题号猜押07 四川成都中考数学19～21题 数与式、一元二次方程、概率、圆的相关计算、探究规律（填空题）（四川成都专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 四川成都中考数学19~21题（填空题） 考点1 数与式 1．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴， ， ∴原式，故答案为： ． 2．（2025·四川成都·二模）已知，则代数式的值为 ． 【答案】12 【详解】解： ∵∴∴原式．故答案为：12． 3．（2026·四川成都·校考二模）已知，，则代数式的值为___． 【答案】16 【详解】解： 因为，，，所以，原式． 4．（25-26九年级上·成都·联考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是______． 【答案】，，，或 【详解】解：∵，∴多项式添加可构成完全平方式； ∵，∴多项式添加可构成完全平方式； ∵，∴多项式添加可构成完全平方式； ∵，∴多项式添加可构成完全平方式； 综上，多项式添加，，，或可构成完全平方式， 故答案为：，，，或． 5．（25-26九年级下·成都·期中）已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 【答案】5或 【详解】解：根据完全平方式特征可得，解得或． 6．（2026·成都·校考一模）若，，则______． 【答案】60或68 【详解】解：∵，∴，又， ∵，∴，∴或， 当时，； 当时，，故答案为：或． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为_______． 【答案】或 【详解】解：∵常数m是1和9的比例中项，∴，∵，∴， ∵，∴，，， ∴，∴当时，， 当时，，则， ∴该一次函数的解析式为或，故答案为：或． 8．（2026·成都·模拟预测）定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 【答案】2 【详解】解：∵∴，∴ ∵；∴；∴；∴ ∵；∴当且仅当时，等号成立，∴关于a，b的巧数的最小值为． 考点2 一元二次方程 1．（2026·成都·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得，又为正整数，或． 2．（25-26九年级下·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，且分别为的两条直角边的长度，则该直角三角形的斜边长为_______ 【答案】 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴，， 又∵a，b分别为的两条直角边的长度， ∴该直角三角形的斜边长． 3．（25-26九年级下·四川成都·联考）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】3 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，∴，， ∴． 4．（25-26九年级上·成都·校考期末）阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，． 创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】 【详解】解：∵是两个不相等的实数，且满足，， ∴可将看作一元二次方程的两个实数根根据根与系数的关系，得，， ∵，∴， ∴原式 ．∴代数式．故答案为：． 5．（25-26九年级下·成都·期中）已知、是关于的一元二次方程两个不相等的实数根，其中．则_____； 【答案】6 【详解】解：由题意得，，解得或； 当时，方程为，此时，不符合题意； 当时，方程为，， 由的两个实数根为、；∴，；∴ ∴． 6．（2026·成都·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根．根据根与系数的关系可得：，． ，．． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 7．（2026·成都·校考二模）已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当时，； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，； 丁：二次函数与一次函数的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是______． 【答案】丁 【详解】解：∵，∴，∴， 又，∴． 甲：当时，满足，且均为有理数，故甲结论错误； 乙：当时，，可得，故乙结论错误； 丙：当时，由得，若，则，将代入得：， 整理得，解得，此时，存在两个数相等但的情况，故丙结论错误； 丁：联立，消去并整理得，∴， 又，∴，∵，∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即两个函数图象有两个交点，故丁结论正确． 8．（2026·成都·校考一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【详解】解：由方程；移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为，所以． 因为为正整数，所以，所以．解得． 考点3 圆的相关运算与概率 1．（2026·成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴，∴四边形为矩形，∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，，∴平分，∴， ∴，四边形为正方形，∴，， ∴，∴． 2．（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 【答案】/ 【详解】解：设与相交于点E，如图， 设的半径为r，∴，∴圆的面积为： ∵筝形内接于，且，∴，，对角线平分， ∵，∴为等边三角形，，∴， ∵是直径，∴，∴， ∵，∴， ∴点取在阴影部分的概率为． 3．（2026·成都·校考二模）如图，从一个半径为1的圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径是_______． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵，∴为的直径，即， 设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，解得，即该圆锥的底面圆的半径为． 4．（25-26九年级下·四川成都·联考）小李向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知是等边三角形，D点是弧的中点，则飞镖落在空白部分的概率为_____． 【答案】 【详解】解：设圆的半径为R则圆的面积为， 是等边三角形，， 是弧的中点，，，， 令与交于点E，则，在中，， ，， ， 弓形的面积-扇形的面积的面积， ，，， ，，， 弓形的面积-扇形的面积的面积， ，，，故答案为：． 5．（2026·成都·一模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章记载了计算弧田面积所用的经验公式．如图，、、是⊙O的半径，于点D，《方田》章计算弧田面积所用的经验公式：，若，，按照这个公式计算，的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∴． 6．（2026·成都·一模）如图，一根均匀的木杆上每隔有一个挂钩（用表示），支柱左边挂钩处悬挂一个的物体，在，，，四个挂钩处分别悬挂，，，的物体．若从中随机选取两种情况，则两种情况都能使木杆保持平衡的概率是___________． 【答案】 【详解】解：根据杠杆原理可得，，即在，挂钩处分别悬挂，的物体，木杆保持平衡，其余两处不平衡， 从中选取两种情况，结果有，，，，，，其中两种情况都能使木杆保持平衡的为，故从中随机选取两种情况，则两种情况都能使木杆保持平衡的概率是． 7．（2026·成都·一模）机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是__________． 【答案】/0.5 【详解】解：设三个机器人按身高从小到大记为，，，其中为身高最高的机器人. 三个机器人出场的所有等可能排列为：，，，，，，共种等可能的结果.根据选择程序判断符合条件的结果：当排列为，，时，机器人甲可以选到最高的号机器人，共种符合条件的结果.根据概率公式可得，所求概率为． 8．（25-26九年级上·成都·联考）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是______ ． 【答案】 【详解】解：设4名同学分别为A、B、C、D，书包依次对应a、b、c、d，随机拿书包的总情况数为：， ， ， ，共有24种， 恰好两名拿对：共有6种情况， 不存在恰好有三名同学拿对书包的情况，恰好有四名同学拿对书包的情况有1种， ∴符合条件的情况数为种，概率为，故答案为：． 考点4 探究与表达规律 1．（2026·成都·校考二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 【答案】143 【详解】解：由题意可知，第1幅图中“●”的个数为， 第2幅图中“●”的个数为， 第3幅图中“●”的个数为，， 则第11幅图中“●”的个数为． 2．（2026·成都·一模）已知一个由非负整数组成的数列，从开始满足，，，…，．（1）当，时，______；（2）当，（，m为整数）时，______． 【答案】 8 【详解】解：（1）当，时，，； （2）当，（，m为整数）时， ； ； ； ； ∴． 3．（2026·成都·一模）对于正整数，根据的奇偶性和取值，分以下三种情况得到另一个正整数；若是偶数，则；若是奇数且，则；若，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”，对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，以此类推．例如，正整数，由于是奇数且大于，则，即对进行一次变换得到的数是；是偶数，则，即对进行二次变换得到的数为． （1）对正整数进行三次变换，得到的数为_______； （2）若对正整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值之和为_______． 【答案】 【详解】解：（1）∵是偶数，∴一次变换后得到， ∵是偶数，∴二次变换后得到， ∵是奇数且大于，∴，∴正整数进行三次变换后得到的数为； （2）设经过一次变换得到，经过一次变换得到， 满足一次变换得到的的值有或，①当时，同理，或； ②当时，若为奇数，则，即；若为偶数，则，即； 综上，或或或，所有可能值之和为． 4．（2026·成都·一模）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 【答案】40 【详解】解：当为奇数时，大衍数列的第个数为， 当为偶数时，大衍数列的第个数为， 因为所求为第个数，是奇数，将代入，得． 5．（2026·成都·一模）对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则． （1）当___________；（2）对于正整数和，当时，___________． 【答案】 6 10 【详解】解：（1）当时，这两个数分别是：，共6种． （2）由题意可知，当时，有，则；当时，有，则； 当时，有，则；当时，则； 当时，有，则； ∴当为偶数时，所有取法；当为奇数时，所有取法， 当时，若为偶数，则，整理得，解得（负值已舍去）； 若为奇数，则，解得为无理数，舍去，故． 6．（2026·成都·一模）若一列数、、、…、（为正整数），除、外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“层数列”，如：1、5、4、，满足，，所以1、5、4、为“4层数列”．（1）若3、、为“3层数列”，则的值为______； （2）若一个“60层数列”中，，，则的值为______． 【答案】 0 3 【详解】解：（1）∵3、、为“3层数列”， ∴，整理得：，解得：． （2）根据定义，对任意，得递推关系：​，变形得​． 设，，依次写出数列前几项：， 因此数列每6项为一个周期循环，，余数为1，故，即， ，余数为4，故，即，得， 联立得：，整理得，∴． 1．（2026·成都·模拟预测）若，，则代数式的值是______． 【答案】4 【详解】解：， ∵，∴，故答案为：4． 2．（2025·成都·二模）已知，则代数式的值是_____． 【答案】5 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：5． 3．（25-26九年级上·成都·校考期末）若，则__________． 【答案】或 【详解】解：由可得，， 得，，整理可得， 当时，，； 当时，，．故答案为：或． 4．（25-26九年级下·成都·联考）若函数与的图像交于点，则代数式的值是________． 【答案】4 【详解】解：点与的图像上， ，化简得，且，化简得 ．故答案为：4． 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知，则_______． 【答案】18 【详解】解：∵，∴， ∴． 6．（25-26九年级下·成都·校联考）我们用符号来表示代数式．其中是正整数．规定：如果是偶数．则．如果是奇数，则，例如：，若，按照此规律下去，得到：，则_____． 【答案】1 【详解】解：由题意可得，，， ，，， ，，， 可得规律：数字以为一个周期，周期为，满足． 原式中符号规律为：下标为奇数的项符号为正，下标为偶数的项符号为负，仅系数为． 因为，前项的和为：， 从第8项开始，每连续14项（如 ）的和，因周期性可化为 ，共组，和为， 剩余最后三项：，，，符号依次为负、正、负，和为： ，因此原式总和为． 7．（2026·成都·模拟预测）平面上任给个不同的点，以这些点为端点的线段，有个不同的中点，则的最小值是_______． 【答案】 【详解】解：在平面内，将所有点排列在一条直线上，且间隔均匀时，中点的数量最少， 令个不同的点依次排列在数轴上，分别表示，，，，，， 当有，两个点，中点为，有个， 当有，，三个点，中点为，，，有个， 当有，，，四个点，中点为，，，，，，去掉重复值，有个，据此可知，若有个点，则最少的中点数量为个， 故个不同的点，不同中点的最小值为个，即． 8．（2026·成都·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 【答案】5或 【详解】解：由题意得，即，解得或． 9．（25-26九年级上·成都·期中）已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 【答案】0 【详解】解：是方程的根，将代入方程得，整理得， 又，是方程的两根，根据根与系数的关系可得， ． 10．（2026·成都·一模）对于有理数x，y，我们给出如下定义：若满足，则称为“完美数对”，若是“完美数对”，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵是“完美数对”，∴，整理得：， ∴． 11．（25-26九年级上·成都·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【详解】解：，若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为，∴，∴，∴， ∴添加的单项式可以是或或．故答案为：（或或）． 12．（25-26九年级下·成都·月考）数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定．形如（，为实数）的数统称为复数，当时，称为虚数；当时，称为实数．（1）化简________； （2）关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，则________． 【答案】 5 4 【详解】解：（1）； （2）将代入得：，整理得：， ，，，，． 13．（25-26九年级下·成都·联考考）已知关于x的一元二次方程；（1）若方程有一个根为2，则k的值为______．（2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】1 【详解】解：（1）将代入，得，，解得； （2）∵一元二次方程有两个实数根， ∴，整理得；解得， 因此符合条件的最大整数，将代入已知条件，得 ，整理得 ，整理得 因为，所以和是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴；即，解得. 14．（2026·成都·一模）如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ∴，∴，， ∵将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到延长线上的点， ∴，∴ ，， ∴， ∴边变到边所扫过的面积为平方厘米． 15．（25-26九年级下·四川成都·月考）从，，1，2，4五个数中任意取出一个数作为反比例函数中k的值．那么，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的部分没有公共点的概率是________． 【答案】 【详解】解：联立得，整理得 ∵两个函数图象在第一象限没有公共点， ∴，∴， ∵，∴，即． 在这五个数中，满足的数有，共个．∴所求的概率为． 16．（2026·成都·一模）新课标·跨学科试题  复合肥是指同时含有作物必需的氮（）、磷（）、钾（）三种主要营养元素中的两种或两种以上的化学肥料．下列有五包大小外观完全一致的物质①②③④⑤，随机抽取一包是复合肥料的概率为______．①尿素；②硝酸钾；③氯化钾；④硫酸铵；⑤磷酸二氢铵 【答案】 【详解】解：根据题意，共有5种等可能的抽取结果. 根据复合肥的定义逐个判断： ①尿素只含有氮元素，不属于复合肥； ②硝酸钾同时含有氮元素和钾元素，属于复合肥； ③氯化钾只含有钾元素，不属于复合肥； ④硫酸铵只含有氮元素，不属于复合肥； ⑤磷酸二氢铵同时含有氮元素和磷元素，属于复合肥. 因此属于复合肥料的结果有种，总共有种物质， 根据概率公式可得：． 17．（25-26九年级上·成都·期末）如图，中，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，在内随机取一点，落在阴影部分的概率为_____． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴， ∴，∴ ∴， ∴落在阴影部分的概率为．故答案为：． 18．（2026·成都·一模）我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图所示数表，人们称这个图表为“杨辉三角”，这个数表给出了（n为非负整数）的展开式的系数规律． （n为非负整数）展开式的每一项按照字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它的展开式只有一项，系数为1； ，它的展开式有两项，系数分别为1，1； ，它的展开式有三项，系数分别为1，2，1； ，它的展开式有四项，系数分别为1，3，3，1； 观察杨辉三角和上面的等式，你会发现其中的规律，根据规律就可得出的展开式有______项，其中的系数为_______． 【答案】 6 10 【详解】解：由题意可知， 的展开式有项 ；当 时，展开式的项数为； 根据杨辉三角的规律，下一行中间的系数等于上一行相邻两数系数之和，那么 的系数分别为，则 的系数分别为 ，即 所以，所以其中的系数为． 19．（25-26九年级上·成都·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为____． 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘得，整理，得， 当，即时，整式方程无解，则分式方程也无解； 当，即时，∵原分式方程无解，∴原分式方程有增根， ∴当或当时原分式方程无解，∴当或时，原分式方程无解； 若，那么，解得，若，那么，解得； 综上所述，当或或时，分式方程无解；画树状图如图所示： 由树状图可知，共有个等可能的结果，使关于的分式方程无解的结果有个， 使关于的分式方程无解的概率为；故答案为：． 20．（2026·成都·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且，，，求阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：连接 ， AC 为 的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ，解得 ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 21．（2026·福建泉州·一模）在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 【答案】 【详解】解：如图，取格点、、，连接、、， 由勾股定理得，，， ∴四边形是平行四边形，∴合力的大小为． 22．（2026·成都·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 【答案】 【详解】解：连接，，如图所示，设圆O的半径为r，则， ∵，∴， ∵，过圆心点O，，∴， ∵在中，∴，解得：，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴， ∴的长度为，∴该图形的周长是．故答案为：． 23．（25-26九年级下·成都·月考）图②是图①中长方体的三视图，用S表示面积，，，则：（1）当时，______；（2）当时，______． 【答案】 8 /0.6 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵，∴； （2）由（1）可知：，解得：（不符合题意，舍去）， ∴，，∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 四川成都中考数学19~21题（填空题） 考点1 数与式 1．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 2．（2025·四川成都·二模）已知，则代数式的值为 ． 3．（2026·四川成都·校考二模）已知，，则代数式的值为___． 4．（25-26九年级上·成都·联考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是______． 5．（25-26九年级下·成都·期中）已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 6．（2026·成都·校考一模）若，，则______． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为__． 8．（2026·成都·模拟预测）定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 考点2 一元二次方程 1．（2026·成都·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 2．（25-26九年级下·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，且分别为的两条直角边的长度，则该直角三角形的斜边长为_______ 3．（25-26九年级下·四川成都·联考）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 4．（25-26九年级上·成都·校考期末）阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，． 创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 5．（25-26九年级下·成都·期中）已知、是关于的一元二次方程两个不相等的实数根，其中．则_____； 6．（2026·成都·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 7．（2026·成都·校考二模）已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当时，； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，； 丁：二次函数与一次函数的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是______． 8．（2026·成都·校考一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 考点3 圆的相关运算与概率 1．（2026·成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 2．（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 3．（2026·成都·校考二模）如图，从一个半径为1的圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径是_______． 4．（25-26九年级下·四川成都·联考）小李向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知是等边三角形，D点是弧的中点，则飞镖落在空白部分的概率为_____． 5．（2026·成都·一模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章记载了计算弧田面积所用的经验公式．如图，、、是⊙O的半径，于点D，《方田》章计算弧田面积所用的经验公式：，若，，按照这个公式计算，的值为______． 6．（2026·成都·一模）如图，一根均匀的木杆上每隔有一个挂钩（用表示），支柱左边挂钩处悬挂一个的物体，在，，，四个挂钩处分别悬挂，，，的物体．若从中随机选取两种情况，则两种情况都能使木杆保持平衡的概率是___________． 7．（2026·成都·一模）机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是__________． 8．（25-26九年级上·成都·联考）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是______ ． 考点4 探究与表达规律 1．（2026·成都·校考二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 2．（2026·成都·一模）已知一个由非负整数组成的数列，从开始满足，，，…，．（1）当，时，______；（2）当，（，m为整数）时，______． 3．（2026·成都·一模）对于正整数，根据的奇偶性和取值，分以下三种情况得到另一个正整数；若是偶数，则；若是奇数且，则；若，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”，对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，以此类推．例如，正整数，由于是奇数且大于，则，即对进行一次变换得到的数是；是偶数，则，即对进行二次变换得到的数为． （1）对正整数进行三次变换，得到的数为_______； （2）若对正整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值之和为_______． 4．（2026·成都·一模）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 5．（2026·成都·一模）对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则． （1）当___________；（2）对于正整数和，当时，___________． 6．（2026·成都·一模）若一列数、、、…、（为正整数），除、外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“层数列”，如：1、5、4、，满足，，所以1、5、4、为“4层数列”．（1）若3、、为“3层数列”，则的值为______； （2）若一个“60层数列”中，，，则的值为______． 1．（2026·成都·模拟预测）若，，则代数式的值是______． 2．（2025·成都·二模）已知，则代数式的值是_____． 3．（25-26九年级上·成都·校考期末）若，则__________． 4．（25-26九年级下·成都·联考）若函数与的图像交于点，则代数式的值是________． 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知，则_______． 6．（25-26九年级下·成都·校联考）我们用符号来表示代数式．其中是正整数．规定：如果是偶数．则．如果是奇数，则，例如：，若，按照此规律下去，得到：，则_____． 7．（2026·成都·模拟预测）平面上任给个不同的点，以这些点为端点的线段，有个不同的中点，则的最小值是_______． 8．（2026·成都·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 9．（25-26九年级上·成都·期中）已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 10．（2026·成都·一模）对于有理数x，y，我们给出如下定义：若满足，则称为“完美数对”，若是“完美数对”，则的值为________． 11．（25-26九年级上·成都·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 12．（25-26九年级下·成都·月考）数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定．形如（，为实数）的数统称为复数，当时，称为虚数；当时，称为实数．（1）化简________； （2）关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，则________． 13．（25-26九年级下·成都·联考考）已知关于x的一元二次方程；（1）若方程有一个根为2，则k的值为______．（2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 14．（2026·成都·一模）如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 15．（25-26九年级下·四川成都·月考）从，，1，2，4五个数中任意取出一个数作为反比例函数中k的值．那么，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的部分没有公共点的概率是________． 16．（2026·成都·一模）新课标·跨学科试题  复合肥是指同时含有作物必需的氮（）、磷（）、钾（）三种主要营养元素中的两种或两种以上的化学肥料．下列有五包大小外观完全一致的物质①②③④⑤，随机抽取一包是复合肥料的概率为______．①尿素；②硝酸钾；③氯化钾；④硫酸铵；⑤磷酸二氢铵 17．（25-26九年级上·成都·期末）如图，中，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，在内随机取一点，落在阴影部分的概率为_____． 18．（2026·成都·一模）我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图所示数表，人们称这个图表为“杨辉三角”，这个数表给出了（n为非负整数）的展开式的系数规律． （n为非负整数）展开式的每一项按照字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它的展开式只有一项，系数为1； ，它的展开式有两项，系数分别为1，1； ，它的展开式有三项，系数分别为1，2，1； ，它的展开式有四项，系数分别为1，3，3，1； 观察杨辉三角和上面的等式，你会发现其中的规律，根据规律就可得出的展开式有______项，其中的系数为_______． 19．（25-26九年级上·成都·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为____． 20．（2026·成都·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且，，，求阴影部分的面积为______． 21．（2026·福建泉州·一模）在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 22．（2026·成都·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 23．（25-26九年级下·成都·月考）图②是图①中长方体的三视图，用S表示面积，，，则：（1）当时，______；（2）当时，______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $