题号猜押06 四川成都中考数学18题 一次函数与反比例函数综合压轴（解答题）（四川成都专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 四川成都中考数学18题（解答题） 考点1 一次函数与反比例函数综合 1．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间．(1)求a，b和k的值；(2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)(3)存在，点E的坐标为或 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ，解得，，，； （2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H， 根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设，则，，，， 化简得，解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解； （3）解：存在，两顶点同时落在反比例函数图象上，∴点与点B重合， ，，∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， ①如图①，点，落在反比例函数图象上， 设，则，，解得：或1（舍去），； ②如图②，点，落在反比例函数图象上， 设，则，，解得：或1（舍去），， 设，在反比例函数上，，，∴化简得， ，解得（负数舍去），， ∴综上所述，点E的坐标为或． 2．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)当时，求的面积；(2)如图，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，两线相交于点P，若将沿翻折后，点P恰好落在x轴上，求b的值和反比例函数的表达式；(3)在（2）的条件下，若点Q是平面内一点，且它的纵坐标为，连接，，求的最大值． 【答案】(1)(2)，反比例函数的表达式为(3) 【详解】（1）解：当时，直线，则，， 的坐标为，N的坐标为，分别过M，N作x轴的垂线，垂足分别为A，B， 则，，，， ∴； （2）解：设翻折后点P落在x轴上点C处，延长交y轴于点D， ∵轴，轴，，M，D共线，P，N，B共线，且点P的坐标为， ，在反比例函数图象上，，的坐标为， 由题意，，，， ，，，， ∴，，， ，，解得，，反比例函数的表达式为， 把代入，得，； （3）解：∵点Q的纵坐标为，点Q在直线上， 如图，过点M作直线的垂线，垂足为H， 的坐标为，P的坐标为，，，， 作，则，，， 又，，， ∴，，取MH中点F，则，， ，即，， 的最大值是当时取得，此时 3．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，将点A向下平移5个单位长度，再向左平移5个单位长度到点B，点B也在反比例函数的图象上． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式；(2)作直线，直线是一条垂直于x轴的直线，垂足Q在x轴正半轴上，将的图象关于直线l作轴对称得到图象，直线交图象于M，N两点，（M在点N的左侧），若，求t的值；(3)如图（2），点P为反比例函数图象的第一象限分支上一动点，过点P的直线与图象仅有一个交点，且该直线分别交x轴，y轴于点C，D，直线交反比例函数图象的第三象限分支于点Q，作射线，分别交反比例函数图象一象限分支于点E，F，连接，求证：． 【答案】(1)，(2)或·(3)见解析 【详解】（1）解：由题得：，又，在反比例函数图象上， ，解得，∴，∴ ． （2）解：设上任意一点关于的对称点为在图象上，， 又，，，联立，得， 设，，，∴由韦达定理得，又， （i）当M，N在点A的异侧时，联立可得，解得：，（舍去）． （ⅱ）当M，N在点A的同侧时，联立可得，解得：，（舍去）． 综上可得或． （3）解：法一：设过， 又直线与反比例函数仅有一个交点， ，得，，， ，，，，，，， 又设，联立，得，， ．同理可得，， 又，，． 法二：：设直线交x轴于点M，直线交y轴于点N，设直线， 则联立，得，， 即，，，， ，， 过点P作轴交于点H，为中点， 又为中点，，，同理可得，，， 又，，，． 4．（25-26九年级上·四川成都·校联考）如图1，已知一次函数 的图象经过点，与反比例函数的图像交于点，且点的横坐标为 ，过点作轴于点，且 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)如图2 ，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． (3)如图3，点为第一象限内反比例函数图像上的一动点，连接并延长交反比例函数图像于点，平面内有一点，直线与直线相交于点；当时，记的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2)或(3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵点的横坐标为 ，过点作轴于点，∴ ∵∴即解得：∴ 将代入得∴反比例函数解析式为； 将，代入 ∴解得：∴一次函数解析式为 （2）解：如图，过点作的平行线与过点作轴的平行线交于点，∴ ∵把线段绕点顺时针旋转，∴ ∴∴∴， ∵，设，则，， ∴即 ∵在上；∴；解得：或；∴或 （3）解：由可得直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入，， ∴解得：∴∴ ∵关于点对称，∴∴，即是的中位线， ∵；∴，∴， 如图，过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵，∴ ∵；∴；∴；即 设，；∴；∴，∴，∴ ∵∴表示的是点；又∵在反比例函数上，∴． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)请直接写出A，B两点的坐标；(2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值；(3)在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)的最小值为， 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即； （2）解：∵，∴，∴直线的表达式为， 设点，∵，，∴，∴， ∵，且相似比为2，∴， ∵，∴，即， 将代入反比例函数的解析式可得，∴； （3）解：如图： ， ∵在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，∴，∴， 过点作轴于，轴于，则， ∵，∴，∴， 设，则，∴，， ∴，同理可得：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，，∴， 设，，则，，∴，∴， 代入可得：，∴， ∵，∴，∴的最小值为，此时，， 将，，代入和可得，， 解得：，，∴． 6．（2026·四川成都·校考二模）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．如图2，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____．(2)求证：直线与直线为“等腰三角线”； (3)如图3，轴于点G，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (4)如图4，过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，直接写出线段的值_____（用含的代数式表示） 【答案】(1)，(2)见解析(3)为定值2(4) 【详解】（1）解：联立，解得或，． （2）解：过点作交于点，如图． 设点，，，， ，，，， ；， 当时，；，解得：；， ，．，垂直平分， ，直线与直线为“等腰三角线”． （3）解：轴于点，由（2）有， ，，为定值2． （4）解：过点作交于点，如图． ，，，， ． ， 是等腰三角形，． ，，．，． ，．故答案为：． 7．（25-26九年级下·四川成都·联考）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值；(2)若点在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点，且，求点的坐标；(3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫做这个四边形的完美线这个四边形叫做完美四边形．过点作轴垂线与过点作轴垂线相交于点，在第四象限内存在点，使得四边形是以为完美线的完美四边形，直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 或 (3)符合条件的点的坐标为：；；； 【详解】（1）解：设点的坐标为，代入反比例函数中得，， ，令，得，点的坐标为， 将点，代入直线中得， ，解得，； （2）解：由（1）得 ：，， 直线的解析式为， 反比例函数的解析式为， 直线与直线交于点，设， 如图，当点在线段上时，分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点，，，，  ， ， ， ，，解得，， 设直线的函数表达式为，将点代入得， ，解得， 直线的函数表达式为， 联立，解得（负值已舍去），点的坐标为； 如图，当点在线段的延长线上时，分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点，，，， ， ， ，，解得，， 设直线的函数表达式为，将点代入得， ，解得， 直线的函数表达式为， 联立，解得（负值已舍去），点的坐标为； ，，点不在线段的延长线上； 综上所述，点的坐标为 或； （3）解：过点作轴垂线与过点作轴垂线相交于点，，， ，，，， 当四边形是以为完美线的完美四边形，必然有或或， 设，若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，，，，，解得，； 情况：当时，则有，，，， 过点作交延长线于点， ，，，， ，即，，， ，，，，不符合题意，故舍去； 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，，四边形是矩形，； 情况：当时，则有，，， 过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ，， ，，，即， ，，不符合题意，故舍去； 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，，，，，解得，； 情况：当时，则有，，， 过点作交延长线于点， ，， ，，，即， ，，，，，，； 综上，符合条件的点的坐标为：；；；． 8．（25-26九年级上·四川成都·联考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图1所示，四边形的四个顶点分别为，，，． (1)当四边形的边与反比例函数的图象有且只有1个公共点时，求的值； (2)如图2，若反比例函数的图象与四边形的边分别交于点，，且，是的两个黄金分割点，求四边形的面积； (3)如图3，若反比例函数的图象与四边形的边围成的封闭区域内部（不含边界）刚好有个整点（横、纵坐标都为整数的点）时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)的值为(2)四边形的面积为(3) 【详解】（1）解：令直线的函数表达式为，将点，代入， 得，解得，故直线的函数表达式为， ∵与反比例函数的图象有且只有1个公共点，即仅有一个实数根， 化简得，故，解得或（舍去），故的值为． （2）解：∵，，，， ∴，∴四边形为菱形， 过点作交于点，过点作交于点，如图所示：令点的坐标为， ∵，是的两个黄金分割点，∴，， ∵，∴，∴， ∵轴，∴，∴，得方程，解得， ∴四边形的面积为． （3）解：如图所示，反比例函数的图象与四边形的边围成的封闭区域内部（不含边界）刚好有个整点时，为、、、四个整点， 当直线经过时满足题意，将点代入， 得，解得，将点代入，得，解得， 结合题意，该封闭区域不含边界，∴当时，满足题意． 1．（25-26九年级上·四川成都·校联考）在平面直角坐标系中，为第一象限内一点，连接，交反比例函数（）的图像于点，为反比例函数图像上一点，连接并延长，交轴的正半轴于点，已知，．(1)如图，已知，求值；(2)如图，延长交反比例函数的另一支于点，连接并延长，与反比例函数交于点为中点，连接；若，的横坐标为，求的坐标；若，的横坐标为，且，求的坐标（用含的代数式表示）． 【答案】(1)4(2)①；② 【详解】（1）解：∵，，∴，∵在反比例函数图像上，∴； （2）解：如图，过点B作轴于点G，过点M作轴于点H，设， 则，∴，∵，∴，∴， ∵点在反比例函数（）的图像上，的横坐标为，∴， ∵，∴∴，，∴， ∵为反比例函数图像上一点，∴，∴，∴，∴，∴； ②∵，，∴，∵，∴，由①知，， ∴，∴，∴，∴，∴， 由中心对称知，设解析式为， 则，解得，∴，联立，得，化简，得， ∵，∴，解得（舍去），或，∴，∴， ∵F为中点，∴，，∴， ∴轴，过点D作交延长线于点I， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 2．（25-26九年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、 (1)求点的坐标及反比例函数的关系式；(2)如图2，若过点的直线交轴正半轴于点，交反比例函数的图象于点，①若，求的面积；②在①的条件下，反比例函数的图象上有一动点，若点的横坐标为，且点关于直线的对称点为，当为直角三角形时，求点的横坐标的值． 【答案】(1)，反比例函数的关系式是(2)①②或 【详解】（1）将代入一次函数，得，解得，故． 将代入反比例函数，得，解得，∴反比例函数关系式为． 联立方程，得，即，解得． 对应，故． （2）①设直线解析式为．把代入，得， ∴，∴直线解析式为，令，得，即（时）． 与反比例函数联立，得，整理得，即． 解得，，∴，故．∴． 因为在左侧，在右侧时（）， ∵，∴，即，， ∴，解得，∴，．此时直线方程为． 如图，过点D作轴交直线于点F，则，∴， ． ②由①知．反比例函数上点，其中． 点关于直线的对称点为．∴ 分三种情况讨论直角三角形： 若，则，即 代入化简得，因式分解为，在内无解． 若，则，即 代入化简得，因式分解为，在内得． 若，则，即 代入化简得，解得，其中满足． 经检验，和均使三角形构成直角三角形．∴或． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，若点的横坐标为3，点的纵坐标为，经过点的直线与轴，轴分别交于、，与反比例函数在第一象限交于点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式；(2)当时，（ⅰ）点为反比例函数在第一象限的图象上一点，若的面积是面积的两倍时，求点的坐标；（ⅱ）点为直线上一点，点为坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)正比例函数解析式：，反比例函数解析式： (2)（ⅰ）；（ⅱ）或或或 【详解】（1）∵正比例函数与反比例函数图象都是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，∴关于原点对称， ∵点的横坐标为3，点的纵坐标为，∴，， ∴，∴正比例函数解析式：，反比例函数解析式： （2）（i）如图1，作轴于，作轴于， ∴，∴， ∴，如图，在上取一点，使得∴， ∴点到的距离是点到距离的两倍，∴当点在上时，的面积是面积的两倍， 设直线的解析式为，代入， ∴解得：∴直线的解析式为 设∵∴解得：或（舍去） 当时，∴∴直线的解析式为 联立解得：（负值舍去）∴ （ⅱ）如图 ∵，∴，∴∴的中点为 ①当时，则点和重合时， ∵、、、为顶点的四边形为菱形；设，∴的中点重合， ∴解得；∴； ②当时，设 ∴；解得：或 ∴或∴或 ∴或解得：或∴或 ③当，则垂直平分，∴解得：∴, ∴解得：∴ 综上所述，或或或． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图1，一次函数与反比例函数交于点，与x轴交于点B，且，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点E为一次函数第一象限图象上A点右侧一点，过点C作，交反比例函数图象于C，D两点，若，求点E的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点E作轴于F，沿x轴向右平移得，，分别与反比例函数图象交于点M，N，连接，若，求平移的距离． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为(2)点E坐标为 (3)平移的距离为 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，故，故反比例函数表达式为， 将、代入一次函数中，可得，，故一次函数表达式为； （2）解：由题意可设，∵，∴直线的表达式可设为， 令，整理得，故，， ∵，,∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴，整理可得， 解得或（舍去），故点E坐标为； （3）解：由题可得为等腰直角三角形，故平移后， 又∵，∴为等腰直角三角形，如图3所示， 设，则，∵，，∴， 设直线的表达式为，令，整理可得， 故，则，作于点P，则， 即，整理可得，解得（舍去负根），即， 故平移的距离为． 5．（2026·成都·校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标；(2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，(2)点的坐标为(3)是定值，该定值是2 【详解】（1）解：将代入直线得，，解得， 再将代入得，          联立得：，解得：（舍去），∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则，∴， ∴， 解得（舍去），∴点C的坐标为； （3）解：是定值；设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ，解得，∴直线解析式为， 令得，即，令，则，解得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即，令得，即， ∴，∴为定值． 6．（25-26九年级上·成都·期末）如图1，直线：与反比例函数在第一象限内的图象交于点，交y轴于点 (1)求反比例函数的表达式；(2)过点A作直线垂直于直线，交y轴于点，点D是线段上一点，连接，若四边形的面积为，点P为y轴上一动点，连接，求的最小值及此时P点的坐标；(3)如图2，在的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接，将射线绕K点逆时针旋转，交x轴于点G，若，则在x轴上是否存在点Q，使得，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)(2)最小值为6，此时P点坐标为(3)点Q的坐标为或，过程见解析 【详解】（1）解：∵点在直线上，；解得，点A的坐标为， 点A在反比例函数的图象上， 将A点坐标代入反比例函数可得，反比例函数的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， ，，∴，解得， 直线的解析式为；在中，当是，， ，∴，∴， 四边形的面积为，， ∴，即，解得， 在中，当时，，； 如图所示，取的中点S，连接，∵直线垂直于直线，S为的中点，∴， ，∴， ∴，∴是等边三角形，∴； 如图所示，过B作，过P作于H，过D作于F， 四边形为矩形，， ，，， ∵，∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为6；∵，∴， ∴可设直线的解析式为，∵，， ∴直线的解析式为，在中，当时，，∴． （3）解：如图所示，过点K作轴于M，由旋转的性质可得， ∵轴，∴， 又∵，∴， ∴，∴，设，∴， ∵点在反比例函数的图象上，∴， ∴（已检验是原方程的解）或（舍去），∴， ∴，∴， ∴；设直线交y轴于N， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴； 如图所示，当点Q在x轴正半轴上时， ∵，， ∴，∴，即， ∴，∴，由（2）可得，∴， ∴，∴，∴此时点Q的坐标为； 如图所示，当点在x轴的负半轴上时，此时，∴， 又∵，∴，∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)是(2)①证明见解析；②或或或 【详解】（1）解：四边形是矩形，，，， 在和中，，，矩形是勾股四边形，故答案为：是； （2）证明：①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立，解得：，，当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限，点A的坐标为，点B的坐标为； ，，，， ，，，， 四边形是平行四边形，，，，， 在和中，，，四边形是勾股四边形；       ②解：由（2）可知，，，，设点Q的坐标为， ①如图，当时， ，，，解得：，； ②如图，当时，   ，，，解得：，； ③如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则，      ，，直线，令，则，解得：，， ，轴，，，，， 是等腰直角三角形，， 轴，，，，， 在和中，，，，， ，解得：，， ④如图，当时，  ，， ，解：，， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求直线的解析式及点的坐标；(2)若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值；(3)如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为；(2) (3)直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵，∴，，， ∴，∴设直线的解析式为， ∴，解得，∴直线的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为， 联立解得，或，∵点E在第一象限内，∴； （2）解：如图1，过点G作轴于H， 由（1）知，，，∴直线的解析式为， ∵，∴，∴，∴， ∴， ∴当点G在上，且轴，即时，最小，则最小，如图2， ∴；作点关于y轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴当在上时最小，此时，的周长最小，其值为，即周长的最小值为； （3）解：设直线上点，∵，∴，， ∵，∴当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似， ∴在右边，则， 当时，则，，解得，此时； 当时，则，，解得，此时； 综上所述，直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 9.（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式；(2)如图2，连接OC．①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式(2)①；②的值不发生变化，为18 【详解】（1）解：∵， ∴，∴，解得， 将代入，得，解得，∴双曲线的解析式． （2）①当时，，令，得，∴，即， 联立得：，解得：或，∴点C的坐标为， ∴，设点D的坐标为，，则， ∵的面积是的面积的3倍，∴，解得，即，∴． ②的值不发生变化，理由如下：过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴，∴，即∴是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，由反比例函数可知，， ∴，即，∴，∴ 即的值不发生变化，为18． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，直线与反比例函数的图象的左右交点分别是点，，连接，．为反比例函数图象上一点，且点在直线的下方． (1)求的面积；(2)若面积等于面积的，求点的坐标； (3)连接并延长交于，过作交于，试探究是否存在最大值？若存在，请求出它的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)存在最大值，最大值为，此时点的坐标为 【详解】（1）解：联立，解得或，即，． 设直线与轴的交点为， 令，得，故，∴； （2）解：过点作轴交于， 设，则，∴． ∵，∴， 即，整理得，解得或． 当时，；当时，．综上，点的坐标为或； （3）解：设，∵直线过原点，∴直线的解析式为． 联立，得，解得，即点的横坐标为． ∵，∴，∴．过作轴于，过作轴于， ∵，∴，∴，∴， 设，，则， 两边同乘以，整理为关于的一元二次方程：， ∴该方程的判别式，化简为， ∵,∴，解得， 当时，取最大值，此时方程有两个相等的实数根， ∴，此时的坐标为，即， 综上，存在最大值，最大值为，此时点的坐标为 11．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．(1)求直线的解析式；(2)若的面积为8，求点D的坐标；(3)若，求k的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：把代入，可得，，即， ，，把代入可得，解得， 直线的解析式为； （2）解：延长与双曲线交于点E，点关于原点中心对称， ，,设点的横坐标为，点的横坐标为， ，， 设，则点的横坐标为， 把代入直线解析式可得，， 点都在双曲线上，，解得，； （3）解：列方程，整理得， 直线与双曲线交于点C、D， 点的横坐标即为方程的两个解，， 设，则，且，把代入直线解析式可得， ，，， ，，解得（舍去），， 把代入反比例函数可得， 12．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．(1)当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当平分时，直接写出k的值． 【答案】(1)，；(2)①有，；②． 【详解】（1）解： 点E为中点，，， 将代入，得，点F的坐标为， ∴，分别为，的中点，∴． （2）①连接、，，∴， 将代入得，，将代入得，， ，，又， ，，， ∵，关于对称，，，∴点D在过点A且与垂直的直线上． ， 当时取最小值时，有最小值， 如图，此时，点D在线段上．， 又，， ，即，∴，有最小值为． ②当点在x轴上时，同理可得：，而， ∴，，即，点坐标为， 设直线解析式为：，代入，， 得，解得，∴直线解析式为：， 如图，当平分时，∴，∴直线与轴的交点坐标为：， ∴同理可得：直线解析式为：， 联立得，解得，∴中点坐标为， 同理可得：直线BC解析式为：， ∴设解析式为：，代入得，解得， ∴解析式为：，当时，，∴点F的坐标为，． 13．（2025·四川成都·三模）如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B，(1)求a，k的值和点B的坐标；(2)将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积；(3)若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 【答案】(1)，，(2)(3) 【详解】（1）当时，，∴，即， 将代入中，有，∴反比例函数解析式为：， 联立：，解得：，或，∴， 综上所述：，，； （2）∵直线：向下平移4个单位后得到直线，∴直线：， 联立：，解得：，或者，∴，， 连接，如图， ∵，，，∴，，，∴，，， ∴是直角三角形，且，同理可证明， ∴四边形是矩形，∴； （3）当时，，∴， 过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G，当时，，当时，有，解得：， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形，即， 当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，如图， 根据旋转有：，，，，， 又∵，轴，∴，轴，轴，∴轴， ∵，， ∴，，，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵点在直线：上，∴，∴， 设直线的解析式为：，∵，， ∴，解得：，∴直线的解析式为：， 当点在矩形的边上时，，解得：； 当点在矩形的边上时，设交直线于点K，如图， 根据旋转有：，∴，∵轴，，∴轴， 又∵直线的解析式是：，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，即，点与点重合，又∵，∴， 当时，，∴，∵，∴， ∴，∴； 综上可知：如果点是“规矩点”时，求的取值范围为：． 14．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式；(2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；(3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，；(2)或；(3)存在，点的坐标为或． 【详解】（1）解：把代入，可得：，， 反比例函数的解析式为，把代入，可得：， ，直线的解析式为； （2）解：，点的坐标是，，如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时，设直线与，轴分别交于点，，则， ，，，， 直线与直线平行，，直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时，设直线与，轴分别交于点，，则， ，，，， 直线与直线平行，，直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上，设点，点， 点是点的等和点，，， ，，，经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 15．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为． (1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当点P在射线上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与相似，求点Q的坐标；(3)若点P是使的面积取得最小值的点，将线段沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为的垂直平分线恰好经过点P，求n的值． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：设点，轴，， 的面积为，，解得，，， 点在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为：； （2）解：点，直线解析式为， 点是射线与反比例函数交点，，，， ①当时，，，即，，，； ②当与不平行时，，，即，，，． 综上分析，符合条件的点坐标为或； （3）解：设直线解析式为，把点，代入 得，解得，直线解析式为， 设直线向上平移个单位与双曲线相切，则有， 整理得：，，解得或（舍去）， 当时，，解得，即点是使的面积取得最小值的点坐标为， 此时轴，点，，线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线解析式为：， 将线段沿着轴向右平移个单位长度，即将线段的垂直平分线向右平移个单位长度， 平移后线段的垂直平分线解析式为：，此时解析式过点， ，解得：． 16．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值．(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 【答案】(1)(2)点C的坐标为或，(3) 【详解】（1）解：∵在直线上，∴，即． 将代入得，∴．∴直线即为． 令，则，∴．的坐标为．∴．综上所述，． （2）解：设点C的坐标为．若和为对角线， 根据平行四边形对角线互相平分可得：，解得∴， 把代入得：．若和为对角线，同理可得，． 若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意．故点C的坐标为或，． （3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M． ∴．∴．设，，则，． ∴，，，， ∵，， ∴，∴．∴． 解得，．∵点E与点D关于y轴对称，∴． ∵，∴直线表达式为． 将代入得， 整理，得．解得（不合题意，舍去）． ∴，．直线的表达式为． ∵有且只有一点，使得，∴直线与只有一个交点， 联立方程组 消去，整理得．．解得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 四川成都中考数学18题（解答题） 考点1 一次函数与反比例函数综合 1．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间．(1)求a，b和k的值；(2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)当时，求的面积；(2)如图，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，两线相交于点P，若将沿翻折后，点P恰好落在x轴上，求b的值和反比例函数的表达式；(3)在（2）的条件下，若点Q是平面内一点，且它的纵坐标为，连接，，求的最大值． 3．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，将点A向下平移5个单位长度，再向左平移5个单位长度到点B，点B也在反比例函数的图象上． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式；(2)作直线，直线是一条垂直于x轴的直线，垂足Q在x轴正半轴上，将的图象关于直线l作轴对称得到图象，直线交图象于M，N两点，（M在点N的左侧），若，求t的值；(3)如图（2），点P为反比例函数图象的第一象限分支上一动点，过点P的直线与图象仅有一个交点，且该直线分别交x轴，y轴于点C，D，直线交反比例函数图象的第三象限分支于点Q，作射线，分别交反比例函数图象一象限分支于点E，F，连接，求证：． 4．（25-26九年级上·四川成都·校联考）如图1，已知一次函数 的图象经过点，与反比例函数的图像交于点，且点的横坐标为 ，过点作轴于点，且 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)如图2 ，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． (3)如图3，点为第一象限内反比例函数图像上的一动点，连接并延长交反比例函数图像于点，平面内有一点，直线与直线相交于点；当时，记的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)请直接写出A，B两点的坐标；(2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值；(3)在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标． 6．（2026·四川成都·校考二模）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．如图2，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____．(2)求证：直线与直线为“等腰三角线”； (3)如图3，轴于点G，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (4)如图4，过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，直接写出线段的值_____（用含的代数式表示） 7．（25-26九年级下·四川成都·联考）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值；(2)若点在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点，且，求点的坐标；(3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫做这个四边形的完美线这个四边形叫做完美四边形．过点作轴垂线与过点作轴垂线相交于点，在第四象限内存在点，使得四边形是以为完美线的完美四边形，直接写出符合条件的点的坐标． 8．（25-26九年级上·四川成都·联考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图1所示，四边形的四个顶点分别为，，，． (1)当四边形的边与反比例函数的图象有且只有1个公共点时，求的值； (2)如图2，若反比例函数的图象与四边形的边分别交于点，，且，是的两个黄金分割点，求四边形的面积； (3)如图3，若反比例函数的图象与四边形的边围成的封闭区域内部（不含边界）刚好有个整点（横、纵坐标都为整数的点）时，直接写出t的取值范围． 1．（25-26九年级上·四川成都·校联考）在平面直角坐标系中，为第一象限内一点，连接，交反比例函数（）的图像于点，为反比例函数图像上一点，连接并延长，交轴的正半轴于点，已知，．(1)如图，已知，求值；(2)如图，延长交反比例函数的另一支于点，连接并延长，与反比例函数交于点为中点，连接；若，的横坐标为，求的坐标；若，的横坐标为，且，求的坐标（用含的代数式表示）． 2．（25-26九年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、 (1)求点的坐标及反比例函数的关系式；(2)如图2，若过点的直线交轴正半轴于点，交反比例函数的图象于点，①若，求的面积；②在①的条件下，反比例函数的图象上有一动点，若点的横坐标为，且点关于直线的对称点为，当为直角三角形时，求点的横坐标的值． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，若点的横坐标为3，点的纵坐标为，经过点的直线与轴，轴分别交于、，与反比例函数在第一象限交于点．(1)求正比例函数与反比例函数的解析式；(2)当时，（ⅰ）点为反比例函数在第一象限的图象上一点，若的面积是面积的两倍时，求点的坐标；（ⅱ）点为直线上一点，点为坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图1，一次函数与反比例函数交于点，与x轴交于点B，且，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点E为一次函数第一象限图象上A点右侧一点，过点C作，交反比例函数图象于C，D两点，若，求点E的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点E作轴于F，沿x轴向右平移得，，分别与反比例函数图象交于点M，N，连接，若，求平移的距离． 5．（2026·成都·校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点．(1)求出反比例函数的表达式和点的坐标；(2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 6．（25-26九年级上·成都·期末）如图1，直线：与反比例函数在第一象限内的图象交于点，交y轴于点 (1)求反比例函数的表达式；(2)过点A作直线垂直于直线，交y轴于点，点D是线段上一点，连接，若四边形的面积为，点P为y轴上一动点，连接，求的最小值及此时P点的坐标；(3)如图2，在的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接，将射线绕K点逆时针旋转，交x轴于点G，若，则在x轴上是否存在点Q，使得，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为．(1)求直线的解析式及点的坐标；(2)若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值；(3)如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9.（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C．(1)求双曲线的解析式；(2)如图2，连接OC．①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，直线与反比例函数的图象的左右交点分别是点，，连接，．为反比例函数图象上一点，且点在直线的下方． (1)求的面积；(2)若面积等于面积的，求点的坐标； (3)连接并延长交于，过作交于，试探究是否存在最大值？若存在，请求出它的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．(1)求直线的解析式；(2)若的面积为8，求点D的坐标；(3)若，求k的值． 12．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．(1)当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当平分时，直接写出k的值． 13．（2025·四川成都·三模）如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B，(1)求a，k的值和点B的坐标；(2)将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积；(3)若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 14．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式；(2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；(3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 15．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为． (1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当点P在射线上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与相似，求点Q的坐标；(3)若点P是使的面积取得最小值的点，将线段沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为的垂直平分线恰好经过点P，求n的值． 16．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值．(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $