，分别过E、F且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴，解得； （2）解：由（1）得，抛物线的解析式为， 当时，，即，设的解析式为， 将、代入得，解得，∴的解析式为， ∵直线过和，∴，∴是等腰直角三角形，∴． ∵平分，∴将射线沿翻折，点会落在射线上，记为点， 设，则其关于直线的对称点为． ∴线段的中点在直线上，∴；， ∵点和点关于直线对称，∴，∴， 过点作水平向右的直线，过点作竖直向下的直线，两条直线交于点，如图， ∴，轴，∴， ∵，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵是水平线段，是竖直向下的线段， ∴，，∴；解得， 将②代入①，； ；解得，将代入②，得： ；解得，∴点关于直线的对称点坐标为， ∵直线过点，∴设直线的解析式为， ∵、、三点共线， 将代入直线得，；；解得， 将代入直线得，， 将代入③得，， 由题意，联立直线与抛物线得，；， ∵直线与抛物线交于、，∴， ∴， ∵、在直线上，∴， ∴， ∵， ∴， ∴；；；解得（舍去）； （3）解：∵将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，且， ∴，分别设和点的横坐标为，， ，． 令；，，， 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令；， 由题意可知，；；解得，同理可得， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令；；解得， 此时，， 又∵，，，联立， ∴，即点在定直线：上运动． 3．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线．①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 【答案】(1)，(2)①；②(3)是； 【详解】（1）解：将点和点代入，解得，， ∴抛物线的解析式为, 对于直线，当时，，∴，∴点D的坐标为． （2）①，∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； ②当时，, 当时，，当时，，∴点的坐标为，点的坐标为． 当抛物线与线段有公共点时，联立和，整理可得， ，解得．结合图象，当抛物线与线段有公共点时，； （3）解：联立和，整理可得， 设点，的坐标分别为，，则、为方程的根， ∴，， ∴点M的坐标为，令，，∴， ∴，抛物线的解析式为． 4．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值；(2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 【答案】(1)(2)①；②证明见解析 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， ，即，∴； （2）解：，令，则，∴点C坐标为， ∵点D与C关于原点O对称，∴点D坐标为，设点B坐标为， ∵，∴点D是的中点， 由中点公式可得，解得，，∴点E坐标为， 将，代入抛物线，得，， 将得，，即，将代入①得，，解得，， ∴，∴方程组的解为， ∴抛物线解析式为，点B坐标为，点E坐标为， ①如图，作轴，垂足为J，延长交于点K，作，垂足为，设， ∵点E坐标为，轴，∴点J坐标为，，∴，， 在直角中，， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， 在直角中，，，， 由勾股定理得，，∴，解得，，∴点K坐标为， 设直线的函数解析式为，将，代入，得， ，解得，，∴直线的函数解析式为， 联立方程，解得，或，∴点P的横坐标为； ②证明：如图，连接，将点E坐标为代入，得， ∴，即，同理，，， 联立方程，将③代入④得，， 化简，得，因式分解，得， 解得，或，∴方程组的解为或， ∴点F坐标为，同理，点H坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ，将得，， ∵，且，∴，即， ∵M，N分别为线段，的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴与过原点的定直线平行． 5．（25-26九年级下·四川成都·期中）如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式；(2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标．(3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)点的横坐标为或2或(3)点的横坐标为定值 【详解】（1）解：抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为，整理得：， 抛物线的解析式为， ，，，抛物线的解析式为； （2）解：当时，直线的解析式为， 当时，可得：，点的坐标为， 点，，设点的坐标为，则点的坐标为， ， ，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，，， 当时，整理可得：，解得：，， 当时，解得：，（此时、重合，舍去）， 综上所述，点的横坐标为或2或； （3）解：点的横坐标为定值，设点的坐标为，点的坐标为， 则、是方程的解，整理可得：，，， 点的坐标为，点的坐标为，设的解析式为， 则有，解得：，直线的解析式为， 解方程整理得：， 方程的解应是点和点的横坐标，， ，，同理可得：， 点的横坐标为， 整理可得： ， 点的横坐标为定值． 考点2 二次函数与几何图形综合问题 1．（2026·成都·校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值；(3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）解：在中，当时，，∴，∴， ∵，∴，∴，即，∵，∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ，解得：，∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，将，代入直线的解析式可得 ，解得：，∴直线的解析式为，设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为，∵，，∴，，∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点，∴设， ∵轴交直线于点，∴，，∴， ∵点作交直线于点，∴，， ∴周长 ， ∵，∴当时，周长最大为， 此时，∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，则 由平移的性质可得：，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴的最大值为； （3）解：∵将点向下平移一个单位长度得到点，∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵，∴，∴，如图，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于， ∵，∴， 设，则，， ∵，∴， 解得：或（不符合题意，舍去）；∴点的横坐标为． 2.（2025·四川成都·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2)(3)存在，或或或． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：，∴， ∵直线经过点A，B；∴，解得：，∴； （2）∵点P的横坐标为，∴， ∵轴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，∴；∴； （3）存在，设点，∵，∴， ∵，∴； ①当点为直角顶点时：，解得：，∴； ②当点为直角顶点时，，解得：，∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或，∴或； 综上：或或或． 3．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为；(2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得，∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，    ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或，． ∵，且，∴当时，取得最大值， 把代入，得，∴； （3）解：，∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，． 综上，点 的坐标为． 4．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为；(2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：，∴， ∴，∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点，∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下，连接，设， 当时，，解得，， ∴， ∵，，，∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似，，则点在点的左侧， ， ①当时，，∴，解得，所以点N的坐标为， ②当时，，∴，解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 5.（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标；(2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标；定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 【答案】(1)；(2)或或 【详解】（1）解：∵令，得，∴， ∵，∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵，∴，∴或， 当为时，如图，设新的抛物线的解析式为， 抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，则， ∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称， ∴，解得：，∴新的抛物线的解析式为， ∵如图，过点作轴于点， ∵，∴，∴设，设直线解析式为， 将代入，得，解得：，∴直线解析式为， 联立，解得：，，∴； 当为时，如图，同理可得新的抛物线的解析式为， 如图，过点作轴于点，同理可得直线解析式为， 联立，解得：，，∴， 综上所述，或； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，， ∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 同方法可得新的抛物线的解析式为， 设交轴于点，∵，∴，且点在轴负半轴，∴， 设直线解析式为，将，代入， 得，解得：，∴直线解析式为， 联立，解得：，，∴， ∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形， 当时，得，解得：； 当时，得，解得：或（大于，舍）； 综上所述，或． 1．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为．(1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标；(3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为(2)(3) 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：，∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴，∴，∴， 由旋转的性质可知：，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：，∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：，解得：，∴； （3）解：由题意可联立得：，解得：， ∴，∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图，作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点．(1)求抛物线的函数表达式：(2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)(2)的面积不存在最大值，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ∵与轴交于点，∴解得： ∴∴ （2）解：∵轴，当时， 解得：或∴；如图，过点作 依题意，点在直接的抛物线图象上运动， ∵是的中点，，∴； ∴抛物线的顶点坐标为，∴顶点坐标为到的距离为， 直线与的距离为，∵当重合时，的面积最大， 而与轴相交，与轴平行，则点无法与点重合，故的面积不存在最大值 （3）解：由（2）可得到的距离为 ∵的面积为，∴∴， 如图，当在点的左侧时， ∵，∴∴，∴， ∵是中点，∴，∴， ∵折叠∴∴∴，设， 由，可得直线的解析式为；设，依题意，点在的左侧，则 ∵折叠；∴；∴；设直线的解析式为，代入， ∴，解得：，∴直线的解析式， 当时，，即的横坐标为； 设直线的解析式为，代入， ∴解得：∴ 当时，解得：，即， ∵，∴，解得：（舍去）或，∴ 当在点的右侧时，如图 ∵∴解得：（舍去）或∴ 综上所述，或 3．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；(3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点， ∴将点代入抛物线得：，解得：；∴抛物线表达式为：； （2）解：当时，，当时，，∴， 联立，∴，∴， ∵点在点左侧，∴， ∵，∴， ；，，整理得，， ∵，∴，解得：； （3）解：由题意得，，设直线，代入得，，∴， ∴直线，即， 联立得：， ∵直线与抛物线有且仅有一个公共点，∴， ∴，∴，∴， ∴直线，即，当，∴， 当，则，解得：，∴，∴， ∵与的面积之比等于，∴，∴， ∵，同理可求直线， ∵，∴，∴同理可求直线， 当，则，解得：，∴， 对于直线，同理可求，∵，∴，∴，∴， 联立，∴，∴，∴，， ∴∴，∴，解得：， ∵，∴． 4.（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标；(3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或； (3)或 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ，，，，，， 经过点A，B，C，解得抛物线的解析式为； （2）解：，， ，，取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，， ，，，，，四边形是矩形，， 设直线且过点，， ，或； （3）解：抛物线与抛物线关于原点对称， 的函数表达式为，点F的坐标为， ，点G的坐标为，在x轴上取一点P，使得，此时， 设，，，，， 当点H位于第一象限时，过点B作交的延长线于点Q，作轴于点M，作轴于点N，设点Q的坐标为，，，，， ∵∴ ∵∴，， ，，，， ，，直线与交于点H， （舍去），点H的坐标为，     当点H位于第三象限时，点与点Q关于点B对称，此时， ，， （舍去）， 点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或． 5．（25-26九年级上·成都·校考期中）综合与探究：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式；(2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题：①求出点P的坐标；②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)四边形的面积为5；①点P坐标为；②点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：∵，， ∴设二次函数的表达式为：， 又∵二次函数表达式为，∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：，顶点的坐标为，点C的坐标为， 将点A、C坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图，过点D作轴，交于点G，∴点，则点，∴， ∴； ①如图，过点D作轴交于点G，过点P作轴交于点H， 设点，则点，∴， ∵，抛物线开口向下，故有最大值，当时，有最大值，∴点P坐标为； ②（i）如图，当点Q在直线上方时， 设点P，Q过直线且直线，线段的中垂线与线段的交点为M，此时点M为线段中点， ∴，则点P、Q关于线段的中垂线对称，∴线段的中点， 过点M作轴交点G，直线与y轴交点H，∵，， ∴，，， ∴，∴，即， ∵，∴，∴点H的坐标为， ∵直线过点M和点H，设直线的解析式为， ∴，解得，∴直线的解析式为， 同理过点P平行于直线的直线的表达式为：， 联立①②并解得：，即点， ∵点N是的中点，点P坐标为，点，∴由中点公式得点； （ii）如图，当点Q在直线下方时， 当时，同理可得中垂线的表达式为：，设点坐标为， ∵点，，即：， 整理得：，解得：，（舍去），故点； 当时，，∴， 将点A、P坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的解析式为：，设直线的解析式为：，将点C坐标代入得：， ∴直线的解析式为：，设点坐标为， ∵，即：，解得（舍去），，故点为， 综上所述，点Q的坐标为或或． 6.（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标；(3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，N的坐标为或． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：，解得，， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设，在中，令得，， 由，得直线BC解析式为，，，∵， ，，， ，， ，抛物线对称轴为直线，轴，， ， ，当时，的最大值为，此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； （3）存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，理由如下：如图： 由，得直线CD解析式为， 令得，，， 直线OC是线段BM的垂直平分线，，， 要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或， 设，，，，， ，，， 当时，，解得，∴； 当时，，解得，∴． 综上所述，N的坐标为或． 7.（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线关系式；(2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，，解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接，对于抛物线，当时，可有，即， 又∵，，∴，设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值，∵，∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在，此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线，∴，连接，可得， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得，所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点G， 设，则，，， ∴，解得（舍去），或，∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵，∴，，∴， ，∴，， ∴，，∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M，∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点，∴直线的表达式为：， 联立，解得，∴，∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，， 8．（2025·成都·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式；(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 (4)存在，或或或 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：，∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为，把坐标代入得：，解得：， 即直线解析式为，令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，，设直线解析式为， ∴解得：，∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴，∴．   ∵直线将的面积分成两部分， ∴或，∴或， ∵，∴或∴或，∴点P的横坐标为或， 把代入得：，此时； 把代入得：，此时； 综上所述，点P的坐标为或；故答案为：或 （4）解：存在，设点Q的坐标为，设交y轴于点K，则，根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：（舍去）或0；此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E， 此时，，同理∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：或（舍去），∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理∴，，∴，∴点， 把点代入得：， 解得：（舍去）或；∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，，同理；∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：或0（舍去）；∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 9．（2026·成都·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．(1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)(2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则，∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，，∴，∴， ∵轴，∴，∴， ∴，∴，当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，，∴，设直线的表达式为：， 则，解得：，∴直线的表达式为：，设点D的横坐标为t， ∵，∴，，∴， ∵，， ①当时，，解得：或（舍）， ∴，∴； ②当时，，解得：或（舍）， ∴，∴； ③当时，，整理得：， 解得：或（舍）或（舍），∴，∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴点在线段上运动（不包括端点），∴当时，最小， ∵，，，∴， ∴，∴，∴当时， ∴，∴，∴线段长度的最小值． 10．（2026·成都·一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，． (1)求二次函数的解析式；(2)如图2，点为中点，点在第四象限的抛物线上，连接，，，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，．过作轴于点，交于点，连接交抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2)；(3) 【详解】（1）解：令，则，，， ，，，将代入得，， 解得，二次函数的解析式为； （2）解：为中点，，， ，，设直线的解析式为， 则，解得，直线的解析式为， 如图，设直线与轴相交于点， 关于，当时，，，， ，； （3）解：轴于点，轴于点，，四边形是平行四边形， ，是矩形，， 设，则，， ， ， ，，由（2）可知， ， ， ， 作轴，截取，连接，，交于， ，，，，， ，， ，， ，，，同理， ，，，， ，，，，， ，，，，，， 设直线为，将，分别代入得， ，解得，， ，解得，或（舍去），点的坐标为． 11.（2025·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 【答案】(1)(2)M的坐标为或(3)见解析 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得，∴，把A的坐标代入， 得，解得，∴抛物线的解析式为； （2）由，解得或，∴， 把代入，解得：，∴，∴，∴， ∵，∴，设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则， ∴． 整理得，解得 ，． 故M的坐标为或． （3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为，令，∴，∴，， 设直线的解析式为，令，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，令，∴，∴，∴， ∴，∴，设直线的解析式为， 令，∴，∴， ∴，∴，∴，∴直线经过定点． 12．（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹．(1)求曲线的方程；(2)设直线与交于点为轴上一动点，将点绕点旋转后刚好落在曲线上，请直接写出所有满足条件的点的坐标；(3)已知轴上一定点，设曲线与轴交于点，(点在点的左侧)，过点作直线与交于点(不与点重合)．设直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上运动． 【答案】(1)；(2)，，，； (3)点在定直线上运动，证明见解析． 【详解】（1）解：设曲线上任意一点，根据题意，点到定点的距离等于到定直线的距离，即，两边平方得：， 展开并化简得：，即；故曲线的方程为． （2）解：将代入，得，即， 设点的坐标为，点绕点旋转后得到的点为， 当点绕点顺时针旋转时，过点作与轴平行的直线，过点作于，过点作于，则， ∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，，∴，，∴，， ∴点的坐标为，∴，展开整理得， 解得，，即此时点的坐标为、， 当点绕点逆时针旋转时，同理可证， 可得，，此时点的坐标为， ∵点在曲线上，∴，展开整理得， 解得，，即此时点的坐标为、， 综上，满足条件的点的坐标为、、、； （3）解：令，则，解得，， ∵点在点的左侧，∴，， 设点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为，将点代入得， ∴，即直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点代入得，∴， 即直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得，解得，， 设直线的解析式为，∵直线过点， 联立直线与曲线的方程，得，消去得， ∵、是方程的两个根，∴由韦达定理得，，消去得， ∴ 即点的坐标满足，∴点在定直线上运动． 13．（25-26九年级下·四川南充·月考）如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线的对称轴与交于点D，在抛物线上是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，若抛物线：与抛物线交于点F，过点F作直线，分别交抛物线和于点P、Q（P、Q均不与点F重合），设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，点E的坐标为或或(3)是定值，为定值4 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入，得：， 解得：，∴二次函数的解析式为：． （2）解：在抛物线上存在点E，使得是以为直角边的直角三角形． 抛物线对称轴为直线． 当时，，解得，．∴，设直线的解析式为， 把，代入得，解得，∴直线的解析式为：． 当时，．∴．∵，∴． ①如图，当时，过点作轴于点F，则， ∴，∴，∴， 设，∴，解得：，（舍去）， 当时，，点． ②如图，当时，可得．设直线解析式为， 把和代入得，解得， ∴直线解析式为：，设直线的解析式为：， 把代入得：，解得：．∴直线解析式为：． 联立得，解得或，∴，． 综上所述，在抛物线上存在点E，使得是以为直角边的直角三角形． 此时点E的坐标为或或． （3）解：联立两抛物线解析式可得：， 解得：，则点， 又．设直线的解析式为：， 则解得∴． 联立直线与抛物线得：．则：， 整理得：，则， ∴，∴，∴．即为定值4． 14.（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【详解】（1）解：抛物线：（），当时，，∴，， ∵，∴，又∵，∴， 代入得，，解得：，∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点，设直线的解析式为， 代入得，，解得：，∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形，∴，，设， ∵，∴，∵点在直线上，∴，解得：，， 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴； 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴；∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，，联立，消去整理得：， ∴，，∴， ， 设，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 整理得：， ∵点是定点，∴，，，解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 15.（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为(2)①，②周长的最大值为 (3)存在，定点F 的坐标为 的值为4 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴． 把点代入 中，得，∴抛物线的解析式为 ， 当时，，∴点C的坐标为； （2）解：设直线 的函数解析式为，把代入，得 ，解得 ， ∴直线 的函数解析式为，∵，∴． ∵轴，∴．∴是等腰直角三角形．； ①当点 M 运动到抛物线的顶点时，点 N的坐标为，∴． ∴的周长为 ； ②设 其中，则， ∴的周长为 ，∴当 时，的周长有最大值，最大值为 ； （3）解：存在． 当抛物线 向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到新的抛物线 ，即 ， 设的解析式为，点 S 的坐标为，点T的坐标为，则 ， 联立新抛物线与直线的函数解析式，得 ，整理，得 ， 由根与系数的关系，得 ，则 ， 同理， ，， ， 当 为定值时，有 ， ， 当 时， ，∴定点F 的坐标为 的值为4． 16．（25-26九年级上·成都·校考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且，则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是 ． (2)已知点，点A在函数的图象上，若点A，B是一对“2阶差值点”，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上．点M的纵坐标为t，且．①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值；②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3)①；②存在，1或(4)或 【详解】（1）解：对于点，， ∵，依据一对“m阶差值点”的定义得：点不是一对“3阶差值点”； 对于点， ∵，依据一对“m阶差值点”的定义得： 点是一对“3阶差值点”；故答案为：； （2）解：∵点A在函数的图象上，∴设， 已知点A，点是一对“2阶差值点”，依题意得：，解得，， 经检验，，是该方程的解，∴点A的坐标为或； （3）解：①∵抛物线的对称轴为直线，∴， 将代入可得，∴点C的坐标为， ∵点M，C是一对“阶差值点”，依题意得：，解得； ②正方形的四个顶点中存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”；理由如下： 根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”， 当点C，M是一对“1阶差值点”时，如图1，过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为K、H， 依题意得：，解得，∴， ∵四边形为正方形，∴，∵轴，轴， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， 将点P的坐标代入，得：，解得：； 当点P在点C上方时，如图2，同理可得，将点点P的坐标代入，得： ，解得，综上所述，a的值是1或； （4）解“m的取值范围为或．理由如下： 若点，是一对“m阶差值点”，依题意得：， 设直线的解析式为，将点A，点B的坐标分别代入，得： ，，得：，∴， 又∵直线过点，∴，∴直线的解析式为， ∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点， 即直线经过由，，，组成的正方形区域 （含边界），如图3， 当时，当时，得：，此时﹣，解得，即m的取值范围为； 当时，当时，得：，此时，解得，即m的取值范围为， 综上所述，m的取值范围为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $