题号猜押08 四川成都中考数学22～23题 几何图形综合压轴、函数综合含参问题、代数压轴问题（填空题）（四川成都专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 四川成都中考数学22~23题（填空题） 考点1 函数综合压轴 1．（2026·四川成都·二模）对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：，均是“闭函数”．已知是“闭函数”，且抛物线经过点和点，则的取值范围是__________． 2．（25-26九年级上·成都·校联考）二次函数（h、k为常数）的图象经过点，若过点作y轴的垂线与二次函数图象交于点E、F（点E在F的左侧），当点P满足时，该函数的顶点坐标为______． 3．（25-26九年级下·成都·专题练习）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点，例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点，某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点；④（为常数，），不管为何值，总是“不动点函数”，且不动点一定位于第三象限；⑤若一次函数（）是“不动点函数”，则，应满足，；⑥若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，则，满足的关系式为以上结论中，正确的是______（填写序号）． 4．（25-26九年级下·成都·期中）二次函数与轴交于点，点是该二次函数图象上位于点右侧的一个动点，当点变化时，若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于，则的值为________；若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是________． 5．（25-26九年级下·四川成都·联考）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 6．（2026·成都·校考一模）二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，二次函数的图象经过点、，与轴交于另一点，连接．是线段上一点，过作轴的垂线分别与两个图象交于点，，交线段于点．有如下结论：①；②；③的最小值为；④当点的横坐标为时，线段长度取得最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 考点2 图形与几何综合压轴 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，是的平分线，在上取一点，使得，射线交于点．若，，则四边形的面积为______． 2．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，，．设，延长分别与直线交于点面积为面积为，则__________ 3．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 4．（2025·四川成都·二模）如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则______． 5．（2026·成都·一模）如图，等腰中，，点在边上，过作，交的延长线于点，延长交延长线于点，连接，作交于点，点为上一点，，连接．有如下结论：①；②平分；③若，则；④最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 6．（2026·成都·一模）如图，中，，，，点D为上一动点（不与点A、C重合），连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．有如下结论： ①为等边三角形；②当时，；③当时，直线；④在点D运行的过程中，连接，周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 7．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，点E是边延长线上一动点，连接，若，则的最小值为______． 考点3 代数类综合压轴 1．（2025·成都·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 2.（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 3．（2025·重庆·二模）若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是 ．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 5．（2026·成都·模拟预测）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法：①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②； ③的最小值是36；④若，，则符合条件的最小的n值为11．其中正确的有_______． 1．（2025·成都·校考二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 2．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线的顶点坐标为，下列说法： ①若，则点一定在抛物线上；②方程一定有两个不相等的实数根； ③若抛物线经过点，则方程的解集为； ④若，且直线与抛物线在范围内只有一个公共点，则； ⑤若抛物线L过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，连，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为点，当点运动时，为定值．其中正确结论的序号为 ． 3．（25-26九年级上·成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时的最大值为，函数的“最优纵横值”为10．下列结论：①点的“纵横值”为8；②函数的“最优纵横值”为1；③若二次函数，在时，该二次函数的“最优纵横值”为3，则m的值为3或；④二次函数的“最优纵横值”为，该二次函数的图象与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 4．（25-26九年级下·成都·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为_________． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或 ④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是． 5．（2025·成都·校考二模）对于实数，定义一种运算，当，则，当，则，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量的值为0.5或1.5；③当时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则，；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则．其中正确的结论是___________（填序号）． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“加密变化”点的坐标为．如关于的“加密变化”点的坐标为，则关于的“加密变化”点的坐标为_______；已知一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，在线段上取一点，此时点关于点的“加密变化”点恰好落在内部(不包含边界)，则的取值范围是_______． 7．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为_____________． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，四边形为菱形，在延长线上，连接，过作，垂足为，连接，已知，若，，则的长为______． 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 10．（2025·四川成都·校考一模）已知等边的边长为5，点M在边上运动，点N在直线上运动，将沿着翻折，使点A落在直线上的点处，若，则______． 11．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是_______，的最大值与最小值分别是________． 12．（2026·成都·校考二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，若，则①________；②的面积为________． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点．将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上时，延长交于点，则线段的长为______． 14．（2025·四川成都·一模）如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 15．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，是上的中线，将沿进行翻折，使得点B落在点P处，连接，分别交于点O，E，与相交于点F，连接．若，则______． 16．（25-26九年级下·四川成都·期中）在学习了三角函数后，我们知道：当直角三角形的一个锐角确定后，直角三角形的三边比就唯一确定，反之亦然，所以我们可以利用三角函数建立直角三角形的边与角的关系．与之类似，我们会发现等腰三角形的顶角确定后，它的三边比也唯一确定，反之亦然．那么，我们也可以尝试建立等腰三角形的边角关系．我们定义：等腰三角形的底边长与腰长的比叫做顶角的正对（的正对记作：），例如，如图，在等腰三角形ABC中，，，则． （1）若，我们可以通过构造等腰三角形的方式计算，则的值为_______； （2）在中，已知，，，则_______． 17．（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 18．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 19．（2025·成都·校考二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以 则下列说法正确的是 （ 填正确答案的序号  ） ①；②；③；④若，则， 20．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有 ；若，则 . 21．（2026·成都·校考一模）对于正整数，有一种变换，当为奇数，变换方式为，当为偶数，变换方式为，经过变换得到新的正整数，再进行相同的变换直到结果为1时停止．我们把一个正整数通过上述变换得到1所经过的变换次数记为．例如，4经过2次变成1，则；5经过5次变成1，则． （1）若输入，则的值为______； （2）若输入正整数，且，则所有满足题意的值的和为______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 四川成都中考数学22~23题（填空题） 考点1 函数综合压轴 1．（2026·四川成都·二模）对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：，均是“闭函数”．已知是“闭函数”，且抛物线经过点和点，则的取值范围是__________． 【答案】或 【详解】解：抛物线经过点和点， ， ， 得：， 即与互为相反数， 得：；抛物线表达式为， 对称轴为，当时，抛物线开口向下，且， 抛物线经过点和点， 画图可知，当时符合题意，此时， 当时，图象不符合的要求，舍去； 同理，当时，抛物线开口向上，且，画图可知，当时符合题意，此时， 当时，图象不符合的要求，舍去； 综上所述：的取值范围是或．故答案为：或． 2．（25-26九年级上·成都·校联考）二次函数（h、k为常数）的图象经过点，若过点作y轴的垂线与二次函数图象交于点E、F（点E在F的左侧），当点P满足时，该函数的顶点坐标为______． 【答案】或 【详解】解：∵过点，∴，∴（*）， ∵过点作y轴的垂线，∴直线，， 当得，，∴，设， 则交点横坐标为，，即，， 点也在直线上，所以，， 因为所以，令，则上式化为：， 分类讨论绝对值：若，则，所以，解得：． 若，则，所以，解得：． 情况1：当时，所以，解得：，代入(*)式：解得：或， 若，则，符合， 若，则，不符合此情形前提．所以此情况该函数的顶点坐标为：． 情况2：当时，即，解得：或 当时，由(*)式：，解得：， 此时，而，满足此情况前提． 当时，由(*)式：，解得：，此时， 而，不满足此情形前提．所以此情况该函数的顶点坐标为， 综上所述，该函数的顶点坐标为或．故答案为：或． 3．（25-26九年级下·成都·专题练习）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点，例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点，某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点；④（为常数，），不管为何值，总是“不动点函数”，且不动点一定位于第三象限；⑤若一次函数（）是“不动点函数”，则，应满足，；⑥若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，则，满足的关系式为以上结论中，正确的是______（填写序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【详解】解：①对于，令，得，整理得，方程无解，因此不是“不动点函数”，故①错误． ②对于，令，得，解得，因此不动点为，故②错误． ③对于，对任意实数，当时，，因此函数有无数个不动点，是“不动点函数”，故③正确．④对于，令，整理得， 当时，，，不动点为，在第三象限； 当时，函数化为，有无数不动点，这些点不一定在第三象限，存在不动点如在第一象限，因此不是所有不动点都在第三象限，故④错误． ⑤对于一次函数，令，整理得，当时，方程总有解，此时为任意实数，函数都是“不动点函数”；当时，，函数都是“不动点函数”；故⑤错误． ⑥对于抛物线，配方得，因此顶点坐标为， 因为顶点是不动点，因此顶点纵坐标等于横坐标，即，整理得，故⑥正确． 4．（25-26九年级下·成都·期中）二次函数与轴交于点，点是该二次函数图象上位于点右侧的一个动点，当点变化时，若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于，则的值为________；若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是________． 【答案】 5 【详解】解：（1）由二次函数，当时，，故点A坐标为， 将二次函数化为顶点式：，；∴顶点为，开口向下， 当时，，此时最大值为，最小值为，； ∵顶点为，∴对称轴为直线，∴点关于对称轴对称的点为， 当时，，如图：此时最大值为，最小值为，； 当时，此时最大值为7，最小值为，，如图： 则，即，且解得或（舍）， ∴当时，函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于，故答案为： （2）由（1）分析可得若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是，故答案为：， 5．（25-26九年级下·四川成都·联考）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【答案】或或 【详解】解：设，，由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ∵，设横向边界的整数个数为n，分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴，∴，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度，∴， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴，∴，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度，∴， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ③若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定大于12，∴，∴或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若，则，由第一种情况可知，，此时，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，由第一种情况可知，，∴或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时， 不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，此时纵向边界的长度小于6，只有当点A的纵坐标为整数，即，时才能使得纵向边界上纵坐标为整数的点的个数为6，满足； 综上，横坐标a的范围为或或． 6．（2026·成都·校考一模）二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，二次函数的图象经过点、，与轴交于另一点，连接．是线段上一点，过作轴的垂线分别与两个图象交于点，，交线段于点．有如下结论：①；②；③的最小值为；④当点的横坐标为时，线段长度取得最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【详解】解：对于二次函数，当时，， 解得：，，，，  当时，，，                 ∵二次函数的图象经过点A，C．∴，解得；∴， 当时，，解得，，∴，故①正确；过点D作， 由①得：，，，∴，， ∴解得：，∴，∴，故②正确； 作点D关于的对称点H，连接，交于点，如图所示， 此时，∴，取得最小值， ∵，∴，∵轴对称，，∴，∴，， ∵，，   ∴，∴， ∴的最小值为，故③正确； 根据题意，设直线与x轴垂直，，，其中， ，             ，∴当时，取得最大值，故④正确． 考点2 图形与几何综合压轴 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，是的平分线，在上取一点，使得，射线交于点．若，，则四边形的面积为______． 【答案】/ 【详解】解：过点作于点，如图所示：设，， ，， ，， ，是等边三角形，， ，， 是的平分线，， 在和中，，， ，，解得，（不合题意，舍去）， ，，， 是等边三角形，，， 在中，由勾股定理得， ，， 又的边上的高与的边上的高相同， ，， ．故答案为：． 2．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，，．设，延长分别与直线交于点面积为面积为，则__________ 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴， ∵∴； ∵面积为面积为，∴ ∵∴∴ 设，∴ ∴，∴ ∵，∴ 又∵，∴ ∴，；∴；∴① 在中，；∴②， 联立①②得或（负值舍去） ∴；故答案为：． 3．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 【答案】 【详解】解：过点、分别作，，垂足为点， ∵矩形中，∴，， 由旋转可得，∵，∴， ∴∴， ∵，∴∴， ∵，∴，∴，∴ ∴∴，解得． 4．（2025·四川成都·二模）如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，延长，交于点G，延长，交于点F，过点F作于点H， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 设，，则， 又∵，∴，整理得，在中，， ，∴，∴， ∴．故答案为： 5．（2026·成都·一模）如图，等腰中，，点在边上，过作，交的延长线于点，延长交延长线于点，连接，作交于点，点为上一点，，连接．有如下结论：①；②平分；③若，则；④最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【详解】解：判断结论①：∵是等腰直角三角形， ∴，，则， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，故①正确； 判断结论②：∵，∴，， ∵，，∴， ∴，即， ∴，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，即平分，故②正确； 判断结论③：已知，在中，，设，则， 根据勾股定理，， ∵，在中，根据勾股定理， ∴，解得，则，， 设，则，在中，． 在中，．在中，； 当时，，∴，即，故③错误； 判断结论④：∵，∴， 当，G，H三点共线时，最小． ∵，，∴，∴， ∵，∴，故④正确．综上，正确结论的序号是①②④． 6．（2026·成都·一模）如图，中，，，，点D为上一动点（不与点A、C重合），连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．有如下结论： ①为等边三角形；②当时，；③当时，直线；④在点D运行的过程中，连接，周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，∴为等边三角形，故①正确； ∵，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴ ∴，∴，故②正确； 延长交于点，取的中点，连接， ∵，，点为的中点∴，， ∴为等边三角形，∴，∵为等边三角形， ∴，∴∴ ∴；∴， ∵，∴，∴， ∴，∴∴，故③正确； 将线段绕着点逆时针旋转至，连接，过点作的对称点，连接，交于点，由旋转可得，∴为等边三角形，，， 而为等边三角形，同理可证明∴， ∴，由对称可得，，， ∴∴为等边三角形，∴， ∴∴四边形为菱形，∴ ∵，，，∴，∴， ∵周长 ∴当点在上时，周长取得最小值，即为， 在中，，∴∴ ∴周长的最小值为，故④正确，∴正确的有①②③④． 7．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，点E是边延长线上一动点，连接，若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：作，且使得，取中点，连接，，， 四边形是矩形，∴，， ，，， ，即，， ，，当取最大值时，的值最小， ∵，∴当点三点共线，且在延长线上时，取最大值即为， ∵∴设，，∵，点为中点， ∴，， 为最小值．故答案为：． 考点3 代数类综合压轴 1．（2025·成都·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，，∴①③正确，②不正确； ∵，∴④不正确，故答案为：①③． 2.（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【答案】 117 665 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数，则， 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是，故答案为：117，665． 3．（2025·重庆·二模）若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是 ．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是 ． 【答案】 ； 【详解】解：设，则，其中、为整数，且，， 则， 整理得：，当最大时，最大， 当，时，，故答案为：； 解：设，则，其中、为整数，且，， 则，， 整理可得：，， ， 整理得：， （为整数），， 整理得：，是完全平方数， ，，且、为整数，，， ，， ，， 整理得：， 又的二倍与的和除以余数为，，， 当时，则，，（不合题意，舍去） 当时，则，，， 综上所述，正整数的值为． 4．（25-26九年级上·四川成都·校考期中）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴之间共有个或个整数， ∵6个连续的整数满足， ∴， 当时，间有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或 当时，上有个整数， 则之间的3个整数设为，之间的3个整数为，，无整数解； 当时，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或， 当，间有个整数， 则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，无整数解； 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解 或，无整数解 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无解， 综上所述，或或，则或或， ∴，或；∵是正整数，∴故答案为：． 5．（2026·成都·模拟预测）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法：①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②； ③的最小值是36；④若，，则符合条件的最小的n值为11．其中正确的有_______． 【答案】③④ 【详解】解：由题意，第一个数组为，第二个数组为， 则第三个数组为，第四个数组为，……， ∴，，， ，，……， 依次类推，发现，为正整数， ∵，∴，∴，∵为正整数，∴为偶数，故①不符合题意； ∵∴，， ∴，故②不符合题意； ∵，为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， ∴当，，，时最小，∴的最小值是；故③符合题意； ∵，，∴，， ∵，， ∴n值最小为11，故④符合题意；故正确的有③④． 1．（2025·成都·校考二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵，∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． ∵ ，∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，∴ ，∵ ，∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，．当时，函数值 ；当时，函数值 ． 当时，即，∴，∴此时 ∴，解得（舍去）或（舍去）， 当时，即，∴，∴此时 ∴（舍去）或（舍去）综上所述， 或 故答案为：或 2．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线的顶点坐标为，下列说法： ①若，则点一定在抛物线上；②方程一定有两个不相等的实数根； ③若抛物线经过点，则方程的解集为； ④若，且直线与抛物线在范围内只有一个公共点，则； ⑤若抛物线L过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，连，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为点，当点运动时，为定值．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②⑤ 【详解】解：已知抛物线()的顶点坐标为，则抛物线解析式为()．∴， ，①若，则，当时，，故点在抛物线上，结论正确． ②，， 因，故，方程有两个不相等的实数根，结论正确． ③抛物线经过点，代入得， 解得，抛物线解析式为． 不等式，代入，，， 得，简化得， 整理得，即，解集为或，与不符，结论③错误． ④若，由得，抛物线为．直线， 当时，方程为， ，符合题意； 直线过定点，如图， 当直线过点时，解得： 当时， 当直线过点时，，解得： ∴当时，或，但说法只给出，漏掉，结论④错误． （5）代入到，得，解得， ∴抛物线的解析式为，令，则，解得，， ∴，∴， ∵， ∴，，如图，连接， 则，∴， ∴，∴，故⑤正确， 综上所述，正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤． 3．（25-26九年级上·成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时的最大值为，函数的“最优纵横值”为10．下列结论：①点的“纵横值”为8；②函数的“最优纵横值”为1；③若二次函数，在时，该二次函数的“最优纵横值”为3，则m的值为3或；④二次函数的“最优纵横值”为，该二次函数的图象与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【详解】①点的纵横值为，正确； ②函数的纵横值，在上，随增大而减小，最大值为时，结论错误；③二次函数的纵横值，在上的“最优纵横值”为3， ∵该二次函数的顶点坐标为，开口向下，∴该二次函数的最大值为，∴在或处取得最大值，∴或，解得：或；正确； ④二次函数的纵横值，其最优纵横值为，解得，将代入二次函数可得，与轴交点为满足， 当时，，当时，， 存在需满足，解得或， 但结论为或，其中时不成立，错误；故答案为：①③． 4．（25-26九年级下·成都·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为_________． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或 ④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是． 【答案】②④/④② 【详解】解：①，顶点，它关于直线 的对称点为， “和睦函数”为，两个函数图象关于直线 对称， 其交点必在直线 上，将代入中，， “和睦点”坐标为；故①正确； ②由题意得， ，关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为，当 时，有最小值， 当 时，，当 时，，；故②错误； ③依题意可得；∵，∴∴或； 解得：或，故③正确 ④如图，当过“和睦点”时，为临界点情况， 当时，，即，解得： 则当时，与线段只有个公共点； 当过的顶点时，此时与线段只有个公共点， 当时，，即，解得：； 综上，的取值范围为：或，故④错误，故答案为：②④． 5．（2025·成都·校考二模）对于实数，定义一种运算，当，则，当，则，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量的值为0.5或1.5；③当时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则，；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则．其中正确的结论是___________（填序号）． 【答案】①③ 【详解】解：对于函数， 当时，，整理得，解得或； 当时，，整理得，解得； 当时，，整理得，解得或； 综上，，，函数的图象如下图， ①由图象知，点在函数图象上，故①正确； ②由图象知，当函数值为0.25时，自变量的值有三个， 当时，解得，当时，解得或， ∴当函数值为0.25时，自变量的值有三个，分别为或或，故②错误； ③由图象知，当时，函数有最小值为0，故③正确； ④观察图象，当时，直线与函数图象有唯一的公共点，此时，，故④错误； ⑤对于直线，当时，， 则直线一定过点，且点在函数的图象上， 若直线与函数图象有三个公共点，则它与有一个交点，与有两个交点， 联立，整理得，∴， ∴直线与，除时，都有两个交点， 考虑特殊情况，当直线与直线平行时，直线与函数图象只有两个公共点， 当直线经过点时，恰好有三个公共点，此时，解得， 当直线经过点时， 此时，解得，∴， 联立，整理得，解得或， 此时，当时，直线与函数图象只有两个公共点， ∴在或时，直线与函数图象有三个公共点，故⑤错误； 综上，正确的结论有①③．故答案为：①③． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“加密变化”点的坐标为．如关于的“加密变化”点的坐标为，则关于的“加密变化”点的坐标为_______；已知一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，在线段上取一点，此时点关于点的“加密变化”点恰好落在内部(不包含边界)，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，根据新定义求得关于的“加密变化”点的坐标，点关于点的“加密变化”点的坐标为，根据点在线段上得出，根据题意得出点恰好落在内部(不包含边界)，进而列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵点关于点的“加密变化”点的坐标为， ∴关于的“加密变化”点的坐标为即， ∴点关于点的“加密变化”点的坐标为， ∵一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， 当时，，当时，∴， ∵点在线段上∴，且，∴点即 ∵点恰好落在内部(不包含边界)， 对于，当时，∴解得： 故答案为：，． 7．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵当，时，都有，∴点离对称轴更近，点离对称轴更远， 当，位于对称轴两侧时，，的中点在对称轴左侧，即​， ∵，，∴，∴要使恒成立，则，解得； 当，位于对称轴同侧时，∵，，∴， ∴，在对称轴左侧，∴，解得：．综上，得． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，四边形为菱形，在延长线上，连接，过作，垂足为，连接，已知，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：连接交于点，过点作于点，如图所示，∴， ∵四边形是菱形，且，∴， ， 设，∴，， ∵是的外角，∴， ∵垂足为，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，在中，， 又∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）， ∴，即的长为，故答案为：． 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：在平行四边形中，，设，， ，，，由翻折可得，，，， 过点作于，，，， ，， 设，过作于，则，， 在直角三角形中，，， ，，， 延长、交于点，，，，， ，，．故答案为：． 10．（2025·四川成都·校考一模）已知等边的边长为5，点M在边上运动，点N在直线上运动，将沿着翻折，使点A落在直线上的点处，若，则______． 【答案】或 【详解】解：①当点A落在如图1所示的位置时， 是等边三角形，， ，，，． ，由折叠知，，， ， ，，，，设，则， ，， ，，解得， ； ②当A在的延长线上时，如图2，由折叠知，，， ，， 又，，， ，， ，，设，则， ，， ，，解得：，故答案为：或 11．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是_______，的最大值与最小值分别是________． 【答案】 ， 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为F， ∵，∴，∵，∴， 在中，根据勾股定理得：； ∴点A到线段的距离是，∴， 如图所示，作点A关于的对称点O，连接， ∵点A与点O关于对称，∴， ∴四边形是菱形，∴是的垂直平分线，∴， ∵四边形是菱形，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴， ∴点E在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，则， ∴当A、O、E三点共线，且点E在下方时，有最大值，如图，此时的交点与点F重合， 则最大值为；当A、O、E三点共线，且点E在上方时，有最小值． 则最小值为；故答案为：；，． 12．（2026·成都·校考二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，若，则①________；②的面积为________． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，，∴ ∵旋转，∴∵∴；∴是等边三角形，∴， 如图所示，过点作于点，设交于点， 又∵∴∴∴ ∵， ∴，则∴，∴， 设，则∵即解得： ∴∴ ∴ 如图，在等边三角形中，过点作于点， ∴；∴；∴ ∴ 故答案为：，． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点．将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上时，延长交于点，则线段的长为______． 【答案】/ 【详解】解：∵在矩形中，，对角线交于点， ∴，， ∴，，，∴， ∵将绕点顺时针旋转得，当点的对应点落在对角线上，设， ∴，，，，， ∴，，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即，∴， 在中，，，，， ∴，即，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴，∴，即线段的长为．故答案为：． 14．（2025·四川成都·一模）如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、， ，，，等边，，， 是的外接圆，，， ，是等边三角形，，，， ，，在中，，， ，，，，， 又，，，，， 设，，，，，， 在中，， 在中，，，整理得：； ，，，， ， ，整理得：； 得，，解得：或（舍去）， 代入到②，得，解得：或（舍去）， ．的长为．答案为：． 15．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，是上的中线，将沿进行翻折，使得点B落在点P处，连接，分别交于点O，E，与相交于点F，连接．若，则______． 【答案】/ 【详解】解：，设，，，， ，，， 由翻折的性质得：，，， 点D是的中点，是的中位线，，， ，，， ，，①，②， 由①得，由②得，，解得：， ，， ，，， 在和中，，，， 在中，由勾股定理得：，，，，故答案为：． 16．（25-26九年级下·四川成都·期中）在学习了三角函数后，我们知道：当直角三角形的一个锐角确定后，直角三角形的三边比就唯一确定，反之亦然，所以我们可以利用三角函数建立直角三角形的边与角的关系．与之类似，我们会发现等腰三角形的顶角确定后，它的三边比也唯一确定，反之亦然．那么，我们也可以尝试建立等腰三角形的边角关系．我们定义：等腰三角形的底边长与腰长的比叫做顶角的正对（的正对记作：），例如，如图，在等腰三角形ABC中，，，则． （1）若，我们可以通过构造等腰三角形的方式计算，则的值为_______； （2）在中，已知，，，则_______． 【答案】 或 或 【详解】解：（1）设等腰三角形的腰长，过点作于点， 在中，，， 由勾股定理得， 当为锐角时，点在线段上，， 在中，，； 当为钝角时，点在的延长线上， 在中，，； 综上所述，的值为或； （2）如图所示，， ， ， 故是底边，腰长的等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， ，， ，， 当点在线段上时，延长到点使得， 在中，， ． 在中， ， ； 当点在的延长线上时，在上取点，使得， ，， ． ． 在中，， ， 综上所述，的值为或． 17．（25-26九年级上·四川成都·校考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【详解】解：，一组数的积要小于， ，，相乘的这一组数最多只能有个， ，相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个，当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时，， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个，当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数，没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个，当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，，，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 18．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【详解】解：由，得， 则, ∵，，、b、c不全为零，、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而，恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数，即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个，第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为．故答案为：5，． 19．（2025·成都·校考二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以 则下列说法正确的是 （ 填正确答案的序号  ） ①；②；③；④若，则， 【答案】①②③④ 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴，∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即，∴，∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴，∴，∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有①②③④．故答案：①②③④． 20．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有 ；若，则 . 【答案】 2和3 14或8 【详解】解：以内的质数有：、、、， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意；所以，以内的质数归一数有和； 由题设可知必为奇数，则为偶数，则有正整数使 或， 或，符合题意，或；故答案为：和；或． 21．（2026·成都·校考一模）对于正整数，有一种变换，当为奇数，变换方式为，当为偶数，变换方式为，经过变换得到新的正整数，再进行相同的变换直到结果为1时停止．我们把一个正整数通过上述变换得到1所经过的变换次数记为．例如，4经过2次变成1，则；5经过5次变成1，则． （1）若输入，则的值为______； （2）若输入正整数，且，则所有满足题意的值的和为______． 【答案】 8 172 【详解】解：（1）当，按变换规则计算： 第1次变换：为偶数，，第2次变换：为奇数，， 第3次变换：为偶数，，第4次变换：为奇数，， 第5次变换：为偶数，，第6次变换：为偶数，， 第7次变换：为偶数，，第8次变换：为偶数，，停止，因此． （2）已知，即经过7次变换得到1，要求前6次变换结果均不为1，逆推规则为：若某次变换后结果为，由上一步变换得到，则恒有；若能被整除，且为大于1的奇数（中间出现1则提前停止，该分支舍去），则另有，逆推过程： 第0次（最终结果）：，逆推1次（第6次变换结果）：， 逆推2次（第5次变换结果）：，逆推3次（第4次变换结果）：仅保留，舍去， 逆推4次（第3次变换结果）：，逆推5次（第2次变换结果）：， 逆推6次（第1次变换结果）：，逆推7次（初始）：逆推得，逆推得， 所有符合条件的为，求和得：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $