精品解析：2026年上海市静安区中考数学二模练习

数学练习 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质，分母不能为0，据此计算得到的取值范围即可选出正确答案． 【详解】解：∵函数 中是分式，分式的分母不能为0， ∴ ， 解得 ， 因此函数的定义域为 ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用单项式乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂运算法则，对各选项逐一计算判断，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 3. 当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 【详解】解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 4. 已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（ ） A. 3，2 B. 6，8 C. 3，4 D. 6，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2， ∴，， ∴数据，，的平均数为：， 数据，，的方差为：． 5. 直角坐标平面上有一点，其中 ，先将点A沿着直线 翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称 【答案】B 【解析】 【分析】先根据轴对称的坐标变换规律得到点B的坐标，再根据绕原点逆时针旋转的坐标变换规律得到点C的坐标，最后对比点A和点C的坐标，判断二者位置关系． 【详解】解：∵ 点沿直线 翻折得到点B，点关于 对称时横纵坐标互换， ∴ 点B的坐标为． ∵ 平面内任意点绕原点逆时针旋转 后，所得点的坐标为， ∴ 将代入得，点C的坐标为． ∵ 点与点纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴ 点A与点C关于 轴对称． 6. 从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ） A. 等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B. 矩形的垂足四边形是矩形 C. 平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D. 菱形的垂足四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】对于等腰梯形、矩形、平行四边形和菱形，分别分析它们的对角线性质，再根据垂足四边形的定义判断其形状． 【详解】解：A、等腰梯形的对角线相等，但不一定互相垂直，当等腰梯形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是等腰梯形，故A选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，当矩形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是矩形，故B选项错误，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，且是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，两组对边的垂足分别关于对称中心对称，故顺次连接四个垂足得到的四边形的对角线互相平分，则顺次连接四个垂足得到的四边形是平行四边形，故C选项正确，符合题意； D、菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，当菱形的对角线不相等时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是菱形，故D选项错误，不符合题意． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 【答案】 1 【解析】 【详解】． 8. 分解因式：=____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案． 【详解】解：a2-b2=（a+b）（a-b）． 故答案为（a+b）（a-b）． 9. 已知正比例函数（）图像经过点，那么当自变量x的值增大时，y的值随之_____．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质．将已知点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，根据的符号判断函数的增减性即可得到结论． 【详解】解：把代入， 可得 ， 解得， 根据正比例函数的性质，当时，函数值 随自变量的增大而减小． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出 ，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 方程•＝0的解是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判定x的取值范围，然后方程两边同时平方，解一元二次方程即可得解. 【详解】根据题意，得 解得 将方程两边平方，得 解得 综上， 【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题. 12. 我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点 ，由，得到，进而求出，再根据得到． 【详解】解：如图，延长到点 ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 13. 在中，点 是边的中点，，，那么________________．（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】延长 到 ，使得 ，连接 ．首先证明 ， ，利用三角形法则求出即可解决问题； 【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ． ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形法则等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14. 为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的 ，那么本次调查样本的中位数为______次． 【答案】8 【解析】 【分析】先得出本次调查的总人数，然后根据中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：由条形统计图可知：本次调查抽取的总人数为（人）， ∴完成“引体向上”的次数为7的有（人）， 根据中位数的定义可知：本次调查样本中中位数为第20和第21个数据之和的平均数，由可知中位数落在8次． 15. 某十人小队进行一项抽奖活动，共准备了10张奖券，奖券上标的数字分别为：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，规定每人抽一张奖券，如果抽到的数字正好等于某一个正多边形中心角的度数，那么这位同学有奖．请写出第一个上去抽奖的同学中奖的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题先根据正多边形中心角的性质找出所有中奖的奖券数量，再利用概率公式计算中奖概率． 【详解】解：设正多边形的边数为，由正多边形的性质可知，任意正多边形的中心角和为， 因此每个中心角的度数为，其中为不小于的正整数． 若奖券上的数字是某正多边形的中心角度数，则为不小于的正整数，依次判断10个数字： 当时， ，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时， ，不符合条件； 当 时，，符合条件； 当时， ，不符合条件； 当时， ，不符合条件； 当 时，，符合条件； 当时， ，不符合条件． 因此符合条件的结果共有种，所有可能的抽取结果共 种，根据概率公式可得： P（中奖） 16. 如果抛物线（其中a、m、k是常数，且 ）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【解析】 【分析】由题意可得抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的，结合平移的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的， ∵抛物线（其中a、m、k是常数，且 ）经过点、， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，即和． 17. 如图， 中，点D在边上， ，， ，那么的值等于______． 【答案】１ 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定和分式方程．先证明 ，利用得方程，去分母得，再将方程两边同除以再移项即可． 【详解】解：∵ ， , ∴ ， ∴， ∴， ∴， 整理得， 方程两边同除以，， ∴． 18. 如图，正方形 中，点 、 分别在边、 上， ，垂足为点 ，已知，，那么 的长为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】设，则，根据正方形的性质，容易证明，则，，由两角相等可判定，则，代入解方程求出的值即可． 【详解】解：设，则， ∵四边形 是正方形， ∴， ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或， ∴ 的长为 或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． （1）当点A的横坐标是时，求 的面积； （2）当，求直线 的表达式． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，，然后可得， ，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有 ，设，由题意知，，，然后得出点A、C的坐标，进而利用待定系数法进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得：， ∴， ∵轴， ∴，， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴ ， 设，由题意知，，， 把代入反比例函数得：， 解得：，（负根舍去） ∴， 设直线 的解析式为，则有， ，解得：， ∴直线 的解析式为． 20. 如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到，再结合分式方程分母不能为零，计算得出，即可得出结果． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不能为零，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述，常数a的取值范围且． 21. 如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形 ，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． （1）求该弓形所在圆的半径； （2）求的长． 【答案】（1）25m （2）13m 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，找出圆心正确作出辅助线是解题关键． （1）取圆心 ，连接， ，由垂径定理得，设半径为，在中利用勾股定理列方程即可； （2）连接 ，设 ，则，由垂径定理得，再由矩形性质得，， ，最后在中利用勾股定理列方程即可． 【小问1详解】 解：取圆心 ，连接， ， ∵ 是弓形的高， ∴ 是的中点，且，圆心 在直线 上． ∴（米）， 设， 则， 在中， ， ∴， ∴ ， ∴该弓形所在圆的半径为25m． 【小问2详解】 解：连接 ， 由（1）得，， 设 ， 则， ∵ 是弓形的高， ∴ ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ， （舍去），， ∴ ． 22. 本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域． （2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ （3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 【答案】（1），定义域为 （2）18元 （3）200元 【解析】 【分析】（1）先求出张爷爷 月份共就餐的顿数，再求出总扣款的钱数，即可得出y关于x的函数解析式，根据 ，且，即可求出定义域； （2）求出当时的值即可得出结果； （3）先消费的总餐费标价，再结合总优惠包括政府补贴和餐费九折优惠，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，张爷爷 月份共就餐（顿）， 每顿实际扣款为元，则总扣款为（元）， ∴y关于x的函数解析式为， ∵ ，且， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得： ， 故他该月每餐标价是元； 【小问3详解】 解：设消费的总餐费标价为元， 由题意可得：， ∴， 故餐费九折优惠的金额为：（元）， ∵政府补贴80元， 故实际共获得优惠金额为（元）． 23. 如图，正方形 中，点E在边上，点F是正方形外一点，连结、、 ，对角线 与线段相交于点M，如果 ，且 ． （1）求证： ， ； （2）当点E是边的中点时，请直接写出 与 面积的比值： ． 【答案】（1） 证明：∵ 是正方形 的对角线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵， ∴, ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ． （2）10 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形 （1）先证明 ，得 ，再证明 ，得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边是直角边的倍，即可证明 ． （2）先证明 ，再证明 ，设 ，得 ， ，最后利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵点E是边的中点， ∴设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ． 24. 如图1，四边形 中， ，， ， ． （1）求证： ，并求与 的相似比k； （2）如图2，我们以直线为x轴，以过点C且垂直于线段的直线为y轴，建立平面直角坐标系 ，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中 与 的关系看作是一种图形变换，这种变换是将 先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在 上，点D落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到 ，我们将 称为 的像，将 称为 的原像．如果是 的像，而 是 的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 【答案】（1） 解：∵， ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ； 设 ，则 ∴，即 ∴ ∴； （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）由等边对等角和平行线的性质得到 ，即可证明 ；设 ，则 ，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）①首先解直角三角形求出，，然后得到，利用待定系数法求解即可； ②如图，过点E作 轴于点G，根据题意得到， ，解直角三角形求出，，进而求出点E的坐标；同理求出点F的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，过点C作 于点E 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴设二次函数解析式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为； ②如图，过点E作 轴于点G ∵是 的像 ∴， ∴， ∴ ∴点E的坐标为； 如图， ∵ 是 的原像 ∴ ， ∴ ∴点F的坐标是． 25. 菱形 中，点E在线段 上，连接 、 ． （1）如图1，连接 交 于点F，若，求证：； （2）如图2，，，点P在线段 上，且满足，设，， ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当时，以为半径的和以 为半径的 是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵四边形 为菱形， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴点、 、 、 四点共圆， ∴， ∴； （2）①；②相交， 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，由菱形的性质可得， ，再证明点、 、 、 四点共圆，得出，即可得证； （2）①作 ，交 的延长线于点 ，由菱形的性质可得 ，，求出，，可得，由勾股定理可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；②当时，，则，，结合，得出以为半径的和以 为半径的 相交，设两圆相交于 ，连接 、 、、 ，连接 交于点 ，则，，由垂径定理可得， ，设 ，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，作 ，交 的延长线于点 ， ， ∵四边形 为菱形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴，， ∵，且， ∴以为半径的和以 为半径的 相交， 如图，设两圆相交于 ，连接 、 、、 ，连接 交于点 ， ， 则，， 由垂径定理可得：， ， 设 ，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（ ） A. 3，2 B. 6，8 C. 3，4 D. 6，4 5. 直角坐标平面上有一点，其中 ，先将点A沿着直线 翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称 6. 从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（ ） A. 等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B. 矩形的垂足四边形是矩形 C. 平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D. 菱形的垂足四边形是菱形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 8. 分解因式：=____________． 9. 已知正比例函数（）图像经过点，那么当自变量x的值增大时，y的值随之_____．（填“增大”或“减小”） 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 11. 方程•＝0的解是_______． 12. 我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 13. 在中，点 是边的中点，，，那么________________．（用、表示） 14. 为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的 ，那么本次调查样本的中位数为______次． 15. 某十人小队进行一项抽奖活动，共准备了10张奖券，奖券上标的数字分别为：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，规定每人抽一张奖券，如果抽到的数字正好等于某一个正多边形中心角的度数，那么这位同学有奖．请写出第一个上去抽奖的同学中奖的概率是______． 16. 如果抛物线（其中a、m、k是常数，且 ）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 17. 如图， 中，点D在边上， ，， ，那么的值等于______． 18. 如图，正方形中，点 、 分别在边 、上， ，垂足为点，已知，，那么的长为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． （1）当点A的横坐标是时，求 的面积； （2）当，求直线 的表达式． 20. 如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 21. 如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形 ，边在 上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． （1）求该弓形所在圆的半径； （2）求的长． 22. 本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域． （2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ （3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 23. 如图，正方形中，点E在边上，点F是正方形外一点，连结、、 ，对角线 与线段相交于点M，如果 ，且 ． （1）求证： ， ； （2）当点E是边的中点时，请直接写出 与 面积的比值： ． 24. 如图1，四边形中， ，， ， ． （1）求证： ，并求 与 的相似比k； （2）如图2，我们以直线 为x轴，以过点C且垂直于线段 的直线为y轴，建立平面直角坐标系 ，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中 与 的关系看作是一种图形变换，这种变换是将 先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在 上，点D落在 上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到 ，我们将 称为 的像，将 称为 的原像．如果是 的像，而 是 的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 25. 菱形中，点E在线段上，连接 、 ． （1）如图1，连接 交 于点F，若，求证：； （2）如图2，，，点P在线段 上，且满足，设，， ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当时，以为半径的和以为半径的 是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $